BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI, HỆ QUẢ VÀ ỨNG DỤNG I/ Mở đầu: Bất đẳng thức cô si là BĐT rất quan trọng trong toán học, áp dụng nhiều trong bài tập chứng minh BĐT và những bài tập tìm giá trị lớn
Trang 1
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI, HỆ QUẢ VÀ ỨNG DỤNG
I/ Mở đầu: Bất đẳng thức cô si là BĐT rất quan trọng trong toán học, áp dụng nhiều
trong bài tập chứng minh BĐT và những bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Nhưng BĐT Cô-si không được đề cập trong sách giáo khoa toán cấp hai mà chỉ có trong một bài tập của sách bài tập toán 9
Hệ quả của BĐT Cô-si cũng không kém phần quan trọng, áp dụng rất nhiều vào việc tìm GTLN,GTNN của một biểu thức Nhưng hệ quả của BĐT Cô-si khôngdược đề cập trong sách toán cấp 2 Đối với giáo viên nhất là giáo viên dạy nâng cao hoặc bồi dưỡng không thể bỏ qua được việc nghiên cứu và áp dụng BĐT Cô-si và hệ quả của
nó cho các bài tập toán ở cấp 2
II/ Nội dung:
a/ Bất đẳng thức Cô-si: Với hai số không âm thì trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc
bằng trung bình nhân của nó
Cụ thể: Với a≥0;b≥0 thì a+b ≥ ab
2 đấu bằng xảy ra khi a=b
b/ Hệ quả 1: Nếu tổng của hai số dương, không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai
số đó bằng nhau
Cụ thể: a+b≥ 2 ab mà a+b=S không thay đổi nên
4 2
2
S b a ab
S ≥ ⇔ ≤ vậy maxa.b=
b
a
4
2
c/ Hệ quả 2: Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai
số đó bằng nhau
Cụ thể: a+b≥ 2 ab mà a.b không đổi nên a+b≥ 2 p vậy min (a+b)=2 p ⇔a=b
III/ Áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: M= 2
1
2
2
2
≥ + +
+ +
a a
a a
với mọi giá trị của a Dấu dẳng thức xảy ra khi nào?
Gợi ý: Ta có:
1
1 1
1
1 1
1 1
2
2
2 2
2
2 2
2
+ + + + +
= + +
+ + +
+ +
= + +
+ +
a a a
a a
a a
a
a a a
a
a a
Vì a2 +a+ 1 ≥0; 0
1
1
+ +a
a nên áp dụng BĐT Cô-si ta có:
1
2 +a+
1
1 1 2
1
1
2
2
+ + +
+
≥ +
Dấu dẳng thức xảy ra khi:
−
=
=
⇔
= +
⇔
= + +
⇔ + +
=
+
+
1
0 0
) 1 ( 1 1 1
1
2
2
a
a a
a a
a a
a a
a
Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số dương Chứng minh:
2
2 2
b a
c c a
b c b
+
+ +
+ +
Gợi ý: Áp dụng BĐT Cô-si ccho các số không âm có:
Trang 2a c b c b
a c
b
c
b
+
≥
+
+
2 2
c a
b c
a c a
+
≥
+ +
2 2
;
c b a b a
c b
a
b
a
+
≥
+
+
2 2
Cộng vế theo vế của 3 BĐT trên ta có:
2 4
) (
2 ) (
2 2
c b a b a
c c
a
b
c
b
+
+
+
+
Ví dụ 3: Cho P= (x+38)(5−x) với -3<x<5 Tìm GTNN của P và giá trị tương ứng của x
Ta giải bài này bằng cách dùng hệ quả 1 của BĐT Cô-si:
Đặt A= (x+ 3 )( 5 −x) nhận xét P>0 nên P đạt min khi A đạt max khi và chỉ khi (x+3) (5-x) đạt max
Xét tổng (x+3) +(5-x) = 8 là số không đổi Vậy tích (x+3)(5-x) đạt max ⇔ x+3=5-x
⇔2x=2⇔x=1
(TMĐK) Thay x=1 vào P⇒ min P=2 khi x=1
Ví du 4:Cho biểu thức: ( 0 )
3
72
2
>
+
x
x
M Tìm x để M đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất đó
Gợi ý:
x
x x
x
3 3
72
2
+
=
+
3 ≥ ≥
x
x
áp dụng hệ quả 2 của BĐT Cô-si Xét tích .24 8
3 =
x
x
không thay đổi ⇒
x
x 24
3 + đạt min ⇔
x
x 24
3 = ⇔x= 6 2 (vì x>0) Thay x= 6 2 vào N ta có minN=4 2 ⇔x= 6 2
Ví dụ 5: Tìm GTNN của:
) 1 0
1
3
,
) 1 ( 1
1 ,
<
<
− +
=
>
− +
=
x x
x x
B
b
x x
x
A
a
Ta biến đổi A để áp dụng được BĐT Cô-si cho hai số dương:
1
1 1
−
−
x và x
1
1 ) 1
− +
−
=
x x
1
1 ).
1 ( 2 1
1 ) 1
−
−
≥
− +
−
x
x x
x
1
1
1 ⇔ − 2 = ⇔ =
−
=
x
Ta biến đổi B sao cho áp dụng được BĐT Cô-si
3 1
) 1 ( 3 3 1
3
3 1
3
+
− +
−
= +
− +
−
=
−
+
=
x
x x
x x
x x
x
x
x
B
Vì 0<x<1 nên và
x
x
0 ) 1 (
3 − > 0
1 >
−x
x
áp dụng BĐT Cô-si ta có:
3 2 1
)
1
(
3
≥
−
+
−
x
x
x
x
Trang 3Vậy B≥ 2 3 + 3 Suy ra min B = 2 3 + 3
x
x x
x
−
=
−
⇔
1
) 1 ( 3
+
=
−
=
⇔
= +
−
⇔
) (
2
3 3 2
3 3 0
3 6
2 2
KTMĐT x
x x
x
Vậy min B=2 3 ⇔
2
3
3 −
=
x
Ví dụ 6:Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTNN của: E=
b a
c a
c
b c
b
a
+
+ +
+ +
Ví dụ này dành cho bạn đọc
IV/ Kết luận: BĐT Cô-si và hệ quả rất quang trọng trong việc chứng minh BĐT và
tìm GTLN,GTNN của biểu thức nên chúng ta cần khai thác và tìm hiểu sâu hơn về BĐT này
Cô Trần Thị Thu Yến - Tổ Toán