2 Bất đẳng thức biến phân minimax
2.2. Đưa bài toán (MVI) về dạng (VI)
Trong mục này trình bày (M V I)có thể đưa được về dạng tương tự như (V I)
và tất cả các dạng bài toán, tính chất, định lý sự tồn tại nghiệm của(M V I) khá giống với (V I).
Định nghĩa 2.2.1. Xét bài toán (M V I), đặt G(x, y) = (F1(x, y),−F2(x, y)) với mọi(x, y)∈K×L. Như vậy, giá trị của hàm sốG(x, y)∈X∗×Y∗ tại(u, v)∈X×Y
được cho bởi
Mặt khác, chuẩn trong không gianX×Y được định nghĩak(x, y)k=kxk+kyk. Ta định nghĩa bất đẳng thức biến phân xác định trên tập lồi đóngK×L⊂X×Y
và toán tử G:K×L→X∗×Y∗ như sau : Tìm (x, y)∈K×L sao cho
hG(x, y),(x, y)−(x, y)i ≥0,∀(x, y)∈K×L. (2.7) Bổ đề 2.2.1 ([6], Mệnh đề 1.7, tr. 268). Bao hàm (x, y)∈Sol(M V I) xảy ra khi và chỉ khi (x, y) là nghiệm của (2.7).
Chứng minh. Nếu (x, y)∈Sol(M V I), khi đó mọi (x, y)∈K×L, ta có
hF2(x, y), y−yi ≤0≤ hF1(x, y), x−xi. (2.8) Dễ thấy (2.8) suy ra rằng hG(x, y),(x, y)−(x, y)i ≥0,∀(x, y)∈K×L.
Ngược lại, nếu (x, y) là nghiệm của của (2.7), khi đó
hG(x, y),(x, y)−(x, y)i ≥0,∀(x, y)∈K×L.
Lấy x = x, từ điều kiện cuối cùng, ta suy ra rằng hF2(x, y), y−yi ≤ 0,∀y ∈ L.
Tương tự chọn y =y, ta nhận được hF1(x, y), x−xi ≥0,∀x∈K. Từ đây suy ra (2.8) thỏa mãn. Do vậy (x, y)∈Sol(M V I).
Từ Bổ đề 2.2.1 ta có thể coi (M V I)tương tự như(V I). Vì thế tất cả các định lý điều kiện đủ để tồn tại nghiệm của (M V I)đều có thể chuyển hóa về (V I)nhờ Bổ đề 2.2.1.
Với bất đẳng thức biến phân, điều kiện bức, đơn điệu, đơn điệu ngặt, giả đơn điệu, giả đơn điệu ngặt, đơn điệu mạnh là những khái niệm cơ bản. Áp dụng vào ánh xạ G= (F1,−F2) :K×L→X∗×Y∗ được cho trong (2.6) và bất đẳng thức (2.7), điều kiện bức, đơn điệu, đơn điệu ngặt, giả đơn điệu và đơn điệu mạnh trong định lý của V I được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.2.2. Bài toán (2.7) được gọi là thỏa mãn điều kiện bức nếu tồn tại điểm (x0, y0)∈K×L sao cho
lim
k(x,y)k→∞
(x,y)∈K×L
hG(x, y)−G(x0, y0),(x, y)−(x0, y0)i
Vì G= (F1,−F2) nên ta có thể định nghĩa lại như sau
(M V I)được gọi là thỏa mãn điều kiện bức nếu tồn tại điểm (x0, y0)∈K×Lsao cho lim k(x,y)k→∞ (x,y)∈K×L hF1(x, y)−F1(x0, y0), x−x0i − hF2(x, y)−F2(x0, y0), y−y0i kx−x0k+ky−y0k = +∞. (2.9) Định nghĩa 2.2.3. Bài toán (2.7) gọi là đơn điệu nếu
hG(x, y)−G(u, v),(x−u, y−v)i ≥0 ∀(x, y),(u, v)∈K×L
hay (M V I) được gọi là bất đẳng thức biến phân minimax đơn điệu nếu
hF1(x, y)−F1(u, v), x−ui − hF2(x, y)−F2(u, v), y−vi ≥0 ∀(x, y),(u, v)∈K×L. Ví dụ 2.2.1. Xét bài toán (2.1), X =Y =R, F1(x, y) =y, F2(x, y) = x. Ta có hF1(x, y)−F1(u, v), x−ui − hF2(x, y)−F2(u, v), y−vi =hy−v, x−ui − hx−u, y −vi = 0.
Khi đó bài toán (M V I) đơn điệu.
Mở rộng bài toán này với X =Rn, Y =Rm, F1(x, y) =By, F2(x, y) = BTx, lúc này ta có
hG(x, y)−G(u, v),(x−u, y−v)i
=hF1(x, y)−F1(u, v), x−ui − hF2(x, y)−F2(u, v), y−vi
=hBy−Bv, x−ui −BTx−BTu, y−v =hB(y−v), x−ui − hx−u, B(y−v)i= 0.
Định nghĩa 2.2.4. Bài toán (2.7) được gọi là bài toán đơn điệu ngặt nếu
hG(x, y)−G(u, v),(x−u, y−v)i>0, ∀(x, y),(u, v)∈K×L, (x, y)6= (u, v)
hay (M V I) được gọi là bất đẳng thức biến phân đơn điệu ngặt nếu
hF1(x, y)−F1(u, v), x−ui − hF2(x, y)−F2(u, v), y−vi>0
∀(x, y),(u, v)∈K ×L,(x, y)6= (u, v).
Định nghĩa 2.2.5. Bài toán (2.7) được gọi là giả đơn điệu nếu
((x, y),(u, v)∈K×L,hG(u, v),(x−u, y−v)i ≥0)
⇒ hG(x, y),(x−u, y−v)i ≥0
hay (M V I) được gọi là bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu nếu
((x, y),(u, v)∈K×L,hF1(u, v), x−ui − hF2(u, v), y −vi ≥0)
⇒ hF1(x, y), x−ui − hF2(x, y), y −vi ≥0.
Ví dụ 2.2.2. Xét bài toán (MVI), với X =Y =R, F1(x, y) =F2(x, y) = 1 1 +xy, K =L={x∈R:x≥0}. Với mọi (x, y)∈K×L,(u, v)∈K×L ta có
hF1(u, v), x−ui − hF2(u, v), y−vi ≥0 hay x−u 1 +uv − y−v 1 +uv ≥0. Từ đây suy ra x−u 1 +xy − y−v 1 +xy ≥0. Cuối cùng ta nhận được hF1(x, y), x−ui − hF2(x, y), y−vi ≥0.
Vậy (M V I) giả đơn điệu.
((x, y),(u, v)∈K×L,(x, y)6= (u, v),hG(u, v),(x−u, y−v)i ≥0)
⇒ hG(x, y),(x−u, y−v)i>0
hay (M V I) được gọi là bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu ngặt nếu
(((x, y),(u, v)∈K×L,(x, y)6= (u, v)),hF1(u, v), x−ui − hF2(u, v), y−vi ≥0)
⇒ hF1(x, y), x−ui − hF2(x, y), y−vi>0. (2.10) Định nghĩa 2.2.7. Bài toán (2.7) được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số α >0 sao cho ∀(x, y),(u, v)∈K×L, ta có
hG(x, y)−G(u, v),(x−u, y−v)i ≥α kx−uk2+ky−vk2
hay (M V I) được gọi là bất đẳng thức biến phân minimax đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số α >0 sao cho ∀(x, y),(u, v)∈K ×L
hF1(x, y)−F1(u, v), x−ui − hF2(x, y)−F2(u, v), y−vi ≥α kx−uk2+ky−vk2
. (2.11)
Ví dụ 2.2.3. Xét bài toán (MVI), ở đây X =Y =R, F1(x, y) = 2x+ 3y−1, F2(x, y) = 3x−2y+ 4. Ta có G(x, y) = (2x+ 3y−1,−3x+ 2y−4). Từ đó hG(x, y)−G(u, v),(x−u, y−v)i= =h2 (x−u) + 3 (y−v), x−ui+h−3 (x−u) + 2 (y−v), y−vi =h2 (x−u), x−ui+h2 (y−v), y−vi = 2(x−u)2+ (y−v)2.
Vậy bài toán (M V I) là đơn điệu mạnh.
Dễ dàng chỉ ra rằng hàm đơn điệu mạnh suy ra đơn điệu ngặt, đơn điệu ngặt suy ra đơn điệu, đơn điệu suy ra giả đơn điệu, đơn điệu ngặt suy ra giả đơn điệu ngặt, đơn điệu mạnh suy ra cưỡng bức.
Như ta đã biết bất đẳng thức biến phân (V I) là công cụ tốt để nghiên cứu các bài toán tối ưu lồi khả vi. Còn bất đẳng thức biến phân minimax là công cụ tốt để nghiên cứu các bài toán minimax, phần tiếp theo đây chúng ta sẽ nghiên cứu về mối liên hệ giữa bài toán minimax và (M V I).