Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng

BỘ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI H C ĐÀ N NG LÊ THÚY AN PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA H C ĐƠ N ng - N m 2016 BỘ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI H C ĐÀ N NG LÊ THÚY AN PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngƠnh: Ph ng pháp Toán s cấp Mƣ số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA H C Ng ih ng d n khoa h c: TS PHẠM QUÝ MƯ I ĐƠ N ng - N m 2016 L I CAM ĐOAN Tơi cam đoan đơy cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Lê Thúy An MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phư ng pháp nghiên cứu ụ nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 H PH NG TRỊNH TUY N TÍNH 1.2 DẠNG MA TR N VÀ DẠNG VECT C A H PH NG TRÌNH TUY N TÍNH 1.3 CÁC PHÉP BI N Đ I T NG Đ NG VÀ M I LIÊN H V I CÁC PHÉP BI N Đ I S C P V HÀNG C A MA TR N 1.4 S T N TẠI (DUY NH T) NGHI M C A H PH NG TRỊNH TUY N TÍNH 1.5 MA TR N Đ I X NG, XÁC Đ NH D NG 15 1.6 C C TR C A HÀM NHI U BI N 19 1.6.1 Cực trị tự 19 1.6.2 Cực trị có điều kiện 22 1.6.3 Cực tiểu địa phư ng hàm lồi tập lồi 23 1.7 C U, CUNG VÀ CÂN B NG TH TR NG 25 1.7.1 Lý thuyết cầu 25 1.7.2 Lý thuyết cung 27 1.7.3 Trạng thái cân thị trường 29 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 33 2.1 PH NG PHÁP CRAMER 33 2.1.1 C sở lý thuyết phư ng pháp Cramer 34 2.1.2 Các bư c giải hệ phư ng trình phư ng pháp Cramer 35 2.2 PH NG PHÁP GAUSS 38 2.2.1 C sở lý thuyết phư ng pháp Gauss 38 2.2.2 Các bư c giải hệ phư ng trình phư ng pháp Gauss 40 2.3 PH NG PHÁP NHÂN T LU 44 2.3.1 C sở lý thuyết phư ng pháp nhơn t LU 45 2.3.2 Phân rã ma trận A phư ng pháp Crout 49 2.3.3 Các bư c giải hệ phư ng trình phư ng pháp Crout 50 2.3.4 Phân rã ma trận A phư ng pháp Doolittle 52 2.3.5 Các bư c giải hệ phư ng trình phư ng pháp Doolittle 53 2.4 PH NG PHÁP CHOLESKY 56 2.4.1 C sở lý thuyết phư ng pháp Cholesky 56 2.4.2 Các bư c giải hệ phư ng trình phư ng pháp Cholesky 57 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 59 3.1 MỘT S BÀI TỐN TRONG KHƠNG GIAN VECT VÀ ÁNH XẠ TUY N TÍNH 59 3.1.1 Biểu thị tuyến tính, t hợp tuyến tính 59 3.1.2 Độc lập tuyến tính ậ Phụ thuộc tuyến tính 61 3.1.3 Tọa độ vect , ma trận đ i c sở 62 3.1.4 Cơng thức xác định ánh xạ tuyến tính 66 3.1.5 Ma trận biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính 68 3.2 MƠ HÌNH CÂN B NG TH TR NG 72 3.2.1 Thị trường lưu hành loại hàng hóa 72 3.2.2 Thị trường lưu hành nhiều loại hàng hóa 74 3.3 BÀI TOÁN T I U 78 3.3.1 Phát biểu toán 78 3.3.2 Điều kiện có nghiệm 79 KẾT LUẬN 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (b n sao) ◆❍Ú◆● ❑➑ ❍■➏❯ ❉Ò◆● ❚❘❖◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ R A AT A−1 A r(A) det(A) (|A|) α β Vn o Rn (u)S ([u]S ) PST Af (S,T ) Qd Qs p ∂f ∂x n ❤❛② f ′x d f (x) C2 ❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ▼❛ tr➟♥ A ❈❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ▼❛ tr➟♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝õ❛ A ▼❛ tr➟♥ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ A ❍↕♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ✣à♥❤ t❤ù❝ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ A ❱❡❝tì ❛❧♣❤❛ ❱❡❝tì ❜❡t❛ ❚ê♥❣ s✐❣♠❛ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❱ ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❧➔ ♥ ❱❡❝tì ❦❤ỉ♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì Rn ❚å❛ ✤ë ✈❡❝tì ✉ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝ì sð ❙ ▼❛ tr➟♥ ✤ê✐ ❝ì sð tø ❝ì sð ❙ s❛♥❣ ❝ì sð ❚ ▼❛ tr➟♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❢ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝➦♣ ❝ì sð ✭❙✱❚✮ ❍➔♠ sè ❝➛✉ ❍➔♠ sè ❝✉♥❣ ●✐→ ❝õ❛ ❤➔♥❣ ❤â❛ ✣↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ✶ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❢ t❤❡♦ ❜✐➳♥ x ❱✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ n ❝õ❛ ❤➔♠ sè f ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❧✐➯♥ tư❝ ✤➳♥ ❝➜♣ ❤❛✐ DANH MỤC CÁC HÌNH V Số hiệu hình v Tên hình v Trang 1.1 Đường cầu loại hàng hóa 26 1.2 Đường cung loại hàng hóa 28 1.3 Mơ hình cân cung cầu 30 1.4 Mơ hình điểu chỉnh thị trường 31 ✶ ▼Ð ✣❺❯ ✶✳ ❚➼♥❤ ❝➜♣ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ t♦→♥ ❤å❝✳ ❑❤✐ ♠æ ❤➻♥❤ ❤â❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳✱ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ①✉➜t ❤✐➺♥ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝♦♥ tr ộ ữợ t t ỡ ♥ú❛✱ ❦❤✐ rí✐ r↕❝ ❤â❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝ơ♥❣ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ❦➼❝❤ tữợ ợ é tổ ợ ữỡ tr t t t trữợ t ợ tữ ởt ố tữủ ự s õ ợ tữ ❝→❝❤ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư ❣✐↔✐ q✉②➳t ♥❤✐➲✉ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝ë♥❣ ✤↕✐ sè✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t❤➳✳ ▼➦❝ ❞ị ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ①✉➜t ❤✐➺♥ ❦❤→ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ t❤➜② ✤÷đ❝ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔♦ ✤í✐ sè♥❣ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❝❤✉②➸♥ ✤ë♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ t➾ ❧➺ ♣❤➙♥ ❝❤✐❛ ✤➲✉✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝â ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✈➟t ỵ õ s t t ✳ ❚ø ✤â ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ð ❝→❝ ❡♠ ❦➽ ♥➠♥❣ t➼♥❤ t♦→♥✱ sü tü t✐♥✱ ✤ë❝ ❧➟♣ s✉② ♥❣❤➽✱ ♣❤→t tr✐➸♥ t÷ ❞✉② ❧♦❣✐❝ ✈➔ s✉② ❧✉➟♥ t♦→♥ ❤å❝✳ ❍✐➺♥ ♥❛②✱ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ❆✶ ð ❤➺ ❝❛♦ ✤➥♥❣✱ ✤↕✐ ❤å❝ tr♦♥❣ ♣❤↕♠ ✈✐ ✹✺✲✻✵ t✐➳t ♥➯♥ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ❤❛✐ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤â ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈r❛♠❡r ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss✱ tø ✤â ❣✐ó♣ ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ❝õ♥❣ ❝è ❝→❝ ❦ÿ ♥➠♥❣ ✈➲ ✤à♥❤ t❤ù❝✱ ✈➲ ❤↕♥❣ ♠❛ tr➟♥✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ♠æ♥ ❤å❝ ♥➔② t❤➸ ❤✐➺♥ rã ♥❤➜t t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝ tì t t ỵ tt ữỡ tr t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ♥❤ú♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ♥❣➔♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤÷ ✣↕✐ sè✱ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ♣❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣❀ ◗✉② ❤♦↕❝❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♠➔ ❝á♥ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦❤→❝ ✈➔ ❝↔ tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t➳✳ ▲➔ ♠ët ❣✐↔♥❣ ✈✐➯♥ tr÷í♥❣ ❝❛♦ ✤➥♥❣✱ tỉ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ s➙✉ ❤ì♥ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❤➺ ữỡ tr t t ỗ ỡ s ỵ tt ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣✮ ♥❤➡♠ ♥➙♥❣ ❝❛♦ tr➻♥❤ ổ ữủ sỹ ữợ t ữợ tổ t Pữỡ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✑ ❝❤♦ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ◆➢♠ ữủ tỗ t ữỡ tr t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❜è♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ✣÷❛ r❛ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥❤÷ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ✈➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ♠æ♥ ❤å❝ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣❀ t➻♠ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦✐♥❤ t➳❀ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❜➟❝ ❤❛✐✳ ✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t ỵ tt số ởt sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❚❤✉ t❤➟♣✱ tê♥❣ ❤ñ♣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ P❤➙♥ t➼❝❤✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤✉ t❤➟♣ ✤÷đ❝ ✤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐✳ ❚❤❛♠ ❣✐❛ ❝→❝ ❜✉ê✐ s❡♠✐♥❛r ❝õ❛ t ữợ tr t q ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ✽✵ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✸✳✶✳ ❈❤♦ ♠ët ❤➔♠ ❜➟❝ ❤❛✐ f (x) = xT Ax − xT b ◆➳✉ A ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ t❤➻ f (x) ❝â ❞✉② ♥❤➜t ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ Ax = b✳ ●✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ f (x) ❧➔ f A−1 b = − bT A−1 b ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ⋆ ❚❛ t➻♠ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ f (x)✿ f (x) = xT Ax − xT b ⇔f (x) = − x1 x2 xn x1 x2 xn ⇔f (x) =       x1 x2 xn  a11 a12   a21 a22  ✳✳  ✳✳✳ ✳  an1 an2  b1  b2  ✳✳  ✳   bn    a1n    a2n  . ✳ ✳ ✳ ✳✳✳     ann  x1  x2  ✳✳  ✳   xn a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn   a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn  ✳✳  ✳  an1 x1 + an2 x2 + + ann xn − [x1 b1 + x2 b2 + + xn bn ] ⇔f (x) = [x1 (a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn ) +       +xn (an1 x1 + an2 x2 + + ann xn )] − [x1 b1 + x2 b2 + + xn bn ] ✽✶ [(a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn ) + (x1 a11 + x2 a21 + + xn an1 )]−b1 , f ′x2 = [(a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn ) + (x1 a12 + x2 a22 + + xn an2 )]−b2 , , f ′xn = [(an1 x1 + an2 x2 + + ann xn ) + (x1 a1n + x2 a2n + + xn ann )]−bn ❱➻ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ♥➯♥ f ′x1 = f ′x1 = [2a11 x1 + 2a12 x2 + + 2a1n xn ] − b1 , [2a21 x1 + 2a22 x2 + + 2a2n xn ] − b2 , , f ′xn = [2an1 x1 + 2an2 x2 + + 2ann xn ] − bn ❈ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭♥➳✉ ❝â✮ ❝õ❛ f (x) s➩ t❤✉ë❝ t➟♣ ❤ñ♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f ′x2 = ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤   ′   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 f =   x1      a x + a x + + a x = b  f′ = 21 22 2n n x2 ⇔ ✳ ✳✳          a x + a x + + a x = b  f′ = n1 n2 nn n n xn ⇔ Ax = b ❱➻ A ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ ❞❡tA = 0✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Ax = b ❧➔ ❤➺ ❈r❛♠❡r ♥➯♥ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ xo = A−1 b ❉♦ ✤â✱ ♥➳✉ xo = A−1 b ❧➔ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t❤➻ ✤➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ f (x)✳ ⋆ ❚❛ ❦✐➸♠ tr❛ xo = A−1 b ❝â ❧➔ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ f (x) tù❝ ❧➔ ❦✐➸♠ tr❛ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝õ❛ f (x) t↕✐ xo = A−1 b ❝â ❧➔ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➜✉✳ ❚❛ ❝â n ∂ 2f dxi dxj , d f (xo ) = ∂ ∂ x x i j i,j=1 ✽✷ tr♦♥❣ ✤â        ∂2f ∂ x1 ∂ x1 ∂2f ∂ x2 ∂ x1 ∂2f ∂ x1 ∂ x2 ∂2f ∂ x2 ∂ x2 2 ∂ f ∂ xn ∂ x1 ∂ f ∂ xn ∂ x2  ∂2f ∂ x1 ∂ xn ∂2f ∂ x2 ∂ xn    a11 a12  a   21 a22 =    an1 an2 ∂2f ∂ xn ∂ xn a1n a2n ann     = A   ❉♦ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ d2 f (xo ) ❧➔ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ❉♦ ✤â t↕✐ ✤✐➸♠ xo ❤➔♠ f (x) ✤↕t ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ❞♦ ♠❛ tr➟♥ ❍❡ss✐❛♥ ❝õ❛ f ✭♠❛ tr➟♥ A✮ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ tr➯♥ Rn f ỗ tr Rn r❛ t↕✐ xo ❤➔♠ f (x) ✤↕t ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝✳ ∗ ❚❛ t➻♠ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ f (x)✿ ❚❤❛② x = A−1 b ✈➔♦ f (x) t❛ ✤÷đ❝✿ T T f (x) = f A−1 b = 21 A−1 b A A−1 b − A−1 b b T T ⇔ f (x) = 21 bT A−1 AA−1 b − bT A−1 b −1 T ⇔ f (x) = − 21 bT A−1 b = − 12 bT AT b ❉♦ A ✤è✐ ①ù♥❣ ♥➯♥ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ f (x) ❧➔ f (x) = − bT A−1 b ❱➼ ❞ö ✸✳✸✳✶✳ ❚➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❤➔♠ sè f (x) = x1 + 2x22 + 3x23 − (x1 + 4x2 + 6x3 ) ●✐↔✐✿ ❚❛ ❝â✿ f (x) = = x21 + 2x22 + 3x23 − (x1 + 4x2 + 6x3 ) i,j=1 aij xi xj − x i bi i=1 ▼❛ tr➟♥ ❝õ❛ ❞↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ f tr♦♥❣ ❝ì sð {e1 , e2 , e3 } ❝õ❛ R3 ❧➔  0   A =   0  ✽✸ ❇✐➸✉ t❤ù❝ tå❛ ✤ë ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ ❞↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ f tr♦♥❣ ❝ì sð {e1 , e2 , e3 } ❧➔✿ f (x) = xT Ax − xT b, tr♦♥❣ ✤â bT = ❱➻ ♠❛ tr➟♥ A ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭✸✳✸✳✶✮✱ f (x) ❝â ❞✉② ♥❤➜t ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝✱ ✤â ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Ax = b   x1 0  x1 =      Ax = b ⇔    x2  =   ⇔ x2 =   x3 x3 = 0      ❱➟② ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ f (x) ❧➔ x = (1, 2, 2) ●✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ f (x) ❧➔ f (1, 2, 2) = − 21 ❱➼ ❞ö ✸✳✸✳✷✳    2   = − 21  ❚➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❤➔♠ sè x1 + 5x22 + x23 + 4x24 + 2x1 x2 + 2x1 x4 − 2x2 x3 +4x2 x4 + 2x3 x4 ) − (x1 − 2x2 + 2x3 + 3x4 ) f (x) = ●✐↔✐✿ ❚❛ ❝â✿ f (x) = 12 x21 + 5x22 + x23 + 4x24 + 2x1 x2 + 2x1 x4 − 2x2 x3 +4x2 x4 + 2x3 x4 ) − (x1 − 2x2 + 2x3 + 3x4 ) = ❧➔ i,j=1 aij xi xj − xi bi i=1 ▼❛ tr➟♥ ❝õ❛ ❞↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ f tr♦♥❣ ❝ì sð {e1 , e2 , e3 , e4 } ❝õ❛ R4   1    −1   A=  −1 1    ✽✹ ❇✐➸✉ t❤ù❝ tå❛ ✤ë ❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ ❞↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ f tr♦♥❣ ❝ì sð {e1 , e2 , e3 , e4 } ❧➔✿ f (x) = xT Ax − xT b, tr♦♥❣ ✤â bT = −2 ❱➻ ♠❛ tr➟♥ A ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭✸✳✸✳✶✮✱ f (x) ❝â ❞✉② ♥❤➜t ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝✱ ✤â ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Ax = b✳ ❚❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐✿  1   −1   −1 1   1   −1 h2 ↔h3 −− −→   −1  1 −2 1       −3  1  0 h2 →−h1 +h2 −− −−−−−→   −1 h4 →−h1 +h4       h3 →4h2 +h3 0  −−−−−−→   h4 →h2 +h4 0   0  0 h4 →−2h3 +3h4 −− −−−−−−→  0  0 −1 1 −1 0 −1 0 1 3 ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Ax = b tữỡ ữỡ ợ x1 + x2 + x4     − x2 + x3 + x4  3x3 + 5x4     2x4 = = = =   x1 =     x = −1 ⇔  x3 =     x = ❱➟② ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ f (x) ❧➔ x = (1, −1, 0, 1) −3 2 1 1       5             ✽✺ ●✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ f (x) ❧➔ f (1, −1, 0, 1) = − −1       −2     = − = ú ỵ f (x) ❝â ❝❤ù❛ ♠ët sè ❤↕♥❣ ❧➔ ❤➡♥❣ sè c ∈ R ✤➸ f (x) = xT Ax − xT b + c, t❤➻ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭✸✳✸✳✶✮ ✈➝♥ ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣ f (x) ❝â ❞✉② ♥❤➜t ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ x = A−1 b✱ ♥❤÷♥❣ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❧➔ f A−1 b = − bT A−1 b + c ◆❤÷ ✈➟②✱ ❦❤✐ f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❜➟❝ ❤❛✐ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ f (x) = xT Ax − xT b, tr♦♥❣ ✤â A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱ ✈✐➺❝ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ f (x) tữỡ ữỡ ợ ởt ữỡ tr t✉②➳♥ t➼♥❤ Ax = b✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤✉②➸♥ q✉❛ ①➨t ❇➔✐ t♦→♥ ✭✷✮ tù❝ ❧➔ f (x) , Cx=d tr♦♥❣ ✤â f (x) = xT Ax − xT b, ∀x ∈ Rn ✈➔ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣ n ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱ C ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣ m × n ✈➔ ❝â ❤↕♥❣ ❧➔ m ≤ n✱ b ∈ Rn , d ∈ Rm ✭✤÷đ❝ ①❡♠ ♥❤÷ ❝→❝ ✈❡❝tì ❝ët✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✮ ✤➣ ♥➯✉ ❧✉æ♥ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t ã ũ ữỡ tỷ r t ❝â ❤➔♠ ▲❛❣r❛♥❣❡ L (x, λ) = f (x) + λT F (x) = f (x) + λT (Cx − d) ; λ∈ Rm = xT Ax − xT b + λT (Cx − d) , ✽✻ ✈ỵ✐ F (x) = Cx − d ❚❛ ❝â✿ λT (Cx − d)     d1       d2   −   = λ1 λ2 λm          d  m c11 x1 + c12 x2 + + c1n xn − d1    c21 x1 + c22 x2 + + c2n xn − d2   = λ1 λ2 λm      cm1 x1 + cm2 x2 + + cmn xn − dm = λ1 (c11 x1 + c12 x2 + + c1n xn − d1 ) +λ2 (c21 x1 + c22 x2 + + c2n xn − d2 ) + + λm (cm1 x1 + cm2 x2 + + cmn xn − dm ) c11 c12 c21 c22 cm1 cm2 c1n c2n cmn x1 x2 xn       • ❈ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭♥➳✉ ❝â✮ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ✶ L′xi = 0, i = 1, n L′λj = 0, j = 1, m   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + c11 λ1 + c21 λ2 + + cm1 λm = b1      a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + c12 λ1 + c22 λ2 + + cm2 λm = b2          a x + a x + + a x + c λ + c λ + + c λ = b n1 n2 nn n 1n 2n mn m n ⇔  c11 x1 + c12 x2 + + c1n xn = d1      c21 x1 + c22 x2 + + c2n xn = d2          c x + c x + + c x = d m1 m2 mn n m ⇔ Ax + C T λ = b Cx = d ❤❛② ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ xo ✭♥➳✉ ❝â✮ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ữỡ tr ữủ t ữợ tr ữ s❛✉✿ ✽✼ A CT C O x λ = b d ✭✸✳✶✸✮ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✹✮ ❱➻ ♠❛ tr➟♥ A ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ A ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ tỗ t t tr A1 ❉♦ ✤â✱ ❝ù ♠é✐ ❣✐→ trà λ ∈ Rm t❤➻ tỗ t t x = A1 b C T λ ✭✸✳✶✺✮ ❚❤❛② x tø ✭✸✳✶✺✮ ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Cx = d t❛ ✤÷đ❝ Ax + C T λ = b ⇔ Ax = b − C T λ C A−1 b − C T λ =d ⇔ CA−1 C T λ = CA−1 b − d ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✻✮ ⋆ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✻✮ ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠❛ tr➟♥ CA−1C T ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ ❱➻ ♠❛ tr➟♥ A ❝➜♣ n ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ✈➔ r (C) = m ≤ n ♥➯♥ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ CA−1C T ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠❛ tr➟♥ CA−1C T ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱ tù❝ ❧➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ CA−1 C T λ = CA−1 b − d xT CA−1 C T x > 0, ∀x = 0Rm ❚❛ ❝â✿ T xT CA−1 C T x = C T x A−1 C T x ❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✼✮ ❱➻ r (C) = m ♥➯♥ r C T = r C T = m ✈➔ ❞♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✼✮ ❝â m ➞♥ ♥➯♥ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✱ ✤â ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣ x = 0R ✳ ❙✉② r❛✱ ♥➳✉ x = 0R t❤➻ C T x = 0R ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ A ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ A−1 ❝ơ♥❣ ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ C T x = Rn m m n ✽✽ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ t❛ s✉② r❛ T C T x A−1 C T x > 0, ∀x = 0Rm ❱➟② ♠❛ tr➟♥ CA−1 C T ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✻✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ λ0 ♥➯♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✶✹✮ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ x0 ✳ ❑✐➸♠ tr❛ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝õ❛ ❤➔♠ ▲❛❣r❛♥❣❡ t↕✐ ✤✐➸♠ ❞ø♥❣ xo ❝â ❧➔ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➜✉ n ∂ 2L dxi dxj , ∂x ∂x i j i,j=1 d L(xo ) = ✈ỵ✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ n dFj (x) = i=1 ∂Fj dxi = 0, ∂xi j =1, m, tr♦♥❣ ✤â        ∂2L ∂ x1 ∂ x1 ∂2L ∂ x2 ∂ x1 ∂2L ∂ x1 ∂ x2 ∂2L ∂ x2 ∂ x2 2 ∂ L ∂ xn ∂ x1 ∂ L ∂ xn ∂ x2 ∂2L ∂ x1 ∂ xn ∂2L ∂ x2 ∂ xn ∂2L ∂ xn ∂ xn     a11 a12  a   21 a22 =    an1 an2 a1n a2n ann     = A   ❉♦ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ♥➯♥ d2 L (xo ) ❧➔ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ❉♦ ✤â t↕✐ ✤✐➸♠ xo ❤➔♠ f (x) ✤↕t ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ❞♦ ♠❛ tr➟♥ ❍❡ss✐❛♥ ❝õ❛ f ✭♠❛ tr➟♥ A✮ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ tr♦♥❣ Rn f ỗ tr Rn r t↕✐ ✤✐➸♠ xo ❤➔♠ f (x) ✤↕t ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝✳ ❱➼ ❞ö ✸✳✸✳✸✳ ❚➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ sè f (x) = x1 + 2x22 + 3x23 − (x1 + 3x3 ) , ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ F1 (x) = x1 + x3 = 0; F2 (x) = x2 + x3 + = ✽✾ ●✐↔✐✿ x1 + 2x22 + 3x23    0    A =  ; b =  0 f (x) = tr♦♥❣ ✤â ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ − (x1 + 3x3 ) = xT Ax − xT b,    x1 + x3 = ⇔ Cx = d, x2 + x3 = −1 tr♦♥❣ ✤â C = 1 , d = 1 −1 ❱➻ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ❝➜♣ 3✱ ❝á♥ C ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣ × ✈➔ ❝â ❤↕♥❣ ❧➔ ≤ (r(C) = ≤ 3) ♥➯♥ ❤➔♠ f ❝â ❞✉② ♥❤➜t ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ Ax + C T λ = b Cx = d Ax + C T λ = b         1 0 x1  λ1        =0 ⇔    x2  +   λ2 1 x3 0         x + λ1 x1 λ1         ⇔  2x2  +  λ2 =0  =  2x2 + λ2 3x3 + λ1 + λ2 λ + λ2 3x3  x + λ1 =   ⇔ 2x2 + λ2 =   3x3 + λ1 + λ2 = Cx = d ⇔ x1 = −x3 x2 = −1 − x3 ✭✸✳✶✽✮ ✭✸✳✶✾✮ ✾✵ ❚❤❛② ✭✸✳✶✾✮ ✈➔♦ ✭✸✳✶✽✮ t❛ ✤÷đ❝✿    λ1 − x λ2 − 2x3   λ1 + λ2 + 3x3   =  λ1 = = ⇔ λ2 =   = x3 = ❚❤❛② ❧↕✐ ✈➔♦ ✭✸✳✶✾✮ t❛ ✤÷đ❝ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ f ❧➔ x1 = 0, x2 = −1, x3 = ●✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ f t↕✐ M = (0, −1, 0) ❧➔ f (M ) = f (0, −1, 0) = ❱➼ ❞ö ✸✳✸✳✹✳ f (x) = ❚➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ sè 3x21 + 2x22 + x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 −(−4x1 − 3x2 + x3 ) ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ F1 (x) = x1 + 2x2 + x3 − = 0; F2 (x) = x2 + x3 − = ●✐↔✐✿ 3x21 + 2x22 + x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 − (−4x1 − 3x2 + x3 ) = xT Ax − xT b,     −4 ✤â A =  2  ✈➔ b =  −3 ✳ 1 1 f (x) = tr♦♥❣ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ x1 + 2x2 + x3 − = ⇔ Cx = d, x2 + x3 − = tr♦♥❣ ✤â C = ; d = ✳ 1 ❱➻ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣ ✸✱ ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱ ❝á♥ C ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣ × ✈➔ ❝â ❤↕♥❣ ❜➡♥❣ < ♥➯♥ f (x) ❝â ❞✉② ♥❤➜t ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ Ax + C T λ = b Cx = d ✾✶ Ax + C T λ = b        1 x1 −4        λ1 ⇔  2   x2  +   =  −3  λ2 x3 1 1 1     −4 3x1 + 2x2 + x3 + λ1     ⇔  2x1 + 2x2 + x3 + 2λ1 + λ2  =  −3  x + x + x + λ1 + λ2  3x1 + 2x2 + x3 + λ1 = −4   ⇔ 2x1 + 2x2 + x3 + 2λ1 + λ2 = −3   x1 + x2 + x3 + λ1 + λ2 = Cx = d ⇔ ✭✸✳✷✵✮ x1 = −3 + x3 x2 = − x3 ✭✸✳✷✶✮ ❚❤❛② ✭✸✳✷✶✮ ✈➔♦ ✭✸✳✷✵✮ t❛ ✤÷đ❝✿   + 2x3 =  λ1 2λ1 + λ2 + x3 = −1   λ1 + λ2 + x3 = ✭✸✳✷✷✮ ❚❛ ①➨t ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐    1  h2 →−2h1 +h2  −1  −−−−−−−→  −3 h3 →−h1 +h3 −1  h3 →h2 −h3  −−−−−−→  −3 0 −2  A=2 1 1 ❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✳✷✷✮ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐    λ1   λ2 + 2x3 − 3x3 − 2x3  =   λ1 = −3 = −3 ⇔ λ2 =   x3 = = −4 −3 1 −3 −4      ✳ ✾✷ ❚❤❛② ❧↕✐ ✈➔♦ ✭✸✳✷✶✮ t❛ ✤÷đ❝ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ f ❧➔✿ M = (x1 , x2 , x3 ) = (−1, 0, 2) ●✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ✤✐➸♠ M ❧➔✿     −4 −1 1      f (M ) = −1  2    − −1  −3  2 1   −1 −9   = −1   − [6] = − = 2  ✾✸ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✧P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣✧ ✤➣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ✶✳ ❍➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤❀ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝ü❝ trà ❤➔♠ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥✱ ✤✐➲✉ tỗ t ỹ tr r ố ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ tr♦♥❣ ✤â ⋆ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈r❛♠❡r ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ❝❤♦ ❤➺ ❈r❛♠❡r✳ ⋆ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ❝❤♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t tũ ỵ Pữỡ tỷ ữủ ❞ị♥❣ ❝❤♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ♠➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝❤➼♥❤ ✤➲✉ ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✳ ⋆ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈❤♦❧❡s❦② ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ❝❤♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳ ✸✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❜❛ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✿ ⋆ ●✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ✈➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉ë❝ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ t➟♣ ✶✳ ⋆ ❚➻♠ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t➳ ✈✐ ♠ỉ✳ ⋆ ❚➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❜➟❝ ❤❛✐ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳ ▼➦❝ ❞ị ✤➣ r➜t ❝è ❣➢♥❣✱ ♥❤÷♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝â t❤➸ s➩ ❝á♥ ♠ët sè t❤✐➳✉ sât✳ ❇↔♥ t❤➙♥ ❤② ✈å♥❣ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤➳♥✱ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❜ê s✉♥❣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥ ♥❤➡♠ ❝❤ù♥❣ tä sü ù♥❣ ❞ö♥❣ ✤❛ ❞↕♥❣ ✈➔ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Ái (2015), Phương pháp Lagrange cho toán cực trị có điều kiện ứng dụng, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng [2] Đặng Ngọc Dục, Nguyễn Viết Đức (2009), Phần II Đại số tuyến tính, NXB Đà Nẵng [3] Phí Mạnh Hồng (2013), Giáo trình Kinh tế vi mơ, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2005), Toán cao cấp tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam [6] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2005), Toán cao cấp tập 3, NXB Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh [7] Dimitri P Bertsekas Chiristopher (1996), Constrained Optimization and Lagrange multiplier methods, Massachsetts: Athena Scientific [8] David G Luenberger and Yinyu Ye (2007), Linear and Nonlinear Programming, New York: Springer Science and Business Media [9] Gene H Golub and Charles F Van Loan (1996), Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore and London ...BỘ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI H C ĐÀ N NG LÊ THÚY AN PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngƠnh: Ph ng pháp Toán s cấp Mƣ số: 60.46.01.13 LUẬN... PH NG PHÁP CHOLESKY 56 2.4.1 C sở lý thuyết phư ng pháp Cholesky 56 2.4.2 Các bư c giải hệ phư ng trình phư ng pháp Cholesky 57 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH... A phư ng pháp Crout 49 2.3.3 Các bư c giải hệ phư ng trình phư ng pháp Crout 50 2.3.4 Phân rã ma trận A phư ng pháp Doolittle 52 2.3.5 Các bư c giải hệ phư ng trình phư ng pháp Doolittle