Hệ thức lượng giác và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRỊNH THỊ XUÂN TRANG HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn TRỊNH THỊ XUÂN TRANG MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Nội dung luận văn CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1.1 Đẳng thức lƣợng giác 1.1.2 Bất đẳng thức lƣợng giác 1.1.3 Định lý sin, định lý côsin, định lý tang 1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ THƢỜNG GẶP 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 1.2.3 Bất đẳng thức Chebyshev 1.2.4 Bất đẳng thức Svacxơ: CHƢƠNG HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC 2.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TAM GIÁC 2.1.1 Nhận dạng tam giác vuông 2.1.2 Nhận dạng tam giác cân 13 2.1.3 Nhận dạng tam giác 16 2.2 CÁC BÀI TỐN VỀ CẠNH VÀ GĨC CỦA TAM GIÁC 24 2.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG PHÂN GIÁC, ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƢỜNG CAO CỦA TAM GIÁC 30 2.4 CÁC BÀI TỐN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC 41 2.5 CÁC BÀI TOÁN VỀ BÁN KÍNH ĐƢỜNG TRỊN NỘI TIẾP, NGOẠI TIẾP CỦA TAM GIÁC 49 CHƢƠNG HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TỨ GIÁC 56 3.1 CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TỨ GIÁC 56 3.2 CÁC BÀI TỐN VỀ CẠNH VÀ GĨC CỦA TỨ GIÁC 61 3.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TỨ GIÁC 68 KẾT LUẬN 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT DỊNH GIAO DỀ TAI LUẬN VAN THẠC SI (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lƣợng giác lĩnh vực toán học, tồn , phát triển hàng ngàn năm qua, có nhiều ứng dụng khoa học thực tiễn Trong khuôn khổ chƣơng trình tốn phổ thơng hành, lƣợng giác đƣợc giảng dạy vào cuối năm lớp 10 đầu năm lớp 11 với chủ đề nhƣ: công thức lƣợng giác, phƣơng trình lƣợng giác hệ thức lƣợng giác Tuy nhiên, chủ đề hệ thức lƣợng giác đặc biệt phần ứng dụng đƣợc đề cập đến với thời lƣợng không nhiều mức độ định Hệ thức lƣợng giác chuyên đề tƣơng đối khó học sinh phổ thông Đồng thời, đề thi tuyển sinh Đại học cao đẳng, thi học sinh giỏi toán quốc gia, quốc tế năm thƣờng gặp tốn có liên quan đến hệ thức lƣợng giác ứng dụng Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn trƣờng phổ thơng, với mục đích tìm hiểu ứng dụng lƣợng giác chƣơng trình trung học phổ thơng, nên tơi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ : “Hệ thức lƣợng giác ứng dụng ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu kiến thức lƣợng giác, đặc biệt hệ thức lƣợng giác Hệ thống phân loại số lớp tốn giải đƣợc hệ thức lƣợng giác Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Các hệ thức lƣợng giác Các ứng dụng hệ thức lƣợng giác tam giác tứ giác Các toán thuộc chƣơng trình phổ thơng giải đƣợc cách sử dụng hệ thức lƣợng giác Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến ngƣời hƣớng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn đƣợc chia thành chƣơng Chƣơng Trình bày sơ lƣợc hệ thức lƣợng giác số bất đẳng thức đại số hay sử dụng chƣơng sau Chƣơng Trình bày toán hệ thức lƣợng giác tam giác Chƣơng Trình bày tốn hệ thức lƣợng giác tứ giác CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Chƣơng nhắc lại hệ thức lƣợng giác số bất đẳng thức đại số nhằm làm sở cho chƣơng sau Các chi tiết liên quan xem [8], [12] 1.1 CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.1.1 Đẳng thức lƣợng giác a Độ dài đường trung tuyến tam giác m  a  b2  c2   a ; m  b  a  c2   b2 ; m  c  a  b2   c2 b Độ dài đường cao tam giác  2S a ; hb  2S b hc  ; 2S c c Độ dài đường phân giác tam giác la  2bc cos A bc ; lb  2ac cos B ac ; lc  2ab cos C ab d Diện tích tam giác 1 1 1 S  aha  bhb  chc ; S  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 2 2 S abc 4R ; S  pr ; S p  p  a  p  b  p  c  S   p  a   rb  p  b   rc  p  c  e Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác R  a b c abc    2sin A 2sin B 2sin C 4S f Bán kính đường trịn nội tiếp r  S ; r  p  p  a  tan A B C   p  b  tan   p  c  tan 2 g Bán kính đường trịn bàng tiếp góc tam giác  S pa ; rb  S p b ; rc  S pc h Các đẳng thức lượng giác tam giác A B C sin A  sin B  sin C  4cos cos cos 2 sin A  sin B  sin 2C  4sin A.sin B.sin C sin A  sin B  sin C   2cos Acos B cos C sin A B C A B C  sin  sin   2sin sin sin 2 2 2 cos A  cos B  cos C   4sin A B C sin sin 2 cos A  cos B  cos 2C    4cos A.cos B.cos C cos2 A  cos2 B  cos2 C   2cos Acos B cos C cos A B C A B C  cos  cos   2sin sin sin 2 2 2 tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C tan A B B C C A tan  tan tan  tan tan  2 2 2 cot A cot B  cot B cot C  cot C cot A  cot A B C A B C  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 1.1.2 Bất đẳng thức lƣợng giác a  b  c  sin A  sin B  sin C sin A  sin B  sin C  sin 3 ; A B C  sin  sin  2 2 sin A B C  sin  sin  2 cos A  cos B  cos C  sin A.sin B.sin C  3 ; sin A  sin B  sin C  ; A B C sin sin sin  2 cos A.cos B.cos C  ; cos A.cos B.cos C  1  cos A1  cos B 1  cos C  cos A B C 3  cos  cos  ; 2 2 cos A  cos B  cos C  ; A B C 3 cos cos cos  2 cos A B C  cos  cos  2 tan A  tan B  tan C  3 (  ABC nhọn) tan A  tan B  tan C  (  ABC nhọn) tan A B C  tan  tan  2 tan A  tan B  tan C  cot ; A B C  tan  tan  2 A B C  cot  cot 2 cot A  cot B  cot C  cot tan A B C  cot  cot  3 2 ; cot A  cot B  cot C  ; cot A B C  cot  cot  2 1.1.3 Định lý sin, định lý côsin, định lý tang a Định lý côsin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta có: a  b  c  2bc cos A ; b  a  c  2ac cos B ; c  a  b  2ab cos C b Định lý sin Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta có: a b c    2R sin A sin B sin C c Định lý tang Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c ta có: A B a b ;  A B a  b tan tan BC bc ;  BC b  c tan tan CA ca  CA ca tan tan 63 Nếu cos A B CD A B CD  cos   cos  cos 2 2 Khi đó: a Nếu A B C  D   2 A B C  D   A  D  B  C  1800  sin A  sin D ; sin B  sin C 1  0 sin A sin B sin C sin D Từ (3.18) suy đpcm b Nếu A B CD  2 Lập luận nhƣ phần a suy đpcm Bài toán 3.10 [9] Cho tứ giác ABCD nội tiếp Đƣờng tròn với tâm cạnh AB tiếp xúc với ba cạnh kề Chứng minh: AD  BC  AB Giải: D N C P M A B O Gọi O tâm đƣờng tròn  O  AB  tiếp xúc với AD, DC, CB lần lƣợt    M, N, P Ta có: AB  OA  OB  R    sin A sin B  (3.19) 64 AD  AM  MD  R cot A  R cot D , BC  BP  PC  R cotB R cot C C D   Từ AD  BC  R  cot A  cot   R  cot B  cot  2 2    cos A  cos C   cos B  cos D   R   R     sin C  sin D   sin A  sin B (3.20) Do ABCD tứ giác nội tiếp nên A  C  B  D  1800  sin A  sin C ; sin B  sin D ; cos A   cos C ; cos B   cos D Vì từ (3.20) suy ra:   cos A  cos A   cos B  cos B   AD  BC  R       R   R  sin A sin A sin B sin B sin A sin B       (3.21) Từ (3.19), (3.21) suy đpcm Bài toán 3.11 [3] Cho tứ giác ABCD có AB = a’, BC = b’, CD = c’, DA = d’ hai đƣờng chéo AC = m, BD = n Chứng minh rằng: a '2  b '2  c '2  d '2  3S ABCD  m  n2   Giải: Gọi M N lần lƣợt trung điểm AC BD Áp dụng công thức đƣờng trung tuyến tam giác ta có đẳng thức a'2  b'2  c'2  d '2  m2  n2  4MN 65 Suy a'2  b'2  c'2  d '2  m2  n2 Dấu xảy M trùng với N Do đó: a b c d '2 '2 '2  m2 3n2  m2  n2      2   '2 m2  n 3mn  m2  n  3S ABCD  Dấu xảy A  C  600 , B  D  1200 Bài toán 3.12 [11] Cho hình bình hành ABCD với hai cạnh a, b (a > b), hai đƣờng chéo 2x, 2y (x > y) Gọi  góc nhọn hình bình hành 1 góc nhọn hai đƣờng chéo Chứng minh: cos  cos 1  x  y  a  b2  4abxy Giải: D C x O β β1 y B Theo Định lý cơsin, ta có: b2  x2  y  2xy cos 1 y  a2  b2  2ab cos  Từ (3.22) suy ra: xy cos 1  x2  y  b2 Từ (3.23) suy ra: 2ab cos   a  b2  y (3.22) (3.23) 66 Vì x  y  2a  2b2  x  y    4abxy cos  cos 1  cos  cos 1 x  x a  b2  y  a  b2   y  a  b2  4abxy (đpcm) Bài tốn 3.13 [10] Cho hình chữ nhật ABCD M điểm tùy ý tan AMC hình chữ nhật Chứng minh rằng: tan AMD  S AMC SBMD Giải: C B M O D A tan AMC Ta có: tan AMD  cot BMD (3.24) cot AMC Áp dụng Định lý côsin tam giác BMD AMC ta có: cot BMD cot AMC  BM  MD  BD 4S BMD AM  MC  AC 4S AMC  S AMC BM  MD  BD S BMD AM  MC  AC (3.25) Gọi O tâm hình chữ nhật Theo hệ thức lƣợng tam giác BMD, AMC, ta có: 67 BM  MD  BD AM  MC  AC BD 2MO   BD 2  1 AC 2 2MO   AC 2 Từ (3.24), (3.25), (3.26) suy ra: tan AMC tan AMD  (3.26) S AMC (đpcm) S BMD Các toán tƣơng tự: Bài tốn 3.14 [11] Cho tứ giác lồi ABCD có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, ABC   , BCD   Chứng minh rằng: d  a2  b2  c2  2ab cos   2bc cos   2ac cos     Bài tập 3.15 [8] Cho tứ giác ABCD nội tiếpvà đƣờng tròn với tâm O nằm cạnh AB tiếp xúc với cạnh BC, CD, DA Chứng minh rằng: AD + BC = AB Bài tập 3.16 [11] Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng: tan A B C D 16  tan  tan  tan   4 4 4  tan A  tan B  tan C  tan D 2 2 Bài tập 3.17 [3] Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:  AB , BC , CD , DA  AC  BD  max  AB , BC , CD , DA Bài tập 3.18 [8] Cho tứ giác ABCD có A = C = 900 AB > AC Chứng minh rằng: Với điểm M  đƣờng thẳng BD ta có: DA MA BA   DB MB BC 68 3.3 CÁC BÀI TỐN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TỨ GIÁC Bài toán 3.19 [9] Cho ABCD tứ giác nội tiếp với AB = a’, BC = b’, CD = c’, DA = d’ p’ nửa chu vi tứ giác Chứng minh rằng:  p  a  p  d   p  b  p  c  A tan  ' ' ' ' ' ' ' ' Giải: C b' B c' a' d' D A Áp dụng Định lý côsin tam giác ABD BCD, ta có: BD2  a'2  d '2  2a'd ' cos A  b'2  c'2  2b'c' cos C  b'2  c'2  2b'c' cos A Từ suy cos A  a '2  d '2  b'2  c '2 2b'c '  2a 'd ' A Từ (3.27) ta có tan   cos A   cos A b  c    a  d   a  d   b  c  '  Vì ' ' ' ' ' ' ' a '  b'  c'  d '  p ' b'2  4a 'c' b'2  c '2  2b'c '  2a 'd '  a '2  d '2 a '2  d '2  b'2  c '2  2b'c '  2a 'd ' b  c  a  d b  c  d  a   a  d  b  c  a  d  c  b  '  (3.27) ' ' ' ' ' ' ' ' ' nên từ (3.28) ta có: ' ' ' ' ' ' (3.28) 69 A tan   p  a  p  d   p  b  p  c  ' ' ' ' ' ' ' ' (đpcm) Bài tốn 3.20 [8] Cho tứ giác ABCD có AB = a’, BC = b’, CD = c’, DA = d’ p’ nửa chu vi tứ giác Chứng minh:  p  a  p  b  p  c  p  d   a b c d cos S ABCD  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' BD Giải: Áp dụng Định lý côsin tam giác ABD CBD, ta có: BD2  a'2  d '2  2a'd ' cos A  b'2  c'2  2b'c' cos C B b' a' A C d' c' D  a'2  d '2  2a'd ' cos A  b'2  c'2  2b'c' cos C  a'2  d '2  b'2  c'2  2a'd ' cos A  2b'c' cos C (3.29) Bình phƣơng hai vế (3.29) có: a '2  d '2  b'2  c'2    a'd ' cos A  b'c' cos C  Ta có S ABCD  S ABD  S BCD  ' ' a d sin A  b 'c ' sin C 2 (3.30) 70  16S ABCD   a'd ' sin A  b'c' sin C  (3.31) Cộng vế (3.30) (3.31) ta đƣợc: a '2  d '2  b'2  c'2   16S ABCD   a '2 d '2  b'2c'2  2a 'b'c 'd '  cos A cos C  sin A sin C     a '2 d '2  b'2c'2  2a 'b'c'd ' cos  A  C    A  C     a '2 d '2  b'2c '2  2a 'b'c 'd '  2cos  1     AC    a 'd '  b'c'   4a 'b'c'd ' cos 2   (3.32) Từ (3.32) suy ra: 16 S ABCD   a 'd '  b 'c '    a '2  d '2  b '2  c '2   16a 'b 'c 'd ' cos 2 AC   2a 'd '  2b'c'  a '2  d '2  b'2  c'2  2a'd '  2b'c'  a'2  d '2  b'2  c'2   16a 'b'c 'd ' cos AC 2 2 AC   a '  d '    b'  c '    b'  c'    a '  d '    16a'b'c' d ' cos2       a '  d '  b'  c'  a '  d '  c'  b' b'  c'  a '  d ' b'  c '  d '  a '   16a 'b'c 'd ' cos AC 71   p '  2c '  p '  2b'  p '  2d '  p '  a '   16 a'b'c' d ' cos Vì AC (3.33) AC B D BD AC   1800  cos  cos , nên từ (3.33) suy 2 2 S ABCD   p '  a '  p '  b'  p '  c '  p '  d '   a 'b'c' d ' cos2  S ABCD   p  a  p  b  p  c  p  d   a b c d cos ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' BD BD (đpcm) Bài toán 3.21 [8] Cho tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng tròn , đƣờng chéo AC = a, hợp với hai cạnh AB, CD góc  ,  Chứng minh: a sin      sin  a sin      sin   S ABCD  2sin  2sin  Giải: K β B α A C β D Giả sử sin   sin  Trên AB kéo dài phía B lấy K cho BKC  CAD   Do KBC  CDA   BKC đồng dạng với  DAC 72 Do sin   sin   BC  CD  S KBC  SCDA  S ABCD  S ACK sin  a sin     sin   S ABCD  Tƣơng tự sin   sin   S ABCD  sin  a sin      sin  (3.34) (3.35) a sin      sin  a sin      sin   S ABCD  Từ (3.34) (3.35) suy ra: 2sin  2sin  Bài toán 3.22 [11] Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp, vừa ngoại tiếp có diện tích S nửa chu vi p1 Chứng minh rằng: 1 A B C D  S  p  tan  tan  tan  tan  2 2  Giải: M A B N Q O C D P Gọi O tâm đƣờng tròn nội tiếp tứ giác ABCD r bán kính đƣờng trịn nội tiếp Gọi M, N, P, Q hình chiếu O lên AB, BC, CD, DA Khi đó: A B C D  p1  AM  BN  CP  DQ  r cot  cot  cot  cot  2 2  Do tứ giác ABCD nội tiếp nên A  C  B  D  1800  AC B  D   900 2 73 Ta có: C  A sin  cos  C A sin  cos  2  cot Tƣơng tự AC   A C sin cot  cot  2 sin A sin C   2  AC  sin  tan A  tan C   A 2 sin cos C  2 A C A C  cot  tan  tan 2 2 cot B D B D  cot  tan  tan Từ suy ra: 2 2 A B C D A B C D   p1  r cot  cot  cot  cot   r  tan  tan  tan  tan  2 2 2 2    A B C D  r  p1  tan  tan  tan  tan  A B C D 2 2   tan  tan  tan  tan   2 2 p 1 1  A B C D  S  p1r  p  tan  tan  tan  tan  (đpcm) 2 2  Các toán tƣơng tự: Bài toán 3.23 [11] Cho tứ giác lồi ABCD có cạnh AB, BC, CD có độ dài bé độ dài AD lớn Chứng minh rằng: S ABCD  3 74 Bài tốn 3.24 [8] Cho hình vng ABCD cạnh a Một điểm M di động BC điểm N di động DC nhƣng ln có MAN  450 Xác định vị trí M, N cho S AMN đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé Bài tốn 3.25 [11] Cho tứ giác lồi có độ dài cạnh a’, b’, c’, d’ diện tích S Chứng minh rằng: S  ' ' a b  c 'd '   Bài toán 3.26 [11] Cho đa giác lồi A1A2 An-1An với độ dài cạnh  a1, a2, , an Chứng minh rằng: a12  a22   an2  4S tan n 75 KẾT LUẬN Luận văn “Hệ thức lượng giác ứng dụng” thực đƣợc mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể giải đƣợc vấn đề sau: Tìm hiểu trình bày hệ thức lƣợng giác Hệ thống phân loại số lớp toán hệ thức lƣợng tam giác, tứ giác Đối với lớp tốn có tốn minh họa toán tƣơng tự Hy vọng nội dung luận văn cịn đƣợc tiếp tục hồn thiện mở rộng nữa, nhằm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, nhƣ quan tâm đến lĩnh vực hệ thức lƣợng giác TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Văn Chƣơng - Trần Văn Toàn - Trần Kỳ Tranh (2007), Phương pháp giải toán tự luận trắc nghiệm lượng giác, Nhà xuất Hải Phòng [2] Lƣơng Mậu Dũng (chủ biên) (2010), Hướng dẫn ôn luyện lượng giác, Nhà xuất tổng hợp TP Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Bá Đang (2013), 279 tốn hình học phẳng Olympic nước, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [4] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên) (2007), Tuyển tập 599 toán lượng giác chọn lọc, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [5] Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc - Lê Hữu Trí (2004), Phương pháp giải tốn lượng giác, Nhà xuất Hà Nội [6] Võ Giang Giai ( 2007), Tuyển tập toán hệ thức lượng tam giác, Nhà xuất đại học Sƣ phạm [7] Lê Thị Hƣơng - Nguyễn Kiếm - Hồ Xuân Thắng (2009), Phân loại phương pháp giải toán lượng giác, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [8] Phan Huy Khải - Nguyễn Đạo Phƣơng (1999), Các toán chọn lọc hệ thức lượng tam giác tứ giác, Nhà xuất giáo dục [9] Phan Huy Khải (chủ biên) (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi lượng giác, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [10] Phan Huy Khải (2001), Toán nâng cao lượng giác, Nhà xuất Hà Nội [11] Trần Phƣơng (2005), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn Tốn - Hệ thức lượng giác, Nhà xuất Hà Nội [12] Huỳnh Công Thái ( 2007), 360 tập tự luận trắc nghiệm lượng giác, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [13] Phạm Trọng Thƣ ( 2007), Ơn tập tốn hệ thức lượng tam giác, Nhà xuất đại học Sƣ phạm [14] Tuyển tập tạp chí Tốn học Tuổi trẻ năm 2010, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [15] Nguyễn Thƣợng Võ (1999), 200 toán chọn lọc hệ thức lượng giác tam giác, Nhà xuất giáo dục ... thạc sĩ : ? ?Hệ thức lƣợng giác ứng dụng ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu kiến thức lƣợng giác, đặc biệt hệ thức lƣợng giác Hệ thống phân loại số lớp tốn giải đƣợc hệ thức lƣợng giác Đối tƣợng... phạm vi nghiên cứu Các hệ thức lƣợng giác Các ứng dụng hệ thức lƣợng giác tam giác tứ giác 2 Các tốn thuộc chƣơng trình phổ thơng giải đƣợc cách sử dụng hệ thức lƣợng giác Phƣơng pháp nghiên... sơ lƣợc hệ thức lƣợng giác số bất đẳng thức đại số hay sử dụng chƣơng sau Chƣơng Trình bày toán hệ thức lƣợng giác tam giác Chƣơng Trình bày tốn hệ thức lƣợng giác tứ giác 3 CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ