Sử dụng phương pháp vectơ để giải và sáng tạo một số bài toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ DUYẾN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ DUYẾN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Mã số: Phương pháp toán sơ cấp 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Thị Hoài Thu TS Nguyễn Thành Chung Đà Nẵng - 2020 LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập, nghiên cứu thực đề tài luận văn thạc sĩ, nỗ lực, cố gắng thân tơi cịn có nguồn động lực giúp đỡ to lớn từ q thầy cơ, đồng nghiệp, gia đình bạn bè Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cô giáo - TS Lê Thị Hoài Thu thầy giáo - TS Nguyễn Thành Chung nhiệt tình, tận tâm giúp đỡ, hướng dẫn tơi hoàn thành tốt luận văn thời gian qua Tôi xin gửi đến quý Thầy, Cô giáo Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập nghiên cứu tơi Cảm ơn anh, chị bạn lớp cao học Phương pháp tốn sơ cấp Khóa 36 ln chia sẻ nhiều kiến thức kinh nghiệm quý giá cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Và cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, lãnh đạo Trường THPT Nguyễn Chí Thanh, lãnh đạo tổ Tốn trường THPT Nguyễn Chí Thanh động viên tạo điều kiện tốt để trình học tập nghiên cứu tơi hồn thành tốt đẹp Tơi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Thị Duyến DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Số hiệu hình 1.1.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.8.1 2.8.2 2.8.3 2.8.4 2.8.5 2.9.1 2.9.2 Trang 11 13 14 16 17 18 20 21 22 25 26 27 28 29 30 32 34 35 36 37 40 41 42 44 45 46 47 48 51 53 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm tính chất vectơ 1.2 Quy trình giải tốn hình học phẳng phương pháp vectơ CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG BẰNG CÔNG CỤ VECTƠ 10 2.1 Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng 10 2.2 Bài toán chứng minh đẳng thức hình học 15 2.3 Bài tốn tìm quỹ tích 19 2.4 Bài toán quan hệ song song 24 2.5 Bài tốn quan hệ vng góc 29 2.6 Bài toán góc 33 2.7 Bài toán khoảng cách 38 2.8 Bài toán diện tích 43 2.9 Sáng tạo tốn hình học phẳng cơng cụ vectơ 49 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp vectơ công cụ hữu hiệu dùng để giải tốn hình học Nội dung giảng dạy từ lớp 10 cho thấy khác biệt chương trình hình học bậc THCS với bậc THPT Các tốn hình học chương trình THCS chủ yếu nhìn nhận phương pháp trực quan, dựa khái niệm tính chất hình học (điểm, đường thẳng, góc, khoảng cách, ) Chẳng hạn, để chứng minh ba điểm thẳng hàng, cần chứng minh góc xác lập chúng 180o ; để chứng minh hai đường thẳng song song, cần chứng minh có cặp góc so le (hoặc so le ngồi) nhau; để tính diện tích tam giác cần biết cạnh đáy chiều cao, Nhiều toán giải học sinh kẻ đường phụ đòi hỏi suy luận mang tính sáng tạo cao Điều gây nhiều khó khăn cho người học việc định hướng tìm lời giải Khác với phương pháp dùng giải tốn hình học bậc THCS, phương pháp vectơ cho định hướng rõ ràng dựa quy trình quản lý tập hợp Đó là, “một không gian vectơ hữu hạn chiều” vectơ biểu thị qua “cơ sở” Cách biểu thị cho phép quản lý tất “vectơ” không gian thông qua việc quản lý “cơ sở” chúng Vectơ xây dựng dựa khái niệm điểm, phương, hướng độ dài đoạn thẳng nên liên quan đến khái niệm khác hình học quan hệ chúng Đây sở để diễn đạt tốn hình học túy dạng ngơn ngữ vectơ Việc giải tốn hình học phương pháp vectơ góp phần phát triển tư sáng tạo cho người học, đồng thời rèn luyện kỹ tính tốn, suy luận logic, biết cách nhìn nhận tốn theo nhiều góc độ khác Từ phân tích đánh giá trên, lựa chọn đề tài “Sử dụng phương pháp vectơ để giải sáng tạo số tốn hình học phẳng” Đề tài tập trung làm rõ số dạng tốn hình học phẳng giải phương pháp vectơ, đồng thời qua giúp người học thấy tính ưu việt phương pháp vectơ sáng tạo toán 2 Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại khái niệm tính chất vectơ khơng gian mặt phẳng, quy trình để giải tốn hình học phẳng vectơ Phân loại số dạng toán hình học phẳng giải phương pháp vectơ Từ nghiên cứu tìm hiểu đề xuất số toán dựa toán có Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan khái niệm vectơ, phép toán vectơ, dạng tốn hình học phẳng giải phương pháp vectơ Bên cạnh chúng tơi liên hệ với khái niệm “không gian vectơ” để làm rõ sở khoa học phương pháp vectơ chương trình phổ thông Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nội dung hình học phẳng chương trình hình học THCS THPT Ngồi ra, chúng tơi tham khảo số kiến thức liên quan đến đại số tuyến tính, khơng gian Euclide chương trình đại học Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc nghiên cứu sách giáo khoa, giáo trình, tài liệu liên quan tới ứng dụng phương pháp vectơ để phân dạng hệ thống hóa tốn Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm thân bạn bè, anh chị để tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học, kết hợp đưa vào ví dụ minh họa chi tiết Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức Tổng quan cấu trúc luận văn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên ngành Toán, đặc biệt cho học sinh trình học tốn chương trình phổ thơng Từ giúp học sinh có hứng thú, phát triển cho học sinh lực tư duy, giúp học sinh nhận thấy mối liên hệ 52 −→ −→ −→ −→ −−→ −→ Ta có BO = xBA + (1 – x) BN AO = yAM + (1 – y) AB −→ −−→ −→ −→ ⇒ AB = yAM + (x – y + 1) AB + (x – 1) BN −→ −−→ −→ ⇔ (x – y) AB + yAM + (x – 1) BN = −→ −→ −→ −−→ −→ Đặt CB = a, CA = b ta AB = a – b; AM = – b; BN = – a x–1 Thu gọn ta (x – y) a – (x – y) b = a + yb   x–y = x–1 3 y 10 ⇔  y=2 −→ −→ −→ ta BO = BA + – BN Với x = 10 10 10 −→ −→ −→ −→ −→ −→ NA ⇔ BO – BN = BA – BN ⇔ NO = NA ⇔ = 10 10 10 NO Vì SONB = ⇔ SNAB = 10 ⇒ SABC = 30 ⇔  y–x=   x= 2.9.2 Phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa Phương pháp đặc biệt hóa từ tổng quát, trừu tượng đến cụ thể, trực quan Ngược lại, phương pháp tổng quát hóa lại từ cụ thể, trực quan đến tổng quát, trừu tượng Hai phương pháp kết hợp với giúp người học có cách nhìn bao qt vấn đề, biết phân tích, đánh giá vấn đề từ nhiều khía cạnh khác Ví dụ 2.9.4 Từ quỹ tích 1: Quỹ tích điểm cách hai điểm A B cố định đường trung trực đoạn thẳng AB Vậy quỹ tích MA này, điều kiện MA=MB tương đương với điều kiện = Thay số dương MB k = thu ví dụ 2.3.1 Một cách mở rộng quỹ tích từ MA = MB suy MA2 = MB2 hay tương đương MA2 - MB2 = Thay k2 (k số nguyên dương cho trước) ta thu toán tổng quát sau Bài toán Cho đoạn thẳng AB số thực k Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện AM2 – BM2 = k Lời giải: Ta biến đổi đẳng thức cho dạng quen thuộc Gọi I, H trung điểm đoạn thẳng AB hình chiếu M đường AB Ta có AM2 – BM2 = k 53 −−→ −−→ ⇔ AM + BM −−→ −−→ AM – BM = k −→−→ ⇔ 2MIBA = k −−→ − → −→ ⇔ MH + HI BA = k k 2AB Đẳng thức chứng tỏ H điểm cố định tập hợp M đường thẳng vng góc ⇔ 2HIBA = k ⇔ IH = với AB H Chú ý toán ta cho k số cụ thể ta tốn phương pháp đặc biệt hóa Ví dụ 2.9.5 Từ ví dụ 2.3.2 cách để tổng qt hóa tốn từ giả thiết OM = 2ON suy OM – 2ON = ta thay hệ số cụ thể trước OM ON tham số ta toán sau Bài tốn Cho góc XOY hai số dương a, b Các điểm A, B thay đổi ◦ Q D N A W C B M G O K D V A N H U R T C B P E F L Z S IF βM Q A1 M D H N U E P L J=67543113 20 22 10 11 14 15 16 17 18 19 12 23 24 25 27 21 21317 10 11 12 13 67 598219 12 89.41 A C B OX, OY cho a.OA + b.OB = Chứng minh trung điểm I AB thuộc đường thẳng cố định Lời giải: X A A1 I O E5 A1 B B1 Y Hình 2.9.2 Trên OX, OY lấy điểm A1 , B1 cho a.OA1 = b.OB1 = Vì I trung điểm AB nên: − → −−→ −−→ OA −−−→ OB −−→ OA + OB = OA1 + OB1 OI = 2 OA1 OB1 a.OA −−−→ b.OB −−→ = OA1 + OB1 a.OA1 b.OB1 −−−→ −−→ = a.OA.OA1 + b.OB.OB1 (vì a.OA=b.OB = ) O4 54 Vì a.OA+b.OB = ⇒ I, A1 , B1 thẳng hàng Vậy I thuộc đường thẳng A1 B1 cố định Ví dụ 2.9.6 Từ ví dụ 2.1.2 ta thấy điểm M, N, P chia đoạn AB, BC, CA theo tỉ số m, n, p (khác 1) ta cụ thể hóa ba số m, n, p thỏa mãn điều kiện toán cho ta tốn phương pháp đặc biệt hóa sau Bài toán Trên cạnh tam giác ABC, lấy điểm M, N, P cho −−→ −−→ −→ −−→ −→ −→ −−→ → − −−→ −→ MA + 3MB = 6NB – NC = PC + 2PA = Hãy biểu thị AN qua AM AP, từ suy M, N, P thẳng hàng Lời giải: Từ giả thiết −−→ −→ NC = 6NB −−→ ⇒ AN = −→ −→ AC – 6AB –5 −−→ ⇒ PN = PM = −→ –3 −→ AP + −−→ AM Vậy M, N, P thẳng hàng Ví dụ 2.9.7 Từ ví dụ 2.5.4 giả thiết cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = 2a ta đặc biệt hóa giá trị a số cụ thể ta thu tốn sau Bài tốn Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = AD = Gọi M trung −→ −→ điểm cạnh AB N điểm cạnh AD cho AN = kAD Tìm k để CM⊥BN Lời giải: − → − 1− −→ − −→ → −−→ −→ −−→ −→ −→ Đặt AB = → a , AD = b Ta có CM = CB + BM = –AD – AB = – b – → a → − −→ −→ −→ −→ −→ − BN = BA + AN = –AB + kAD = –→ a +kb 2 Theo giả thiết ta có → − → − 1− −−→ −→ − a –→ a +kb =0 CM.BN = ⇔ – b – → 1 ⇔ –16k + = ⇔ k = Vậy k = CM⊥BN 2.9.3 Phương pháp chuyển đổi mục đích tốn Phương pháp chuyển đổi mục đích tốn phương pháp phổ biến để sáng tạo toán dựa toán gốc Theo đó, tốn tạo 55 dựa toán gốc cách thay đổi yêu cầu tốn, giữ ngun bổ sung số giả thiết phù hợp Để áp dụng phương pháp cần đánh giá toán gốc cách đầy đủ, đồng thời phải nắm dạng tốn chuyển đổi Cuối cùng, tốn tạo phải đảm bảo khơng tầm thường Ví dụ 2.9.8 Từ ví dụ 2.2.1 ta vận dụng hệ thức vectơ (2.2.1) gọi hệ thức Ơle để chứng minh toán quan hệ vng góc sau Bài tốn Chứng minh đường cao tam giác đồng quy Lời giải: Thật vậy, giả sử đường cao kẻ từ B C ΔABC cắt H Áp dụng hệ thức Ơle cho điểm H, A, B, C ta có −−→ −→ −→ −−→ −−→ −→ HA.BC+HB.CA+HC.AB = −→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ Do HB⊥CA, HC⊥AB nên HB.CA = HC.AB = từ HA.BC = hay HA⊥BC Ví dụ 2.9.9 Từ ví dụ 2.1.3 cụ thể hóa ba số m, n, p cho thỏa mãn điều kiện toán ta toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Kết vận dụng vào để giải toán sau Bài toán Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác, I trung điểm BC, M N điểm xác định −→ −→ CN = BC, −−→ −−→ → − 3MA + 4MB = Gọi P giao điểm AC MN Tính tỉ số diện tích tam giác ANP tam giác CNP Lời giải: S PA PA Ta có: ANP = u cầu tốn dẫn đến tìm tỉ số SCNP PC PC Ta dễ dàng chứng minh M, N, G thẳng hàng Ta có −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ CN = BC ⇒ 2CN = GC – GB ⇔ 2(GN – GC) = GC – GB −→ −→ −→ −→ −→ ⇔ 2GN = 3GC – GB = –3GA – 4GB −→ −→ −→ −−→ −−→ ⇔ 2GN = –3GA – 4GB + 3MA + 4MB −→ −−→ ⇔ 2GN = 7MG Vậy G, M, N thẳng hàng Mặt khác MN cắt AC P, nên M, G, P thẳng hàng −−→ −→ −−→ − → −→ −→ Ta có AM = mAB ⇒ m = ; AG = nAI ⇒ n = ; AP = pAC 56 4 2 Khi 2mp = mn + np ⇔ .p = + p ⇔ p = 7 3 SANP PA ⇔ = Vậy =4 PB SCNP Ví dụ 2.9.10 Từ giả thiết ví dụ 2.1.1 đến việc giải toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, vấn đề đặt từ việc khai thác giả thiết ta vận dụng chứng minh tốn quan hệ vng góc không? Điều đưa đến việc giải toán −−→ −→ Bài toán Cho tam giác ABC điểm M, N, P thỏa mãn BM = k BC, −→ −→ −→ −→ CN = CA, AP = AB Tìm k để AM vng góc với PN 15 Lời giải: −−→ −→ −−→ −→ −→ −→ BM = kBC ⇔ AM – AB = k(AC – AB) −−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ ⇔ AM = (1 – k)AB + kAC +)PN = AN – AP =– AB + AC 15 −−→ −→ Để AM vuông góc với PN AM.PN = −→ −→ −→ −→ ⇔ (1 – k)AB + kAC – AB + AC = 15 k – k 4k −→ −→ –4(1 – k) AB2 + AC2 + ( – )AB AC = 15 3 15 –4(1 – k) k – k 4k ⇔ + +( – )cos600 = 15 3 15 ⇔k= ⇔ Vậy k = AM vng góc với PN Bài tốn tham khảo Bài 2.9.1 Dùng phương pháp tương tự hóa để sáng tạo tốn từ ví dụ 2.5.4 Hãy giải tốn Bài 2.9.2 Dùng phương pháp đặc biệt hóa để sáng tạo tốn từ ví dụ 2.1.2 Hãy giải tốn Bài 2.9.3 Dùng phương pháp tổng qt hóa để sáng tạo tốn từ ví dụ 2.3.3 Hãy giải tốn Bài 2.9.4 Dùng phương pháp chuyển đổi mục đích tốn để sáng tạo tốn từ ví dụ 2.5.1 Hãy giải tốn 57 KẾT LUẬN Luận văn “Sử dụng phương pháp vectơ để giải sáng tạo số tốn hình học phẳng” đạt kết sau Hệ thống lại số kiến thức vectơ phương pháp sáng tạo số tốn hình học phẳng cơng cụ vectơ chương trình phổ thơng Hệ thống phân loại số dạng tốn hình học phẳng giải phương pháp vectơ bao gồm toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, toán chứng minh đẳng thức hình học, tốn tìm quỹ tích, tốn quan hệ song song, vng góc, tốn góc, khoảng cách, diện tích Các ví dụ chọn lọc phong phú, đa dạng kèm theo lời giải chi tiết thể tương đối đầy đủ, bao quát toán Đề xuất tập tự luyện tương tự nhằm giúp người đọc nắm bắt vấn đề củng cố lí thuyết Sử dụng phương pháp vectơ để giải sáng tạo số tốn hình học phẳng chủ đề thú vị, bước đầu giúp học sinh thấy tầm quan trọng vectơ việc giải toán hình học, coi cơng cụ giúp học sinh giải tốn phức tạp cách đơn giản cách sử dụng phép biến đổi vectơ 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam (2008), Bài tập hình học 10-Nâng cao, NXB Giáo dục Nguyễn Ngọc Giang (2017), Phương pháp sáng tạo toán hình học Trung học Cơ Sở, NXB Đại học Sư Phạm TP.HCM Lê Quốc Hán, Lê Thị Ngọc Thuý, Đinh Quang Minh (2016), Những đường sáng tạo giải tốn hình học, NXB Giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Thành, Trần Đức Huyên (2006), Hình học 10, NXB Giáo dục Nguyễn Thị Hoa (2015), Ứng dụng phương pháp vectơ để giải toán, Luận văn thạc sĩ, ĐHSP Hà Nội Đoàn Huynh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị (2010), Hình học 10-Nâng cao, NXB Giáo dục Nguyễn Hữu Việt Hưng (2004), Giáo trình đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Thành, Trần Đức Huyên (2011), Bài tập hình học 10, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Lộc (2007), Phương pháp vectơ giải tốn hình học phẳng, NXB Giáo dục 10 Nguyễn Quang Sơn (2006), Các chuyên đề nâng cao phát triển hình học 10, NXB tổng hợp HCM 11 Đào Tam (2007), Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Đại học Sư phạm 12 Nguyễn Thị Lệ Thủy (2019), Phương pháp giải sáng tạo tốn dãy số chương trình phổ thơng, Luận văn thạc sĩ, Đại học Đà Nẵng DAI HOC DA NANG TRUONG DM HQC SU P~M CQNG RoAxl H(H CHiT NGHiA VI~T NAM Dqc I~p- T\f - H~nb pbuc S&:~Ib/QD-DHSP M fJaNgng, thang1.{ niim ~ QVYETDJNH V~ vi~c giao di tai va tnlcb nhi~m hU'o'ngdin lu~n van tbac si HI¥U TRUONG TRUONG DAI HOC str PHAM Can c~ Nghi dinh s& 32/CP 04/4/1994 cua Chinh phu vS viec l~p D~i hoc Da Nang; Can cir Thong nr s& 08/20141TT-BGDDT 20/3/2014 cua Bo Giao due va Dao tao vS viec ban hanh Quy ehe td chirc va heat dong cua dai hoc vung va cac co ~a giao due dai hoc vien; Can cir Quyet dinh s& 6950/QD-DHDN 01112/2014 cua Giam d&c Dai hoc Da N~ng ban hanh Quy dinh nhiem vu, quyen han cua Dai hoc Da Nfug, cac co sa giao due dai hoc vien va cac dan vi tnrc thuoc; Can cir Thong tu s& 15/20 14ITT - BGDDT 15/5/2014 cua B