Ứng dụng đa thức vào giải toán sơ cấp

C TRƢỜN N N C SƢ P M KHOA TOÁN ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TỐN SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Giáo viên hướng dẫn: TS.Nguyễn Ngọc Châu Sinh viên : Hà Việt Hường Lớp : 12CTUD Đà N ng - 2016 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu ối tƣợng phạm vi nghiên cứu .1 Phƣơng pháp nghiên cứu .1 Bố cục khóa luận NỘI DUNG Chương I: ĐA THỨC 1.1 Đa thức ẩn 1.1.1 Vành đa thức ẩn .3 1.1.2 Bậc đa thức 1.1.3 Phép chia có dƣ .5 1.1.4 Nghiệm đa thức 1.2 Đa thức nhiều ẩn .6 1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn .6 1.2.2 Bậc đa thức nhiều ẩn 1.2.3 a thức đối xứng .7 1.2.4 Công thức Viete 1.3 Một số bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 1.3.2 Bất đẳng thức Bunhiaskopki Chương II: ỨNG DỤNG ĐA THỨC VÀO GIẢI TỐN SƠ CẤP 11 §1 ỨN DỤN A T ỨC TRON Ả TÍC 11 1.1 Ứng dụng đa thức để tính tích phân hàm hữu tỉ 11 1.1.1 tích phân 11 1.1.2 Tính tích phân hàm hữu tỉ 13 1.2 Ứng dụng đa thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 19 §2 ỨN DỤN A T ỨC TRON SỐ 24 2.1 Ứng dụng đa thức để giải phương trình lùi 24 2.1.1 ịnh nghĩa phƣơng trình lùi 24 2.1.2 Cách giải phƣơng trình lùi 25 2.2 Ứng dụng đa thức để giải hệ phương trình đối xứng loại 28 2.2.1 ệ phƣơng trình đối xứng hai ẩn loại 28 2.2.2 Phƣơng pháp giải 29 2.3 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức 31 2.3.1 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức đại số 31 2.3.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác 35 §3 ỨN DỤN A T ỨC TRON ÌN C 37 3.1 Ứng dụng đa thức để giải toán nhận dạng tam giác 37 3.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức tam giác 41 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong tốn học, đa thức giữ vị trí quan trọng Nó khơng đối tƣợng nghiên cứu đại số mà cịn cơng cụ đắc lực giải tích Các ứng dụng đa thức toán sơ cấp phong phú đa dạng Tuy nhiên nay, tài liệu đa thức khiêm tốn, chƣa định hƣớng rõ việc ứng dụng vào giải tốn Là sinh viên đại học ngành Cử nhân toán ứng dụng với mong muốn tìm hiểu ứng dụng đa thức để giải tốn sơ cấp nên tơi chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp đại học là: “Ứng dụng đa thức vào giải tốn sơ cấp” Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn - ệ thống phân loại số lớp toán giải đƣợc đa thức - ƣa quy trình giải cho lớp tốn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - a thức ẩn, đa thức nhiều ẩn - a thức đối xứng, Cơng thức Viete - Các tốn sơ cấp ứng dụng đa thức để giải - Quy trình giải lớp tốn đa thức Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài khóa luận - Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài khóa luận - Trao đổi, tham khảo ý kiến ngƣời hƣớng dẫn Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng 1: A T ỨC Chƣơng trình bày kiến thức đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn, đặc biệt đa thức đối xứng Phần cuối chƣơng nhắc lại số bất đẳng thức đủ để làm sở cho chƣơng sau Chƣơng 2: ỨN DỤN A T ỨC V O Ả TOÁN SƠ CẤP Chƣơng nội dung khóa luận, trình bày ứng dụng đa thức để giải toán sơ cấp Cụ thể tốn tính tích phân hàm hữu tỉ, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức, giải hệ phƣơng trình đối xứng loại 1, giải phƣơng trình lùi, tốn hình học, nhƣ nhận dạng tam giác, chứng minh bất đẳng thức tam giác Chương ĐA THỨC Chương trình bày kiến thức đa thức ẩn, đa thức nhiều ẩn đặc biệt đa thức đối xứng Phần cuối chương nhắc lại số bất đẳng thức đủ để làm sở cho chương sau 1.1 Đa thức ẩn 1.1.1 Vành đa thức ẩn iả sử A vành giao hốn, có đơn vị kí hiệu  ọi P tập hợp dãy ( a0 , a1 , , an , ) ,  A với i   tất trừ số hữu hạn Trên P ta xác định hai phép tốn hai ngơi: ( a0 , a1 , , an , ) + ( b0 , b1 , , bn , ) = ( a0  b0 , a1  b1 , , an  bn , ) (a0 , a1 , , an , ) ( b0 , b1 , , bn , ) = (c0 , c1 , , cn ) với ck  a0 bk  a1 bk 1   ak b0   i  j k b j , k  , ,2 , Tập P hai phép toán vành giao hốn, có đơn vị Bây ta xét phần tử x  (0, ,0, , , )  P Theo quy tắc nhân P ta có: x2  (0 , , , , , , ) x3  (0 , , , , , , ) xn  (0 , , , , , , ) n Quy ƣớc: x0  (1 , , , , ) Mặt khác, ánh xạ: A  P a (a , , , , ) đơn cấu vành Do ta đồng phần tử a  A với dãy (a , , , , )  P , xem A vành vành P Vì phần tử P dãy (a0 , a1 , , an , ) , tất trừ số hữu hạn, nên phần tử P có dạng a0 , , an  A Việc đồng a với (a0 , a1 , , an , , ) , (a , , , , ) việc đƣa vào dãy x cho phép ta viết: (a0 , a1 , , an , , )  ( a0 , , )  (0 , a1 , , )   (0 , , an , , )  (a0 , , )  ( a1 , , )(0 ,1 , , )   ( an , , )(0 , , , ,0 , ) n  a0  a1 x  a2 x   an x n  a0 x  a1 x   an x n Do phần tử P cịn đƣợc viết dƣới dạng: kí hiệu a0  a1 x   an x n f ( x) , g ( x) Định nghĩa 1: Vành P đƣợc xác định nhƣ gọi vành đa thức x lấy hệ tử A , hay vắn tắt vành đa thức ẩn x A , kí hiệu A x Các phần tử vành A x gọi đa thức ẩn x lấy hệ tử A Trong đa thức: f ( x)  a0 x0  a1 x   an x n , , i  , , , n gọi hệ tử đa thức Các xi gọi hạng tử đa thức ặc biệt a0 x  a0 gọi hạng tử tự 1.1.2 Bậc đa thức Định nghĩa 2: Cho đa thức an  , n  Ta gọi f ( x)  a0 x0   an1 x n1  an x n khác 0, với f ( x) có bậc n an x n gọi hạng tử cao đa thức f ( x) , a n gọi hệ tử cao f ( x) Quy ƣớc đa thức bậc Định lí 1.[6] (i) iả sử f ( x) g ( x) hai đa thức khác Nếu bậc f ( x) khác bậc g ( x) ta có f ( x)  g ( x)  , bậc ( f ( x)  g ( x)) = (ii) f ( x) , bậc g ( x) ) Nếu bậc f ( x) = bậc g ( x) , f ( x)  g ( x)  , bậc ( f ( x)  g ( x)) (iii) max ( bậc  bậc f ( x) (hoặc bậc g ( x) ) Nếu f ( x) g ( x)  ta có bậc f ( x) g ( x) bậc f ( x)  + bậc g ( x) Định lí 2.[6] Nếu A miền nguyên, f ( x) g ( x) hai đa thức khác vành A x , f ( x) g ( x)  bậc ( f ( x) g ( x)) = bậc f ( x) + bậc g ( x) Hệ 1.[6] Nếu A miền nguyên A x miền nguyên 1.1.3 Phép chia có dư Định lí 3.[6] iả sử A trƣờng, f ( x) g ( x)  hai đa thức vành A x , có hai đa thức q ( x ) r ( x) thuộc A x , cho: f ( x)  g ( x) q( x)  r ( x) , với bậc r ( x) < bậc g ( x) r ( x)  Hệ 2.[6] f ( x) chia hết cho g ( x) dƣ r ( x) phép chia f ( x) cho g ( x) 1.1.4 Nghiệm đa thức Định nghĩa 3: iả sử c phần tử tùy ý vành A , f ( x)  a0 x0  a1 x   an x n đa thức tùy ý vành A x ; phần tử f (c )  a0  a1 c   an c n  A có đƣợc cách thay x c gọi giá trị f ( x) c Nếu f (c)  c gọi nghiệm f ( x) Tìm nghiệm f ( x) A gọi giải phương trình đại số bậc n: an x n   a0  , (an  0) A iả sử A trƣờng, c  A , f ( x)  A x  Dƣ phép Định lí 4.[6] chia f ( x) cho xc Hệ 3.[6] Cho hết cho f (c ) c  A , c nghiệm f ( x) f ( x) chia x  c Định lí 5.[6] Mọi đa thức bậc n > với hệ số phức có n nghiệm phức ( nghiệm trùng nhau) 1.2 Đa thức nhiều ẩn 1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn Định nghĩa 4: iả sử A vành giao hốn có đơn vị Ta đặt A1  A x1  , A2  A1  x2  , A3  A2  x3  , , An  An 1  xn  Vành n ẩn An  An 1  xn  kí hiệu A x1 , x2 , , xn  gọi vành đa thức x1 , x2 , , xn lấy hệ tử A Một phần tử An gọi đa thức n ẩn x1 , x2 , , xn lấy hệ tử vành A , kí hiệu f ( x1 , x2 , , xn ) hay g ( x1 , x2 , , xn ) Từ định nghĩa ta có dãy vành A0  A  A1  A2   An , Ai 1 vành Ai , i  , , , n Từ hai phép toán vành phƣơng pháp quy nạp ta chứng minh đƣợc đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) vành A x1 , x2 , , xn  đƣợc viết dƣới dạng: a a f ( x1 , x2 , , xn )  c1 x1a11 xn 1n   cm x1am1 xn m n với ci  A , ai1 , , n , i  , , m số tự nhiên ( ai1 , , n )  ( a j1 , , a j n ) i  j a Các ci gọi hệ tử đa thức hạng tử đa thức a thức a f ( x1 , x2 , , xn ) Các ci x1 i1 xn i n gọi f ( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 , x2 , , xn )  hệ tử tất Hệ 4.[6] Nếu A miền nguyên A x1 , x2 , , xn  1.2.2 Bậc đa thức nhiều ẩn Định nghĩa 5: iả sử f ( x1 , , xn )  A x1 , , xn  đa thức khác 0, a a a a f ( x1 , x2 , , xn )  c1 x1 11 xn1n   cm x1 m1 xn m n với ci  , i  1, , m (ai1 , , n )  (a j1 , , a j n ) i  j Ta gọi bậc đa thức mà xi f ( x1 , x2 , , xn ) ẩn xi số mũ cao có đƣợc hạng tử đa thức a a Ta gọi bậc hạng tử ci x1 i1 xni n tổng số mũ ai1   n ẩn Bậc đa thức (đối với toàn thể ẩn) số lớn bậc hạng tử Nếu hạng tử f ( x1 , x2 , , xn ) có bậc k f ( x1 , x2 , , xn ) gọi đa thức đẳng cấp bậc k hay dạng bậc k ể xếp hạng tử đa thức nhiều ẩn ta xếp theo quan hệ thứ tự từ điển sau: (a1 , a2 , , an ) , (b1 , b2 , , bn ) , (a1 , a2 , , an )   , bi  ; i  , , , n (b1 , b2 , , bn )  a1     i b1 : a1  b1 , a2  b2 , , 1  bi 1 ,  bi 1.2.3 Đa thức đối xứng Vậy  m  hệ phƣơng trình cho có nghiệm Bài tốn 16.[2] Chứng minh với giá trị m , hệ phƣơng trình sau ln có nghiệm:  x  xy  y  2m   2  x y  xy  m  m (1) Lời giải ặt S  x  y , P  xy , điều kiện S2  4P Từ hệ (1) suy ra:  S  P  2m    m2  m  SP (2) S P hai nghiệm phƣơng trình: t  (2m  1) t  m  m    t  m  t  m 1  Vậy hệ (2) có hai nghiệm: (S1 ; P1 )  ( m ; m  1) (S2 ; P2 )  (m  ; m) S22  4P2  (m  1)2  4m  (m  1)2  Ta có: Vậy hệ (1) ln có nghiệm với giá trị m 2.3 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức 2.3.1 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức đại số Bài toán 17.[18] Cho a , b thỏa điều kiện a  b2  Chứng minh (ac  bd  1)  (a  b  1)(c  d  1) (1) Lời giải Khi Khi a  b2  (1) hiển nhiên a  b2   a  b2   ặt 31 ac  bd   B a  b2   A  c2  d   C  Bất đẳng thức (1) Ta lập tam thức bậc hai B  AC  f ( x)  Ax  Bx  C B  AC  ể chứng minh ta cần chứng minh f ( x) có nghiệm Thật vậy:  (a  b  1) x  2(ac  bd  1) x  (c  d  1) f ( x)  (ax  c)  (bx  d )  ( x  1) với x  ta có f ( x)  f (1)  (a  c)2  (b  d )   Af (1)  Theo định lý đảo dấu tam thức bậc hai phƣơng trình f ( x)  có nghiệm  '  B  AC  Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Chứng minh rằng: Bài toán 18.[17] a1 , a2 , , an  0,1 , (1  a1  a2   an )  4( a12  a22   an2 ) Lời giải Xét Ta có: f ( x)  x  (1  a1  a2   an ) x  ( a12  a22   an2 ) f (1)   (1  a1  a2   an )  (a12  a22   an2 )  Vì  a1 (a1  1)  a2 (a2  1)   an ( an  1) a1 , a2 , , an  0,1 f ( x) nên f (1)  , a1 , a2 , , an  0,1 ln có nghiệm    (1  a1  a2   an )  4(a12  a22   an2 )   (1  a1  a2   an )  4(a12  a22   an2 ) Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh 32 Bài toán 19.[17] p  q  a  b2  c  d , chứng minh Với ( pq  ac  bd )2  ( p  a  b2 )(q  c  d ) Lời giải ( p  a  b )  (q  c  d )  Từ giả thiết, ta có: ( p  a  b ) , (q  c  d ) Nên hai số hạng phải có số ln lớn ( p  a  b2 ) Khơng tính tổng quát, giả sử  f ( x)  ( p  a  b2 ) x  2( pq  ac  bd ) x  (q  c  d ) Xét  ( px  q)2 ( p  a  b2 ) Vì  q f   p Ta có:   (ax  c)  (bx  d ) p  nên  (ax  c)  (bx  d )   f ( x)  '   ( pq  ac  bd )  ( p  a  b )(q  c  d )   ( pq  ac  bd ) có nghiệm  ( p  a  b )(q  c  d ) Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Bài tốn 20.[13] iả sử phƣơng trình x3  ax  bx  a  có ba nghiệm thực không âm (không thiết phải phân biệt) Chứng minh rằng: 8a  3b  72 Lời giải ọi ba nghiệm phƣơng trình bậc  ,  ,  Áp dụng Công thức Viete, ta có: 33            a   b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: (   )2   Từ đó: 8a  3b  8(     )  3    8 (    )   (8  3 )  8 (6   )   (8  3 ) 8 (6   )   (6   ) (8  3 )  3 (  2)   72  72 Dấu đẳng thức xảy       , đó: a  12 , b  Cho phƣơng trình x  ax3  bx  cx   có hệ số Bài tốn 21.[13] a  ; b  ; c  iả sử phƣơng trình có bốn nghiệm thực, chứng a  minh bất đẳng thức: b c   Lời giải ặt  x1 ;  x2 ;  x3 ;  x4 ọi Do f ( x)  x  ax3  bx  cx  bốn nghiệm a , b , c không âm nên nghiệm f ( x)  f ( x) số âm, suy x1 , x2 , x3 , x4  Ta có: f ( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )( x  x4 ) f (2)  suy ra: (2  x 1)(2  x2 )(2  x3 )(2  x4 )  (1   x1 )(1   x2 )(1   x3 )(1   x4 ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 34 f (2)   3 x1 3 x2 3 x3 3 x4 81 x1 x2 x3 x4 f (2)  24  23 a  22 b  2c   8a  4b  2c  17 Mặt khác Áp dụng Cơng thức Viete, ta có:  x1 x2 x3 x4  8a  4b  2c  17  81  a b c   2.3.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức lượng giác cos x  2sin x    2cos x  sin x  11 2  Bài toán 22.[3] Chứng minh Lời giải ặt Ta có: y  cos x  2sin x  2cos x  sin x  2cos x  sin x   ,  x  Vậy miền xác định y D  Ta có:  y cos x  2sin x  2cos x  sin x   (2 y  1)cos x  ( y  2)sin x    y (1) ể phƣơng trình (1) có nghiệm  (2 y  1)  ( y  2)  (3  y )  11 y  24 y   Vậy 2  Bài toán 23.[3] 2  y  cos x  2sin x  2cos x  sin x    11   Chứng minh với cos3 x  a sin x   cos3 x 11 x , a   1 ta có:  3a (1) 35 Lời giải ặt  t cos3x  a sin 3x   cos3x (2) Ta có: (2)  a sin3x  A sin X  (1  t ) cos3 x  2t   có nghiệm nên ta có: (3)  B cos X A2 (3) C  B2  C a  (1  t )2  (2t  1) Suy  3t  2t  a   1  3a 1  3a 1     t   t   3a  t  t   1  3a 1  3a 1  3a 1  3a  cos2 x  4cos x    Vậy (1) Bài toán 24.[3] Chứng minh cos2 x  2cos x  13 Lời giải ặt y  cos2 x  2cos x   cos x  4cos x    13 Ta có: y  ặt  (1  cos x)2  t   cos x  (2  cos x) , t  0 ; 2 36 Ta có:  f (t )  f '(t )  y  t2 t f '(t )  f '(t )  Bảng biến thiên  (3  t )2 t 3   t2 t   (3  t )  (3  t )  (t  3)  t2  t2  (3  t )  t  f (t ) t f '(t ) f (t ) - 2 + 2  13 y   Suy 13 cos2 x  2cos x  Vậy  cos2 x  4cos x    13 §3 ỨNG DỤNG ĐA THỨC TRONG HÌNH HỌC 3.1 Ứng dụng đa thức để giải toán nhận dạng tam giác Bài tốn 25.[15] Cho ABC khơng tù thỏa điều kiện: cos A  2 cos B  2 cos C Chứng minh  (1) ABC tam giác vuông cân Lời giải 37 (1)  cos A   cos A  2 cos 2 cos B  2 cos C  BC B C cos 2    (cos A  cos A)  cos A  2 cos  0 BC B C cos   2 A BC B C   cos A (cos A  1)  1  sin   2 cos cos 2  2 2  A B C    B C   cos A (cos A  1)   sin  cos   1  cos   2     A B C    cos A (cos A  1)   sin  cos  2   Do ABC không tù nên Vậy vế trái (1)  cos A   sin B C  cos A   Dấu “ = ” xảy khi:  cos A   A B C   cos  sin 2  BC  sin     A   B  900  C  450 Vậy ABC vuông cân A Bài toán 26.[3] Chứng minh tam giác ABC tam giác 1    (cotan A  cotan B  cotan C ) sin A sin B sin C  (1) Lời giải Ta có: (1)        cotan A     cotan B      sin A   sin B   sin C   cotan C    38   cosA sin A  tan  A ,  cosC sin C  A B C  tan  tan 2 x  tan ặt  cosB sin B y  tan   (2) B C , z  tan 2 xy  yz  zx  Ta có:  (2) x  y  z   ( x  y  z )2    x2  y  z    x2  y2  z    x  y  z  xy  yz  zx   ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  x  y   tan A  tan  z B C  tan 2  A  B  C ABC tam giác Bài toán 27.[3] ABC tam giác góc A , B , C thỏa cos A sin B sin C  (sin A  cos B  cos C )  17 (1) Lời giải (1)  cos A cos( B  C )  cos( B  C )    cos( B  C ) cos( B  C )  cos A    (cos B  cos 2C )  cos A   (cos B  (sin A  cos B  cos C )  (sin A  cos B  cos C )  (sin A  cos B  cos C )  cos B)  (cos C  cos C )  (sin A  3sin A)  17 17 17  39    cos B   3    cos B   cos C   sin A      cos C      3      sin A   3     B  300  C  30   A  120  Vậy ABC 3.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức tam giác tam giác cân A Bài toán 28.[16] Cho ABC có a , b , c lần lƣợt độ dài cạnh BC , AC , AB Chứng minh a 2b (a  b)  b 2c (b  c)  c 2a (c  a)  Lời giải ặt a  y  z , b  z  x , c  x  y Bất đẳng thức cho trở thành: ( xy  yz  zx )  ( x yz  xy z  xyz )  xy  yz  zx  x yz   x2 y z2 x  x  y   y2 z  xy z   xyz z Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có: x2 y2 z2   y z x ( x  y  z )2 x yz   x  y  z Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Bài toán 29.[3] ABC tam giác bất kì, chứng minh với x   x  cos A  (cos B  cos C ) x ta có: (1) Lời giải Ta có: 40  x  x (cos B  cos C )  2(1  cos A)  , x  (1)  '  (cos B  cos C )      (  cos A) BC B C cos 2 A B C 4sin cos  2  4cos sin A  B C  cos 2 4sin 4sin   1  A   A   0 (2) (2) suy (1) Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Bài toán 30.[16] Cho a , b , c cạnh ABC có chu vi Chứng minh rằng: a  b2  c  abc  Lời giải Nếu a  từ Vậy b  c  a   a  Tƣơng tự ta có:  b 1  Vơ lý  c  (1  a)(1  b)(1  c)   a  b  c  ab  bc  ca  abc  Ta có:  abc  ab  bc  ca  a  b  c  Mà  a b  c  (1)  (a  b  c)  a  b  c  2(ab  bc  ca)  ab  bc  ca Từ (1) (2) suy  2 abc  ( a  b2  c2 )   (2) ( a  b2  c ) a  b2  c  abc  Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Bài toán 31.[18] Cho A, B, C góc ABC Chứng minh rằng: 41 cos A  cos B  cos C  Lời giải Ta có: VT = 2cos  cos Vì  2sin f '( x)  cos sin C A B cos 2 f ( x)  2sin Xét hàm số: Khi đó: A B   VT A B A B C A B cos  cos C  2sin cos  cos C 2 2 Bảng biến thiên hàm x     cos 2sin C  cos C  x  với   cos C x  cos x x  sin x f '( x) C x x 1  2sin  2 2 x    (0 ;  ) f ( x)  f '( x) f ( x)  + - 1 Suy VT  Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh 42 KẾT LUẬN Khóa luận “ Ứng dụng đa thức vào giải toán sơ cấp “ hoàn thành đƣợc mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể thực đƣợc vấn đề sau: 1) Trình bày tóm tắt vành đa thức ẩn, nhiều ẩn ặc biệt vành đa thức đối xứng, từ giới thiệu cơng thức Viete tổng quát 2) Ứng dụng đa thức để giải số lớp toán sơ cấp, cụ thể giải tốn sau:  Tính tích phân hàm hữu tỉ  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, biểu thức  iải phƣơng trình lùi  iải hệ phƣơng trình đối xứng hai ẩn loại  Chứng minh bất đẳng thức  Các toán nhận dạng tam giác 3) ối với lớp tốn có phƣơng pháp giải nhiều ví dụ minh họa rõ ràng y vọng nội dung khóa luận cịn tiếp tục đƣợc phát triển mở rộng nhiều nhằm thể ứng dụng đa dạng hiệu đa thức toán sơ cấp 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan ữu Chân (1978), Đại số sơ cấp - Tập 2, Nhà xuất giáo dục [2] Việt ải (2010), “Sử dụng bất đẳng thức Bunhiaskopky giải tốn”, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ (số 485), tr 183 [3] Trần Văn ạo (2006), Chuyên đề luyện thi vào đại học Đại số, Nhà xuất giáo dục [4] Trần Văn ạo (2004), Chuyên đề luyện thi vào đại học Lượng giác, Nhà xuất giáo dục [5] Trần Văn ạo (2005), Chuyên đề luyện thi vào đại học Bất đẳng thức, Nhà xuất giáo dục [6] Phan uy Khải (1999), Toán bồi dưỡng học sinh nguyên hàm tích phân 12, Nhà xuất Nội [7] [8] oàng Kỳ (1999), Đại số sơ cấp - Tập 2, Nhà xuất giáo dục Lê Hồnh Phị (2013), Chun khảo đa thức, Nhà xuất đại học quốc gia Nội [9] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương , Nhà xuất giáo dục [10] Nguyễn Thủy Thanh (2001), Hướng dẫn giải tập Giải tích tốn học - Tập 1, Nhà xuất đại học quốc gia Nội [11] Nguyễn ình Trí (2003), Tốn cao cấp - Tập 2, Nhà xuất giáo dục [12] http://www.slideshare.net/Truonghocso/19-phng-phap-chng-minh-bt-ng-thc [13] http://sangkienkinhnghiem.org/sang-kien-kinh-nghiem-dinh-ly-vi-et-va-ungdung-2160/ [14] http://tailieu.vn/doc/cac-bai-toan-ve-da-thuc-nghiem-cua-da-thuc-nguyenminh-duc-1757191.html [15] http://123doc.org/document/1548678-phuong-phap-tim-gia-tri-lon-nhat-giatri-nho-nhat-cua-bieu-thuc-chua-2-bien-docx.htm?utm_source=search&utm_ 44 campaign=clickSearch&utm_medium=clickSearchDoc [16] http://chuyen-qb.com/web/tochuyenmon/toan/thuvien/1120-da-thuc-va-ungdung [17] http://doc.edu.vn/tai-lieu/chuyen-de-he-phuong-trinh-doi-xung-loai-i-61305/ [18] https://123tailieu.com/chuong-11-nhan-dang-tam-giac.html [19] http://www.academia.edu/7569046/B%E1%BA%A4T_%C4%90%E1%BA% B2NG_TH%E1BB%A8C_H%C3%8CNH_H%E1%BB%8CC [20] http://d.violet.vn//uploads/resources/511/1123182/preview.swf [21] http://123doc.org/document/1944328-su-dung-tam-thuc-bac-hai-de-chungminh-bat-dang-thuc-ppt.htm 45 ... an bn 10 Chương ỨNG DỤNG ĐA THỨC TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chương nội dung khóa luận, trình bày số ứng dụng đa thức tốn sơ cấp §1 ỨNG DỤNG ĐA THỨC TRONG GIẢI TÍCH Ứng dụng đa thức để tính tích... 29 2.3 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức 31 2.3.1 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức đại số 31 2.3.2 Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác... tượng phạm vi nghiên cứu - a thức ẩn, đa thức nhiều ẩn - a thức đối xứng, Công thức Viete - Các tốn sơ cấp ứng dụng đa thức để giải - Quy trình giải lớp toán đa thức Phương pháp nghiên cứu -