Bất đẳng thức biến phân minimax và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm, người thầy đã định hướng, truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Nguyễn Năng Tâm trong suốt quá trình tôi viết luận văn đã giúp cho tôi có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Học viên Trần Đức Hải LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bất đẳng thức biến phân minimax” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức và nghiên cứu của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Học viên Trần Đức Hải Mục lục Mở đầu 1 Nội dung 2 1 Kiến thức cơ bản 3 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert . 3 1.2. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Một số khái niệm trong giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Mối liên hệ giữa bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân 15 1.4.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . 21 1.4.4. Bất đẳng thức biến phân Minty . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Bất đẳng thức biến phân minimax 29 2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Đưa bài toán (MVI) về dạng (VI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Mối liên hệ giữa bài toán minimax và bất đẳng thức biến phân minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ii iii 2.4. Một số bất đẳng thức biến phân minimax đặc biệt . . . . . . . . . 40 2.4.1. MVI không đơn điệu trong không gian Euclid . . . . . . . 40 2.4.2. MVI giả đơn điệu trong không gian Banach phản xạ . . . 45 2.4.3. MVI đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert . . . . . . . 49 2.5. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 BẢNG KÍ HIỆU MVI Bất đẳng thức biến phân minimax VI Bất đẳng thức biến phân C Tập số phức R Tập số thực R n Không gian Euclid n chiều X ∗ không gian đối ngẫu của X. ., . Tích vô hướng của 2 phần tử ∇ x f (u, v) Đạo hàm riêng gradienst của f theo x tại (u, v) +∞ Dương vô cùng −∞ Âm vô cùng . Chuẩn  Kết thúc chứng minh Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân minimax (MVI) được các tác giả Nguyễn Đông Yên và Nguyễn Quang Huy đưa ra lần đầu tiên trong [6]. Nếu như điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu trơn là một trong những căn nguyên dẫn đến bất đẳng thức biến phân (VI), thì điều kiện cần để tồn tại điểm yên ngựa (xem [6]) của bài toán minimax có thể xem là một căn nguyên dẫn đến khái niệm MVI. Bất đẳng thức biến phân minimax là một công cụ rất tốt để nghiên cứu bài toán minimax. Theo những thông tin mà tôi biết, những khía cạnh khác nhau của MVI chưa được nghiên cứu sâu sắc. Vì vậy, sau khi học xong một số môn trong chương trình cao học chuyên ngành Toán giải tích, được sự hướng dẫn và động viên của thầy Nguyễn Năng Tâm, tôi chọn đề tài: “Bất đẳng thức biến phân minimax và ứng dụng” để nghiên cứu với hy vọng hiểu biết sâu sắc thêm những kiến thức giải tích đã học và ứng dụng của chúng. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức cơ bản. Chương 2: Bất đẳng thức biến phân minimax. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân minmax và ứng dụng của bất đẳng thức biến phân minimax. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán bất đẳng thức biến phân minimax. - Nghiên cứu ứng dụng của bất đẳng thức biến phân minimax vào các bài toán minimax và lý thuyết tối ưu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán bất đẳng thức biến phân minimax trong không gian R n , không gian Hilbert và trong không gian Banach phản xạ. 2 5. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài. Dùng các phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích lồi và Lý thuyết tối ưu. 6. Giả thuyết khoa học Nghiên cứu và làm rõ được Bất đẳng thức biến phân minimax sâu sắc hơn. Chương 1 Kiến thức cơ bản Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản trong Giải tích hàm [1], Giải tích lồi [2], [3], [5], [8] và Bất đẳng thức biến phân lồi khả vi [7], [9], [10]. Mối quan hệ giữa Bài toán tối ưu trơn với Bất đẳng thức biến phân. Các định lý tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân. 1.1. Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1. Một chuẩn trên không gian véctơ X là hàm số thực, kí hiệu . xác định với mọi x ∈ K và thỏa mãn các tiên đề sau: (i) x ≥ 0; x = 0 ⇔ x = 0 (ii) αx = |α|x α là vô hướng bất kì (iii) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ X Không gian định chuẩn hay không gian véctơ định chuẩn, kí hiệu bởi (X, .) bao gồm không gian véc tơ X và chuẩn . trên X. 3 4 Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm (x n ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim n→∞ x n − x = 0, kí hiệu lim n→∞ x n = x hay x n → x (n → ∞). Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm (x n ) trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản, nếu lim m,n→∞ x n − x m  = 0. Định nghĩa 1.1.4. Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.5. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ T được gọi là toán tử tuyến tính nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) T (x + y) = T x + T y, ∀x, y ∈ X. (ii) T (αx) = αT x, ∀x, y ∈ X, α ∈ R. Định nghĩa 1.1.6. Toán tử T từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại số thực k > 0 sao cho T x ≤ k x, ∀x ∈ X. Định nghĩa 1.1.7. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử T : X → Y được gọi là liên tục tại x 0 ∈ X nếu ∀ε > 0, tồn tại δ > 0 phụ thuộc vào ∀ε và x 0 sao cho x −x 0  < δ chúng ta có T x −T x 0  < ε. T liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X. Định lý 1.1.1. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử T : X → Y tuyến tính, khi đó toán tử T liên tục khi và chỉ khi T bị chặn. Định nghĩa 1.1.8. Cho không gian định chuẩn X trên R. Ta gọi không gian L (X, R) các phiến hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu X ∗ . Không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ nếu X = X ∗∗ . Định nghĩa 1.1.9. Cho X là không gian véctơ trên R. Ta gọi tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích X ×X vào R, kí hiệu ., ., thỏa mãn các tiên đề sau: 5 (i) x + x  , y = x, y + x  , y (ii) αx, y = α x, y, α ∈ R (iii) x, y = y, x (iv) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = 0. Nếu tích vô hướng ., . được xác định với mọi cặp (x, y) , x, y ∈ X, khi đó không gian véctơ X cùng với tích vô hướng ., . được gọi là không gian có tích vô hướng hoặc không gian tiền Hilbert, kí hiệu (X, ., .) hoặc đơn giản hơn là X. Ví dụ 1.1.1. R n , n ≥ 1 là không gian có tích vô hướng cùng với tích vô hướng x, y = n  i=1 x i y i , với x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n ; y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n . Định lý 1.1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz - Bunyakowski). Với mọi x, y thuộc vào không gian có tích vô hướng X, ta có |x, y| 2 ≤ x, xy, y. Định lý 1.1.3. Mọi không gian có tích vô hướng X là không gian định chuẩn cùng với chuẩn tương ứng x = |x, x| 1 2 , ∀x ∈ X. Nhận xét 1.1. Từ Định lý 1.1.2 bất đẳng thức Cauchy - Schwartz - Bun- yakowski có thể được viết lại |x, x| ≤ x. y. Đẳng thức |x, y| = x. y thỏa mãn khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Định nghĩa 1.1.10. Không gian X được trang bị một tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert nếu không gian định chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng, x = |x, x| 1 2 , với mọi x ∈ X là không gian Banach (không gian định chuẩn đầy đủ), tức là mọi dãy Cauchy (x n ) ⊂ X đối với chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng hội tụ theo chuẩn đó. Ví dụ 1.1.2. Không gian R n , n ≥ 1 cùng với tích vô hướng x, y = n  i=1 x i y i , trong đó x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n là không gian Hilbert. [...]... con, compact, lồi và F : K → K là liên tục Khi đó ánh xạ F luôn có điểm bất động 1.4 Bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu Trong mục này trình bày khái niệm bất đẳng thức biến phân trên không gian Rn Mối liên hệ giữa bài toán tối ưu với bất đẳng thức biến phân Các điều kiện đủ để tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân 1.4.1 Bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.4.1 Cho F : Rn → Rn và K là một tập... khái quát nhất, mối liên hệ bài toán tối ưu với bất đẳng thức biến phân và các định lý tồn tại nghiệm, tính ổn định nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I Bất đẳng thức biến phân là công cụ tốt để nghiên cứu các bài toán tối ưu lồi khả vi Chương 2 Bất đẳng thức biến phân minimax Trong chương này trình bày khái niệm Bất đẳng thức biến phân minimax (M V I)” [6] Sự tồn tại nghiệm của M V Is... là nghiệm của bất đẳng thức biến phân Minty F (x) , x − x ≥ 0, ∀x ∈ K (1.21) Trong bất đẳng thức biến phân (1.6), F (x) , x − x ≥ 0, ∀x ∈ K , giá trị F (x) là cố định, còn trong bất đẳng thức biến phân Minty, giá trị F (x) thay đổi theo x ∈ K Bổ đề 1.4.1 nói rằng, trong trường hợp F : K → Rn là ánh xạ liên tục và đơn điệu thì hai bất đẳng thức biến phân (1.6) và (1.21) là tương đương Chứng minh (i)... x2 , , xn )T ∈ Rn là véctơ cột Bài toán bất đẳng thức biến phân được xác định bởi ánh xạ F và tập K , vì vậy khi cần làm rõ, ta kí hiệu bài toán bất đẳng thức biến phân là V I(F, K) 15 Điểm x ∈ K thỏa mãn (1.6) được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.6) Tập tất cả các điểm x ∈ K thỏa mãn (1.6) được gọi là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.6) và kí hiệu là Sol(V I) hoặc Sol(V I(F,... K và nếu x ∈ K là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.6) thì nó cũng là nghiệm của bài toán tối ưu (1.11) Như vậy, bài toán tối ưu có thể đưa về bất đẳng thức biến phân Ngược lại, bất đẳng thức biến phân V I(F, K) có thể phát biểu lại như một bài toán tối ưu hàm lồi chỉ khi điều kiện đối xứng và nửa xác định dương của ma trận F (x) 20 được thỏa mãn Điều này nói lên rằng, bài toán bất đẳng thức biến. .. là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.12) Theo Định lý 1.4.1 dưới đây, nếu f (x) là hàm lồi trên K thì mọi nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.6) cũng là nghiệm của bài toán tối ưu (1.11) Định lý 1.4.1 ([9], Mệnh đề 3, tr 9) Cho K là tập khác rỗng, lồi, đóng trong Rn Nếu f (x) là hàm lồi khả vi trên K và x ∈ K là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.12) thì x cũng là... của ánh xạ PK (I − γF ) : K → K , tức là PK (x − γF (x)) = x Chứng minh Giả sử x ∈ K là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, K), tức là F (x) , y − x ≥ 0, y ∈ K Nhân hai vế của bất đẳng thức biến phân với −γ < 0 ta được 0 ≥ −γ (F (x) , y − x) , ∀y ∈ K Cộng vào hai vế của bất đẳng thức đại lượng x, y − x ta đi đến x, y − x ≥ x − γF (x), y − x , ∀y ∈ K Theo Định lý 1.3.8, ta có x chính là... phải nghiên cứu bất đẳng thức biến phân, chúng có liên hệ gì với bài toán tối ưu Mục sau đây nghiên cứu mối liên hệ giữa chúng 1.4.2 Mối liên hệ giữa bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân Ta xét bài toán tối ưu cho hàm một biến nhận giá trị trong R Cho hàm f : [a, b] → R là một hàm khả vi trên [a, b] ⊆ R, nghĩa là tồn tại đạo hàm tại mọi điểm x0 ∈ (a, b) , tồn tại đạo hàm phải f (a+ ) và tồn tại đạo... toán bất đẳng thức biến phân sau đây: Tìm x ∈ KR sao cho F (xR ) , x − xR ≥ 0, ∀x ∈ KR (1.15) Định lý 1.4.6 Giả sử K ⊆ Rn là tập khác rỗng, lồi, đóng Bài toán V I(F, K) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R > 0 sao cho V I(F, KR ) có nghiệm Chứng minh Giả sử VI(F, K) có nghiệm x ∈ K , khi đó F (x) , x − x ≥ 0, ∀x ∈ K Chọn R > x ta có x ∈ B(O, R) hay x ∈ KR Chứng tỏ x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân. .. xạ, và M V Is đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert Bất đẳng thức M V Is sẽ là công cụ rất tốt cho việc nghiên cứu các bài toán minimax lồi khả vi 2.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1.1 Cho X, Y là các không gian Banach cùng với không gian đối ngẫu tương ứng X ∗ , Y ∗ Cho K ⊂ X, L ⊂ Y là những tập lồi đóng khác rỗng và cho F1 : K × L → X ∗ , F2 : K × L → Y ∗ là những hàm tùy ý Bất đẳng thức biến phân . của bất đẳng thức biến phân minimax. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của bài toán bất đẳng thức biến phân minimax. - Nghiên cứu ứng dụng của bất đẳng thức biến. ứng dụng của chúng. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức cơ bản. Chương 2: Bất đẳng thức biến phân minimax. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân minmax và ứng dụng. [3], [5], [8] và Bất đẳng thức biến phân lồi khả vi [7], [9], [10]. Mối quan hệ giữa Bài toán tối ưu trơn với Bất đẳng thức biến phân. Các định lý tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân. 1.1.