Phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

0 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN CHIẾN THẮNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN CHIẾN THẮNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Ngọc Châu Các tài liệu tham khảo luận văn được trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm Tác giả Nguyễn Chiến Thắng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 1.1.1 Tính chất hàm số biến 1.1.2 Định lý Rolle Định lý Lagrange 1.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1.2.1 Bất đẳng thức AM – GM 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiakowski 1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 1.2.4 Bất đẳng thức Minkowski 1.2.5 Bất đẳng thức Vectơ 1.3 ĐỊNH LÝ VIÈTE 1.3.1 Định lý Viète thuận 1.3.2 Định lý Viète đảo CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ 2.1 PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 2.1.1 Phƣơng pháp nâng lên lũy thừa 2.1.2 Phƣơng pháp sử dụng lƣợng liên hợp 16 2.2 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 21 2.2.1 Đƣa phƣơng trình vơ tỉ phƣơng trình ẩn phụ 24 2.2.2 Đƣa phƣơng trình vơ tỉ phƣơng trình, hệ phƣơng trình nhiều ẩn phụ 31 2.2.3 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 36 2.3 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 37 2.4 PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ 39 2.5 PHƢƠNG PHÁP VECTƠ 42 2.6 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ LAGRANGE, ĐỊNH LÝ ROLLE 44 2.6.1 Sử dụng định lý Lagrange 44 2.6.2 Sử dụng định lý Rolle 46 2.7 PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 48 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 51 3.1 PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 51 3.1.1 Bất phƣơng trình 51 3.1.2 Bất phƣơng trình đƣa đƣợc dạng 52 3.2 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 56 3.2.1 Đƣa bất phƣơng trình bất phƣơng trình ẩn phụ 56 3.2.2 Đƣa bất phƣơng trình hệ phƣơng trình ẩn hai ẩn phụ59 3.3 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 62 3.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 62 3.3.2 Sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 63 3.4 PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ 66 3.5 PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 69 CHƢƠNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY 72 4.1 GIỚI THIỆU VỀ MÁY TÍNH CẦM TAY VINACAL 570ES PLUS II 72 4.2 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY 76 KẾT LUẬN 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chƣơng trình tốn bậc phổ thơng phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình hệ bất phƣơng trình chủ đề quan trọng, chứa nhiều dạng tốn hay khó Có nhiều phƣơng pháp giải phƣơng trình bất phƣơng trình mà chƣa đƣợc giới thiệu đầy đủ sách giáo khoa Việc tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình nói chung phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỉ nói riêng việc làm cần thiết có ý nghĩa ngƣời dạy tốn Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, chọn đề tài “Phƣơng pháp giải phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỉ” cho luận văn Thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu cách tổng quan phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỉ - Nghiên cứu phƣơng pháp giải phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỉ - Xây dựng quy trình định hƣớng cho phƣơng pháp giải ví dụ minh họa - Nghiên cứu trợ giúp máy tính cầm tay vào việc giải phƣơng trình vơ tỉ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Các tốn phƣơng trình bất phƣơng vơ tỉ thuộc chƣơng trình phổ thơng, phƣơng pháp giải cho lớp phƣơng trình bất phƣơng trình vô tỉ tƣơng ứng - Các chức máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS hỗ trợ cho việc giải phƣơng trình vơ tỉ Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến ngƣời hƣớng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn đƣợc chia thành bốn chƣơng Chƣơng Các kiến thức chuẩn bị Chƣơng Phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỉ Chƣơng Phƣơng pháp giải bất phƣơng trình vơ tỉ Chƣơng Giải phƣơng trình vơ tỉ với trợ giúp máy tính cầm tay CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chƣơng trình bày sơ lƣợc số tính chất, kết hàm số biến bất đẳng thức quen biết nhằm làm tiền đề cho chƣơng sau Các chi tiết liên quan tìm xem [7], [10] 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 1.1.1 Tính chất hàm số biến Tính chất 1.1 Nếu y  f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì: y  y  f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến, f ( x)  n số chẵn n nghịch biến (hoặc đồng biến), f ( x)  f ( x) y   f ( x) nghịch biến (hoặc đồng biến) Tính chất 1.2 Nếu f ( x) g ( x) hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D f ( x)  g  x  hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D  f ( x)  f ( y )  x  y Tính chất 1.3 Nếu hàm f (t ) đồng biến D,   f ( x)  f ( y)  x  y  f ( x)  f ( y )  x  y Nếu hàm f (t ) nghịch biến D,  , x, y  D f ( x )  f ( y )  x  y  Tính chất 1.4 Nếu f (t ) hàm xác định liên tục đoạn  a; b phương trình f ( x)  m có nghiệm thuộc  a; b khi: f ( x)  m  max f ( x) xD xD Tính chất 1.5 Nếu hàm số f ( x) liên tục đơn điệu số nghiệm phương trình f ( x)  k , k   a; b   a; b  không nhiều f ( x)  f ( y)  x  y Tính chất 1.6 Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đồng biến ( nghịch biến); hàm số y  g ( x) liên tục nghịch biến (hoặc đồng biến) D số nghiệm D phương trình: f ( x)  g ( x) không nhiều 1.1.2 Định lý Rolle Định lý Lagrange Định lý Rolle: Nếu f(x) hàm liên tục  a; b , có đạo hàm khoảng  a; b  f  a   f  b  , tồn c   a; b  cho f ' c   Hệ Nếu f(x) hàm liên tục  a; b , có đạo hàm khoảng  a; b  phương trình f ( x)  có m nghiệm phương trình f '( x)  có m  nghiệm Hệ Cho hàm số y  f ( x) liên tục  a; b có đạo hàm liên tục đến cấp k khoảng  a; b  Nếu phương trình f ( k ) ( x)  có m nghiệm phương trình f ( k 1) ( x)  có nhiều m  nghiệm Định lý Lagrange: Nếu f(x) hàm liên tục đoạn  a; b , có đạo hàm khoảng  a; b  tồn c   a; b  cho f '  c   f  a   f b  a b 1.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1.2.1 Bất đẳng thức AM – GM Với n số khơng âm bất kì: a1, a2 , , an ,  n   , ta có: a1  a2   an  n n a1a2 an Đẳng thức xảy a1  a2   an Chú ý Bất đẳng thức AM – GM cịn đƣợc viết dƣới dạng sau:  a  a   an  a1a2 an    n   n 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiakowski Với hai số thực  a1, a2 , , an   b1, b2 , , bn  Khi đó, ta có:  a b  a b   anbn  11 2   a12  a22   an2  b12  b22   bn2  a1 a a    n (Ở ta quy b1 b2 bn Đẳng thức xảy ước mẫu tử 0) 1.2.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với hai số thực  a1, a2 , , an   b1, b2 , , bn  , bi  0, i  1,2, , n Khi đó, ta có:  a1  a2   an  a12 a22 an2     b1 b2 bn b1  b2   bn a1 a a    n b1 b2 bn Đẳng thức xảy Hệ - Với số thực  a1, a2 , , an  , ta có: a  a   a 2 n   a1  a2   an  n - Với n số thực dƣơng tùy ý x1, x2 , , xn , ta có: 1 n2     x1 x2 xn x1  x2   xn 1.2.4 Bất đẳng thức Minkowski Với hai số thực  a1, a2 , , an   b1, b2 , , bn  , ta có: a12  a22   an2  b12  b22   bn2   a1  b1    a2  b2  2    an  bn  73 Sau số chức máy tính VINACAL 570ES PLUS II thƣờng đƣợc dùng để hỗ trợ cho việc giải phƣơng trình vơ tỉ Chức CALC: Cho phép ta tính giá trị hàm số f  x  điểm thuộc miền xác định D f  x  Để sử dụng chức ta thực nhƣ sau: Bước 1: Nhập hàm f  x  vào máy Bước 2: Bấm lần lƣợt phím [CALC] + [ x0 ] + [=], với x0  D , ta đƣợc giá trị f  x0  Chức TABLE: Cho phép nhận biết đƣợc khoảng chứa nghiệm phƣơng trình (nếu phƣơng trình có nghiệm) lập bảng giá trị hàm số (suy đƣợc từ phƣơng trình), từ giúp ta đốn nhận đƣợc tính đơn điệu hàm số Để sử dụng chức ta thực nhƣ sau: Bước 1: Giả sử phƣơng trình cho có dạng g  x   h  x  , với tập xác định  a; b Ta biến đổi dạng f  x   g  x   h  x  , xem f hàm số xác định đoạn  a; b Bước 2: Bấm lần lƣợt phím [MODE] + [7] để vào thực đơn Bước 3: Nhập hàm f  x  vào máy lần lƣợt bấm [=] + [=] + [a] + [b] + [c] + [=], với c bƣớc nhảy (khoảng cách hai biến) Từ ta đƣợc dãy giá trị tăng dần biến x, với dãy giá trị tƣơng ứng hàm f  x  hiển thị hình máy tính Bước 4: Đốn nhận tính đơn điệu khoảng chứa nghiệm phƣơng trình Chức SOLVE: Cho phép nhận biết phƣơng trình có nghiệm hay khơng Để sử dụng chức ta cần thực nhƣ sau: Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm (nếu có) phƣơng trình 74 Bước 2: Nhập phƣơng trình cần giải vào máy Bước 3: Thực bấm lần lƣợt phím [SHIFT] + [CALC] + [CONST] + [=], với CONST số thuộc khoảng chứa nghiệm, CONST = khơng tìm đƣợc khoảng chứa nghiệm Khi máy tính nghiệm (nếu có) cho biết phƣơng trình vơ nghiệm Ví dụ 4.1 Tính giá trị hàm số: f  x    x  x3  8 x   x4  , x  1; x2 5 3; 2; 2,5 Giải: Bước 1: Nhập vào máy biểu thức: x  x  8 x4  x 2 x2 5 Bước 2: Bấm [CALC]+[ x0 ]+[=] Với x0 lần lƣợt số: 1; 3; 2; 2,5 Kết thu đƣợc là: f 1  8,328101468 f    25,99411065 f  2  168   59,42663039 f  2,5  179,9005167 Ví dụ 4.2 Tìm x3  x  x  x   khoảng xét chứa nghiệm tính đơn f  x   x3  x  x  x   đoạn  1;3 Giải: Miền xác định hàm số là: x  1 điệu phƣơng hàm trình số 75 Bước 1: Xét hàm số: f ( x)  x3  x  x  x    1;3 Bước 2: Bấm lần lƣợt phím [MODE] + [7] Bước 3: Nhập hàm f ( x)  x3  x  x  x   vào máy Bấm: [=]+[=]+[-1]+[3]+[0,5]+[=] Từ hình máy tính ta thấy x tăng f  x  tăng, đặc biệt f  x  đổi dấu đoạn  1   ;  , nghĩa phƣơng trình có nghiệm đoạn Từ kết bƣớc 3, ta đốn nhận hàm f  x  đơn điệu tăng  1;3 Để khẳng định hàm f  x  có đơn điệu tăng  1;3 hay không ta phải xét dấu f '  x   1;3 Ta có: f '  x   3x  x   4  x  1  1 2  3  x       0, x   1;3       x  1 Vậy hàm số f  x  đơn điệu tăng  1;3 Ví dụ 4.3 Tìm nghiệm phƣơng trình:  x3   x  1  x   x x  máy tính cầm tay 76 Giải: x f  x -3 -70.16 , xác định với x  -2 -35.04 Dùng chức TABLE ta thu đƣợc bảng -1 -16.63 nhƣ hình bên phải, từ ta có khoảng chứa -8.485 nghiệm 1;2  dự đoán hàm số f  x  -3.167 đơn điệu tăng với x  6.7568 27.736 Bước 1: Xét hàm số: f  x   x3   x  1  x   x x  Bước 2: Nhập phƣơng trình vào máy tính Bước 3: Bấm [SHIFT]+[CALC]+[2]+[=] Màn hình cho biết nghiệm phƣơng trình là: x  1,414213562  Xét hàm: f  x   x3   x  1  x   x x  , xác định x  Suy ra: f '  x   3x  2 x   x   2 x2 x 2  , x  , từ ta có f  x  hàm đơn điệu tăng x  Vậy x  nghiệm phƣơng trình 4.2 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY Từ chƣơng chƣơng 3, ta biết có nhiều phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỉ Vậy phƣơng trình vơ tỉ cụ thể phải chọn phƣơng pháp phù hợp Để trả lời câu hỏi này, ta nhờ trợ giúp máy tính cầm tay Cụ thể nhƣ sau: 77 Với phƣơng trình vô tỉ g  x   h  x  xác định tập D  R Để chọn phƣơng pháp giải, ta dùng máy tính để kiểm tra nghiệm, khoảng chứa nghiệm xét tính đơn điệu hàm số f  x   g  x   h  x  Khi xảy trƣờng hợp sau: Trƣờng hợp 1: Nếu phƣơng trình vơ nghiệm ta sử dụng phƣơng pháp đánh giá phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng để chứng minh phƣơng trình vơ nghiệm Trƣờng hợp 2: Nếu biết nghiệm phƣơng trình, ta xét tính đơn điệu hàm số f  x  tập D, đó: - Nếu f  x  hàm đơn điệu ta dùng phƣơng pháp hàm số - Nếu f  x  không đơn điệu ta dùng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng để đƣa phƣơng trình phƣơng trình tích áp dụng phƣơng pháp điều kiện cần đủ để chứng minh phƣơng trình có nghiệm Trƣờng hợp 3: Nếu biết nhiều nghiệm phƣơng trình, đó: - Dùng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng đƣa phƣơng trình phƣơng trình tích, - Áp dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ, - Dùng phƣơng pháp Định lý Lagrange Ví dụ 4.4 Giải phƣơng trình: 3x   x   x  12 1  x   32 x  Phân tích: - Điều kiện phương trình :  x  - Dùng chức TABLE máy tính cầm tay ta thu bảng sau: 78 Bấm [MODE]+[7] ta đƣợc chức TABLE x f  x Nhập -2.272 0.2 -1.529 0.4 -1.087 0.6 -0.73 0.8 -0.445 -0.25 hàm: f  x  3x   x   x  12 1  x   3 x Vì điều kiện :  x  bấm: [=]+[=]+[0]+[1]+[0,2]+[=], ta đƣợc bảng bên phải Qua bảng ta có nhận xét sau: - Dự đoán hàm số đơn điệu tăng  0;1 - Không tồn tài khoảng chứa nghiệm f(x) không đổi dấu - Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay: - Nhập phƣơng trình cho vào máy tính - Bấm lần lƣợt phím [SHIFT] + [CALC] + [0] + [=], hình bên phải cho ta biết phƣơng trình cho vơ nghiệm - Từ phân tích ta dùng phương pháp đánh giá để giải phương trình Giải: Điều kiện  x  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  3x   x       x  2 x    3x   x   Do vế trái phƣơng trình   3x    x   x  3x   x  x3   x  12 x  12 79 Ta lại có vế phải  1  x   3 x  1  x   22 x 1   , 2 ln x  0;1 Vậy phƣơng trình cho vơ nghiệm Ví dụ 4.5 Giải phƣơng trình: x3  x   x   3x   (1)  Phân tích: - Điều kiện phương trình : x  2 - Dùng chức TABLE máy tính cầm tay ta thu bảng sau: Bấm [MODE]+[7] ta đƣợc chức TABLE Nhập hàm: f  x   x3  x   x   3x  Vì điều kiện : x  2 nên ta bấm: [=]+[=]+[-2]+[5]+[0,5]+[=], ta đƣợc bảng bên phải Qua bảng ta có nhận xét sau: - Phƣơng trình có nghiệm nằm khoảng  0,5; 1 - Dự đoán hàm số đơn điệu tăng - Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay: - Nhập phƣơng trình cho vào máy tính - Bấm lần lƣợt phím [SHIFT] + [CALC] + [0,6] + [=], ta thu đƣợc hình nhƣ bên cạnh - Từ ta biết nghiệm: x  0.618033988 phƣơng trình - x f  x -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 -14 -18.29 -10 -3.688 -2 -1.168 10.588 54.39 162 376.99 755.85 1368.9 2301.5 3654.4 5545.2 80 - Dùng chức CALC máy tính cầm tay: - Nhập vào máy biểu thức x2 - Bấm [CALC]+[ 0.618033988 ]+[=], ta thu đƣợc hình bên: - Từ chức CALC, ta thay giá trị x  0.618033988 vào biểu thức x  ta được: x   1.618033988  1  x  0.618033988 x - Từ phân tích ta dùng phương pháp hàm số để giải phương trình Giải: Điều kiện x  2 Phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với: x3  x   x   3x  (2) Nhận thấy x  nghiệm (2), nên ta chia hai vế phƣơng trình  2x  7 x2  (2) cho x3 Khi đó, (2) tƣơng đƣơng với:  x x3   x   3 x    x3 x   x  2 x   x      x2 3 x2   x3 x  x3 x Xét hàm số: f  t   2t  3t , với t  Ta có: f '  t   6t   0, t  , nên f  t  hàm đống biến t  Do từ (3) ta có: f   1 x2  f    x (3) 81  x2   x x  1  x  x    x  1  x  x  1  1  thỏa mãn điều kiện phƣơng trình 1  Vậy phƣơng trình có nghiệm x   x Ví dụ 4.6 [13] Giải phƣơng trình: x2  x   x2  x   x  1   x2 2  Phân tích: - Điều kiệncủa phương trình: x  2 - Sử dụng chức TABLE máy tính cầm tay ta thu bảng sau: Bấm [MODE)]+[7] ta đƣợc chức x f  x TABLE -2 -2,727 -1.5 -1.707 -1 -1.5 -0.5 -1.671 -2.08 0.5 -2.371 -1.964 1.5 -0.899 2.5 0.34 0.2223 3.5 -0.189 -0.792 4.5 -1.531 -2.374 Xét hàm: f  x  x  2x    x  1 x2  x   x2 2  Vì điều kiện : x  2 nên ta bấm: [=]+[=]+[-2]+[5]+[0,5]+[=], ta đƣợc bảng bên phải Qua bảng ta có nhận xét sau: - Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm x  , nghiệm nằm  3; 3,5 - Hàm số không đơn điệu D nhƣng cho phép ta dự đoáng hàm số đơn điệu tăng 1   ;   2  82 - Dùng chức SOLVE máy tính cầm tay: - Nhập phƣơng trình cho vào máy tính - Bấm lần lƣợt phím [SHIFT] + [CALC] + [3,2] + [=], ta thu đƣợc hình nhƣ bên cạnh - Từ ta biết thêm nghiệm: x  3.302775638 phƣơng trình - Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1  x2  3.302775638 , - Dùng chức CALC máy tính cầm tay: x2 - Nhập vào máy biểu thức - Bấm [CALC]+[ 3.302775638 ]+[=], ta thu đƣợc hình bên: - Từ chức CALC, ta thay giá trị x2  3.302775638 vào biểu thức x  ta được: x   2.302775638  x   x2   13 - Với x1  thì:     x2 2 x22  x2 0  x      0 x        x22   x   x     x  x     x   x    - Từ phân tích ta dùng phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình này: Giải: Điều kiện: x  2 Ta có:  x2  x   x2  x   x  2 x   x  2x   x  1   x2 2  x2    x2 2   x  1  83  x4 x 1     x  x  x       x  2   x  4    x  2   x  2  x  4  x     x  1  x  x  3 x  x  3  x22   x   x3  x  x  5  Ta thấy x  nghiệm thỏa mãn điều kiện phƣơng trình Xét phƣơng trình:  x  4 x   x3  x  x   (1)  Phân tích: - Từ phân tích phần trước ta biết phương trình (1) có nghiệm là: x   13 hàm f  x    x   x   x3  x  x  có khả 1  đơn điệu  ;   nên ta sử dụng phương pháp hàm số để giải 2  phương trình (1) - Cũng từ phân tích phần trước nghiệm  x  13  x2 , x   x  Phương trình (1) tương đương:  x   2 x   x3  x  x    Bằng phương pháp đồng thức ta có: a  x  1  b  x  1  c  x  1  a  x2  b  x2  c  dễ dàng tìm a  1, b  2, c  Khi phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng:  x  1   x  1   x  1  Xét hàm:  x2  2  x2  2  x2  (2) 84 f (t )  t  2t  2t , với t  , ta có: f '  t   3t  4t   0, t  0;   Do f (t ) hàm đồng biến liên tục 0;  Đồng thời từ (2) ta có: f  x  1  f  x 1   x   x2   x  12  x  x2    x   13 thỏa mãn điều kiện phƣơng trình    13   Vậy, tập nghiệm phƣơng trình là: T  2;      85 KẾT LUẬN Luận văn “Phƣơng pháp giải phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỉ” đạt đƣợc mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực đƣợc vấn đề sau: Tìm hiểu trình bày số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỉ, bất phƣơng trình vơ tỉ Đối với phƣơng pháp có phân tích định hƣớng cách giải rõ ràng, đồng thời cho nhiều ví dụ minh họa cho phƣơng pháp Giới thiệu máy tính cầm tay VINACAL 570ES PLUS II, dịng máy tính đƣợc Bộ GD&ĐT cho phép học sinh mang vào phịng thi Trình bày số chức dịng máy tính này, mà hỗ trợ cho việc giải phƣơng trình vơ tỉ, kèm theo ví dụ minh họa Trong thời gian tới, nội dung luận văn cịn đƣợc tiếp tục hồn thiện mở rộng nữa, nhằm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, nhƣ cho quan đến việc giải phƣơng trình bất phƣơng trình vơ tỉ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tn – Lê Đình Mẫn – Ngơ Hồng Tồn (2012), Phương trình vơ tỉ, phương pháp tư & suy luận, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Trần Lƣu Cƣờng – Huỳnh Công Thái – Hồ Thành Lợi (2013), Phương trình & bất phương trình chứa – hệ phương trình, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Lê Hồng Đức (chủ biên) – Đào Thiện Khải – Lê Bính Ngọc (2004), Phương pháp giải tốn đại số (tập 3), NXB Đại học sƣ phạm [4] Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc (2009), Phương pháp giải tốn hệ vơ tỉ, hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối, NXB Đại học sƣ phạm [5] Phan Huy Khải – Nguyễn Đạo Phƣơng (1999), Các phương pháp giải toán sơ cấp đại số 10, NXB Hà Nội [6] Trần Minh Quang (2015), Tuyển tập toán đại số, NXB Quốc Gia Hà Nội [7] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Trần Xuân Dung – Nguyễn Xuân Liên – Đặng Hùng Thắng (2012), Giải tích lớp 12 nâng cao, NXB Giáo Dục [8] Nguyễn Đức Tấn – Nguyễn Anh Hoàng – Trần Văn Hạnh – Nguyễn Đoàn Vũ (2008), Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bất đẳng thức, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [9] Trần Đình Thì (2008), Dùng hình học giải tích để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [10] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (1999), Tốn học cao cấp tập hai, phép tính giải tích hàm biến số, NXB Giáo Dục [11] Vũ Tuấn (Chủ biên) - Doãn Minh Cƣờng - Trần Minh Hạo - Đỗ Minh Hùng - Phạm Phu - Nguyễn Tiến Tài (2012), Bài tập đại số lớp 10, NXB Giáo Dục [12] Vinacal (2014), Hướng dẫn sử dụng máy tính khoa học VINACAL 570ES PLUS II [13] Http://vietnamnet.vn/vn/giao-duc/247985/de-thi-chinh-thuc-mon-toanthpt-quoc-gia-2015.html [14] Http://vietnamnet.vn/vn/giao-duc/247985/phuong-trinh-vo-ti-phuongphap-dat-an-phu.html ... Chƣơng Phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỉ Chƣơng Phƣơng pháp giải bất phƣơng trình vơ tỉ Chƣơng Giải phƣơng trình vơ tỉ với trợ giúp máy tính cầm tay CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chƣơng trình bày... trình vơ tỉ phƣơng trình, hệ phƣơng trình nhiều ẩn phụ  Quy trình giải: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa: Bước 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình cho phương trình, hệ phương trình. .. phụ) Bước 3: Giải phương trình, hệ phương trình nhiều ẩn phụ Bước 4: Thay trở lại tìm nghiệm phương trình ban đầu  Các phương trình, hệ phương trình nhiều ẩn phụ thường gặp - Phương trình hai ẩn