Áp dụng các định lý về giá trị trung bình để giải và sáng tạo một số bài toán sơ cấp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN MINH HUY ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN MINH HUY ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỂ GIẢI VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Minh Huy LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS Phạm Q Mười tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo giảng dạy suốt thời gian học tập khóa học Cuối cùng, tơi xin phép gởi lời cảm ơn đến anh chị, bạn lớp PPTSCK32 nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập lớp Tác giả Nguyễn Minh Huy MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa hàm số thực biến 1.2 Tính liên tục hàm số 1.2.1 Giới hạn hàm số 1.2.2 Hàm số liên tục 1.2.3 Một số định lý hàm liên tục 1.3 Tính khả vi hàm số 1.3.1 Định nghĩa đạo hàm 1.3.2 Ý nghĩa hình học đạo hàm 1.3.3 Đạo hàm phía 1.3.4 Một số tính chất 10 1.4 Các định lý giá trị trung bình 10 1.4.1 Cực trị hàm số định lý Fermat 10 1.4.2 Định lý Rolle 12 1.4.3 Định lý Rolle với nguyên hàm 15 1.4.4 Định lý Lagrange Định lý Cauchy 16 CHƯƠNG SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP 19 2.1 Chứng minh tồn biện luận số nghiệm phương trình MỤC LỤC 19 2.2 Giải phương trình 26 2.2.1 Áp dụng Định lý Rolle hệ để giải phương trình 26 2.2.2 Áp dụng Định lý Lagrange để giải phương trình 30 2.3 Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức 33 CHƯƠNG SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN DỰA TRÊN CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 42 3.1 Sáng tạo tốn chứng minh phương trình có nghiệm 42 3.2 Sáng tạo toán bất đẳng thức 50 3.2.1 Sáng tạo bất đẳng thức từ bất phương trình hàm liên quan đến Định lý Lagrange 50 3.2.2 Sáng tạo bất đẳng thức từ bất đẳng thức Jensen liên quan đến Định lý Lagrange 56 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N R Z I C (I) Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên Khoảng (a; b) tập số thực R Lớp hàm khả vi liên tục I , có đạo hàm liên tục I MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Cùng với khái niệm giới hạn, tính liên tục tính khả vi hàm số kiến thức sở quan trọng giải tích Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, tính chất liên tục khả vi hàm số áp dụng vào nhiều dạng tốn khác nhau, ví dụ toán chứng minh tồn nghiệm phương trình lớp 11 hay giải phương trình mũ phương trình logarit lớp 12 Các định lý giá trị trung bình Định lý Rolle, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy tính đơn điệu hàm số thường sử dụng nhiều toán đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, quốc gia hay quốc tế dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương phương trình, hệ phương trình, v.v Vì nghiên cứu định lý giá trị trung bình bao gồm lý thuyết bản, dạng tập phương pháp giải toán nhu cầu cần thiết giáo viên phổ thông Vì lí mà chọn đề tài nghiên cứu định lý giá trị trung bình Một yêu cầu đề thi câu hỏi phải không lấy từ nguồn tham khảo Điều địi hỏi người đề phải có kỹ sáng tạo toán Các đề thi học sinh giỏi thường có câu hỏi, toán cần áp dụng định lý giá trị trung bình để giải Vì thế, bên cạnh kiến thức kỹ giải tốn thơng qua định lý giá trị trung bình, kỹ sáng tạo toán áp dụng định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy yêu cầu thiếu giáo viên Đây lí để tơi chọn đề tài nghiên cứu cho Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ giải sáng tạo toán cách áp dụng định lý giá trị trung bình, tơi định 64 x+y+z (3.33) Bằng cách áp dụng (3.33) với x, y, z góc tam giác nhọn ABC ý A + B + C = π , ta thiết lập toán bất đẳng thức lượng giác tam giác sau: ⇔ cos x + cos y + cos z cos Chứng minh tam giác nhọn ABC ta có: cos A + cos B + cos C √ A B C 3 cos + cos + cos 2 2 cos A cos B cos C √ A B C 3 cos cos cos 2 Dấu xảy tam giác ABC π Ví dụ 3.32 Xét hàm số f (x) = tan x, x ∈ (0; ) Dễ thấy hàm f khả π vi cấp hai (0; ) Ta có: π ′ f (x) = tan x + 1; f ′′ (x) = tan x(tan2 x + 1) > 0, ∀x ∈ 0; π Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho số x, y, z ∈ (0; ) ta có: x+y+z f (x) + f (y) + f (z) 3f x+y+z (3.34) ⇔ tan x + tan y + tan z tan Bằng cách áp dụng (3.34) với x, y, z góc tam giác nhọn ABC ý A + B + C = π , ta thiết lập toán bất đẳng thức lượng giác tam giác sau: Chứng minh tam giác nhọn ABC ta có: √ 3 A B C √ tan + tan + tan 2 tan A + tan B + tan C 65 Dấu xảy tam giác ABC Qua toán trên, ta thấy việc chọn hàm f (x) thích hợp tối quan trọng để ta sáng tạo toán bất đẳng thức Bằng phương pháp này, ta thiết lập số tốn sau: Ví dụ 3.33 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y +z = Chứng minh rằng: x z y +√ +√ y+z x+y x+z Ví dụ 3.34 Cho số dương a, b, c thõa mãn a2018 + b2018 + c2018 = Tìm giá trị lớn biểu thức T = a2 + b2 + c2 √ Ví dụ 3.35 Chứng minh với số thực dương a, b thỏa mãn a + b = ta ln có bất đẳng thức sau: xa y b xa + yb, ∀x, y > Ví dụ 3.36 Cho số thực dương a, b số nguyên n Chứng minh a n b n 1+ + 1+ 2n+1 b a Đẳng thức xảy nào? Ví dụ 3.37 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 a(1 + b − c) + b(1 + c − a) + c(1 + a − b) Ví dụ 3.38 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 10(a3 + b3 + c3 ) − 9(a5 + b5 + c5 ) Ví dụ 3.39 Cho số thực dương a, b, c > Chứng minh a+b+c a b c (a + b + c) (b + c) (c + a) (a + b) Ví dụ 3.40 Chứng minh với tam giác ABC ta có: 1 + + 12 2A 2B 2C sin sin sin 2 66 Ví dụ 3.41 Chứng minh với tam giác ABC nhọn ta có: π sin A2 + B + C π A sin √ A + B sin √ B + C sin √ C 67 KẾT LUẬN Luận văn tổng quan làm rõ số vấn đề sau: Hệ thống hóa lại kiến thức giới hạn hàm số, tính liên tục, tính khả vi hàm số Khảo sát số ứng dụng Định lý Roll, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy để chứng minh phương trình có nghiệm, giải phương trình chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Hình thành số phương pháp sáng tạo toán dựa định lý giá trị trung bình Luận văn tài liệu bổ ích cho bạn học sinh, sinh viên tham khảo cho kì thi Olympic, quốc gia, quốc tế, đồng thời cung cấp tư liệu để học tìm hiểu định lý Định lý Roll, Định lý Lagrange, Định lý Cauchy dễ dàng Luận văn trình bày rõ ràng, sâu phân tích tốt nhằm giúp người đọc có nhìn tổng qt vấn đề nghiên cứu Tuy nhiên, hạn chế thân thời gian có hạn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận nhận xét góp ý chân thành từ quý thầy cô độc giả để đề tài hoàn thiện 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hải Châu (1995), Các thi chọn học sinh giỏi Tốn PTTH tồn quốc, NXB Giáo dục [2] Ngô Viết Diễn (2009), Phương pháp chọn lọc giải hàm số mũ logarit, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thỏa (2002), Tuyển tập 200 thi vô địch tốn - Giải tích, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh, Ngơ Xn Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xn Tình (2014), Bài tập Đại số Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo Dục [5] Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xn Liêm, Phạm Thị Bích Ngọc, Đồn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2009), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất Giáo Dục [6] Phan Huy Khải (2000), Tốn nâng cao Giải tích, NXB Hà Nội [7] Y.Y Liashko , A C Boiachuk, Ia.G Gai, P Golovak (1970), Giải tích Tốn học - Các ví dụ tập, Tập 1, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp [8] Nguyễn Xuân Liêm (1998), Giáo trình giải tích 1, Nhà xuất Giáo Dục [9] Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2010), Bài Tập Nâng Cao Và Một Số Chuyên Đề Đại Số Và Giải Tích 11, Nhà xuất Giáo Dục [10] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng (2005), Giải tích tốn học hàm số biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 69 [11] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo dục [12] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi Olympic tốn sinh viên tồn quốc, NXB Giáo dục [13] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2009), Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo dục [14] Lê Văn Trực (2007), Giải tích Tốn học - Tập 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [15] Trịnh Khắc Tuấn (2015), Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT mơn Tốn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ... khả vi hàm số biến - Các định lý giá trị trung bình - Các phương pháp giải dạng toán áp dụng định lý giá trị trung bình - Các phương pháp sáng tạo toán áp dụng định lý giá trị trung bình Phạm... toán cách áp dụng định lý giá trị trung bình, tơi định chọn đề tài : ? ?Áp dụng định lý giá trị trung bình để giải sáng tạo số toán sơ cấp? ?? cho luận văn thạc sĩ Luận văn tập trung vào việc hệ thống... x3 )2 42 CHƯƠNG SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN DỰA TRÊN CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Trong chương này, luận văn trình bày số phương pháp để sáng tạo toán dựa định lý giá trị trung bình Trong chương