Bất đẳng thức biến phân Affine và ứng dụng (LV00262)

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE 25 2.1.. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE VÀO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIAO THÔNG 43 3.1.. Trong luận văn sử dụng các kí

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi đượcthực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

Nguyễn Tấn Hòa

Lời giới thiệu 4

1.1 Bất đẳng thức biến phân 6

1.2 Bài toán bù 12

1.3 Bất đẳng thức biến phân affine 13

1.4 Bài toán bù tuyến tính 21

Chương 2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE 25 2.1 Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu 25

2.2 Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu nón 32

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE VÀO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIAO THÔNG 43 3.1 Mạng lưới cân bằng giao thông 43

3.2 Đưa bài toán cân bằng mạng giao thông về bài toán bù 46

3.3 Đưa bài toán cân bằng mạng giao thông về bài toán bất đẳng thức biến phân 47

Tài liệu tham khảo 53

Trong luận văn sử dụng các kí hiệu cho trong bảng sau

h, ·, i tích vô hướng trong không gian Hilbert

Rn×n+ không gian các ma trận cấp n với các

AV I (M, q, ∆) bài toán bất đẳng thức biến phân affine

xác định bởi tập lồi ∆, ma trận M và véc tơ qSOL (AV I (M, q, ∆)) tập nghiệm của bài toán

bất đẳng thức biến phân affine

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán bất đẳng thức biến phân ra đời và phát triển góp phần chotoán học ứng dụng phát triển mạnh mẽ Nó được hình thành từ điều kiệncần cực trị của bài toán tối ưu Lớp những bài toán bất đẳng thức biếnphân trong không gian Hilbert có vai trò quan trọng và có nhiều ứng dụngrộng rãi Nhưng với toán học ứng dụng càng đi sâu vào một phân ngànhthì tính ứng dụng càng rộng rãi Bất đẳng thức biến phân affine là trườnghợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân

Sau khi học và nghiên cứu các môn Giải tích hàm, Giải tích lồi, líthuyết tối ưu, với mong muốn hiểu sâu hơn về phần lí thuyết và ứngdụng của bất đẳng thức biến phân affine tôi đã lựa chọn đề tài:

"Bất đẳng thức biến phân affine và ứng dụng"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là tìm hiểu sâu về lí thuyết bất đẳng thức biếnphân affine, nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán này, nghiên cứubài toán bù và ứng dụng của nó trong thực tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu của luận văn gồm 03 chương:

Chương 1: Bất đẳng thức biến phân affine

Trong chương này, chúng ta tìm hiểu các khái niệm bất đẳng thứcbiến phân, bất đẳng thức biến phân affine, khái niệm bài toán bù và cáctính chất của chúng

Chương 2: Sự tồn tại nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phânaffine

Trong chương này, chúng ta tìm hiểu những định lí cơ bản về sự tồntại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine

Chương 3: Ứng dụng của bất đẳng thức biến phân affine vào bàitoán cân bằng mạng giao thông.

Trong chương này, chúng ta tìm hiểu các khái niệm lưới giao thông

Sự tương ứng của bài toán bất đẳng thức biến phân và sự cân bằng mạnglưới giao thông

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu sự đặc biệt hóa từ bất đẳng thức biếnphân thành bất đẳng thức biến phân affine, nghiên cứu tính chất của bàitoán bất đẳng thức biến phân affine, sự tồn tại nghiệm của nó và một phầnứng dụng của nó vào cân bằng mạng lưới giao thông

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp,

6 Giả thuyết khoa học

Dựa trên giả thuyết khoa học của các nhà Toán học đi trước

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

Khái niệm bất đẳng thức biên phân affine và bài toán bù được đưa ranhờ sự thu hẹp khái niệm bất đẳng thức biến phân

1.1 Bất đẳng thức biến phân

Bài toán bất đẳng thức biến phân bắt nguồn từ bài toán tối ưu hóa.Cho φ : Rn → Rn là hàm C1 và ∆ ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng.Mệnh đề 1.1 Nếu ¯x là một nghiệm địa phương của bài toán tối ưu

Chúng ta thấy rằng (1.2) có thể viết lại

hφ (x) , y − xi > 0, ∀y ∈ R (1.4)Định nghĩa 1.1 Cho ∆ ⊂ Rn là một tập con lồi, đóng và φ : ∆ → Rn làmột ánh xạ đã cho thì bài toán tìm x ∈ ∆ thỏa mãn (1.4) được gọi là bàitoán bất đẳng thức biến phân, hoặc đơn giản là bất đẳng thức biến phân(kí hiệu V I) Nó được kí hiệu bởi V I(φ, ∆) Tập nghiệm Sol(V I(φ, ∆))của bài toán V I(φ, ∆) là tập tất cả các x ∈ ∆ thỏa mãn (1.4)

Chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng x ∈ (V I(φ, ∆)) nếu và chỉ nếu

0 ∈ φ (x) + N∆(x)

Ở đó

N∆(x) := {ω : hω, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ ∆} ,gọi là nón pháp tuyến ngoài của ∆ tại x

Mệnh đề 1.1 chứng tỏ rằng bài toán tối ưu trơn có thể dẫn đến bấtđẳng thức biến phân Một câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên: Đưa ra mộtbất đẳng thức biến phân V I(φ, ∆) với một hàm liên tục φ : Rn → Rn cóthể tìm được một hàm f : Rn → R, f ∈ C1 sao cho bài toán V I(φ, ∆) cóthể thu được từ bài toán tối ưu (1.1) bởi phương pháp mô tả nào đó haykhông? Nếu tồn tại f , chúng ta chắc chắn có

Ta lưu ý rằng, nếu f là một hàm C2 thì toán tử tuyến tính φ : Rn →

Rn định nghĩa bởi (1.3) có ma trận Jacobi đối xứng Giả sử rằng nếu

φ : Rn → Rn là một hàm véc tơ có các thành phần φ1, , φn trơn thì matrận Jacobi của φ tại x định nghĩa bởi công thức

Vì f được giả sử là hàm C2, nên từ (1.3) chúng ta kết luận rằng

Mệnh đề 1.2 [6] Cho ∆ ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng Nếu

φ : Rn → Rn là một hàm véc tơ trơn từng khúc đồng thời ∂φi (x)

∂x j = ∂φj (x)

∂x i ,với tất cả các i, j (một toán tử đối xứng trơn), khi đó tồn tại một hàm

f : Rn → Rn, f ∈ C2 sao cho hệ thức (1.5) được thỏa mãn

Vì vậy, chúng ta thấy rằng bài toán tối ưu trơn C2 tương ứng vớibài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử trơn và đối xứng Hơn thếnữa, khi nghiên cứu bài toán V I, chúng ta có thể gặp trường hợp bài toán

V I với toán tử không đối xứng gián đoạn

Mệnh đề sau đây chứng tỏ rằng, các nghiệm của các bài toán tối

ưu và bài toán V I là không tương đương, nghiệm của bài toán V I chỉ lànghiệm địa phương đặc trưng của bài toán tối ưu

Mệnh đề 1.3 Cho x_∈ ∆ Nếu

∃ε > 0 : _x), y −_x > 0, ∀y ∈ ∆ ∩B(_ _x, ε), (1.6)thì _x ∈ Sol(V I(φ, ∆))

Chứng minh Giả sử  > 0 thỏa mãn (1.6) Hiển nhiên, với y ∈ ∆, ∃t =

t (y) ∈ (0, 1) sao cho y(t) := _x +t(y −_x) ∈ ∆ ∩B(_ _x, ε)

Theo (1.6), 0 6 _x), y(t) −x_ _x), y −_x Điều đó suy ra rằng

_

x), y −_x > 0 ∀y ∈ ∆ Do đó x_∈ Sol(V I(φ, ∆)) 

Bài toán V I(φ, ∆) phụ thuộc hai điều kiện: Tập ∆ và ánh xạ φ Cấutrúc của tập nghiệm Sol(V I(φ, ∆)) được quyết định bởi tập ∆ và ánh xạφ

Trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân, vấn đề sau đây là cơ bản:

Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm, tính ổn định và sự phụ thuộc (độ nhạy)

của tập nghiệm vào sự thay đổi (nhiễu) của điều kiện bài toán, thuật toántìm tất cả các nghiệm hoặc một phần của tập nghiệm.

Định lí Hartman - Stampacchia sau đây là định lí cơ bản cho sự tồntại bài toán V I Nó được chứng minh nhờ việc công nhận định lí Brouwer.Định lý 1.1 [11], [22] Nếu ∆ ⊂ Rn là một tập lồi, compact, khác rỗng và

φ : ∆ → Rn là liên tục, khi đó bài toán V I(φ, ∆) có nghiệm

Dưới điều kiện bức thích hợp chúng ta có thể có định lí cho bàitoán trên tập lồi không compact

Định lý 1.2 [11] Cho ∆ ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng và φ : ∆ →

Rn là ánh xạ tuyến tính Nếu ∃x0 ∈ ∆

0), y − x0

thì bài toán V I(φ, ∆) có nghiệm

Ta có (1.7) tương đương với điều kiện sau đây

Nếu ∃x0 ∈ ∆ và α ∈ R+

0), y − x0 > α k y − x0 k2, ∀y ∈ ∆, (1.8)

thì chắc chắn (1.7) vẫn còn đúng Điều đó rõ ràng rằng ∃α > 0 sao cho

hφ(y) − φ(x), y − xi > α k y − x0 k2, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, (1.9)thì (1.8) thoả mãn

Định nghĩa 1.2 Nếu ∃α > 0 sao cho (1.9) đúng thì φ gọi là đơn điệumạnh trên ∆.

Nếu những điều kiện yếu hơn sau đây

hφ(y) − φ(x), y − xi > 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, x 6= y, (1.10)hφ(y) − φ(x), y − xi > 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, (1.11)thoả mãn, thì φ gọi là đơn điệu ngặt trên ∆ và đơn điệu trên ∆ tương ứng

Ví dụ 1.1 Cho ∆ ⊂ Rn là một tập lồi, đóng, khác rỗng Cho D ∈ Rn×m

và c ∈ Rn

Nếu ma trận D xác định dương thì toán tử tuyến tính φ : ∆ → Rnxác định bởi φ(x) = Dx + c là đơn điệu mạnh trên ∆ Trong trường hợpnày, chúng ta dễ dàng thử lại rằng α cần tìm ở công thức (1.9) có thể xácđịnh bởi α = inf vT

F v : v ∈ Rn, k v k= 1 Hơn nữa, Nếu D là nửa xác định dương thì công thức φ(x) = Dx + cxác định một toán tử đơn điệu

Mệnh đề 1.4 Các điều kiện sau đây là đúng

i, Nếu φ đơn điệu ngặt trên ∆ thì bài toán V I(φ, ∆) có 1 nghiệm

ii, Nếu φ là đơn điệu và liên tục trên ∆ thì tập nghiệm của bài toán

V I(φ, ∆) là tập lồi đóng

Để chứng minh điều kiện thứ hai ở mệnh đề trên chúng ta cần sửdụng các điều kiện về đơn điệu sau đây của bài toán V I

Bổ đề 1.1 [11] Nếu ∆ ⊂ Rn là một tập lồi, đóng và φ : ∆ → Rn là mộttoán tử tuyến tính, đơn điệu thì _x ∈ Sol(V I(φ, ∆)) khi và chỉ khi x ∈ ∆và

hφ (y) , y − xi > 0, ∀y ∈ ∆ (1.12)Chứng minh

Điều kiện cần Cho _x ∈ Sol(V I(φ, ∆)) Vì tính đơn điệu của φ, chúng tacó

hφ(y) − φ(x), y − xi > 0, ∀y ∈ ∆

Kết hợp với điều kiện (1.4) suy ra

hφ(y), y − xi > hφ(x), y − xi > 0, ∀y ∈ ∆

Tính chất (1.12) được chứng minh

Điều kiện đủ Giả sử rằng x ∈ ∆ và (1.12) thoả mãn Cố định y ∈ ∆ bất

kỳ Vì ∆ lồi, y(t) := x + t(y − x) ∈ ∆, ∀ =∈ (0; 1) Thế y(t) vào (1.12) tathu được

0 ≤ hφ (y (t)) , y (t) − xi = hφ (x + t (y − x)) , t (y − x)i

Điều đó chứng tỏ rằng

hφ (x + t (y − x)) , y − xi ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) Cho t → 0, vì tính liên tục của φ ta thu được hφ (x) , y − xi ≥ 0

Vì bất đẳng thức trên đúng ∀y ∈ ∆, chúng ta kết luận rằng x ∈Sol (V I (φ, ∆)) 

Do đó Sol (V I (φ, ∆)) là tập lồi đóng 

Từ định lí 1.2 và bổ đề 1.4(i) suy ra rằng, nếu ∆ 6= ∅ và φ : ∆ → Rnđơn điệu mạnh và liên tục thì bài toán V I (φ, ∆) có nghiệm duy nhất.Trong phần tiếp theo, chúng ta xét bài toán bất đẳng thức biến phântrong trường hợp ràng buộc của ∆ là nón

1.2 Bài toán bù

Những điều kiện dẫn đến bài toán bù

Mệnh đề 1.5 Nếu ∆ là một nón lồi đóng, thì bài toán V I (φ, ∆) có thểviết lại tương đương như sau

Định nghĩa 1.3 Bài toán (1.13), ở đó ∆ ⊂ Rn là một nón lồi, đóng và

φ : Rn → Rn được kí hiệu bởi N CP (φ, ∆) và gọi là bài toán bù xác địnhbởi φ và ∆

1.3 Bất đẳng thức biến phân affine

Nếu x là một nghiệm địa phương của bài toán toàn phương

Định nghĩa 1.4 Cho M ∈ Rn×n, q ∈ Rn, ∆ ⊂ Rn là một đa diện lồi Bàitoán bất đẳng thức biến phân

Tìm x ∈ ∆ sao cho hM x + q, y − xi > 0, ∀y ∈ ∆, (1.15)được gọi là bất đẳng thức biến phân affine xác định bởi các dữ kiện{M, q, ∆} và kí hiệu bởi AV I (M, q, ∆) Tập nghiệm của bài toán nàyđược viết ngắn gọn là Sol (AV I (M, q, ∆))

Định lí sau đây chứng tỏ rằng nghiệm của bài toán AV I(M, q, ∆)

có thể biểu thị bởi nhân tử Lagrange

Bổ đề 1.2 (Bổ đề Farkas) Cho A ∈ Rm×n, b ∈ Rm Khi đó trong hai hệdưới đây có một và chỉ một hệ có nghiệm

Ax > 0, bTx < 0, x ∈ Rm,

AT = b, y > 0, y ∈ Rm

Đặt λi = 0, ∀i ∈ I1 và λ = λ1, λ2, , λm
∈ Rm Vì ai = ATi , ∀i =

1, 2, m Từ (1.18) ta thu được bất đẳng thức thứ nhất trong (1.17) Vì

x ∈ ∆ (A, b) và λi(Aix − bi) = 0 với một i ∈ I điều kiện còn lại trong(1.17) cũng được thoả mãn

Chứng minh Chúng ta kí hiệu Ai là cột thứ i của ma trận A và bi là tọa

độ thứ i của véc tơ b Ta đặt ai = ATi , ∀i = 1, 2, m

Giả sử x ∈ Sol (AV I (M, q, ∆))

Ta đặt

I = {1, 2, , m} , I0 = {i ∈ ∆ : hai, xi = bi} ,

và

I1 = {i ∈ I : hai, xi > bi} Giả sử bất kỳ v ∈ Rn thoả mãn

hai, vi > 0, ∀i ∈ I0

Chúng ta dễ dàng thấy rằng tồn tại δ1 > 0 sao cho hai, x + tvi >

bi, ∀i ∈ I và t ∈ (0; δ1) Thay y = x + tv, ở đó t ∈ (0; δ1), vào (1.15) dẫnđến

hM x + q, vi > 0

Thật vậy,h−M x − q, vi 6 0 Cho bất kỳ v ∈ Rn thoả mãn h−ai, vi 6

0, ∀i ∈ I0 Theo bổ đề Farakas, tồn tại số thực không âm λi, (i ∈ I0) sao

Hệ quả 1.1 Cho ∆ được xác định bởi công thức (1.19) Khi đó x ∈ Rn

là một nghiệm của (1.15) khi và chỉ khi tồn tại λ = λ1, λ2, , λm
∈ Rm

0

 Khi đó, bài toán (1.15), ở đó ∆ được

xác định bởi công thức (1.19) thì tương đương với bài toán: Tìm x ∈ e∆ :=n

x ∈ Rn : eAx > ebo sao cho hM x + q, y − xi> 0, ∀y ∈ e∆

Ứng dụng định lí 1.3 vào bài toán AV I này chúng ta kết luận rằng x

là một nghiệm của bài toán khi và chỉ khi eλ = (λ1, λ2, , λm+2s) ∈ Rm+2ssao cho

M x − ATeλ + q = 0, eAx > eb, eλ > 0, eλT Ax − ee b = 0,

với λ = λ1, λ2, , λm
∈ Rm Ở đó, λi = λi, ∀i ∈ {1, 2, , m}

Chúng ta có thể thu được các tính chất trong (1.21) từ những điềutrên

Hệ quả 1.2 Cho ∆ được xác định bởi công thức (1.20) Khi đó x ∈ Rn

là một nghiệm của (1.15) khi và chỉ khi tồn tại λ = λ1, λ2, , λm
∈ Rm

Ứng dụng định lí 1.3 vào bài toán AV I này chúng ta kết luận rằng x

là một nghiệm của bài toán khi và chỉ khi eλ = (λ1, λ2, , λm+2s) ∈ Rm+2ssao cho

M x − eATeλ + q = 0, eAx > eb, eλ > 0, eλT

e

Ax − eb



= 0với λ = λ1, λ2, , λm
∈ Rm và µ = (µ1, µ2, , µs) ∈ Rs Ở đó, λi = λi, ∀i ∈{1, 2, , m} và µj = λm+j − λm+s+j, ∀j ∈ {1, 2, , s}

Chúng ta có thể thu được các tính chất trong (1.22) từ những điềutrên.

Định lý 1.4 Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biên phân affine làhợp hữu hạn những tập đa diện lồi

Chứng minh Xét bài toán AV I tổng quát từ (1.15) Vì ∆ là một tập đa diệnlồi, nên tồn tại m ∈ N, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm sao cho ∆ = {x ∈ Rn : Ax > b}.Theo định lí 1.3 x ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)) khi và chi khi

Sol (AV I (M, q, ∆)) = ∪ {PrRn (QI0) : I0 ⊂ I} (1.25)

Ở đó, PrRn (x, λ) := x Vì PrRn (.) : Rn× Rn

→ Rn là một toán tử tuyếntính, cho bất kỳ I0 ⊂ I, PrRn (QI0) là một tập đa diện lồi

Từ (1.25) chúng ta có điều sau đây Sol (AV I (M, q, ∆)) là hợp hữuhạn các tập đa diện lồi 

Định nghĩa 1.5 Một nửa đường thẳng ωδ = {x + tv : t > 0}, ở đó v ∈

Rn\ {0} và δ > 0, mà là một tập con của Sol (AV I (M, q, ∆)) thì được gọi

là một tia nghiệm của bài toán (1.15)

Định nghĩa 1.6 Một đoạn thẳng ωδ = {x + tv : t ∈ [0; δ)}, ở đó v ∈

Rn\ {0} và δ > 0, mà là một tập con của Sol (AV I (M, q, ∆)) thì được gọi

là một khoảng nghiệm của bài toán (1.15)

Mệnh đề 1.6 [13]Các điều kiện sau đây là đúng

i, Tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân affine là một tậpđóng có thể rỗng

ii, Nếu tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân affine

là không bị chặn thì bài toán này có một tia nghiệm

iii, Nếu tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân affine

là hữu hạn thì bài toán này có một khoảng nghiệm

Chứng minh Phát biểu i, tương ứng từ công thức (1.25) bởi vì, cho I0 ⊂ I,tập PrRn (QI0) là đa diện lồi thì nó đóng Nếu Sol (AV I (M, q, ∆)) là không

bị chặn thì từ (1.25) chúng ta có điều sau đây: Tồn tại một tập chỉ số

x + tv ∈ ΩI0, x ∈ ΩI0, ∀t > 0 (1.27)Lấy bất kỳ x ∈ ΩI0 từ (1.25) và (1.27) chúng ta kết luận rằng

x + tv ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)) , ∀t > 0

Vì vậy, chúng ta kết luận rằng bài toán (1.15) có tia nghiệm NếuSol (AV I (M, q, ∆)) là hữu hạn thì từ (1,25) chúng ta kết luận rằng cómột tập chỉ số I0 ⊂ I sao cho ΩI0 là tập đa diện lồi biểu diễn bởi (1.26)

là hữu hạn Khi đó, có chắc chắn hai điểm khác nhau x ∈ ΩI0, y ∈ ΩI0.Chúng ta có thể kết luận rằng tập [x; y) := {x + t (y − x) : t ∈ [0; 1)} làmột khoảng nghiệm của (1.15) 

Sử dụng định lí 1.4, chúng ta có thể thu được một mở rộng mô tả chotính không đóng tập nghiệm của một bài toán AV I Tiếp theo chúng taxét bài toán (1.15), ở đó ∆ cho bởi (1.16) và đưa vào các kí hiệu sau đây

δ (A) = {v ∈ Rn : Av > 0}

δ (A)+ = z ∈ Rn : zTv > 0, ∀v ∈ δ (A) Chú ý rằng δ (A) và v ∈ Rn : Av ∈ δ (A)+ là những nón đa diện lồi;Trong đó, l (M ) là một nón đóng, không lồi trong trường hợp tổng quát.Chú ý

δ (A) = 0+∆ và δ (A)+ = 0+∆
+.Định lý 1.5 [14] Tập nghiệm của (1.15) là không bị chặn khi và chỉ khitồn tại một cặp v; u0
∈ Rn

× Rn, v 6= 0, u0 ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)) sao cho

xt ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)) , ∀t > 0

Do đó, tập nghiệm của nó là không bị chặn

Điều kiện đủ Giả sử tập Sol (AV I (M, q, ∆)) là không bị chặn Theo(1.25) tồn tại I0 ⊂ I sao cho ΩI0 biểu diễn bởi (1.26) là không bị chặn

Từ định lí 8.4 [23], chúng ta có thể suy ra rằng tồn tại v ∈ Rn, v 6= 0 và

u0 ∈ ΩI0 sao cho

u0 + tv ∈ ΩI0 ⊂ Sol (AV I (M, q, ∆)) , ∀t > 0 (1.28)

Vì A u0 + tv
> b, ∀t > 0, chúng ta có thể kết luận rằng Av > 0.Điều đó có nghĩa rằng v ∈ δ (A) Theo (1.28) chúng ta có

0 + tv
+ q, y − u0 + tv
> 0, ∀y ∈ ∆ (1.29)

Mệnh đề 1.7 Bài toán (1.15) có tập nghiệm compact (có thể rỗng) nếumột trong các tính chất sau được thoả mãn

1.4 Bài toán bù tuyến tính

Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt của bài toán (1.13) Điều đó có vaitrò rất quan trọng trong định lí về số chiều của bất đẳng thức biến phân

và bài toán bù

Định nghĩa 1.7 Bài toán (1.13) với ∆ = Rn+ và φ (x) = M x + q, ở đó

M ∈ Rn×n và q ∈ Rn được biểu diễn bởi LCP (M, q) và được gọi là bàitoán bù tuyến tính xác định bởi M và q Tập nghiệm của bài toán nàyđược biểu diễn bởi Sol (M, q)

Chúng ta có thể viết lại bài toán LCP (M, q) như sau

với D ∈ Rn×ns , A ∈ Rn×n, c ∈ Rn, b ∈ Rm, ở đó ∆ = Rn+ thì x ∈ Rn+ và theođịnh lí 3.1 [13]

hDx + c, y − xi > 0, ∀y ∈ Rn+

Điều đó nói lên rằng x là một nghiệm của bài toán tuyến tính bùLCP (D, c) xác định bởi D và c.

Theo mệnh đề ( 3.1 ) [13], nếu x là một nghiệm địa phương của bàitoán

min 1

2x

TDx + cTx : x ∈ Rn : Ax > b, x > 0

,với D ∈ Rn×ns , A ∈ Rn×n, c ∈ Rn, b ∈ Rm thì tồn tại λ = (λ1, λ2, , λm) ∈

c

−b

, z = x

λ



Chúng ta có M ∈ R(n+m)×(n+m), q ∈ Rn×m, z ∈ Rn+m Chúng ta dễdàng thử lại rằng

Vì vậy (1.34) có thể biểu diễn như là bài toán LCP

Định nghĩa 1.8 Nếu ∆ là một nón đa diện lồi và tồn tại M ∈ Rn×m, q ∈

Rn sao cho φ (x) = M x + q, ∀x ∈ ∆, thì (1.13) được gọi là một bài toán

bù tuyến tính suy rộng Nó được kí hiệu bởi GLCP (M, q, ∆)

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng bài toán bù tuyến tính suy rộng

là một bài toán AV I đặc biệt Kết hợp định nghĩa 1.7 và định nghĩa 1.8chúng ta thấy rằng bài toán GLCP có cấu trúc gần tương đương với bàitoán LCP Điều đó giải thích vì sao những kết luận liên quan bài toán

LCP có thể mở rộng cho bài toán GLCP

Từ điều đó dễ dàng thấy rằng nếu trong (1.15) chọn ∆ = Rn+ thìchúng ta thu được bài toán tuyến tính bù LCP (M, q) Do đó bài toán bùtuyến tính là trường hợp đặc biệt của bài toán AV I Định lí 1.5 có thểxem là trường hợp đặc biệt cho bài toán LCP ngay sau đây

Mệnh đề 1.8 [21] Tập nghiệm của bài toán (1.33) là không bị chặn khi

Mặt khác v ∈ R2+ có dạng v =  v1

v2

 Suy ra

Từ (1.36) và (1.37) suy ra ví dụ này thoả mãn hệ quả 1.5

Vậy Sol (M, q) là một tập compact

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BẤT

ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE

Trong chương này, những định lí cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bấtđẳng thức biến phân affine sẽ được chứng minh Những điều kiện đơn điệucủa ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi ma trận M và vị trí tương đốicủa véc tơ q với sự ràng buộc về tập ∆ và nón lùi xa O+∆ sẽ được sử dụngtrong các định lí Ở chương trước chúng ta đã có bài toán:

Tìm x ∈ ∆ sao cho hM x + q, y − xi > 0, ∀y ∈ ∆, (2.1)

kí hiệu bởi AV I(M, q, ∆) Ở đây M ∈ Rn×n, q ∈ Rn và ∆ là một tập đadiện lồi khác rỗng trong Rn

2.1 Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu

Xét bài toán (2.1) Vì ∆ là một tập đa diện lồi, có m ∈ N, A ∈ Rn×n và

, z ≥  b

Ở đó E biểu diễn dưới dạng một ma trận trong Rm×m Cho

Bổ đề 2.1 Tập ∆ là không rỗng nếu và chỉ nếu∼

Chứng minh Theo bổ đề 2.1, từ giả thiết chúng ta có e∆ 6= ∅.

−b

T

z

= 12

 xλ

T "

 MA

−AT

0

+ MA

−A0

T#

 xλ



+

q

−b

T

 xλ



= 12

 xλ

T

 M + MT

0

00

  xλ

+ qTx − bTλ