Trước khi giải câu b) ta chứng minh một bổ đề: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có K thuộc đoạn BC. X, Y là tâm ngoại tiếp các tam giác KAB, KAC.. Chứng minh : Ta chứng minh trong trường hợ[r]
(1)Lời giải bình luận số tốn hình
học thi vào 10
Như kì thi vào 10-năm học 2016-2017 gần kết thúc, trường chuyên nước hồn tất khâu tuyển sinh đầu vào Tơi muốn bình luận số tốn hình học hay trường chuyên kì thi năm Cá nhân tơi thấy có số tốn hình học sâu sắc hay Tuy nhiên có số lại "tệ"-bài tốn khó chất tốn khơng nằm bậc học cấp THCS, điều đánh đố học sinh điều không cần thiết
Trước vào bình luận đề thi tơi buộc lịng phải trình bày bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho tam giác ABC điểm D, E, F thuộc BC, CA, AB cho AD, BE, CF đồng quy Giả sử EF ∩BC =S Chứng minh rằng: DB
DC = SB SC
Chứng minh(Bạn đọc tự vẽ hình): Áp dụng định líCeva choAD, BE, CF đồng quy thì: DB
DC EA EC
F B
F A = Áp dụng định lí M enelaus cho cát tuyến S, E, F tam giác ABC thì: SC
SB EA EC
F B
F A = Chia vế cho vế dĩ nhiên ta đpcm Bổ đề 2: Cho điểm I, F, E, K nằm đường thẳng theo thứ tự cho thoả mãn ba hệ thức sau đây:
1) IF IK =
F E EK
2) Gọi M trung điểm IE Khi đó: M E2 =M I2 =M F.M K(Hệ thứcN ewton) 3) GọiN trung điểmF K Khi đó: EI.EN =EF.EK(Hệ thứcM aclaurin) Cũng cần ý hệ thức sau gọi hệ thức M aclaurin: IE.IN =IF.IK
Chứng minh: Ta chứng minh hệ thức tương đương Giả sử ta có hệ thứcM aclaurin, thì: M E2 =M F.M K ⇔M E2 = (EF−M E)(EK−M E)⇔ M E2 =EF.EK+M E2−M E(EF+EK)⇔EF.EK = EI
2 (EF+EK) = 2EN EI
2 = EN.EI(đúng) Do có hệ thứcM aclaurin ta có hệ thứcN ewton Ta quay lại hệ thức thứ nhất, giả sử ta có sẵn hệ thức M aclaurin thì: IF
IK =
(2)F E
EK ⇔IK.EF =EK.IF ⇔(EK−EI)EF = (IK+EI)IF ⇔EI.EN−EI.EF = EI.IF+IK.IF ⇔EI(EN−EF −IF) =IK.IF ⇔IE.IN =IF.IK(đúng theo hệ thức M aclaurin) Như ba hệ thức tương đương miễn có sẵn hệ thức
Bài tốn 1(Trích đề thi tuyển sinh vào 10 chun Tốn ĐHSP-Vịng 2): Cho M nằm ngồi đường trịn (O;R) M A, M B tiếp tuyến đến (O) Lấy C điểm nằm AB, I, K trung điểm M A, M C KA ∩(O) = A, D Lấy M D∩(O) =D, E KE∩(O) =E, F J trung điểm F E
a) Chứng minh rằng: OK2−M K2 =R2.
b) Chứng minh rằng: M CDB tứ giác nội tiếp c) Chứng minh rằng: IAJ F tứ giác nội tiếp
(3)c) Từ b) ta có: ∠M CA = 180◦ −∠M CB = 180◦ −∠M DB = ∠BDE = ∠CAE suy M CkAE Gọi N trung điểm KA Ta thấy I, N, J thẳng hàng
∠IJ F =∠AEF =∠IAF nên IAJ F nội tiếp hay ta có điều phải chứng minh
Nhận xét: Bài tốn đơn giản nhìn cấu hình trục đẳng phương đường trịn điểm Cách khai thác câu b) c) tự nhiên tạo điểm phụ trung điểm KA
Bài tốn 2(Trích đề thi vào 10 THPT TPHCM): Cho tam giác ABC vng Acó đường caoAD LấyO trung điểm AB CO∩(O;OA) =I choI nằm O, C Đường thẳng qua Avng góc CO cắt CO H cắtBC M K trung điểm BD
a) Chứng minh rằng: HM phân giác ∠BHD
b)OK∩AM =E, IM ∩(O;OA) =I, J Chứng minh rằng: EJ cắt CO (O)
Lời giải: a) Ta có: OA2 = OB2 = OH.OC suy 4OBH ∼ 4OCB suy
∠OHB = ∠OBC Lại có tứ giác DHAC nội tiếp nên ∠DAC = ∠DHC =
(4)b) Do HC ⊥ HM nên ta có: HM, HC phân giác ngồi ∠BHD ta thu được: M B
M D = CB
CD Do K trung điểm BD nên theo hệ thức M aclaurin(xem
bổ đề 2) thì: M J.M I = M B.M D = M K.M C tứ giác J KIC nội tiếp suy ra: ∠KJ M = ∠ICB = ∠HBO Ta để ý rằng: CH.CO = CA2 = CB.CD suy OHDB nội tiếp Do HM phân giác ∠BHD OK trung trực BD nên suy E nằm (OHDB) vậy: ∠KEM = ∠OBH = ∠KJ M suy KM EJ nội tiếp ∠IJ E = ∠DKE = 90◦ Gọi CD cắt (O) L khác I Ta thấy:
∠LJ I +∠IJ E = 90◦ + 90◦ = 180◦ L, J, E thẳng hàng hay ta có điều phải chứng minh
Nhận xét: Đề ban đầu có câu chất câu Theo đề để thi tệ, việc sử dụng kiến thức cấp chất toán nên học sinh cấp 2(học sinh khơng thi chun Tốn) khơng xử lí điều hiển nhiên Bài tốn 3(Trích đề thi tuyển sinh vào 10-THPT chuyên TPHCM): Cho tam giác ABC có AB < AC < BC Lấy điểm M, N BC, CA cho BM =AB=AM BN ∩AM =K Kẻ KH ⊥AB(H ∈AB)
a) Chứng minh rằng: tâm nội tiếp tam giác ABC nằm HK
(5)Lời giải: a) Gọi I trực tâm tam giác AKB Ta thấy ABN, ABM tam giác cân A, B nên AI, BI phân giác góc A, B hay ta suy I tâm nội tiếp tam giác ABC(đpcm)
b) Gọi(I1),(I2)là đường tròn nội tiếp hai tam giácAHB, AHC Lấy(I1)tiếp xúcCH E Lấy (I2)tiếp xúc CB, CH D, E0 Theo tính chất tiếp điểm đường trịn nội tiếp thì: 2CE0 =CA+CH−AH,2CE=CH−HB+BC Điều phải chứng minh tương đương: CA+HC−AH =CH−HB+BC ⇔CA−BC =AH−HB(đúng H tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC AB)
Nhận xét: Bài toán hay chỗ tận dụng biến đổi với đường tròn nội tiếp mà vốn xưa nhàm chán
(6)Lời giải: Gọi AJ cắt (O) P J Ta biết tính chất quen thuộc tiếp tuyến P, J (O) LH đồng quy điểm S Ta lại có: DJ M F tứ giác nội tiếp SD.SF =SJ.SM Để ý AJ, BH, CL đồng quy(theo định lí Ceva) ta có theo bổ đề 1: SB
SC = J B
J C suy rằng: SB.SC =SJ.SM(hệ thức M aclaurin) BCF D nội tiếp(đpcm)
Nhận xét: Đề theo tơi lại phù hợp với bạn thi chuyên, chủ đề hàng điểm điều hoà dạy lớp Toán đặc biệt cấp 2, việc kiểm tra kiến thức với bạn lớp thi chun Tốn hợp lí
(7)Chứng minh: Ta chứng minh theo trường hợp hình vẽ trường hợp khác ta chứng minh tương tự Theo định lí P ascal CP, BQ, M N đồng quy điểm S Theo định lí hàm số sin thì: BM
sin∠BSM =
SM
sin∠J BQ đồng thời
SN sin∠BQA = N Q
sin∠N SQ Ta có: ∠M J P =∠N J Q nên 4M J P ∼ 4N J Q(g.g) suy 4ABM ∼ 4J QN(g.g) AB
J Q = BM
N Q hay tương đương
BM sin∠AQB =
CN
sin∠J BQ Vậy từ ý ∠BSM =∠QSN ta thu được: SM =SN(điều phải chứng minh)
Nhận xét: Đây bổ đề đẹp mà tơi vơ tình tìm giải tốn thi vào 10 lạ Chứng minh định lí P ascal(bằng kiến thức THCS) khơng khó, bạn đọc tìm đọc nhiều tài liệu
(8)Lời giải: Quay trở lại tốn, ta có: ∠ADB = 180◦ −∠BDC = ∠AEC 4ADB∼ 4AEC(g.g) suy ra4ABM ∼ 4ACN(c.g.c) hay là∠M AB =∠N AC đó4AM H ∼ 4AN K(g.g)suy ∠M AH =∠N AK Gọi AM∩(AHK) =A, P AN ∩(AHK) =A, Q Do ∠M HA=∠N KA = 90◦ nên HM cắt N K (AHK) điểm J Theo định líP ascal cho điểmA, H, P, J, Q, K HQ, P K, M N đồng quy I0 Do AJ đường kính (AKH) nên suy theo tốn I0 trung điểm M N Do ta thu I ≡I0 ý HKQP hình thang cân nên ta có điều phải chứng minh
Nhận xét: Ta tổng qt tốn sau: "Cho tam giác ABC, lấy hai điểm P, Q tam giác ABC cho AP, AQ đẳng giác góc ∠BAC Kẻ P M ⊥ AB(M ∈ AB), P N ⊥AC(N ∈AC) Gọi I trung điểm P Q Chứng minh rằng: IM =IN"
Bài tốn 7(Trích đề thi vào 10 Hà Nội): Cho tam giác ABC nội tiếp(O) Gọi I tâm nội tiếp tam giác ABC AI, CI cắt (O) điểm thứ hai N, M Lấy M N ∩AB, BC =H, K
a) Chứng minh rằng: HIBK hình thoi
(9)a) Dễ chứng minh tứ giácKICN nội tiếp đó: ∠HKI =∠M CN =
2(N Bd+M A) =d
∠KHB đóBHkKI Tương tự thì: HIkBK Chú ýHK phân giác góc ∠BHI nên HIKB hình thoi
(10)Chứng minh: Ta chứng minh trường hợp hình vẽ này, trường hợp khác ta chứng minh tương tự Gọi CY ∩(O) = J, C Ta có: ∠J BA = ∠J CA = 90◦ −
∠AY C =
180◦−(360◦−2∠AKC)
2 = ∠AKC −90
◦ = 90◦−
∠AKB = ∠XBA
đóB, X, J thẳng hàng hay bổ đề chứng minh
b) Ta quy toán chứng minh DP KQ hình bình hành Áp dụng bổ đề BP cắt CQ D0 (O), mà ∠D0BC = 90◦ − ∠BP K
2 = 90
◦ −
∠KM B =
90◦ −∠KM C = ∠D0CB D ≡ D0 Thế nên: ∠DP K = ∠DQK Vậy mà:
∠P KQ= 180◦−∠P KB −∠QKC = 180◦−2(90◦−∠KM C) =∠BM C =∠BDC DP KQ hình bình hành nên DK qua trung điểm P Q(điều phải chứng minh)
Nhận xét: Câu hình vừa phải lược câu a) b) chúng ý chứng minh khó Câu d) tốn chất trường hợp đặc biệt bổ đề nêu
(11)Bổ đề cát tuyến: Cho tứ giác ABCDnội tiếp (O)có giao đường chéo làI Khi đó: IA IC = BA BC DA DC
Chứng minh: Ta có: IA IC =
SIAD SICD
=
2.AD.ID.sin∠ADB
2.CD.ID.sin∠CDB
= AD.sin∠ADB CD.sin∠CDB = AD.AB
CD.BC hay đpcm
Quay trở lại toán, gọiAH đường cao tam giácABC Ta có tính chất quen thuộc là: ∠HAB =∠OAC Theo tính chất hệ thức lượng tam giác vng ta có: OA2 =OC2 =OM.OP 4OAM ∼ 4OP A(c.g.c) suy ∠OP M =∠OAM =
∠DAH suy ra∠P AB =∠M AC hay∠KAB =∠M AC GọiJ M∩(O) =J, K0 Gọi D0 =AK∩BC Theo bổ đề cát tuyến thì: D
0B
D0C =
AB AC
K0B
K0C Mà theobổ đề cát
tuyến thì: M B M C =
J B J C
K0B
K0C = Suy ra:
K0B K0C =
J C J B =
AB
AC suy D0B D0C =
AB2 AC2 Gọi AP ∩BC =D ta dễ chứng minh được: DB
DC = AB2
AC2 nên D≡D
(12)thu K ≡K0 dẫn tới J, M, K thẳng hàng(điều phải chứng minh)
Nhận xét: Bổ đề cát tuyến cho thấy ứng dụng tuyệt vời tốn liên quan tới chia tỉ lệ đoạn thẳng Các bạn tham khảo viết tơi blog bổ đề
Bài tốn 9: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) nhọn(AB < AC) I tâm nội tiếp (O) D hình chiếu củaI lên BC AD∩(O) = G, A, lấyF trung điểm cung lớn BC (O) Gọi ID∩F G=H
a) Chứng minh rằng: H ∈(IBC)
b) Gọi AI∩(BIC) =I, J Chứng minh rằng: BH =CJ c)HF ∩(BIC) = N Chứng minh rằng: N J chia đôiBC
Lời giải: a) Ta có: IDkF E ∠IHG=∠GF E =∠EAF IAHG nội tiếp DA.DG=DI.DH =DB.DC suy IBHC nội tiếp
(13)hình thang cân nên BH =CJ
c) Do EF đường kính (O) nên F B ⊥ BE, F C ⊥ CE F B, F C tiếp tuyến đến(BIC) Ta quy câu c) toán nhỏ sau: "Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tiếp tuyến B, C (O) cắt P Kẻ AJ song song BC(J thuộc (O)) M trung điểm BC AP ∩(O) = A, K Chứng minh rằng: J, K, M thẳng hàng" Đây nội dung củabài toán 8vậy ta thu điều phải chứng minh
Nhận xét: Bài toán toán thi vào 10 chuyên Toán thành phố Hà Nội Đề khơng khó xong cách diễn đạt ý tưởng theo cấp THCS khó khăn Bài tốn 10(Thi vào 10 chun Tốn Hồng Văn Thụ-Hồ Bình): Cho A nằm (O) Kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O), BD đường kính (O) Đường thẳng qua A vuông AB cắt OC E, F trung điểm OB Chứng minh rằng: EF ⊥AD
Lời giải: Ta có: AEkBD ∠EAO = ∠AOB = ∠AOE suy AEO cân E Gọi I trung điểm OA, J = EF ∩AD Ta có: IE
OA = IE
(14)∠IOF suy 4EIO ∼ 4IF O(g.g) suy IE IO =
IF
OF Vậy IE IF =
OA
OD Lại có:
∠AOD= 90◦+∠OAD = 90◦ +∠F IO =∠EIF 4EIF ∼ 4AOD(c.g.c) suy ra∠J EI =∠J AI nên tứ giác AIJ E nội tiếp nên F E ⊥AD
Nhận xét: Ý tưởng chứng minh tam giác đồng dạng thật tự nhiên biến đổi góc tinh tế Điểm đáng ý toán xuất đề thi chọn HSG quân Ba Đình, Hà Nội năm học 2016-2017