Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng

Trong đó không thể nhắc đến lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính và một số ứng dụng của nó.. Hệ phương trình tuyến tính được hoàn thiện nhờ không gian vectơ, ma trận và định thức.. Đư

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Hình học  Khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà Nội II, Thư viện Quốc gia, Thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội II đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong thời gian em làm đề tài

Em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô ĐINH THỊ KIM THÚY,

người đã chỉ bảo và hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc để em có thể hoàn thành

đề tài

Cảm ơn gia đình và những người bạn đã giúp đỡ, động viên em trong quá trình hoàn thành đề tài

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Lý

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong khi nghiên cứu, tôi đã thừa kế những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kỳ công trình nào khác

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Lý

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 1

NỘI DUNG 2

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2

1.1 Không gian vectơ 2

1.2 Ma trận 5

1.3 Định thức 6

CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9

2.1 Các khái niệm cơ bản 9

2.2 Hệ phương trình Cramer 11

2.3 Định lý Kronecker-Capelli 13

2.4 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 13

2.5 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 19

BÀI TẬP VẬN DỤNG 24

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Error! Bookmark not defined 3.1 Xét sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của một hệ vectơ 31

3.2 Tìm tọa độ của vectơ đối với một cơ sở 32

3.3 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng 34

3.4 Đổi tọa độ afin 37

3.5 Đổi tọa độ xạ ảnh 42

3.6 Mô hình cân bằng thị trường 46

BÀI TẬP VẬN DỤNG 51

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

LỜI NÓI ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài

Có thể nói đối với sinh viên khoa Toán nói riêng và sinh viên học toán nói chung Đại số tuyến tính là một môn học rất quan trọng

Trong đó không thể nhắc đến lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính và một số ứng dụng của nó Hệ phương trình tuyến tính được hoàn thiện nhờ không gian vectơ, ma trận và định thức Nó có rất nhiều ứng dụng không những trong nhiều ngành toán học khác nhau như: Đại số, Hình học, Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Qui hoạch tuyến tính

và còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác Chính vì lý do đó em đã chọn đề tài:

“Hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng” để làm đề tài khóa luận cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về hệ phương trình tuyến tính

Đưa ra một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và hệ thống các

ví dụ minh họa cho mỗi ứng dụng

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: kiến thức về hệ phương trình tuyến tính

Phạm vi nghiên cứu: lý thuyết và một số ứng dụng về hệ phương trình tuyến tính

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày cơ sở lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính

Đề xuất một số dạng toán thường gặp về hệ phương trình tuyến tính, ứng dụng và ví dụ minh họa

5 Các phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học

Nghiên cứu các tài liệu liên quan

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1 Không gian vectơ

1.1.1 Không gian vectơ

Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là , ,  …và K là một trường Giả sử V được trang bị hai phép toán, gồm:

hướng Phép cộng “+” gọi là phép cộng vectơ, phép nhân “.” gọi là phép nhân vectơ với vô hướng

Khi K = R thì V được gọi là không gian vectơ thực

Khi K = C thì V được gọi là không gian vectơ phức

1.1.2 Không gian vectơ con

Giả sử V là một K - không gian vectơ và W là một tập con của V

Ta nói tập W là ổn định (hay đóng kín) đối với hai phép toán trên V nếu:

 W , W

 W  K,  W

Ta nói tập W là một không gian vectơ con của V nếu W ổn định với hai phép toán trên V và cùng với hai phép toán của V hạn chế trên nó, W cũng là một không gian vectơ trên trường K

Định lý 1: Giả sử W là một tập con của K - không gian vectơ V Thế thì W là

một không gian vectơ con của V khi và chỉ khi W   và W ổn định đối với hai phép toán của V

Chứng minh

Điều kiện cần suy trực tiếp từ định nghĩa trên Để chứng minh điều kiện

đủ, ta cần chứng minh rằng W cùng với hai phép toán của V thu hẹp trên nó, là một K - không gian vectơ, tức là nó thỏa mãn 8 tiên đề về không gian vectơ

Các tiên đề (V1), (V4), (V5), (V6), (V7), (V8) được nghiệm đúng với mọi phần

tử của V nên chúng cũng nghiệm đúng với mọi phần tử của W

Vì W , nên có ít nhất một phần tử  W Khi đó 0 = 0 W Phần

tử 0 V đóng vai trò phần tử 0W Mặt khác, với mọi  W, ta có

() = (1)W

Đó cũng chính là phần tử đối của  trong W

1.1.3 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Cho V là một không gian vectơ trên trường K

a) Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1,2,…,n V là một biểu thức

dạng:

n



 =   …  ,

trong đó: 1,…, n  K

b) Giả sử = 11… nnV Đẳng thức đó được gọi là một biểu thị

tuyến tính của  qua hệ vectơ (1,2,…,n) Khi có đẳng thức đó, ta nói 

biểu thị tuyến tính được qua các vectơ 1,2,…,n

c) Hệ vectơ (1,2,…,n) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

a) Một hệ vectơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của

V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

b) Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V

đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này

Số chiều

a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của K - không gian vectơ hữu hạn sinh

V   0 được gọi là số chiều của V trên trường K và kí hiệu là dimV hay rõ

hơn dimK V Nếu V =  0 , ta còn quy ước dimV = 0

b) Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là

không gian vectơ vô hạn chiều

Tọa độ của vectơ

Cho (e) = e1,e2,…,en là một cơ sở của K - không gian vectơ n chiều

 = x1e1+ x2e2+…+ x nen, x i  K, i = 1, 2,…, n

Ta gọi bộ vô hướng (x1, x2,…, x n) là tọa độ của vectơ  trong cơ sở

(hay đối với cơ sở) (e) = e1,e2,…,en Vô hướng x i được gọi là tọa độ thứ i

của  trong cơ sở đó

Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m, n) với các phần tử thuộc trường K được kí hiệu là Mat(m n, K)

 Khi m = n thì ma trận A = (a ij)mn được gọi là ma trận vuông cấp n và

kí hiệu là A = (a ij)n

 Khi m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng và n cột, được gọi là ma trận dòng

 Khi n = 1 thì ma trận chỉ có một cột và m dòng, được gọi là ma trận cột

 J  I (của hệ đó) được gọi là một hệ

con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho nếu nó là một hệ vectơ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ vectơ k nào (k  I \ J) vào hệ con đó thì ta đều

nhận được một hệ phụ thuộc tuyến tính

 Hạng của một hệ vectơ: Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V Ta gọi số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của

hệ là hạng của hệ vectơ đã cho

Kí hiệu hạng của hệ vectơ (1,2,…,n ) là rank(1,2,…,n)

 Hạng của ma trận: Cho A  Mat(nn, K) Coi mỗi cột (hay dòng) của

A là một hệ vectơ ta được hệ n vectơ (tương ứng m vectơ) của không gian

Định thức của ma trận vuông cấp n: A = (a ij)n được gọi là định thức cấp n

và kí hiệu detA hay   A

 Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu chọn k dòng và k cột của A(1kn)

thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao của k dòng và k cột này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A

 Định thức M  của ma trận vuông cấp n  k nhận được sau khi xóa đi k dòng và k cột đó được gọi là một định thức con bù của định thức con M

là phần bù đại số của định thức con M

Khi k = 1 thì phần bù đại số của định thức con cấp một M = det(a ij ) = a ij cũng được gọi là phần bù đại số của phần tử a ij Nó bằng (1)i j M ij với M ij là

định thức của ma trận vuông cấp (n  1) có được bằng cách xóa đi dòng i, cột j của ma trận A Ta kí hiệu phần bù đại số của phần tử a ij là A ij Khi đó ta có:

A ij = (1)i j M ij

Vậy ta có công thức: detA = a i1 A i1 … a in A in (khai triển detA theo dòng i)

hay detA = a 1j A 1j … a nj A nj (khai triển detA theo cột j).

5 2 1

D    

Định lý 2: Cho A = (a ij ) mn Nếu detA  0 thì A khả nghịch và:

n n

Từ hai đẳng thức trên suy ra: A.At = (detA).E n

Tương tự, bằng cách khai triển các định thức theo cột, ta sẽ nhận được:

CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1 Các khái niệm cơ bản

các b i được gọi là các hệ số tự do

Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số (c1, c2,…, c n)  K sao cho khi thay

x1 = c1, x2 = c2,…, x n = c n thì mọi đẳng thức trong hệ (1) là những đẳng thức đúng

Đặt :

X =

1 2

n

x x x

m

b b b

1

 x1  2x2 …n x n = 

và gọi là dạng vectơ của hệ (1)

2.1.2 Hệ phương trình tương đương

Định nghĩa: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng

tập nghiệm

Phép biến đổi tương đương: Một phép biến đổi tương đương đối với hệ

phương trình tuyến tính nếu nó không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình đã cho

Các phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình tuyến tính bao gồm:

- Đổi chỗ hai phương trình bất kỳ cho nhau

- Nhân vào cả hai vế của một phương trình với một số khác 0

- Cộng vào cả hai vế của một phương trình tương ứng với tổ hợp tuyến tính các phương trình còn lại

2.2 Hệ phương trình Cramer

2.2.1 Định nghĩa

Hệ phương trình tuyến tính Ax =  được gọi là một hệ Cramer nếu nó có

số phương trình bằng số ẩn (nói cách khác, nếu A là một ma trận vuông) và nếu detA  0

2.2.2 Giải hệ Cramer

Định lý: Hệ phương trình Cramer Ax =  có một nghiệm duy nhất được tính

bằng công thức:

x j =detdet j

n n

j j

A x

Đó là vì khai triển định thức A j theo cột thứ j ta có được:

A

A =

12

Vậy nghiệm duy nhất của hệ là ( 1

2

 , 1, 1

2).

có nghiệm khi và chỉ khi rankA = rankA bs

Chứng minh Xét hệ phương trình đã cho dưới dạng vectơ:

 ,2,…,n,) Vậy rankA = ranhA bs

Ngược lại, nếu rankA = rankA bs thì hạng của hệ (1,2,…,n) bằng hạng của hệ (1,…,n,) Do đó, nếu (i1,…,ir) là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ (1,2,…,n) thì nó cũng là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ (1,…,n,) Cho nên  biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ (i1,…,ir), bởi vậy  biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ (1,…,n) Suy ra hệ (2) có nghiệm 

2.4 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Theo Định lý 1.3, nếu rankA  rankA bs thì hệ vô nghiệm Giả sử rằng

là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hai hệ vectơ (1,2,…,r) và vectơ (1,2,…,n,)

tuyến tính được qua hệ (3), vì  và các i, j r   1, , n đều biểu thị tuyến

tính được qua hệ (3), cho nên tồn tại r phần tử c1 , c2,…, cr  K để:

Khi đó ta có (c1,…, c r , c r1,…, cn) là một nghiệm của hệ phương trình

Do hệ (3) độc lập tuyến tính nên r phần tử (c1, c2,…, c r) được xác định một

cách duy nhất phụ thuộc vào n  r phần tử (c r1,…, c n) đã cho Suy ra:

- Nếu r = n thì hệ có nghiệm duy nhất

- Nếu r  n thì hệ có vô số nghiệm

Với giả thiết như trên, gọi n  r ẩn x r1,…, x n là các ẩn tự do Khi cho

mỗi lần x r1 = c r1,…, x n = c n ta tìm được một nghiệm (c1,…, c r , c r1,…, c n) của

hệ Nếu coi (c r1,…, c n) có thể nhận những giá trị tùy ý thì nghiệm đó là nghiệm tổng quát của hệ

Để tìm nghiệm tổng quát của hệ, coi n  r ẩn (x r1,…, xn) như những

tham số rồi giải hệ gồm r phương trình với r ẩn x1,…, x r:

và giải hệ này theo công thức Cramer

Ví dụ Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp định thức:

A

A =0;

Giả sử có một hệ số a ij  0 Nếu cần có thể đổi chỗ các phương trình và

đánh số lại các ẩn, nên không giảm tính tổng quát ta có thể coi a11  0

Khi đó, nhân hai vế của phương trình đầu với

11

1

a ta được hệ số của x1trong phương trình thứ nhất của hệ bằng 1 Sau đó nhân phương trình này với

a i1 rồi cộng vào phương trình thứ i, lần lượt với i = 2,…, m ta nhận được

phương trình tương đương có dạng:

1 2

m

b b

b b b

Các dấu  kí hiệu những phần tử có thể khác 0 trong trường K Nếu có

một trong các hệ số tự do br1, , bm khác 0 thì hệ vô nghiệm Nếu

1 0

b   b  thì hệ phương trình có nghiệm Mỗi nghiệm của phương

trình nhận được bằng cách gán cho x r1,…, x n những giá trị tùy ý của trường K (nếu n  r) rồi giải duy nhất x1,…, x r theo những giá trị đã gán cho x r1,…, x n

Cụ thể x r được tìm từ phương trình thứ r trước, sau đó x r1 được tìm từ phương

 c4  1

2, c4, c5)

Chú ý: Phương pháp khử Gauss được ứng dụng vào việc tìm ma trận nghịch

đảo và từ đó ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Ax = b, A là

ma trận vuông cấp n khả nghịch Khi đó nghiệm của hệ phương trình là:

x x x

12244

1 2 3

361

x x x

nhất (1) là một không gian vectơ con của không gian vectơ K n, số chiều là

dimL= n  rankA, trong đó A = (a ij)mn là ma trận các hệ số

Chứng minh Rõ ràng L  K n và L  vì nghiệm tầm thường (0, 0,…, 0)  L

Giả sử  = (c1, , c r ,…,c n) và  = (d1,…, d r ,…, d n ) thuộc L và k  K Khi đó,

viết hệ (1) dưới dạng vectơ:

 1

1, ,

n r

j r i ij i

Ta gọi mỗi cơ sở của không gian L các nghiệm của hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất là một hệ nghiệm cơ bản

Ví dụ Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình:

Hệ nghiệm cơ bản của hệ là {1,2}

2.5.4 Liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng

Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát

1

, 1, ,

n

ij j i j

0, 1, ,

n

ij j j

Định lý: Nếu biết một nghiệm riêng của hệ (2) thì mỗi nghiệm của hệ (2) là

tổng của nghiệm riêng ấy với một nghiệm của hệ (3)

Viết hệ phương trình dưới dạng vectơ ta có:

là một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3)

Vậy  là một nghiệm của hệ (2) khi và chỉ khi:

 =   và  là một nghiệm nào đó của hệ (3) 

BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1 Giải hệ phương trình:

detA 43detA  55

Hệ đã cho tương đương với hệ:

Thay x2 vào (1) ta được: x1 = 20x3  17x4  6

Cho x3 = c3, x4 = c4, hệ có nghiệm tổng quát:

đó rankA = 2 Ta cũng tìm được rankA bs

= 2 Vậy hệ có nghiệm Để giải hệ:

x x

 , y =

8( 2)5( 2)

m m



 , z =

8(m2)

Bài tập 5

Ta có:

detA =

2 2 2

 Nếu detA  0  a, b, c đôi một khác nhau thì hệ đã cho là hệ Cramer

111

111

1 1

Các trường hợp a = c  b, c = b  a giải tương tự

 Hệ phương trình ban đầu có nghiệm phụ thuộc một tham số

(ac(u  a  c), a2  ac  c2 u(a  c), u) với u tùy ý

 Trường hợp a = b = c hệ phương trình đã cho tương đương với hệ một

phương trình:

x  ay  a2z = a3

Nghiệm của hệ này là (a3  au  a2v, u, v) với u, v tùy ý

Kết luận:

 Nếu a, b, c đôi một khác nhau hệ có nghiệm duy nhất:

(abc, (ab  bc  ac), a  b  c)

 Nếu a = b  c hệ có nghiệm phụ thuộc một tham số:

(ac(u  a  c), a2  ac  c2  u(a  c), u) với u tùy ý

 Nếu a = b = c hệ có nghiệm phụ thuộc hai tham số:

(a3  au  a2v, u, v) với u, v tùy ý