HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THIỆN TRUNG HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS TS Trần Đạo Dõng Đà Nẵng – Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan là công trình nghiên cứu của riêng Các số liệu kết quả nêu luận văn là trung thực và chưa từng được công bố bất kỳ công trình nào khác Học viên Lê Thiện Trung MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .1 Nhiệm vụ nghiên cứu .1 Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC 1.1 CÁC PHÉP TOÁN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 1.1.1 Các khái niệm liên quan đến lượng giác 1.1.2 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1.1.3 Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt: .5 1.1.4 Các hệ thức bản của hàm số lượng giác 1.1.5 Các công thức lượng giác 1.2 CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC8 1.2.1 Một số đẳng thức lượng giác bản tam giác 1.2.2 Các bất đẳng thức lượng giác tam giác 1.2.3 Một số bất đẳng thức khác thường gặp 1.3 HỆ THỨC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ TRONG TAM GIÁC 10 1.3.1 Các định lí tam giác 10 1.3.2 Các hệ thức lượng giác bản tam giác 13 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀO GIẢI TOÁN 16 2.1 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC .16 2.2 BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC PHỐI HỢP TRONG TAM GIÁC 27 2.3 BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 31 2.4 BÀI TỐN VỀ HÌNH CHIẾU, ĐỘ DÀI TRONG TAM GIÁC 41 2.5 BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG TAM GIÁC 55 2.6 HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TỨ GIÁC VÀ ĐA GIÁC 62 2.7 HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN 72 KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong quá trình giảng dạy và tìm hiểu qua các tài liệu tham khảo, nhận thấy việc giảng day và học tập môn Toán dành cho học sinh bậc phổ thông trung học (PTTH) gặp rất nhiều trở ngại và khó khăn liên quan đến khái niệm lượng giác và các ứng dụng của lượng giác liên quan đến giải tích, hình học và đại sớ Với mong ḿn tìm hiểu thêm vai trò của hệ thức lượng giác chương trình toán bậc phổ thông trung học( PTTH) và được sự định hướng của PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” chương trình toán bậc PTTH để làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình Trong luận văn này, trước hết giới thiệu các hệ thức lượng giác, các đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác được nhắc đến chương trình Toán bậc phổ thơng trung hoc (PTTH) Tiếp đó, chúng tơi ứng dụng các hệ thức lượng giác, các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để khảo sát số dạng toán bản tam giác, tứ giác, đa giác và đường tròn Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác các hệ thức lượng giác để khảo sát số chủ đề hình học sơ cấp thể hiện qua các dạng bài toán hệ thức bản của các hàm lượng giác, bài toán đẳng thức và bất đẳng thức tam giác, đa giác và đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả và chất lượng giải toán cho học sinh Nhiệm vụ nghiên cứu Khai thác công cụ hệ thức lượng giác thể hiện qua các dạng bài toán mang đặc trưng hình học hệ thức bản của các hàm lượng giác, bài toán chúng minh và rút gọn các đẳng thức lượng giác, bài toán đẳng thức và bất đẳng thức tam giác, đa giác, đường tròn Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu các dạng bài toán hệ thức lượng giác và hệ thống kiến thức - Trao đổi và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn - Nâng cao kiến thức số chủ đề Toán thuộc chương trình bậc phổ thông trung học - Góp phần phát huy tính tư và tự hoc của học sinh Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành chương: Chương 1: Các hệ thức lượng giác Chương này, trình bày sơ lược các kiến thức bản sau: số định nghĩa, các tính chất, các cơng thức lượng giác, các hệ thức lượng giác, các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và bất đẳng thức đại số để làm sở cho chương sau Chương 2: Ứng dụng hệ thức lượng giác vào giải toán Chương này trình bày số ứng dụng của hệ thức lượng giác vào giải các bài toán chương trình toán bậc phổ thông trung học Cụ thể là các bài toán các đẳng thức, bất đẳng thức bản, các đẳng thức phối hợp tam giác Bài toán các định lý, độ dài và hình chiếu, bài toán cạnh và khoảng cách tam giác Bài toán hệ thức lượng giác tứ giác và đa giác, hệ thức lượng tam giác đường tròn CHƯƠNG 1: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC Trong chương này, tơi trình bày số kiến thức liên quan đến lượng giác như: hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác bất đẳng thức đại số để làm sở cho việc ứng dụng chương Các nội dung chi tiết xem trang (7), (9), (10), (11), (14) 1.1 CÁC PHÉP TOÁN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 1.1.1 Các khái niệm liên quan đến lượng giác Định nghĩa 1.1.1 (Đường tròn lượng giác): Trên mặt phẳng Oxy, dựng đường tròn định hướng tâm O, bán kính R  Lấy A (1;0) làm điểm gốc cho các cung lượng giác, đường tròn vậy được gọi là đường tròn lượng giác Hình 1.1 Định nghĩa 1.1.2 (Đường tròn định hướng): là đường tròn ta chọn chiều chuyển động làm chiều dương (chiều ngược chiều kim đồng hồ) và chiều ngược lại là chiều âm Định nghĩa 1.1.3 (Cung lượng giác): Trên đường tròn định hướng tâm O ta lấy hai điểm A và B Điểm M chạy đường tròn từ A đến B theo chiều � , điểm A là điểm đầu và nhất định vạch nên cung lượng giác ký hiệu là AB � ký hiệu là sđ AB � là điểm B là điểm cuối Số đo của cung lượng giác AB sớ đo của góc lượng giác (OA, OB) tương ứng 1.1.2 Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác mặt phẳng tọa độ � có sđ AM � = Oxy cho cung AM t y s' (0o � �180o ) , giả sử M( T B S M K A' OH,OK ) Khi ta định nghĩa: s A x H O Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của  và kí hiệu là B' t' sin  , với sin   OK Hình 1.2 Hoành độ x  OH của điểm M gọi là cosin của  và kí hiệu là cos , với cos   OH Nếu cos  �0 , tỉ số Ta có tan   sin  (cos  �0) cos  Nếu sin  �0 , tỉ số Ta có cot   sin  gọi là tang của  và kí hiệu là tan  cos  cos  gọi là cotang của  và kí hiệu là cot  sin  cos  (sin  �0) sin  Các giá trị sin  , cos , tan  , cot  được gọi là giá trị lượng giác của cung  Trục Ox gọi là trục cos , trục Oy là trục sin Trục At gọi là trục tang, trục Bs gọi là trục cotang Nhận xét: Do 1 �OK �1 , 1 �OH �1 nên ta có: 1 �sin  �1 , 1 �cos  �1 - sin  và cos xác định với mọi  �� sin(  k2)  sin  , k �� cos(  k2)  cos  , k �� -  tan  xác định với mọi  �  k , k �� tan(  k)  tan  , k �� - cot  xác định với mọi  �k , k �� cot(  k)  cot  , k �� 1.1.3 Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt: Trong lượng giác ta thường gặp sớ trường hợp góc có liên quan sau: a Hai góc đối nhau: Hai góc đới có cos nhau, sin, tg, cotg đới sin( )   sin() , tan( )   tan( ), cos()  cos  , cot(  )   cot  b Hai góc  : Hai góc  có sin, cos đối nhau, tg và cotg sin(  )   sin  , tan(  )  tan  , cos(   )   cos  , cot(   )  cot  c Hai góc bù nhau: Hai góc bù có sin nhau, cos, tg, cotg đới sin(   )  sin() , cos(  )   cos(), tan(  )   tan() , cot(   )   cot( ) d Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ có sin góc này cosin góc kia, tan góc này cotg góc  sin(  )  cos  ,  tan(  )  cot  ,  cos(  )  sin  ,  cot(  )  tan  1.1.4 Các hệ thức hàm số lượng giác sin   cos   , tan   sin  cos  cot   cos  sin   (  �  k,k ��) , ( �k,k ��) , tan  cot   ,    tan  ( �  k,k ��) , cos    cot  (  �k,k ��) sin  1.1.5 Các công thức lượng giác a Công thức cộng sin(  )  sin .cos   sin .cos  , sin(  )  sin .cos   sin .cos  , cos(  )  cos .cos   sin .sin  , cos(  )  cos .cos   sin .sin  , tan(  )  tan   tan  ,  tan .tan  tan(  ) = tan   tan   tan .tan  b Công thức nhân đôi cos 2  2.cos   , sin 2  2.sin .cos  , 71 Hình 2.23 Theo giả thiết AB=BC=DE=R nên OAB, OBC, ODE là các tam giác �  DOC �  1800 Từ ta suy ra: AOE Trong tam giác cân OCD ( OC  OD  R ) �  OCD �  ODC �  1800 � 2DCO �  DOC �  1800 Ta có: DOC �  AOE � �  2DCO � � AON �  MCO � Suy AOE (do AON ) Vậy  AON   MCO nên suy ON=CM Xét tam giác ONB và tam giác CMB �  BCM � Ta có: BON , ON  CM và OB  BC  R �  CBM � Suy  ONB   CMB nên ta có BN  BM và OBN �  600 (do  OBC đều) Ta có OBC �  OBM �  600 hay NBM �  MBC �  600 � NBO �  600 Mặc khác OBM �  600 suy  BMN Trong tam giác BMN, ta có BM  BN và NBM �   (00 � �900 ) , theo định lý hàm số cos tam giác BMN Ta đặt AON 72 � Ta có: BN  ON  OB2  2ON.OBcos BON � BN  R  R cos   2R cos .cos(  60)0 � BN  R  �  cos   2cos .(cos  cos600  sin  sin 600 ) � � � � � � 3� � R � � BN  R �  sin  cos   sin  1 ��R � � � � � � � � Vậy Max  BMN  3Max BN   R Dấu xảy � sin 2  �   450 Nhận xét: Ta sử dụng tính chất của tam giác đếu và định lý hàm cos tam giác để chứng minh Bài toán 2.1.53 Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường tròn (O, R) � � � ln tồn góc Chứng minh các góc DAE, EAB, DEB  ,saocho: � � � � � ��1   cos  � �  cos DAE �  cos EAB �  cos DEB  cos  � � � (2.46) � �� �� � Giải: Hình 2.24 73 � D �  1800 Do tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn tâm O nên EAB � � �  cos D � ,� � Ta có cos EAB DAE  B1 suy cos DAE  cos B1 �� � � � ��1   cos  �  cos B �  cos D �  cos E  cos  � Ta có � 1 1� � �.(2.47) � �� �� � �D � �E � nên suy E � �600 Khơng mất tính tổng quát , giả sử B 1 1 �� � �  cos B �  cos D �  cos B � cos D �  cos B �  cos D Ta có � 1 1 1 � �� � �  cos 2D � � � �D � )  cos(B �D � )� cos 2B cos(B =2  � 1� 1 1 � 2� 4� �.cos(B �D � )  cos E �  2cos E �.cos(B �D � )  cos (B �D � )�  4cos E = � 1 1 1 1 � � �.cos(B �D � )  cos E �  cos (B �D � )�  6cos E = � 1 1 1 � 4� �.cos(B �D � )  cos (B �D � )   cos E � �  6cos E = � 1 1 1� � (2.48) �D � )   6cos E �.cos(B �D � ) �6cos E � Ta chứng minh cos (B 1 1 1 �D � )� �  (1  cos(B �D � ) ��0  cos(B � 6cos E Ta có: � 1 � 1 � � � � �۳ � �600 nên cos E Do  E 1 (2.49) � Vậy (2.49) 6cos E �� � ��1 � �  cos E ��  cos B �  cos D  6cos E Kết hợp với (2.48) ta có: � 1 1� � �� � 4� 2 � �� �� � �� � �� � � �  cos B  cos D  cos E �  cos E  cos E Vậy � 1 1 1� � �� �� � 4� �� �  DEB � Nên ta chọn   E 74 Các toán tham khảo: Bài toán 2.1.54 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi R1 ,R ,R ,R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh nếu R1R  R R thì tứ giác ABCD nội tiếp Bài toán 2.1.55 Cho tứ giác lồi ABCD có AB  a,BC  b,CD  c,AD  d và �  ,BCD �  ABC Chứng minh rằng: d  a  b  c2  2abcos   2bccos   2accos(  ) Bài toán 2.1.56 Cho đa giác lồi A1A A n 1A n với độ dài các cạnh là  a1 , a , , a n Chứng minh : a 21  a 2   a n  4Stan n Bài toán 2.1.57 Giả sử p n , Pn lần lượt là chu vi của các đa giác n cạnh nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn bán kính R Chứng minh : p n  Pn �2R 2.7 HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRỊN Phương pháp giải: Đới với dạng toán này ta sử dụng các hệ thức lượng giác tam giác để giải số bài toán liên quan đến đường tròn Sau là sớ bài toán minh họa, tham khảo tài liệu [3], [4], [5], [7], [8], [10] Bài toán 2.1.58 Cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A1 ,B1 ,C1 Đặt AB=c, BC=a, CA=b, A1B1  c1 , B1 C1  a1 , C1 A1  b1 2 �a � �b � �c � Chứng minh : � � � � � ��12 �a1 � �b1 � �c1 � Giải : 75 Hình 2.25 Ta có : a1  B1C1  (p a)sin Vậy a 21  (b c a)2 sin A A  (b c a)sin 2 A  (b c a)2 (1  cos A) 2 (b  c  a ) ) = (b  c a) (1  2bc a 21  (b  c a)2 � a  (b  c) � � � 4bc b 2c2 bc 2 2 � b  (c  a) � � c  (a  b) � = � � ��4bc � 4bc � bc Suy a 21 � Ta có b1  C1A1  (p b)sin b 21  (a  c b)2 sin B B  (a  c b)sin 2 B  (a  c b) (1  cosB) 2 (a  c  b )  (a  c b) (1  ) 2ac 76 b 21  1 a 2c 2 2 2 � � � � � (a  c b) � b  (a  c)  a  (c  b) c  (b  a) � � � 4ac � �� � 4ac 4ac ca Suy b 21 � ab Trình bày cách tương tự ta chứng minh được: c21 � 2 �a � �b � �c � �a b c � a b2 c2 Vậy � � � � � ��4 �   ��4.3 �12 bc ca ab �a1 � �b1 � �c1 � �bc ca ab � Nhận xét: Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp kết hợp với công thức hạ bậc và định lý hàm cos Từ ta chứng minh tương tự đới với các bán kính lại Bài tốn 2.1.59 I, r tương ứng là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC R,R1 ,R ,R lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, BIC, CIA, AIB Chứng minh rằng: R1R R  2rR Giải : Hình 2.26 77 Theo định lý hàm số sin, tam giác BIC ta có: BC  2R1 � R1  � sin BIC BC BC  � B  C � 2sin( B  C ) 2sin � ( )� 2 � � (2.50) Trong tam giác ABC: ABC � BC  A A �B  C � � A �   � sin � � sin �  � cos (2.51) 2 2 � � �2 � Trong tam giác ABC có BC A A  2R � BC  2R sin A  4R sin cos (2.52) sin A 2 Thay (2.52) , (2.51) vào (2.50), ta thu được R1  2R sin A Chứng minh tương tự với tam giác CIA và tam giác AIB, Ta có : R  2R sin B C , R  2R sin 2 Suy ra: R1R R  8R sin A B C sin sin 2 Diện tích tam giác ABC: S ABC  pr  Với (2.53) abc abc �r 4R 4Rp a  2R sinA  4R sin A A cos (theo định lý hàm sin ) 2 b  2R sinB  4R sin B B cos 2 c  2R sinC  4R sin C C cos 2 Ta có: p  R(sin A  sin B  sin C)  4R cos r  4R sin A B C sin sin 2 A B C cos cos 2 (2.54) 78 Thay (2.54) vào (2.53) ta thu được R1R R  2rR Bài toán 2.1.60 Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung BC < 2R Điểm A chuyển động cung lớn BC, điểm D chuyển động cung nhỏ BC Tìm vị trí của A và D để T  1   nhỏ nhất DA DB DC Giải : Hình 2.27 Từ tâm O ta kẻ đường kính EF  BC K, kẻ DH  BC H Từ ta suy các điểm F, K, E cố định 1 (2.55) � AD �2R nên suy Ta có: AD 2R Mặc khác DH �EK Vậy DH.BC EK.BC S DBC �S EBC � � DB.DC.sin BDC BE.EC.sin BEC � DB.DC.sin(  A) �BE.EC.sin(   A) Suy DB.DC �BE.EC �BE Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 1 2  � � DB DC DB.DC BE (2.56) 79 Từ (2.55) và(2.56) ta suy T  1 1   �  DA DB DC 2R BE Vậy dấu xảy � DA trùng với đường kính EF Nhận xét: Ta sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp và cơng thức tính diện tích tam giác kết hợp với bất đẳng thức côsi để chứng minh bài toán 2.1.60 Bài toán 2.1.61 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi (O1 ,R1 ) , (O ,R ) , (O3 ,R ) là các đường tròn tiếp xúc ngoài với (O, R) đồng thời tiếp xúc với các cặp tia (AB, AC) , (BC, BA) , (CA, CB) và r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Chứng minh : R1  R  R �12r Giải : Trước hết ta cần chứng minh: abc �8(p  a)(p  b)(p  c)ABC (2.57) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: (p  a)  (p  b) �  2p  (a  b)  c2 � (p  a)(p  b) �� � � � 2 � � (2.58) (p  b)  (p  c) �  2p  (b  c)  a2 � (p  b)(p  c) �� � � � 2 � � (2.59) (p  c)  (p  a) �  2p  (c a)  b2 � (p  c)(p  a) �� � � � 2 � � (2.60) 2 2 2 �abc � Từ (2.58), (2.59), (2.60) ta suy  (p  a)(p  b)(p  c)  �� � �8 � Vậy abc �8(p  a)(p  b)(p  c) Bài toán 2.61 được trình bày sau: 80 Hình 2.28 Giảsử (O1 , R1 ) tiếp xúc với tia AB, AC M, N Ta kẻ OK    MO1 Đặt AM  x , ta được AK  c c suy MK  OE  x  2 �  R.cosC Xét AKO có OK  R.cos AOK O1E  R1  ME  R1  OK  R  R.cosC Áp dụng định lý Pitago tam giác vng OEO1 , ta có: 2 � c� OO  OE  EO1 � (R  R1 )  � x  �  R1  R cosC  � 2� 2 2 c � R  R  2RR  x  x.c  R  2RR cos C   R cos C 2 2 � 2RR1 (1  cosC)  x(x  c) Do AO1 là đường phân giác của tam giác MNA, và tam giác AMO1 vuông M, ta có: A MO1 R r R (p  a) A tan    � x ( r  (p  a)tg MA x pa r 2RR1 (1  cosC) Ta có: 2RR1 (1  cos C)  x(x  c) � x  c  x 81 (1  cosC)   a  b  c2 (a  b)  c (a  b  c)(a  b  c) 2p(p  c)    2ab 2ab 2ab ab Ta có: abc S 2p(p  c) 2Rr(1  cosC) c(p  a)  c(p  c) bc 4S p ab x c c   pa pa pa p a Suy R1  x.r b.c.r  p  a  p  a Tương tự ta có: R2  x.r a.c.r  p  b  p  b R3  x.r a.b.r  p  c  p  c � b.c.r c.a.r a.b.r �   Ta có: R1  R  R  � 2 2�  p  a   p  b  p  c � � � b.c � c.a a.b � � abc  r�   � 3r � � � 2 p  a p  b p  c       p  a p  b p  c       � � � � � � Suy R1  R  R �3.r 64 �12r Nhận xét: Ta sứ dụng hệ thức lượng giác tam giác vuông và định lý hàm số cos kết hợp với bất đẳng thức Côsi để chứng minh Các toán tham khảo: Bài toán 2.1.62 Cho tam giác ABC nhọn,gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và r, R là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 1   �  IA IB IC 3R 3r 82 Bài toán 2.1.63 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) và ngoại tiếp đường tròn (I,r) Gọi AA1 ,BB1 ,CC1 là ba đường phân giác của các góc A,B,C Gọi A ,B2 ,C2 là hình chiếu của I lên B1C1 , C1A1 , A1B1 Chứng minh rằng: 1) IA  R.r ( với I A là tâm đường tròn bàng tiếp của góc A) IA I 2) IA  IB2  IC2 �6.r 3R 11R  2r Bài toán 2.1.64 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Các đường phân giác của các góc A, B, C đồng qui taị I và cắt (O,R) lần lượt A1 , B1 , C1 Chứng minh rằng: 1   � IA1 IB1 IC1 R 83 KẾT LUẬN Trong luận văn này, mong muốn khảo sát và ứng dụng số phương pháp giải liên quan đến hệ thức lượng giác, nhằm mục đích sử dụng cho chương trình bồi dưỡng chuyên đề lượng giác bậc PTTH Luận văn tập trung khảo sát và phân loại số dạng toán được giải hệ thức lượng giác thông qua các bài toán minh họa chương bao gồm các bài toán các đẳng thức, bất đẳng thức bản, các đẳng thức phối hợp tam giác; bài toán các định lý, độ dài và hình chiếu, bài toán cạnh và khoảng cách tam giác, bài toán hệ thức lượng giác tứ giác và đa giác, hệ thức lượng tam giác đường tròn Do thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn có hạn, trình độ bản thân hạn chế nên sai sót là khơng thể tránh khỏi Kính mong q thầy cơ, bạn bè có góp ý chân thành để luận văn được hoàn chỉnh Cuối xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp Đặc biệt là lời tri ân đến PGS.TS Trần Đạo Dõng nhiệt tình hướng dẫn suốt năm qua Đồng thời, vô biết ơn các tác giả của tài liệu tham khảo đă được sử dụng luận văn này Xin chân thành cảm ơn! Học viên: Lê Thiện Trung 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Quang Anh, Nguyễn Thành Dũng,Trần Thái Hùng, Để giải tốt các bài toán tuyển sinh đại học lượng giác, NXB ĐỒNG NAI năm 1994 [2] Võ Anh Dũng, Trần Đức Khuyên, giải toán lượng giác 11, NXB Giáo dục năm 2009 [3] Võ Giang Giai, Tuyển tập 400 bài toán lượng giác, NXB Đại học Sư Phạm, 2007 [4] Trần Văn Hạo, chuyên đề luyện thi vào Đại học Lượng giác, NXB Giáo dục, 2009 [5] Phan Huy Khải, Lượng giác, NXB Giáo dục, 2009 [6] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyên Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn, Chuyên đề chọn lọc lượng giác và áp dụng, 2008 [7] Nguyễn Nguyên, Toán khó lượng giác, NXB Đồng Nai, 1996 [8] Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Văn Thổ, Chuyên đề Lượng giác, NXB Tổng hợp Tp Hồ Chí Minh, 2007 [9] Phạm Tấn Phước, Các chuyên đề Lượng giác, NXB Tp.HCM, 1999 [10] Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán –Hệ thức lượng giác, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2010 [11] Phan Văn Phùng, 111 đề thi tuyển sinh đại học - lượng giác, NXB Trẻ, năm 1991 85 [12] Huỳnh Công Thái, Chuyên đề lượng giác – Đẳng thức, Bất đẳng thức tam giác, NXB Đại học Quốc Gia Tp.HCM, 2002 ... LƯỢNG GIÁC VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP Trong chương này, chúng tơi trình bày số ứng dụng quan trọng hệ thức lượng giác vào việc giải toán liên quan, cụ thể như: toán đẳng thức, bất đẳng thức bản, đẳng thức. .. HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC Trong chương này, tơi trình bày số kiến thức liên quan đến lượng giác như: hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác bất đẳng thức đại số để làm sở cho việc ứng. .. CHIẾU, ĐỘ DÀI TRONG TAM GIÁC 41 2.5 BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG TAM GIÁC 55 2.6 HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TỨ GIÁC VÀ ĐA GIÁC 62 2.7 HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN