Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng (Khóa luận tốt nghiệp)
Trang 1BO GIAO DUC VA DAO TAO
Trang 2BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2 KHOA TOAN Doan Thị Thúy PHÉP VỊ TỰ, PHÉP TỊNH TIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Hình Học
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Nguyễn Năng Tâm
Trang 3Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Trường Dại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo em trong suốt thời gian theo học tại khoa và trong thời gian
làm khóa luận
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm - Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tan tam chi bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản than còn
nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong được
sự đóng góp ý kiến của các thay cõ giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngàu 02 tháng 05 nắm 2016
Sinh viên
Trang 4Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐOÀN THỊ THÚY
Lời cam đoan
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một
số tài liệu da ghi trong phan tài liệu tham khảo
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Phép vị tự, phép tịnh tiến và ứng dụng vào giải toán hình học phẳng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu
sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm
Hà Nội, ngàu 02 tháng 0ð năm 2016
Sinh viên
Trang 5Muc luc Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến hình trong mặt phẳng 1.1.1 Định nghĩa phép biến hình (xem [l]) 1.1.2 Sự xác định phép biến hình (xem [l]) 1.1.3 Tích của hai phép biến hình (xem [l]) 1.2 Phép đời hình trong mặt phẳng
1.2.1 Dịnh nghĩa phép dời hình (xem [1])
1.2.2 Tính chất của phép dời hình (xem [l])
1.3 Phép tịnh tiến trong mặt phẳng
1.3.1 định nghĩa phép tịnh tiến (xem [1])
1.3.2 Các tính chất của phép tịnh tiến (xem [1])
Trang 6Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐOÀN THỊ THÚY 2_ Ứng dụng phép tịnh tiến và phép vị tự vào giải toán hình học phẳng 8 2.1 Bài toán chứng mình 8 2.11 Bài toán chứng mình 8 2.1.2 Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến
2.1.3 Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình 9 2.2 Bài toán tính toán co 20 2.221 Bài toán tính toán 20 2.2.2 Ứng dụng phép biến hình vào giải toán tính toán 20 2.2.3 Khai thác bài toán tính toán nhờ phép biến hình 21 2.3 Bài toán quỹ tích Q Q 30 2.3.1 Bài toán quỹ tích 30 2.3.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình 30 2.3.3 Khai thác bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình 31 24 Bài toán dựng hình 40 24.1 Bài toán dựng hình 40 2.4.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình 40 2.4.3 Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép biến hình 41
Tài liệu tham khảo 51
Trang 7Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐOÀN THỊ THÚY
Lời mở đầu
Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậc trung học cơ sở và THPT' không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụ mới để giải toán mà còn tập trung cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và
biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự
ra đời của những phát minh và sáng tao trong tương lai Thí dụ như trước đây khi cần chứng minh hai tam giác nào đó bằng nhau, học sinh thường phải chứng minh cạnh và góc của hai tam giác đó thỏa
mãn các điều kiện được nêu ra trong các định lý nói về hai tam giác bằng nhau
Sau khi học các phép biến hình trong mặt phẳng người ta có thể định nghĩa sự bằng nhau của hai tam giác và tổng quát hơn đối với
hai hình phẳng bất kì như sau: " Hình H được gọi là bằng hình H' nếu
có một phép đời hình trong mặt phẳng biến hình H thành hinh H’ Như vậy, khái niệm "bằng nhau" của hai hình phẳng được xây dựng
dựa trên khái niệm về phép dời hình là một phép biến hình
Dựa trên các mối quan hệ và các bất biến của các thứ hình học khác nhau đó, người ta có thể tìm ra các phương pháp và công cụ
khác nhau để giải một bài tốn Ngồi ra có thể dựa vào một bài toán
Trang 8Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐOÀN THỊ THÚY
bài toán mới khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng
thú trong việc tìm tòi nghiên cứu hình học học Hơn nữa việc lựa chọn các công cụ thích hợp trong mỗi loại toán hình học khác nhau là một
việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức
giải toán
Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê môn học với sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm , em mạnh
dạn chọn đề tài: “Phép tịnh tiến, phép vị tự và ứng dụng vào
giải toán hình học phẳng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của
mình
JKhóa luận được trình bày trong hai chương:
e Chương 1: liến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số kiến thức về phép tịnh tiến và phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất và một số chú ý
quan trọng
e Chương 2: ứng dụng của phép vị tự, phép tịnh tiến vào giải toán hình học phẳng
Trong chương này trình bày một số kiến thức về ứng dụng của
phép vi tự và phép tịnh tiến vào giải bài tồn chứng minh, bài tốn tính toán, bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực
Trang 9của các thầy cô và bạn doc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn
Em xin chan thanh cam gn!
Hà Nội, ngàu 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Trang 10Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến và phép vị tự bao gồm định nghĩa, tính chất, một số chú ý quan trọng nhằm thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau
1.1 Phép biến hình trong mặt phẳng
1.11 Định nghĩa phép biến hình (xem [1])
Một song ánh ƒ: P -› P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là phép biến hình của mặt phẳng
1.1.2 Sự xác định phép biến hình (xem [1])
Muốn xác định một phép biến hinh f: P > P ta cần nêu rõ quy tắc
ƒ đó bằng cách xác định sau đây:
- Quy tắc ƒ được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong
Trang 11- Quy tắc ƒ còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ
(x;y) cha diém M với tạo độ (+; ') của điểm M' = ƒ(M) đối với hệ
tọa độ Oxy cho truéc nao do
1.1.3 Tích của hai phép biến hình (xem [1])
Nếu ta dùng một phép biến hình ƒ: P > P để biến một điểm M bất kì của P thành một điểm M' rồi lại dùng phép biến hình thứ hai
g: P— P biến M' thành MT Ta có: M’=f(M) va M"= g(M))
Khi đó phép biến hình h biến điểm M thành điểm M" gọi là tích
của hai phép biến hình ƒ và ø và kí hiệu: h = go f Ta có h(M) = (go ƒ)(M) =M' = gø(M)) =ø[ƒ(M)
1.2 Phép dời hình trong mặt phẳng
1.21 Định nghĩa phép dời hình (xem [1])
Một phép biến hình ƒ: P -› P được gọi là một phép dời hình nếu trong mặt phẳng P với hai điểm M,N bất kì và hai ảnh của chúng lần
lượt là M’ = f(M); N’ = f(N) ta luôn có MN' = MN
1.2.2 Tính chất của phép đời hình (xem [1])
Tính chất 1
Phép dời hình biến ba điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A và € thành ba điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm gitta A’ va C’ Hệ quả 1.1 Phép dời hành biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến một đoạn thắng thành một đoạn thẳng
Trang 12bang no
Hệ quả 1.2 Phép dời hành biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến tmột góc thành một góc bằng nó, biến một đường tron thành một đường tròn bằng nó uới tâm đường tròn nàu thành tâm đường tròn kia Tính chất 2 Tích của hai phép đời hình là phép dời hình Tính chất 3 Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp Tính chất 4 Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm các phép biến hình với phép toán là tích các phép biến hình Tinh chat 5
Nếu ABC và A'B'C' là hai tam giác bằng nhau thì phép đời hình biến
tam gidc ABC thanh tam gidc A‘B’C’
1.3 Phép tịnh tiến trong mặt phẳng
1.3.1 định nghĩa phép tịnh tiễn (xem [1])
Trong mặt phẳng P cho vectd v, phép biến hình biến mỗi điểm M
š _ ⁄
thành diém M’ sao cho vects MM! = 7 goi la phép tinh tién theo
Trang 13Vectơ gọi la vecto tinh tiến Ta có Tz(M) =M!
Định lý 1.3.1 Phép tịnh tiến là một phép dời hành chứng mình :
- Giả sử A,B là hai điểm bất kì trong mặt phẳng và qua phép tịnh tiến 7; chúng lần biến thành các diém A’, B’ —> — ta có AA' = BH! = ở ta suy ra: AA + A'B = BB' + A'B=A'B' — Vậy, AB = A'B’' Ta có, AB = A'B và như vậy ta đã chứng minh được phép tịnh tiến là một phép dời hình š £ — ⁄ š Chú ú : Nếu vectơ tịnh tiến ở = thì khi đó phép tịnh tiến trỏ thành phép đồng nhất Ta có : Tạ =e
Hệ quả 1.3 Nếu phép biến hành biến hai điểm A,B bat ki lan lượt thành hai diém A',B' sao cho vecto AB = ATB' th nó là phép tịnh tiến
—
theo vecto UV = AB = AB
1.3.2 Các tính chất của phép tinh tiến (xem [1])
Định lý 1.3.2 Phép tịnh tiến là một phép dời hành nên nó có đầu đủ
các tính chất của phép đời hành
> 6
Định lý 1.3.3 Nếu phép tịnh tiên theo vecto ? z 0Ú biên điểm M thành điểm M' thà ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm M” thành điểm
M uới 0ectơ tịnh tiến là — Như vay ta có TS = T_+ Ta suy ra
Trang 14# > , Dinh ly 1.3.4 Qua phép tinh tiên vecto ? z# 0 thì các đường thăng nhận uectd làm 0ectơ chỉ phương đều biến thành chính nó
Định lý 1.3.5 Tích của hai phép tịnh tiến Tạ va Ts là một phép
: a a LZ \ =>
tinh tién vdi vecto tịnh tiên bằng + 0,
Định lý 1.3.6 Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu ta biết
được vecto tịnh tiến Tử của nó
1.3.3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến (xem [1])
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vecEơ
Tử Biết tọa độ của vectơ là (a;b)
Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’;y’) x=x+a Khi do ta có: y=y+b Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ (a;b) 1.4 Phép vị tự 1.4.1 Định nghĩa phép vị tự (xem [1]) Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k # 0 Phép biến £ x 2 2 % —-> hình biến mỗi điểm M của mat phang thanh diém M’ sao cho OM’ = ——- # x
kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k Phép biên hình này được
Trang 15Như vậy phép vị tự sẽ được xác định khi biết tâm vị tự và tỉ số vị tự k của nó 1.4.2 Các trường hợp đặc biệt (xem [1]) Ta mm >vv: - Néu ti s6 vitu k = 1, khi dé OM’ = OM , tittc là M' trùng với M, lúc đó phép vị tự là phép đồng nhất
- Nếu tỉ số vị tự k = -l, khi đó ÓA⁄' = - OM tức là đoạn thắng
MM' nhận O làm trung điểm, lúc đó phép vị tự là phép đối xứng tâm O và ta có O là điểm kép 1.4.3 Tính chất của phép vị tự (xem [1]) Tính chất 1 Nếu phép vị tự Vš biến hai điểm A, B lần lượt thành hai điểm A", B’ —>
thi A'B’= k AB
Hệ quả 1.4 Nếu phép vi tu bién A thanh A’, bién B thanh B' thà
đường thang AB va A’B’ song song uới nhau hoặc trùng nhau va
A'B! = |k|AB
Hé qua 1.5 Phép vi tu bién một tam gidc thanh mét tam giác đồng dạng uới nó 0à biến một góc thành một góc bằng nó có các cạnh tương ứng cùng phương
Tính chất 2
Trang 16Tinh chat 3
Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn
1.4.4 tích của hai phép vị tự (xem [1])
- Tích của hai phép vị tự cùng nhận O làm tâm và có tỉ số vị tự lần
Trang 17Chuong 2
Ung dung phép tinh tién va phép vị tự vào giải toán hình học phẳng
Chương này chúng ta trình bày ứng dụng của phép vị tự và phép tịnh tiến vào giải bài toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán tìm quỹ tích và bài toán dựng hình trong hình học phẳng
2.1 Bài toán chứng minh 2.1.1 Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh được chứa đựng trong hầu hết bài toán hình học như: bài toán tính toán, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình
Đó là các bài toán cần chỉ ra mệnh đề "A = B" là đúng, trong đó A là giả thiết, B là kết luận
Ta xuất phát từ giả thiết A và những mệnh đề đúng đã biết bằng
những lí luận chặt chẽ và suy luận logic, dựa vào các định nghĩa, các
Trang 182.1.2 Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình Giải một bài toán hình học phẳng nhờ sử dụng phép biến hình nói
chung gồm ba thao tác chính: - Lựa chọn phép biến hình - Thực hiện phép biến hình
- Rút ra kết luận của bài toán
Nhờ phép biến hình, thông qua việc dựng các hình phụ ta có thể mang những điều kiện đã cho của bài toán và những hình liên quan
đến việc chứng minh vốn rời rạc nhau thành một hình mới làm cho
chúng có quan hệ với nhau giúp việc chứng minh được tiễn hành thuận
lợi Cũng có thể từ các tính chất của phép biến hình ta có thể chứng minh được các kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, sự bằng nhau
của các góc, của các tam giác, các đường tròn
2.1.3 Khai thác bài toán chứng mỉnh nhờ sử dụng phép biến hình
Ta có thể nêu ra một số phương hướng đề xuất một bài toán từ bài
toán đã cho như sau: - Từ bài toán ban đầu có thể biểu diễn dưới dạng
ménh dé "A > B", Qua một phép biến hình ƒ mệnh đề trên tương
ứng thành "A' > B’"
Lợi dung tính 1— 1 của phép biến hình và cách suy luận khi chứng mỉnh, ta có thể xem mệnh đề dao "B > A" có đúng không, nếu đúng
ta có thể ra cả bài toán điều kiện cần và đủ
- Thay đổi một vài điều kiện giả thiết, đặc biệt hóa, tương tự hóa,
Trang 19Xin minh hoa sau day bang mét vai bai toán sử dụng phép tịnh tién va phép tị tự để giải bài toán chứng tinh
Bài tập 2.1 Chứng minh rằng một tứ giác có đường nối trung điểm
hai cạnh đối diện bằng nửa tổng hai cạnh còn lại là hình thang Từ kết quả vừa có suy ra điều kiện tương đương để một tứ giác là một hình bình hành Giải: Hình 2.1:
Goi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
Theo giả thiết, đường nối trung điểm của hai cạnh đối diện bằng nửa tổng hai cạnh còn lại
Tite la MN = =(AB + CD) a (1)
2
Gia stt E 1a anh cia C qua phép tinh tiến theo vectd AB Tức là
Trang 20CE = AB
Suy ra ABEC là hình bình hành có hai đường chéo là BC và AB Mà N là trung điểm của BC = N cũng là trung điểm của AE Trong tam giác ABD có MN là đường trung bình MN = <DE => 2 (2) MN//DE Ti (1) va (2) + DE= AB + CD => DE=CE+ DC => D, E, C thang hàng Ma CE va AB cùng phương - DE va AB cùng phương œ AB //DC = ABCTD là hình thang
=> điều kiện tương đương để một tứ giác là hình bình hành là:
Tứ giác có hai đường nối trung điểm của hai cặp cạnh đối diện bằng nửa tổng hai cạnh còn lại
Trang 22Hay PKC = FCK
ek +Ki=G+G
Ầ© Ay + K, " Co + an (Ay = Kì do ABKF là hình bình hành)
Mà theo giả sử ta có: GC; > Ay suy ra K, > Cy
Suy ra trong tam gidc KEC thi CE > KE = AF, diéu nay mâu
thuẫn với giả sử Vậy không thể có €¿ > Ai
e Trường hợp 2: GŒ < Ay
Tương tự như trên ta cũng có mâu thuẫn với giả thiết nên không
thể có on < Ay
Vay €; = Ay eC=aA
= Tam giác ABC cân đỉnh B
Nhận xét: Trên đây là một cách giả nhờ vào phép biến hình cụ thể là phép tịnh tiến giúp bài toán đơn giản hơn rất nhiều
Trang 23Bài tập 2.3 Cho tam giác ABC và A',B`,C' lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC, CA, AB Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh ba điểm GŒ, O, H thẳng hang Giải: SS Cc Hinh 2.3: Theo giả thiết, tam giác A’B’C’ 1A ảnh của tam giác ABC trong 1 phép vị tự tâm G, tỉ số vị tự k = —" Ta có: —* 1_—5 GA'= 2Á — 1 —> 1
Mặt khác H là trực tâm tam giác ABC và ©' trực tâm của tam giác Ÿ BH seœ ` š Boe tac ˆ _ GỎ | ott
A’B’C’ nén O 18 anh cua H trong phép vi tu tam G va GO = =" Nhu vay, ba diém G, O, H thang hang
Trang 24Nhận xét:
Nếu gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ ta cting
cũng có Go’ = -26Ổ
Vậy bốn điểm: , O, H, O' cùng thuộc một đường thẳng Đó là
đường thang Ole
Trang 25Bài tập 2.4 Chứng minh rằng trong một tam giác ba điểm: trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng
Giải:
Hình 2.4:
Xét tam giác ABC có H là trực tam, G 1a trong tam va O lam tam
đường tròn ngoại tiếp tam giác
Trang 27Bài tập 2.5 Cho ba vòng tròn bằng nhau cùng di qua một điểm A Ba giao điểm còn lại của các vòng tròn là P, Q, R Chứng minh rằng đường tròn (PQR) bằng các vòng tròn đã cho
Giải:
Hình 2.5:
Gọi Ó¡, O;, O; lần lượt là tâm của ba đường tròn có bán kính là r Cac tit gide AO;PO,, AO2QO3, AO3RO;, là hình thoi
= AP và Ó¡Ó; cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường AQ và ÓsÓ; cắt nhau tại trung điểm J của mỗi đường
AR và Ó¡Ó; cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường
Trang 28Xét phép vi tu
V=HaVi:IKP JQ
kh
Ta c6: AO; = AOg = AOz =r
Trang 292.2_ Bài toán tính toán
2.2.1 Bài toán tính toán
Bài toán tính toán thường gặp: Trong hình học phẳng là bài toán tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, diện tích hình phẳng, thiết lập các hệ
thức liên hệ
Gồm ba bước:
Bước 1: Xác định các yêu tố cần tính toán
Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho trong giả thiết bài toán với các yếu tố cần tính toán
Bước 3: Tiến hình tính toán theo các dữ kiện đã xác lập
2.2.2 Ứng dụng phép biến hình vào giải toán tính toán
Việc tính toán các đại lượng hình học thường được tiến hình nhờ các hệ thức lượng trong các hình, đặc biệt là hệ thức lượng trong tam
giác và trong đường tròn Do đó ta cần quy các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tính toán thành các mối liên hệ giữa các yếu tố của cùng
một hình học nào day, chang hạn của cùng tam giác hay đường tròn C6 lẽ việc xác lập các mối liên hệ này là khâu then chốt để tìm ra đáp số của bài toán và thường cũng là khâu khó khăn nhất
Đối với nhiều bài toán, việc khắc phục những khó khăn này được
thực hiện nhờ dựng thêm các hình phụ thực chất là dựng ảnh của các
yêu tố đã cho của bài toán qua một phép biến hình nào đó thích hợp
của bài toán trong số các phép biến hình của mặt phẳng đã học
Trang 302.2.3 Khai thác bài toán tính toán nhờ phép biến hình
Có thể nêu ra phương hướng đề xuất một bài toán mới từ một bài
toán đã cho: từ một vài điều kiện ban đầu ta có thể tính một vài yếu
tố còn lại, dùng một phép biến hình nào đó (vẽ thêm hình phụ) để
tạo ra hình mới Với hình mới có thể thêm một vài dữ kiện nào đó và ra bài boán tính toán với hình mới này ta nhận được bài tốn mới
Ngồi ra có thể thay đổi các điều kiện đã cho, hoặc xem xét các
trường hợp tương tự, đặc biệt, tổng quát
Sau day xin minh họa bằng một uài bài toán sử dụng phép tịnh tiến va phép vi tu vao giai bài toán tính toán
Trang 31Bài tập 2.6 Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và có độ dài bằng 15 cm Giải: A B D H E H € Hình 2.6: Ta xét TR CHE ACH BE Suy ra AC // BE Từ đó, vì AC L BD nên BE 1 BD Gọi BH là đường cao của hình thang Trong tam giác vuông BHD ta có:
2 2
DH? = BD? — BH?
= 157-12? = 81
Trang 33Bài tập 2.7 Cho hình bình hành ABCD kẻ BH | AD, BK 1 CD Gọi I là trực tâm tam giác BHK Biết rằng: KH = a, BD = b, hãy
Trang 34Bài tập 2.8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ (1:2) Hai điểm A(3;5), B(-1,1) và đường thẳng d có phương trình: z— 2+3 = 0
a) Tìm tọa độ của các diém A’, B’ theo thit tu la anh của A, B qua
phép tinh tién theo vecto 7
b) Tim toa độ của điểm C sao cho A 1a anh cia C qua phép tịnh
tiến theo vecbd 'ử
c) Tim phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ ở Giải: a) Gọi tọa độ điểm A’(x’; y’) ta co: z#=z+q wv’ =3-1 “=2 Ty(A)=A'e - = =u+b y =5+2 yl =7
Vay toa do diém A’(2;7)
Goi toa dé diém B’(x’; y’) ta có: z=z+a z'=—=1-l œ'=—2 Ty(B)=E > e© - y =ytb y =1+2 y =3 Vay toa dé diém B’ 1a B’(-2;3) b) Tìm tọa độ diém C Gọi tọa độ điểm C 1a C(x;y), áp dụng biểu thức tọa độ ta có: z#=z+a 3=a-1 z=4 Ty(Œ)=As - S y =ytb 5=yt+2 =3
Vậy tọa độ điểm € là C(4;3)
c) Việc tìm phương trình của đường thẳng d ta có thể giải theo 3 cách:
Cách 1: Tìm phương trình của đường thẳng d theo biểu thức tọa
Trang 35độ Gọi M(x;y) là điểm thuộc đường thẳng d và M'(x';y') là điểm thuộc đường thẳng d' Ta có: av’ =x+a a =a-1 z#œ=#+1 Ty(M) = M' © S =
y=ytb y=yt2 y=y-2
Vì điểm M € d nên ta có tọa độ của M thỏa mãn phương trình của đường thẳng d:
Ta có: (“+ 1) — 2(/'—2)+3=0©z—2/+8=0
Như vậy, điểm M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là: z — 2y+8=0
Cách 2: Tìm phương trình của đường thẳng d theo tính chất 2: Vì đường thẳng d' cần tìm là ảnh của đường thẳng d nên đường thing d' sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng d Khi đó đường thẳng đ' sẽ có phương trình là: z — 3+ ce= 0
Lấy một điểm D(-3;0) € d Goi D’(x’;y’) € d’ IA anh cia điểm D
qua phép tịnh tiến theo vecto 7 z=z+a gi =-3-1 Ta có: T3(D) = D' = - y=yrd y =0+2 # =T—Á e =2
Vậy tọa độ điểm D' là D'(-4;2)
Vì điểm D' thuộc đường thẳng đ` nên tọa độ của D' thỏa mãn d,
tức —4+(—2)2+c=0=>c=8
Phương trình đường thẳng d' là: z— 2+8 = 0
Cách 3:
Trang 36e Lấy 2 điểm M,N thuộc đường thang d
e Tìm ảnh của 2 điểm M, Ñ qua phép tịnh tiến theo vectd e Đường thăng d' là ảnh của đường thẳng d sé di qua M’, N’ e Viết phương trình đường thang M’N’
Trang 37Bài tập 2.9 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2z— 3+3 = 0, đường thẳng dị có phương trình: 2z— 3/— 5 = 0 Tìm tọa độ của vecbd ở có giá vuông góc với đường thẳng d để d; là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vecEơ Vv
Hướng dẫn giải:
- Phân tích bài toán:
e Dường thẳng dị là ảnh của d qua 7z nên d // dị
e Vectd có giá vuông góc với đường thẳng d nên "# chính là một vectơ pháp tuyến của của d Hay *# là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d; vuông góc với đường thẳng d
e Viết phương trình đường thẳng d; bằng cách: đi qua một điểm M thuộc d và nhận VTPT của d làm VTCP 2 —> e Tìm giao của d; với dị tại điểm N Khi đó vecto v= MN Giai: Vì đường thẳng d; là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ Vv nên d // dị
Mặt khác vecbd ở có giá vuông góc với đường thẳng d nên vectởơ “# chính là một vectd pháp tuyến của d Hay vectơ Vv là một VTCP của đường thẳng d; vuông góc với đường thẳng d
Viết phương trình đường thẳng d;:
4 ến củ: è š FW, = (9! 3 là 3
e Vectơ pháp tuyến của đường thắng d: rỉa = (2;—3) => Tỉa là vectở chỉ phương của đường thẳng dạ
e Lấy điểm M(3;3) thuộc d
Trang 392.3 Bài toán quỹ tích 2.3.1 Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp những điểm có tính
chất œ cho trước
Quỹ tích những điểm M có tính chất œ có thể là tập rỗng, tập hữu
hạn điểm, tập vô hạn điểm
Để khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất œ là hình H nao
đó ta thực hiện các bước:
Bước 1 (phần thuận): Chứng minh mỗi điểm có tính chất œ phải
thuộc hình H (nói lên tính không thiếu của quỹ tích)
Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mỗi phần tử thuộc hình H đều có tính chất œ (nói lên tính không thừa của quỹ tích)
Trang 40những điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó, ta có thể chọn một
phép biến hình thích hợp ƒ biến điểm M thành điểm M' sao cho quỹ
tích những điểm M' tìm được dễ dàng hơn, để rồi suy ra quỹ tích điểm
M
2.3.3 Khai thác bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình Giả sử bài toán quỹ tích các điểm M có tính chất œ nào đó đã tìm
được là một hình H Lấy một phép biến hình ƒ biến điểm M thành
điểm M' ta có thể phát biểu một bài toán mới, tìm quỹ tích các điểm
M' có quan hệ với các điểm M bởi ƒ, mà kết quả quỹ tích cần tìm là
701)
Xin minh họa sau day bang mét vai bai todn sit dung phép tịnh tiến va phép vi tu vao giai bai toán quỹ tích