SKKN hệ thức vi ét và ứng dụng toán 9

www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN ỨNG HÒA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HỆ THỨC VI - ÉT VÀ ỨNG DỤNG Người thực hiện: Lê Thanh Tân Đơn vị công tác: Trường THCS Viên An Tổ: Khoa học tự nhiên Viên An, ngày 22 tháng năm 2011 Người thực hiện: Lê Thanh Tân -1- Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI NỘI DUNG Trang PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ I - Lý chọn đề tài Cơ sở thực tiễn Cơ sở lí luận Cơ sở giáo dục II - Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu III - Đối tượng phạm vi nghiên cứu IV - Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm Phương pháp tổng kết kinh nghiệm PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG A - Hệ thống kỉến thức cần nhớ B - Các ứng dụng hệ thức Vi - ét C - Các dạng tập ứng dụng D - Kết E - Bài học rút G - Hạn chế đề tài PHẦN THỨ BA : KẾT LUẬN Người thực hiện: Lê Thanh Tân -2- 15 15 16 17 Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán PHẦN THỨ NHẤT - ĐẶT VẤN ĐỀ I - LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ sở thực tiễn Trong trình dạy học thân giáo viên phải phấn đấu, tìm tòi đổi phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy, gây uy tín với đồng nghiệp, học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh cộng đồng Là giáo viên trực tiếp đứng lớp tự đặt cho câu hỏi, trăn trở để từ tìm hiểu, nghiên cứu rút phương pháp giảng dạy phù hợp Cùng với môn học khác, môn Toán môn học vô quan trọng, môn học khó thật hấp dẫn em học sinh yêu thích môn toán, giúp em phát triển tư lô gíc, hình thành kỹ ứng dụng toán học vào thực tế đời sống vào việc học tập môn học khác Đối với học sinh THCS môn đại số môn học khó Qua tìm hiểu từ tình hình thực tế nơi công tác kinh nghiệm thân thấy đa số học sinh ngại học toán liên quan đến phương trình bậc hai ẩn: ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) phương trình có chứa tham số nói chung ứng dụng hệ thức Vi - ét nói riêng Trong chương trình đại số phần đề cập không nhiều sách giáo khoa, nhiên tập liên quan đến hệ thức Vi - ét lại đa dạng nhiều đặc biệt đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Đứng trước thực trạng người thầy không khỏi băn khoăn, trăn trở phải làm để giúp em học sinh giảm bớt khó khăn, căng thẳng, lúng túng gặp toán liên quan đến hệ thức Vi - ét Từ sở thực tiễn, phạm vi nhỏ hẹp đề tài xin trình bày kinh nghiệm nhỏ mà qua thử nghiệm thấy giúp cho học sinh phần giảm bớt khó khăn giải toán liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Cơ sở lí luận Theo tâm lí học người tư tích cực có nhu cầu, hoạt động nhận thức có kết cao chủ thể ham thích cách tự giác có tính tích cực Đối với học sinh em học cách thụ động tiếp thu kiến thức theo cách nhồi nhét, không khoa học, thói quen suy nghĩ cách sâu sắc kiến thức nhanh chóng bị lãng quên Người thực hiện: Lê Thanh Tân -3- Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán Vì để phát huy tính tích cực tính sáng tạo học sinh không cách khác phải tạo cho em niềm hứng thú học tập nghĩa giáo viên phải tìm cho phương pháp giảng dạy cho phù hợp với đối tượng học sinh giúp em tiếp thu kiến thức cách chủ động có hệ thống, giúp em nhận dạng dạng toán từ có giải cho phù hợp, ngắn gọn, dễ hiểu Cơ sở giáo dục Những kết nghiên cứu giáo dục học cho thấy kết giáo dục cao trình đào tạo biến thành trình tự đào tạo, trình giáo dục biến thành trình tự giáo dục II - MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Mục đích Đề tài sáng kiến kinh nghiệm giúp giáo viên có nhìn tổng thể vấn đề liên quan đến hệ thức vi - ét ứng dụng nó, rút kinh nghiệm giảng dạy học tập, đào sâu hoàn thiện hiểu biết từ có phương pháp giảng dạy tốt hơn, hiệu hơn, giúp học sinh không lúng tung gặp dạng toán có liên quan đến hệ thức vi ét Thực đề tài để thấy thuận lợi khó khăn giảng dạy phần ứng dụng hệ thức vi - ét qua định hướng nâng cao chất lượng dạy học Nhiệm vụ nghiên cứu *Thấy vai trò hệ thức vi - ét giải phương trình bậc hai chương trình đại số *Giúp học sinh giảm bớt khó khăn, lúng túng học nội dung có liên quan đến hệ thức vi - ét, giúp em phân loại dạng toán từ tìm cách giải phù hợp III - ĐỐI TƯƠNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU * Nghiên cứu phần ứng dụng hệ thức vi - ét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có chứa tham số *Nghiên cứu tài liệu liên quan đến hệ thức vi - ét ứng dụng * Giáo viên giảng dạy cấp THCS đặc biệt học sinh lớp Người thực hiện: Lê Thanh Tân -4- Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán IV - CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lí luận Đọc tài liệu liên quan để phân dạng tập phương pháp giải +) Tạp chí toán học +) Sách giáo khoa, sách giáo vên +) Sách tham khảo +) Các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 +) Phương pháp giảng dạy môn toán THCS Phương pháp thực nghiệm Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết đề tài Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Rút học cho thân đồng nghiệp để giảng dạy tốt Người thực hiện: Lê Thanh Tân -5- Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG A - HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn có dạng ax2 + bx + c = (a ≠ 0) a, b, c số cho trước ; x ẩn Công thức nghiệm: Cho phương trình : ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Ta có : ∆ = b − 4ac +) Nếu ∆ = b − 4ac < phương trình vô nghiệm +) Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt : ∆ = b − 4ac > x1,2 = +) Nếu ∆ = b − 4ac = −b ± b − 4ac 2a phương trình có nghiệm kép: x1,2 = −b 2a Hệ thức Vi - ét: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Nếu phương trình có hai nghiệm x1 , x2 S = x1 + x2 = - b c ; P = x1.x2 = a a Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) ta sử dụng định lí Vi - ét để tính biểu thức x1 , x2 theo a, b, c +) S1 = x1 + x2 = - b a +) S2 = x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = b − 2ac a2 3abc − b3 a3 b − 4ac = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = a2 +) S3 = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = +) x1 − x2 = ( x1 − x2 ) B - CÁC ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI - ÉT a Nhẩm nghiệm: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Nếu a + b + c = => x1 = 1; x2 = Nếu a - b + c = => x1 = - 1; x2 = - c a c a b Tìm hai số biết tổng tích Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P x , y nghiệm phương trình x2 + Sx + P = c Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 , x2 ax2 + bx + c = a( x - x1) (x - x2) Người thực hiện: Lê Thanh Tân -6- Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán d Xác định dấu nghiệm số : Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 x1 + x2 = - b c ; x1.x2 = a a c < phương trình có hai nghiệm trái dấu a c *Nếu P = x1.x2 = > ∆ = b − 4ac > phương trình có hai nghiệm a b dấu Khi đó: * Nếu S = x1 + x2 = - > phương trình có hai nghiệm dương a b * Nếu S = x1 + x2 = - < phương trình có hai nghiệm âm a *Nếu P = x1.x2 = e Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Biểu thức đối xứng nghiệm x1 , x2 phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) biểu thức có giá trị không thay đổi ta hoán vị x1 x2 Ta biểu thị biểu thức đối xứng nghiệm x1 , x2 theo S P: b c ; P = x1.x2 = ) a a 2 x1 + x2 = S − P ( S = x + x2 = +) +) x13 + x23 = S ( S − 3P ) +) 1 S + = x1 x2 P +) 1 S − 2P + = x12 x22 P2 f Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số Để tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số ta thực theo bước sau: a ≠ ∆ ≥ b c Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi - ét ta tính: S = x1 + x2 = - ; P = x1.x2 = theo tham số a a Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm:  Bước 3: Khử tham số để lập hệ thức S P từ ta suy hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số g Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với hệ thức cho trước ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi - ét tìm tổng tích hai nghiệm theo tham số Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua tổng tích nghiệm Bước 4: Kết luận Người thực hiện: Lê Thanh Tân -7- Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán C - CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG DẠNG I - NHẨM NGHIỆM Ví dụ: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x2 - 7x + 10 = b) x2 + 14x + 48 = c) x2 - 6x - 27 = d) x2 + 4x - 12 = Giải a)Ta có ∆ = b − 4ac = > nên phương trình có nghiệm Áp dụng định lí Vi - ét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = 10 = 2.5 mà + = Vậy phương trình có nghiệm x1 = x2 = b) Ta có ∆ = b − 4ac = > nên phương trình có nghiệm Áp dụng định lí Vi - ét ta có: x1 + x2 = - 14 x1.x2 = 48 =( -6)(-8) mà (-6)+ (-8) = -14 Vậy phương trình có nghiệm x1 = -6 x2 = -8 c) Ta có ∆ = b − 4ac =144 > nên phương trình có nghiệm Áp dụng định lí Vi - ét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = -27 = -3.9 mà (-3) +9 = Vậy phương trình có nghiệm x1 = -3 x2 = d)Ta có ∆ = b − 4ac =64 > nên phương trình có nghiệm Áp dụng định lí Vi - ét ta có: x1 + x2 = -4 x1.x2 = -12 = - 6.2 mà (-6) +2 = -4 Vậy phương trình có nghiệm x1 = -6 x2 = DẠNG II - TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Ví dụ: Cho a b hai số thực thỏa mãn: 5a + b = 22 Biết phương trình ax + bx + c = có hai nghiệm hai số nguyên dương Hãy tìm hai nghiệm đó? Giải Gọi x1; x2 hai nghiệm nguyên dương phương trình ̣ ( < x1 < x2 ) Để phương trình có nghiệm ∆ = b − 4ac > Áp dụng hệ thức Vi -ét ta có: a = - x1 - x2 b = x1 x2 Theo giả thiết : 5(- x1 - x2) + x1 x2 = 22  -5x1 - 5x2 + x1 x2 = 22  x1(x2 - 5) - 5(x2 - 5) = 47  (x1 - 5) (x2 - 5) = 47 (*) Do phương trình có nghiệm hai số nguyên dương nên −4 ≤ x1 − ≤ x2 − nên Người thực hiện: Lê Thanh Tân -8- Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán  x1 − = x = ⇔  x2 − = 47  x2 = 52 ( *) ⇔  Khi a = -58; b = 312 thỏa mãn 5a + b = 22 Vậy hai nghiệm phương trình x1 = x2 = 52 DẠNG III - BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA HAI NGHIỆM Ví dụ1: Cho phương trình x2 + 5x + = Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức sau: a) x12 + x22 ; x13 + x23 ; x14 + x24 b) x12.x23 + x13.x22 ; x1 − x2 Giải Ta có ∆ = 17 > nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có S = x1 + x2 = - 5; P = x1.x2 = x12 + x2 = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = S2 - 2P = 21 a) x13 + x23 = S ( S − 3P ) = - 95 x14 + x24 = (S2 - 2P)2 - 2P2 = 433 b) x12.x23 + x13.x22 = P2S = - 20 x1 − x2 = S − P = 17 Lưu ý : Ở ta tính trực tiếp x1 ; x2 thay vào biểu thức cần tính ta có đáp số tương tự việc tính toán phức tạp nhiều Ví dụ 2: Cho f(x) = 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + Gọi x1 ; x2 hai nghiệm f(x) Tính giá trị lớn biểu thức A = x1 x2 − x1 − x2 Giải Ta có : f(x) = 2x + 2(m + 1)x + m2 + 4m + =  ∆ ≥  (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) ≥  (m + 1)(- m - 5) ≥ ⇔ −5 ≤ m ≤ −1 Áp dụng hệ thức Vi - ét ta Do A = x1 x2 − x1 − x2 = m + 4m + có: S = - m - 1; P = 2 m + 4m + m + 8m + + 2m + = 2 Ta có: m2 + 8m + = (m+1)(m+7), nên với điều kiện −5 ≤ m ≤ −1 −m − 8m − − ( m + ) ≤ m + 8m + ⇒ A= = ≤ 2 Dấu “=” xảy m = - Vậy giá trị lớn biểu thức A Người thực hiện: Lê Thanh Tân -9- Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện ∆ ≥ việc khử dấu giá trị tuyệt đối tương đối phức tạp DẠNG IV - HỆ THỨC GIỮA HAI NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC THAM SỐ Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 - mx + 2m - = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc tham số Giải Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Phương trình có nghiệm : ∆ ≥  m2 - 8m + 12 ≥  (m - 4)2 - ≥0  m ≥ m−4 ≥ ⇔  m ≤ Gọi x1, x2 nghiệm phương trình, áp dụng hệ thức vi - ét ta có: S = x1 + x2 = m (1); P = x1 x2 = 2m - (2) Cách 1: Thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) ta có: x1 x2 = 2(x1 + x2) - = 2 ( x1 + x2 ) = 2m  x1 + x2 = m Cách 2: Ta có hệ phương trình:  x x = 2m − ⇔  x x = 2m −   2 Trừ vế theo vế ta có: x1 x2 = 2(x1 + x2) - = Ví dụ 2: Cho phương trình: mx2 - (2m+ 3)x + m - = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc tham số m Giải a) Phương trình: mx - (2m+ 3)x + m - = có hai nghiệm phân biệt  m ≠ m ≠ m ≠  ⇔ ⇔ −9  ∆ >  m > 28 ( 2m + 3) − 4m ( m − ) > b) Với điều kiện phương trình có nghiệm trên, áp dụng hệ thức vi - ét ta có: S = x + x2 = 2m + 3 m−4 = + (1); P = x1.x2 = = − (2) m m m m Nhân hai vế (1) với nhân hai vế (2) với ta được: 12   4( x1 + x ) = + m  3x x = − 12  m Cộng vế theo vế ta có: 4(x1 + x2 ) + 3x1.x2 = 11 DẠNG V - ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI NGHIỆM LIÊN HỆ VỚI NHAU BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC Ví dụ: Cho phương trình: mx2 - 2mx + = 0.(m tham số) Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 10 - Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm tính nghiệm phương trình theo m b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm Giải a) *Nếu m = phương trình trở thành = => phương trình vô nghiệm * Nếu m ≠ phương trình cho có nghiệm khi: m < ∆ ' = m2 − m = m ( m − 1) ≥ ⇒  (*) m ≥ Khi nghiệm phương trình là: m − m2 − m m + m2 − m x1 = ; x2 = m m b) Với điều kiện (*) phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Theo hệ thức vi - ét ta có : x1 + x2 = x1 x2 = m 3 Theo giả thiết ta có: x1 = 2x2 (hoặc x2 = 2x1 ), suy x1 = ; x2 = ( x1 = ; x2 = ) Suy x1 x2 = Vậy với m =  = ⇔ m = > thỏa mãn điều kiện (*) m m phương trình có nghiệm gấp đôi nghhiệm Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2mx- = 0.(m tham số) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình trên, tìm m để x12 + x22 - x1x2 = Giải a) Ta thấy phương trình cho có a c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Theo câu a ta có với m phương trình có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Khi ta có: S = : x1 + x2 = 2m; P = x1 x2 = -1 Do x12 + x22 - x1x2 =  S2 - 3P =  (2m)2 + =  m2 =  m = ± Vậy với m = ± x + x - x1x2 = DẠNG VI - XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM SỐ Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 - 2x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm Khi tùy theo m dấu hai nghiệm phương trình? Giải 2 Phương trình có hai nghiệm  ∆ ' ≥  - m ≥  m ≥ Khi hai nghiệm phương trình thỏa mãn: x1 + x2 = > x1.x2 = m Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 11 - Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán * Nếu m < 0, phương trình có nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị lớn giá trị tuyệt đối nghiệm âm * Nếu m = 0, phương trình có hai nghiệm x = x = * Nếu m < m ≤ 1, phương trình có nghiệm dương Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x - m + = Xác định m để phương trình a) Có nghiệm trái dấu b) Có nghiệm dương phân biệt Giải a) Phương trình có nghiệm trái dấu x1 < < x2  P < -m+11 Vậy với m > phương trình có nghiệm trái dấu b) Phương trình có nghiệm dương phân biệt < x1 < x2  m2 + 3m > ∆ ' >   ⇔  P > ⇔ 1 − m > ⇔ < m 2 m + > )   ( Vậy với < m < phương trình có nghiệm dương phân biệt Ví dụ 3: Cho phương trình: (m - 1)x2 + 2(m + 2)x + m - = Xác định m để phương trình: a) Có nghiệm b) Có nghiệm dấu Giải a) Xét trường hợp: Trường hợp 1: Với m - =  m = Khi phương trình có dạng: 6x = => x = nghiệm phương trình Trường hợp 2: Với m - ≠ => m ≠ Khi để phương trình có nghiệm thì: ∆ ' = ⇔ ( m + ) − ( m − 1) ( m − 1) = ⇔ 6m + = ⇔ m = − Vậy với m = m = -1/2 phương trình có nghiệm b) Để phương trình có nghiệm dấu : Vậy với 6m + ≥ ∆ ' ≥  ⇔  m −1 ⇔ − ≤ m ≠1  P >  m − > − ≤ m ≠ phương trình có 2 nghiệm dấu Ví dụ 4: Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m )x + m - = Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 12 - Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm đối b) Có nghiệm âm Giải a) Phương trình có nghiệm đối m −  m < P < ⇔ ⇔ ⇔m=3 S = 3 − m =  m Vậy với m = phương trình có hai nghiệm đối b) Xét trường hợp: Trường hợp 1: Với m = Khi phương trình có dạng: -6x - = => x = -2/3(thỏa mãn) Trường hợp 2: Với m ≠ để phương trình có nghiệm âm thì:  m − =     f ( ) =   2(3 − m) <   m   m = S <  x1 < = x2  m −  x1 < ≤ x2    ⇔ Vậy + - nghiệm phương trình x2 - 4x + = Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 13 - Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng Ví kiếndụkinh : Hệ thức ứng dụng 2: nghiệm Chứng minh Vi tồn- ét tạivàphương trìnhToán bậc 9hai có hệ số nguyênvà có nghiệm Cho x1 = 3− 3+ = ( 3− 3+ 3− ) Giải 3− = 5−2 Chọn x2 = + Ta có: S = 10; P = Vậy x1, x2 nghiệm phương trình x2 - 10x +1 = có hệ số số nguyên C - BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng I : Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 4x2 - 5x + = b) 6x2 + ( − ) x − = c) x2 - ( + 1) x + = Dạng II - Tìm số biết tổng tích nghiệm Giải hệ phương trình sau: 3 ( x + y ) = x + y =  x + y = 20   a)  xy = b)  xy = − c)  xy = −     Dạng III- Biểu thức đối xứng nghiệm Cho phương trình: x2 - 2(m +1)x + 2m + = Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 Khi lập phương treình có nghiệm sau: a) - x1 - x2 b) x1 x2 c) x1 + x2 - x1 x2 d) x13 x23 Dạng IV - Hệ thức nghiệm không phụ thuộc tham số Bài 1: Cho phương trình x2 - 2mx - m2 = Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình không phụ thuộc m Bài 2: Cho phương trình: (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - = a) Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình không phụ thuộc tham số m Dạng V - Điều kiện để nghiệm liên hệ với hệ thức cho trước Bài 1: Cho phương trình: x2 - mx - 2(m2 + 8) = Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn: x12 + x22 = 52 Bài 2: Cho phương trình: x2 - 2x + m + = Tìm m để phương trình có x1 nghiệm phân biệt thỏa mãn: x Người thực hiện: Lê Thanh Tân + x2 10 =− ; x1 x12 + x22 +4x1x2 = - 14 - Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán Dạng VI - Xét dấu nghiệm Bài 1: Không giải phương trình, xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai sau: a) 3x2 - 5x + = b) x2 + 5x + = c) x2 - 5x + = d) x2 - 4x - = Bài 2: Cho phương trình: ( m -1)x2 - 2( m -1)x + m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có nghiệm dấu c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương + d)Tìm m để phương trình có nghiệm âm D - KẾT QUẢ Sau dạy xong phần kiến thức kết hợp với việc rèn kuyện giải số tập thấy : +) Học sinh nắm nội dung vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai, nghiệm phương trình bậc hai, hệ thức vi - ét ứng dụng +) Học sinh biết phân biệt nhận dạng tập, vận dụng linh hoạt kiến thức để giải toán +) Học sinh trình bày khoa học có lập luận xác Kết dạy thực nghiệm kiểm tra xác xuất nhóm học sinh nhóm gồm 15 em kết thu sau: Trước Sau Nhóm không áp dụng đề tài Trên TB Dưới TB 8/15 7/15 10/15 5/15 Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 15 - Nhóm áp dụng đề tài Trên TB Dưới TB 8/15 7/15 14/15 1/15 Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán E - BÀI HỌC KINH NGHIỆM *Đối với giáo viên : Cần phải xác định rõ dạng toán đồng thời thấy mối quan hệ tập theo trình tự hợp lý, lô gíc để dạy cho học sinh Phải dẫn dắt học sinh từ dễ đến khó, từ đến nâng cao đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ đưa dạng toán biết Phải hướng cho học sinh chọn phương pháp giải cho phù hợp *Đối với học sinh: Phải rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ, phải say sưa tìm tòi nghiên cứu, sáng tạo giải toán có vướng mắc bạn trao đổi nhờ thầy cô hướng dẫn *Đối với nhà trường: Cần phân loại học sinh để phụ đạo phù hợp với đối tượng phương pháp hợp lý để giảng dạy Tổ chức thường xuyên buổi chuyên đề tổ chuyên môn để thảo luận rút kinh nghiệm Tổ chức thường xuyên buổi dạy thực nghiệm lớp đội tuyển lớp đại trà để tìm biện pháp giảng dạy hợp lý F - HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI *Được học xong kiến thức số học sinh áp dụng giải tập máy móc chưa sáng tạo khả nhận dạng tập chưa nhanh, phương pháp giải chưa gọn *Về phía giáo viên chưa thực đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu, sưu tầm tài liệu nâng cao tay nghề nên việc biến đổi đề toán, lắp ghép chương trình gượng ép Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 16 - Trường THCS Viên An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét ứng dụng Toán PHẦN THỨ BA - KẾT LUẬN Trên số vấn đề hệ thức Vi - ét ứng dụng để giải phương trình bậc hai thường hay gặp chương trình toán Tuy phạm vi nhỏ hẹp chưa thật đầy đủ mong muốn vấn đề bản, tảng cho việc suy nghĩ giải toán có liên quan đến hệ thức Vi -ét Trong thực tế loại toán đa dạng phong phú điều kiện thời gian tiếp thu kiến thức học sinh chưa cao lực thân cong hạn chế nên kinh nghiệm chưa đầy đủ Vì mong thầy cô giáo bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến với nỗ lực thân để tiếp tục hoàn thiện đề tài tốt Viên An, ngày 22 tháng năm 2011 Người thực Lê Thanh Tân Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 17 - Trường THCS Viên An [...]... nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9 PHẦN THỨ BA - KẾT LUẬN Trên đây là một số vấn đề về hệ thức Vi - ét và các ứng dụng của nó để giải phương trình bậc hai thường hay gặp ở chương trình toán 9 Tuy rằng trong phạm vi nhỏ hẹp này chưa thật đầy đủ nhưng tôi mong muốn rằng đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho vi c suy nghĩ và giải quyết mọi bài toán có liên quan đến hệ thức Vi -ét Trong thực... sau: Trước Sau Nhóm không áp dụng đề tài Trên TB Dưới TB 8/15 7/15 10/15 5/15 Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 15 - Nhóm áp dụng đề tài Trên TB Dưới TB 8/15 7/15 14/15 1/15 Trường THCS Vi n An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9 E - BÀI HỌC KINH NGHIỆM *Đối với giáo vi n : Cần phải xác định rõ từng dạng toán đồng thời thấy được mối quan hệ của những bài tập theo... 3 + 2 - 3 = 4 P = (2+ 3 )(2 - 3 ) = 4 - 3 = 1 Do S2 - 4P = 12 > 0 Vậy 2 + 3 và 2 - 3 là 2 nghiệm của phương trình x2 - 4x + 1 = 0 Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 13 - Trường THCS Vi n An www.huongdanvn.com Sáng Ví kiếndụkinh : Hệ thức ứng dụng 2: nghiệm Chứng minh rằng Vi tồn- ét tạivàphương trìnhToán bậc 9hai có hệ số nguyênvà có một nghiệm là Cho x1 = 3− 2 3+ 2 = ( 3− 2 3+ 2 3− 2 ) Giải 2 3− 2 = 5−2... nghiệm của phương trình thỏa mãn: x1 + x2 = 2 > 0 và x1.x2 = m Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 11 - Trường THCS Vi n An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9 * Nếu m < 0, phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm * Nếu m = 0, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2 * Nếu m 0 < m ≤ 1, phương trình có 2 nghiệm... âm D - KẾT QUẢ Sau khi dạy xong phần kiến thức này kết hợp với vi c rèn kuyện giải một số bài tập tôi thấy : +) Học sinh nắm chắc được nội dung các vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai, nghiệm của phương trình bậc hai, hệ thức vi - ét và các ứng dụng của nó +) Học sinh biết phân biệt và nhận dạng bài tập, vận dụng linh hoạt được các kiến thức để giải toán +) Học sinh trình bày bài khoa học có... nghiệm như sau: a) - x1 và - x2 b) 3 x1 và 3 x2 c) x1 + x2 và - x1 x2 d) x13 và x23 Dạng IV - Hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc tham số Bài 1: Cho phương trình x2 - 2mx - m2 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m Bài 2: Cho phương trình: (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0 a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của... có x1 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: x 2 Người thực hiện: Lê Thanh Tân + x2 10 =− ; x1 3 x12 + x22 +4x1x2 = 0 - 14 - Trường THCS Vi n An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9 Dạng VI - Xét dấu 2 nghiệm Bài 1: Không giải phương trình, hãy xác định dấu 2 nghiệm của các phương trình bậc hai sau: a) 3x2 - 5x + 7 = 0 b) x2 + 5x + 6 = 0 c) x2 - 5x + 6 = 0 d) 7 x2 - 4x... thực hiện: Lê Thanh Tân - 12 - Trường THCS Vi n An www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9 Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm đối nhau b) Có đúng một nghiệm âm Giải a) Phương trình có 2 nghiệm đối nhau m − 4  m < 0 P < 0 ⇔ ⇔ ⇔m=3 S = 0 3 − m = 0  m Vậy với m = 3 phương trình có hai nghiệm đối nhau b) Xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Với m = 0 Khi...www.huongdanvn.com Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9 a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính các nghiệm của phương trình theo m b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi nghiệm kia Giải a) *Nếu m = 0 thì phương... có hai nghiệm x1 ; x2 Theo hệ thức vi - ét ta có : x1 + x2 = 2 và x1 x2 = 1 m 4 3 2 3 2 3 4 3 Theo giả thiết ta có: x1 = 2x2 (hoặc x2 = 2x1 ), suy ra x1 = ; x2 = ( x1 = ; x2 = ) Suy ra x1 x2 = Vậy với m = 1 8 1 9  = ⇔ m = > 1 thỏa mãn điều kiện (*) m 9 m 8 9 thì phương trình có một nghiệm gấp đôi nghhiệm kia 8 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2mx- 1 = 0.(m là tham số) a) Chứng minh phương trình trên