SKKN hệ thức vi ét và ứng dụng toán 9

Là giáo viên trực tiếp đứng lớp tôi luôn tự đặt ra cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu, nghiên cứu rút ra những phương pháp giảng dạy phù hợp Cùng với những môn học

HUYỆN ỨNG HÒA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HỆ THỨC VI - ÉT VÀ ỨNG DỤNG

Người thực hiện: Lê Thanh Tân

Đơn vị công tác: Trường THCS Viên An

Tổ: Khoa học tự nhiên

BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ

I - Lý do chọn đề tài

1 Cơ sở thực tiễn

2 Cơ sở lí luận

3 Cơ sở giáo dục

II - Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

1 Mục đích nghiên cứu

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

III - Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

IV - Các phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

2 Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm

3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG

A - Hệ thống kỉến thức cần nhớ

B - Các ứng dụng của hệ thức Vi - ét

C - Các dạng bài tập ứng dụng

D - Kết quả

E - Bài học rút ra

G - Hạn chế của đề tài

3

4

4 5

6 7 8 15 15 16

Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 2 - Trường THCS Viên An

PHẦN THỨ NHẤT - ĐẶT VẤN ĐỀ

I - LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Cơ sở thực tiễn

Trong quá trình dạy học thì bản thân mỗi giáo viên phải luôn phấn đấu, tìm tòi đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giờ dạy, gây được uy tín với đồng nghiệp, học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh và cộng đồng

Là giáo viên trực tiếp đứng lớp tôi luôn tự đặt ra cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu, nghiên cứu rút ra những phương pháp giảng dạy phù hợp

Cùng với những môn học khác, môn Toán là môn học vô cùng quan trọng, là môn học khó nhưng thật hấp dẫn đối với những em học sinh yêu thích môn toán, nó giúp các em phát triển tư duy lô gíc, hình thành những kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tế đời sống cũng như vào việc học tập các môn học khác

Đối với học sinh THCS hiện nay thì môn đại số là môn học khó Qua tìm hiểu từ tình hình thực tế nơi công tác và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học sinh rất ngại học các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0(a 0) nhất là các phương trình có chứa tham số nói chung và các ứng dụng của hệ thức Vi - ét nói riêng Trong chương trình đại số 9 phần này được đề cập không nhiều trong sách giáo khoa, tuy nhiên bài tập liên quan đến hệ thức Vi - ét thì lại rất đa dạng và nhiều đặc biệt là trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Đứng trước thực trạng như vậy mỗi người thầy không khỏi băn khoăn, trăn trở phải làm thế nào để giúp các em học sinh giảm bớt những khó khăn, căng thẳng, lúng túng khi gặp các bài toán liên quan đến hệ thức Vi - ét Từ

cơ sở thực tiễn, trong phạm vi nhỏ hẹp của đề tài tôi xin trình bày một kinh nghiệm nhỏ mà qua thử nghiệm tôi thấy giúp cho học sinh phần nào giảm bớt khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai:

ax 2 + bx + c = 0 (a 0)

2 Cơ sở lí luận

Theo tâm lí học con người chỉ tư duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thức chỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích một cách tự giác và

có tính tích cực Đối với học sinh cũng vậy nếu các em chỉ học một cách thụ

Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 4 - Trường THCS Viên An

Vì vậy để phát huy tính tích cực và tính sáng tạo của học sinh thì không còn cách nào khác là phải tạo cho các em niềm hứng thú trong học tập nghĩa là mỗi giáo viên phải tìm cho mình phương pháp giảng dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động và có hệ thống, giúp các em nhận dạng được các dạng toán từ đó

có các giải sao cho phù hợp, ngắn gọn, dễ hiểu

3 Cơ sở giáo dục

Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục sẽ cao hơn nếu quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục được biến thành quá trình tự giáo dục

II - MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1 Mục đích

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm có thể giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể

về các vấn đề liên quan đến hệ thức vi - ét và các ứng dụng của nó, rút ra được những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết từ đó có phương pháp giảng dạy tốt hơn, hiệu quả hơn, giúp học sinh không lúng tung khi gặp những dạng toán có liên quan đến hệ thức vi -ét

Thực hiện đề tài để thấy những thuận lợi và khó khăn khi giảng dạy phần ứng dụng của hệ thức vi - ét qua đó định hướng và nâng cao chất lượng dạy

và học

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

*Thấy được vai trò của hệ thức vi - ét khi giải phương trình bậc hai trong chương trình đại số 9

*Giúp học sinh giảm bớt khó khăn, lúng túng khi học nội dung có liên quan đến hệ thức vi - ét, giúp các em phân loại được các dạng toán từ đó tìm

ra cách giải phù hợp

III - ĐỐI TƯƠNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

* Nghiên cứu phần ứng dụng của hệ thức vi - ét trong phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a 0) có chứa tham số

*Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến hệ thức vi - ét và ứng dụng của nó

* Giáo viên giảng dạy cấp THCS và đặc biệt là học sinh lớp 9

IV - CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Đọc các tài liệu liên quan để phân dạng bài tập và phương pháp giải +) Tạp chí toán học

+) Sách giáo khoa, sách giáo vên

+) Sách tham khảo

+) Các đề thi tuyển sinh vào lớp 10

+) Phương pháp giảng dạy môn toán THCS

2 Phương pháp thực nghiệm

Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả của đề tài

3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn

Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 6 - Trường THCS Viên An

PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG

A - HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax 2 + bx + c = 0 (a 0) trong đó a, b, c là các số cho trước ; x là ẩn

2 Công thức nghiệm:

Cho phương trình : ax 2 + bx + c = 0 (a 0)

Ta có :  b2  4ac

+) Nếu  b2  4ac 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu 2

4 0

b ac

    thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :

2 1,2

4 2

x

a

  



+) Nếu  b2  4ac 0 thì phương trình có nghiệm kép: 1,2

2

b x

a





3 Hệ thức Vi - ét: Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu phương trình

có hai nghiệm x 1 , x 2 thì S = x 1 + x 2 = - b

a; P = x x1 2 c

a



Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) ta có thể sử dụng định lí Vi - ét để tính các biểu thức của x 1 , x 2 theo a, b, c.

+) S 1 = x 1 + x 2 = - b

a

+) S 2 =  

2 2

2

2 b ac

a



    

3 3

3

a



     

4

4 b ac

a



      

B - CÁC ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI - ÉT

a Nhẩm nghiệm: Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a 0).

Nếu a + b + c = 0 => x 1 = 1; x 2 = c

a

Nếu a - b + c = 0 => x 1 = - 1; x 2 = - c

a

b Tìm hai số khi biết tổng và tích

Cho hai số x, y biết rằng x + y = S; x.y = P thì x , y là nghiệm của phương trình

x 2 + Sx + P = 0

c Phân tích thành nhân tử:

Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x 1 , x 2 thì

ax 2 + bx + c = a( x - x 1 ) (x - x 2 )

d Xác định dấu của các nghiệm số :

Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a 0).

Giả sử phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thì x 1 + x 2 = - b

a; x x1 2 c

a



*Nếu P = x x1 2 c

a

 < 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

*Nếu P = x x1 2 c

a

 > 0 và  b2  4ac > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó: * Nếu S = x 1 + x 2 = - b

a > 0 thì phương trình có hai nghiệm dương

* Nếu S = x 1 + x 2 = - b

a< 0 thì phương trình có hai nghiệm âm

e Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 , x 2 của phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a

0) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x 1 và x 2

Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 , x 2 theo S và P: ( S = x 1 + x 2 = - b

a; P = x x1 2 c

a

 ) +) 2 2 2

x x S  P

+) 3 3  2 

x x S S  P

+)

1 1 S

x x P

+)

2

1 1 S 2P



 

f Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm:a 00

 



Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi - ét ta tính: S = x 1 + x 2 = - b

a; P = x x1 2 c

a

 theo tham số Bước 3: Khử tham số để lập hệ thức giữa S và P từ đó ta suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

g Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trước ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi - ét tìm tổng và tích hai nghiệm theo tham số

Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua tổng và tích 2 nghiệm

Bước 4: Kết luận

Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 8 - Trường THCS Viên An

C - CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG DẠNG I - NHẨM NGHIỆM

Ví dụ: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a) x 2 - 7x + 10 = 0 b) x 2 + 14x + 48 = 0

c) x 2 - 6x - 27 = 0 d) x 2 + 4x - 12 = 0

Giải a)Ta có  b2  4ac = 9 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm

Áp dụng định lí Vi - ét ta có:

x 1 + x 2 = 7

x 1 x 2 = 10 = 2.5

mà 2 + 5 = 7

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1 = 2 và x 2 = 5

b) Ta có  b2  4ac = 4 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm

Áp dụng định lí Vi - ét ta có:

x 1 + x 2 = - 14

x 1 x 2 = 48 =( -6)(-8)

mà (-6)+ (-8) = -14

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1 = -6 và x 2 = -8

c) Ta có  b2  4ac =144 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm

Áp dụng định lí Vi - ét ta có:

x 1 + x 2 = 6

x 1 x 2 = -27 = -3.9

mà (-3) +9 = 6

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1 = -3 và x 2 = 9

d)Ta có  b2  4ac =64 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm

Áp dụng định lí Vi - ét ta có:

x 1 + x 2 = -4

x 1 x 2 = -12 = - 6.2

mà (-6) +2 = -4

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1 = -6 và x 2 = 2

DẠNG II - TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Ví dụ: Cho a và b là hai số thực thỏa mãn: 5a + b = 22 Biết phương trình

ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là hai số nguyên dương Hãy tìm hai nghiệm đó?

Giải Gọi x 1; x 2 là hai nghiệm nguyên dương của phương trình ̣ ( 0 < x 1 < x 2 )

Để phương trình có nghiệm  b2  4ac> 0 Áp dụng hệ thức Vi -ét ta có:

a = - x 1 - x 2 và b = x 1 x 2

Theo giả thiết : 5(- x 1 - x 2 ) + x 1 x 2 = 22

 -5x 1 - 5x 2 + x 1 x 2 = 22

 x 1 (x 2 - 5) - 5(x 2 - 5) = 47

 (x 1 - 5) (x 2 - 5) = 47 (*)

Do phương trình có nghiệm là hai số nguyên dương nên  4 x1  5 x2  5 nên

  1 1

5 1 6

*

5 47 52

  

 

   

  

 

Khi đó a = -58; b = 312 thỏa mãn 5a + b = 22

Vậy hai nghiệm của phương trình là x 1 = 6 và x 2 = 52

DẠNG III - BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA HAI NGHIỆM

Ví dụ1: Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0 Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 2 2

x x ; x13 + x23 ; x14 + x24

b) x12.x23 + x13.x22 ; x1  x2

Giải

Ta có  = 17 > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2

Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có S = x1 + x2 = - 5; P = x1.x2 = 2

a) 2 2

x x = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = S2 - 2P = 21

3 3  2 

x x S S  P = - 95

x14 + x24 = (S2 - 2P)2 - 2P2 = 433

b) x12.x23 + x13.x22 = P2S = - 20

x1  x2 = S2  4P  17

Lưu ý : Ở bài này ta có thể tính trực tiếp x 1 ; x 2 rồi thay vào biểu thức cần tính ta cũng có đáp số tương tự nhưng việc tính toán sẽ phức tạp hơn nhiều.

Ví dụ 2: Cho f(x) = 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của f(x) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A = x x1 2  2x1  2x2

Giải

Ta có : f(x) = 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0    0

 (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3)  0

 (m + 1)(- m - 5)  0   5 m 1

Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: S = - m - 1; P = m242m3

Do đó A = x x1 2  2x1  2x2 = 2 4 3 2 2 2 8 7

m

   

  

Ta có: m2 + 8m + 7 = (m+1)(m+7), nên với điều kiện  5 m 1 thì

m2 + 8m + 7  0 2 8 7 9  42 9

2 2 2

m

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = - 4 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 92

đối trong bài này tương đối phức tạp.

DẠNG IV - HỆ THỨC GIỮA HAI NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 - mx + 2m - 3 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số

Giải Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :   0  m2 - 8m + 12  0

 (m - 4)2 - 4  0  4 2 6

2

m m

m





    



Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình, áp dụng hệ thức vi - ét ta có:

S = x1 + x2 = m (1); P = x1 x2 = 2m - 3 (2)

Cách 1: Thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) ta có: x1 x2 = 2(x1 + x2) - 3 = 0 Cách 2: Ta có hệ phương trình: 1 2  1 2

2 2 2 3 . 2 3

  

 



    

Trừ vế theo vế ta có: x1 x2 = 2(x1 + x2) - 3 = 0

Ví dụ 2: Cho phương trình: mx2 - (2m+ 3)x + m - 4 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc tham số m

Giải a) Phương trình: mx2 - (2m+ 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt

  2  

0 0

0

9

0 2 3 4 4 0

28

m m

m

m











      



b) Với điều kiện phương trình có nghiệm ở trên, áp dụng hệ thức vi - ét ta có:

S = x1 + x2 = 1 2

2 3 3 4 4

2 (1); 1 (2)

P x x

     

Nhân hai vế của (1) với 4 và nhân hai vế của (2) với 3 ta được:

1 2

12 4( ) 8

12

3 3

x x

m

x x

m



  





  



Cộng vế theo vế ta có: 4(x 1 + x 2 ) + 3x 1 x 2 = 11

DẠNG V - ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI NGHIỆM LIÊN HỆ VỚI NHAU BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC

Ví dụ: Cho phương trình: mx2 - 2mx + 1 = 0.(m là tham số)

Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 10 - Trường THCS Viên An

của phương trình theo m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho một

nghiệm gấp đôi nghiệm kia

Giải a) *Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0 => phương trình vô nghiệm

* Nếu m  0 thì phương trình đã cho có nghiệm khi:

' 2   0

1 0 (*)

1

m

m





        



Khi đó các nghiệm của phương trình là: x1 m m2 m;x2 m m2 m

   

b) Với điều kiện (*) phương trình có hai nghiệm x1 ; x2

Theo hệ thức vi - ét ta có : x 1 + x 2 = 2 và x 1 x 2 = 1

m

Theo giả thiết ta có: x 1 = 2x 2 (hoặc x 2 = 2x 1 ), suy ra 1 2 1 2

4 2 2 4

; ( ; )

3 3 3 3

x  x  x  x  Suy ra x 1 x 2 = 1

m  8 1 9 1

9 m  m 8 thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy với m = 9

8 thì phương trình có một nghiệm gấp đôi nghhiệm kia.

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2mx- 1 = 0.(m là tham số)

a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên, tìm m để x 12 + x 22 - x 1 x 2 = 7

Giải a) Ta thấy phương trình đã cho có a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Theo câu a ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

Khi đó ta có: S = : x 1 + x 2 = 2m; P = x 1 x 2 = -1

Do đó x 12 + x 22 - x 1 x 2 = 7  S 2 - 3P = 7  (2m) 2 + 3 = 7  m 2 = 1  m =  1 Vậy với m =  1 thì x 12 + x 22 - x 1 x 2 = 7

DẠNG VI - XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM SỐ

Ví dụ 1: Cho phương trình: x 2 - 2x + m = 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm Khi đó tùy theo m hãy chỉ ra dấu hai nghiệm của phương trình?

Giải

Phương trình có hai nghiệm    ' 0  1 - m  0  m  1

Khi đó hai nghiệm của phương trình thỏa mãn: x1 + x2 = 2 > 0 và x1.x2 = m