Phương pháp giải và sáng tạo một số đề toán về bất phương trình

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN =====***===== TRẦN THỊ QUÝ PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO MỘT SỐ ĐỀ TOÁN VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS Phạm Lƣơng Bằng HÀ NỘI - 2015 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tổ Đại số, đặc biệt thầy giáo - thạc sĩ Phạm Lƣơng Bằng tận tình hƣớng dẫn bảo cho em suốt trình nghiên cứu đề tài Mặc dù có nhiều cố gắng suốt trình làm đề tài nhƣng tránh khỏi thiếu xót, em mong nhận đƣợc góp ý thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em đƣợc đầy đủ hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực Trần Thị Quý Trần Thị Quý K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận nỗ lực thân, giúp đỡ bảo tận tình thầy Phạm Lƣơng Bằng Bản khóa luận không trùng kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực Trần Thị Quý Trần Thị Quý K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Chƣơng LÝ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Khái niệm bất phƣơng trình 1.2 Tập xác định bất phƣơng trình 1.3 Tập nghiệm bất phƣơng trình 1.4 Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng 1.5 Phép biến đổi tƣơng đƣơng 1.6 Phân loại bất phƣơng trình Chƣơng CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình bất phƣơng trình hàm 2.2 Một số phép đặt ẩn phụ giải bất phƣơng trình 2.3 Phƣơng pháp hàm liên tục 14 2.4 Phƣơng pháp sử dụng định lý Lagrange 17 2.5 Phƣơng pháp phân khoảng tập xác định 18 2.6 Sử dụng phƣơng pháp hình học 21 2.7 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng 22 2.8 Phƣơng pháp chiều biến thiên hàm số 30 2.9 Phƣơng pháp đồ thị 33 2.10 Phƣơng pháp điều kiện cần đủ 36 2.11 Phƣơng pháp tham biến 38 2.12 Phƣơng pháp hàm lồi 39 Trần Thị Quý K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chƣơng SÁNG TẠO MỘT SỐ ĐỀ TOÁN VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH 44 3.1 Sáng tạo số toán sử dụng phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình bất phƣơng trình hàm 44 3.2 Sáng tạo số toán sử dụng phƣơng pháp hình học 46 3.3 Sáng tạo toán sử dụng định lý Lagrange 48 3.4 Sáng tạo toán sử dụng phƣơng pháp hàm liên tục 49 3.5 Sáng tạo toán nhờ ứng dụng hàm lồi 52 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Trần Thị Quý K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Nhƣ biết bất phƣơng trình có nhiều dạng phƣơng pháp giải khác thƣờng gặp kỳ thi giỏi toán nhƣ kỳ thi tuyển sinh Đại học Ngƣời giáo viên nắm đƣợc dạng bất phƣơng trình cách giải chúng để hƣớng dẫn học sinh cần phải biết cách xây dựng nên đề toán để làm tài liệu cho việc giảng dạy Phần đƣa số phƣơng pháp giải sáng tác đề toán bất phƣơng trình Qua phƣơng pháp sáng tác ta rút đƣợc phƣơng pháp giải tự nhiên cho dạng bất phƣơng trình tƣơng ứng Là giáo viên phổ thông tƣơng lai, em mong muốn đào sâu phƣơng pháp giải bất phƣơng trình sáng tác số đề toán bất phƣơng trình Chính lí với góp ý, động viên tận tình giúp đỡ thầy cô, đặc biệt thầy Phạm Lƣơng Bằng với say mê thân, em mạnh dạn nghiên cứu thực khóa luận với đề tài: “Phương pháp giải sáng tạo đề toán bất phương trình” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phƣơng pháp giải sáng tác đề toán bất phƣơng trình Từ giúp học sinh nhận dạng lựa chọn phƣơng pháp giải phù hợp Đối tƣợng nghiên cứu Một số tập bất phƣơng trình Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, quan sát, điều tra, tổng kết kinh nghiệm Trần Thị Quý K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chƣơng LÝ THUYẾT CƠ SỞ 1.1 Khái niệm bất phƣơng trình Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) có tập xác định lần lƣợt Df Dg Đặt D = Df  Dg Bất phƣơng trình kí hiệu hàm mệnh đề: “f(x) > g(x)” “f(x) < g(x)” xác định tập xác định chung D 1.2 Tập xác định bất phƣơng trình Giao hai tập xác định hàm số f(x) g(x): D = Df  Dg tập xác định bất phƣơng trình 1.3 Tập nghiệm bất phƣơng trình Tập nghiệm bất phƣơng trình: N  D = Df  Dg Giải bất phƣơng trình tìm N = { c  D: f(c) > g(c) mệnh đề đúng} 1.4 Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng Hai bất phƣơng trình ( ẩn) đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm Nếu f1(x) < g1(x) tƣơng đƣơng với f2(x) < g2(x) ta viết: f1(x) < g1(x) f2(x) < g2(x) 1.5 Phép biến đổi tƣơng đƣơng Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm bất phƣơng trình Ta gọi chúng phép biến đổi tƣơng đƣơng Phép biến đổi tƣơng đƣơng biến bất phƣơng trình thành bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 1.6 Phân loại bất phƣơng trình Các bất phƣơng trình ẩn chuyển dạng tƣơng đƣơng f(x) > f(x)  Khi phân loại bất phƣơng trình đƣợc quy phân loại hàm f(x): Trần Thị Quý K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Các bất phƣơng trình đại số bậc k bất phƣơng trình f(x) đa thức bậc k Các bất phƣơng trình vô tỷ bất phƣơng trình có chứa phép khai Các bất phƣơng trình mũ bất phƣơng trình có chứa hàm mũ Các bất phƣơng trình logarit bất phƣơng trình có chứa hàm logarit (chứa biến dấu logarit ) Trần Thị Quý K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chƣơng CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình bất phƣơng trình hàm 2.1.1 Phương pháp giải Dựa vào kết quả: Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu ( giả sử tăng) khoảng (a; b) x; y (a; b) thì: f(x) > f(y)  x > y Ta sáng tác giải đƣợc nhiều bất phƣơng trình hay khó, thƣờng gặp kì thi học sinh giỏi Để vận dụng đƣợc phƣơng pháp ta thƣờng biến đổi bất phƣơng trình cho thành bất phƣơng trình hàm f((x)) > f((x)), f hàm đơn điệu Từ dẫn đến bất phƣơng trình đơn giản (x) > (x) Để giải đƣợc toán phƣơng pháp kiến thức hàm số nhƣ đạo hàm, xét biến thiên kĩ đoán nghiệm quan trọng Một số trƣờng hợp đặc biệt thƣờng gặp: Hƣớng 1: Thực theo bƣớc: Bước 1: Chuyển bất phƣơng trình dạng: f(x)>k (1) Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét: - Với x  x0  f(x)  f(x0) = k, bất phƣơng trình vô nghiệm - Với x > x0  f(x) > f(x0) = k, bất phƣơng trình nghiệm Vậy nghiệm bất phƣơng trình x > x0 Hƣớng 2: Thực theo bƣớc: Bước 1: Chuyển bất phƣơng trình dạng: f(u) < f(v) (2) Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Trần Thị Quý K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó: (2)  u < v 2.1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình |2x-1| (x2-x+1) > x3-6x2+15x-14 (1) Lời giải: Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng: |2x-1| [(2x-1)2+3] > (x-2)3+3x-6 3  |2x-1| +3 |2x-1| > (x-2) +3(x-2) (2) Xét hàm số f(x) = t3 +3t hàm đồng biến Khi đó: (2)  f(|2x-1|) > f(x-2)  |2x-1| > x-2 x>-1   x 3-x - x-1 (1) Lời giải: Điều kiện: 3-x   x-1   1 x Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng: x2-2x+3 + x-1 >  3-x + x2-6x+11 (x-1)2+2 + x-1 > 3-x + (3-x)2+2 Xét hàm số y = f(t) = (2) t+2 + t , t [1;3] Ta có: f'(t) = 1 + > 0, t [1;3] t+2 t Do hàm số đồng biến [1;3] Trần Thị Quý K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Ta có: x f'(x) = cos + 2 2cos2 x x x sin 2 x x  f''(x) = - sin + = (2-cos3 ) > 0; x (0;  ) x x 2cos3 4cos3 2 sin Vậy f(x) hàm lồi (0;  ) Theo hệ tính chất 1, ta có: f( A+B+C )  ( f(A)+f(B)+f(C) ) 3 f( A A B B C C  )  ( sin + tan + sin + tan + sin + tan ) 3 2 2 2  3( sin  sin A B C A B C   + tan )  sin + sin + sin + tan + tan + tan 6 2 2 2 A B C A B C + sin + sin + tan + tan + tan  2 2 2 3+ Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Trần Thị Quý 43 K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chƣơng SÁNG TẠO MỘT SỐ ĐỀ TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 3.1 Sáng tạo số toán sử dụng phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình bất phƣơng trình hàm Ví dụ 3.1.1: (Xuất phát từ phƣơng pháp giải bất phƣơng trình ví dụ trang 6) Xét hàm số đồng biến R f(t) = t3 +3t Từ phƣơng trình hàm f (|2x-1|) > f(x-2), ta có: |2x-1|3 + |2x-1|> (x-2)3 + 3(x-2)  |2x-1| [ (2x-1)2+3] > (x-2)3+3x-6  |2x-1| (x2-x+1) > x3-6x2+15x-14 Ta có toán sau: Bài toán 3.1.1: Giải bất phƣơng trình: |2x-1| (x2-x+1) > x3-6x2+15x-14 Lời giải: Tƣơng tự ví dụ trang Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng: |2x-1| [(2x-1)2+3] > (x-2)3+3x-6 3  |2x-1| +3 |2x-1| > (x-2) +3(x-2) (2) Xét hàm số f(x) = t3 +3t hàm đồng biến Khi đó: (2)  f(|2x-1|) > f(x-2)  |2x-1| > x-2 2 x   x    2 x    x  x>-1   x f(3-x), ta có: Trần Thị Quý 44 K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp (x-1)2+2 + x-1 > (3-x)2+2 + 3-x  x2-2x+3 + x-1 >  x2-2x+3 - x2-6x+11 > 3-x - x-1 x2-6x+11 + 3-x Ta có toán sau: Bài toán 3.1.2: Giải bất phƣơng trình: x2-2x+3 - x2-6x+11 > 3-x - x-1 Lời giải: Tƣơng tự trang 3-x   x-1  Điều kiện:  1 x Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng: x2-2x+3 + x-1 > 3-x + x2-6x+11 (x-1)2+2 + x-1 > 3-x + (3-x)2+2  Xét hàm số y = f(t) = (2) t+2 + t , t [1;3] Ta có: f'(t) = 1 + > 0, t [1;3] t+2 t Do hàm số đồng biến [1;3] Khi (2) đƣợc biến đổi nhƣ sau: f(x-1) > f(3-x)  x-1>3-x  x>2 Vậy nghiệm bất phƣơng trình 2[...]... chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một bất phƣơng trình với một ẩn phụ - Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một bất phƣơng trình với một ẩn phụ nhƣng các hệ số vẫn còn chứa x - Dùng 2 ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một bất phƣơng trình 2 ẩn phụ và khéo léo biến đổi bất phƣơng trình thành bất phƣơng trình tích - Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa... x  2 2 x -5x+4=0   x=4 Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là x=4 2.2.3 Một số phép đặt ẩn phụ khác - Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình mũ hoặc bất phƣơng trình logarit về bất phƣơng trình đại số quen biết đặc biệt là các bất phƣơng trình bậc hai Chẳng hạn: Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình 2512x x  912x x  34.152x x 2 2 2 (1) Lời giải: (1)  25.252x x  9.92x x  34.(3.5)2x x 2 2 2 ... lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một số c  (a; b) sao cho: f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) Sau đây ta sẽ trình bày một vài dạng bất phƣơng trình đƣợc giải bằng cách vận dụng định lý trên Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình: x2-4 3 + (x2-4) 3x-2  1 Lời giải: Xét hàm số f(x)= 3x xác định và liên tục trên R, có f(0) = 1 và f'(x) = 3x ln3, x... chứa căn thức thành một hệ bất phƣơng trình với 2 ẩn phụ - Dùng ẩn phụ chuyển bất phƣơng trình chứa căn thức thành một hệ bất phƣơng trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x Chẳng hạn: Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình x+ Trần Thị Quý 2x >3 5 x2-4 8 K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời giải: x 0  x>2  |x| > 2  Trƣờng hợp 1: Với x < -2 Ta thấy VT < 0; VP > 0  Bất phƣơng trình vô nghiệm Trƣờng... = 1, bất phƣơng trình nghiệm đúng  Với x < 1, bất phƣơng trình có dạng: (2-x) + (3-x)  2 (4-x)  2-x - 4-x  4-x - 3-x Ta thấy VT0 với x0  x2-2x  (1-x)2  1-x   x  1 x  0 x  2      x2 x1 nên dấu của bất phƣơng 4 trình không đổi chiều VD3: Giải bất. .. Giải bất phƣơng trình logx(5x2-8x+3) > 2 (1) Lời giải: Bất phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với: x>1  2 2 5x -8x+3>x    0 ... Chƣơng SÁNG TẠO MỘT SỐ ĐỀ TOÁN VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH 44 3.1 Sáng tạo số toán sử dụng phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình bất phƣơng trình hàm 44 3.2 Sáng tạo số toán sử dụng phƣơng pháp. .. Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Trần Thị Quý 43 K37C - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chƣơng SÁNG TẠO MỘT SỐ ĐỀ TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 3.1 Sáng tạo số toán sử dụng phƣơng pháp đƣa bất phƣơng trình. .. pháp giải sáng tạo đề toán bất phương trình Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phƣơng pháp giải sáng tác đề toán bất phƣơng trình Từ giúp học sinh nhận dạng lựa chọn phƣơng pháp giải phù