Bất đẳng thức biến phân Affine và ứng dụng (LV00262)

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Nguyễn Năng Tâm. Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả Nguyễn Tấn Hòa Mục lục Lời giới thiệu 4 Chương 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE 6 1.1. Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Bài toán bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Bất đẳng thức biến phân affine . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Bài toán bù tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE 25 2.1. Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu . . . . . . . . . 25 2.2. Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu nón . . . . . . . 32 Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE VÀO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIAO THÔNG 43 3.1. Mạng lưới cân bằng giao thông . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2. Đưa bài toán cân bằng mạng giao thông về bài toán bù . . 46 3.3. Đưa bài toán cân bằng mạng giao thông về bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 MỘT SỐ KÍ HIỆU Trong luận văn sử dụng các kí hiệu cho trong bảng sau , ·,  tích vô hướng trong không gian Hilbert R n không gian thực n−chiều R n×n + không gian các ma trận cấp n với các thành phần không âm R n×n s không gian các ma trận đối xứng cấp n R n×m không gian các ma trận cỡ n × m O + ∆ nón lùi xa ∅ tập rỗng V I(φ, ∆) bài toán bất đẳng thức biến phân xác định bởi tập ∆ và ánh xạ φ NCP (φ, ∆) bài toán bù xác định bởi nón lồi ∆ và ánh xạ φ GLCP (M, q, ∆) bài toán bù tuyến tính tổng quát AV I (M, q, ∆) bài toán bất đẳng thức biến phân affine xác định bởi tập lồi ∆, ma trận M và véc tơ q SOL (AV I (M, q, ∆)) tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine int∆ phần trong của ∆ ∂f(x) dưới vi phân của f tại x MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức biến phân ra đời và phát triển góp phần cho toán học ứng dụng phát triển mạnh mẽ. Nó được hình thành từ điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu. Lớp những bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert có vai trò quan trọng và có nhiều ứng dụng rộng rãi. Nhưng với toán học ứng dụng càng đi sâu vào một phân ngành thì tính ứng dụng càng rộng rãi. Bất đẳng thức biến phân affine là trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân. Sau khi học và nghiên cứu các môn Giải tích hàm, Giải tích lồi, lí thuyết tối ưu, với mong muốn hiểu sâu hơn về phần lí thuyết và ứng dụng của bất đẳng thức biến phân affine tôi đã lựa chọn đề tài: "Bất đẳng thức biến phân affine và ứng dụng" 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là tìm hiểu sâu về lí thuyết bất đẳng thức biến phân affine, nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán này, nghiên cứu bài toán bù và ứng dụng của nó trong thực tế. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nội dung nghiên cứu của luận văn gồm 03 chương: Chương 1: Bất đẳng thức biến phân affine Trong chương này, chúng ta tìm hiểu các khái niệm bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân affine, khái niệm bài toán bù và các tính chất của chúng. Chương 2: Sự tồn tại nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân affine Trong chương này, chúng ta tìm hiểu những định lí cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine. 5 Chương 3: Ứng dụng của bất đẳng thức biến phân affine vào bài toán cân bằng mạng giao thông. Trong chương này, chúng ta tìm hiểu các khái niệm lưới giao thông. Sự tương ứng của bài toán bất đẳng thức biến phân và sự cân bằng mạng lưới giao thông. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu sự đặc biệt hóa từ bất đẳng thức biến phân thành bất đẳng thức biến phân affine, nghiên cứu tính chất của bài toán bất đẳng thức biến phân affine, sự tồn tại nghiệm của nó và một phần ứng dụng của nó vào cân bằng mạng lưới giao thông. 5. Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp, 6. Giả thuyết khoa học Dựa trên giả thuyết khoa học của các nhà Toán học đi trước. Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE Khái niệm bất đẳng thức biên phân affine và bài toán bù được đưa ra nhờ sự thu hẹp khái niệm bất đẳng thức biến phân. 1.1. Bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân bắt nguồn từ bài toán tối ưu hóa. Cho φ : R n → R n là hàm C 1 và ∆ ⊂ R n là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Mệnh đề 1.1. Nếu ¯x là một nghiệm địa phương của bài toán tối ưu min {f (x) : x ∈ ∆} , (1.1) thì ∇f (x) , y − x ≥ 0, ∀y ∈ ∆. (1.2) Chứng minh. Gọi x ∈ ∆ là một nghiệm địa phương của (1.1). Chọn µ sao cho f (y) ≥ f (x) , y ∈ ∆ ∩ B (x, µ). Lấy bất kỳ x ∈ ∆\{x}, ta thấy rằng tồn tại ∃δ > 0 sao cho x + t (x − x) ∈ ∆ ∩ B (x, µ). Ở đó t ∈ (0, δ). Hơn thế nữa 0 ≤ lim t→0 f (x + t (x − x)) − f (x) t = f , (x, x − x) = ∇f (x) , x − x = Dx + c, x − x . Đặt φ (x) = ∇f (x) =        ∂f (x) ∂x 1 . . . ∂f (x) ∂x n        , ∀x ∈ R n . (1.3) 7 Chúng ta thấy rằng (1.2) có thể viết lại φ (x) , y − x  0, ∀y ∈ R. (1.4) Định nghĩa 1.1. Cho ∆ ⊂ R n là một tập con lồi, đóng và φ : ∆ → R n là một ánh xạ đã cho thì bài toán tìm x ∈ ∆ thỏa mãn (1.4) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân, hoặc đơn giản là bất đẳng thức biến phân (kí hiệu V I). Nó được kí hiệu bởi V I(φ, ∆). Tập nghiệm Sol(V I(φ, ∆)) của bài toán V I(φ, ∆) là tập tất cả các x ∈ ∆ thỏa mãn (1.4). Chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng x ∈ (V I(φ, ∆)) nếu và chỉ nếu 0 ∈ φ (x) + N ∆ (x) . Ở đó N ∆ (x) := {ω : ω, y − x ≤ 0, ∀y ∈ ∆} , gọi là nón pháp tuyến ngoài của ∆ tại x. Mệnh đề 1.1 chứng tỏ rằng bài toán tối ưu trơn có thể dẫn đến bất đẳng thức biến phân. Một câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên: Đưa ra một bất đẳng thức biến phân V I(φ, ∆) với một hàm liên tục φ : R n → R n có thể tìm được một hàm f : R n → R, f ∈ C 1 sao cho bài toán V I(φ, ∆) có thể thu được từ bài toán tối ưu (1.1) bởi phương pháp mô tả nào đó hay không? Nếu tồn tại f, chúng ta chắc chắn có φ (x) = ∇f (x) ∀x ∈ ∆. (1.5) Ta lưu ý rằng, nếu f là một hàm C 2 thì toán tử tuyến tính φ : R n → R n định nghĩa bởi (1.3) có ma trận Jacobi đối xứng. Giả sử rằng nếu φ : R n → R n là một hàm véc tơ có các thành phần φ 1 , , φ n trơn thì ma trận Jacobi của φ tại x định nghĩa bởi công thức Jφ (x) =      ∂φ 1 (x) ∂x 1 ∂φ 1 (x) ∂x 2 ∂φ 1 (x) ∂x n : : : . . . ∂φ n (x) ∂x 1 ∂φ n (x) ∂x 2 ∂φ n (x) ∂x n      8 Vì f được giả sử là hàm C 2 , nên từ (1.3) chúng ta kết luận rằng ∂φ i (x) ∂x j = ∂ 2 f(x) ∂x j x i = ∂ 2 f(x) ∂x i x j = ∂φ j (x) ∂x i , với mọi i, j. Điều đó chứng tỏ rằng Jφ (x) là ma trận đối xứng. Mệnh đề 1.2. [6] Cho ∆ ⊂ R n là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Nếu φ : R n → R n là một hàm véc tơ trơn từng khúc đồng thời ∂φ i (x) ∂x j = ∂φ j (x) ∂x i , với tất cả các i, j (một toán tử đối xứng trơn), khi đó tồn tại một hàm f : R n → R n , f ∈ C 2 sao cho hệ thức (1.5) được thỏa mãn. Vì vậy, chúng ta thấy rằng bài toán tối ưu trơn C 2 tương ứng với bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử trơn và đối xứng. Hơn thế nữa, khi nghiên cứu bài toán V I, chúng ta có thể gặp trường hợp bài toán V I với toán tử không đối xứng gián đoạn. Mệnh đề sau đây chứng tỏ rằng, các nghiệm của các bài toán tối ưu và bài toán V I là không tương đương, nghiệm của bài toán V I chỉ là nghiệm địa phương đặc trưng của bài toán tối ưu. Mệnh đề 1.3. Cho _ x ∈ ∆. Nếu ∃ε > 0 :  φ( _ x ), y − _ x   0, ∀y ∈ ∆ ∩ _ B ( _ x , ε), (1.6) thì _ x ∈ Sol(V I(φ, ∆)). Chứng minh. Giả sử  > 0 thỏa mãn (1.6). Hiển nhiên, với y ∈ ∆, ∃t = t (y) ∈ (0, 1) sao cho y(t) := _ x +t(y − _ x ) ∈ ∆ ∩ _ B ( _ x , ε). Theo (1.6), 0   φ( _ x ), y(t) − _ x  = t  φ( _ x ), y − _ x  . Điều đó suy ra rằng  φ( _ x ), y − _ x   0 ∀y ∈ ∆. Do đó _ x ∈ Sol(V I(φ, ∆))  Bài toán V I(φ, ∆) phụ thuộc hai điều kiện: Tập ∆ và ánh xạ φ. Cấu trúc của tập nghiệm Sol(V I(φ, ∆)) được quyết định bởi tập ∆ và ánh xạ φ. Trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân, vấn đề sau đây là cơ bản: Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm, tính ổn định và sự phụ thuộc (độ nhạy) 9 của tập nghiệm vào sự thay đổi (nhiễu) của điều kiện bài toán, thuật toán tìm tất cả các nghiệm hoặc một phần của tập nghiệm. Định lí Hartman - Stampacchia sau đây là định lí cơ bản cho sự tồn tại bài toán V I. Nó được chứng minh nhờ việc công nhận định lí Brouwer. Định lý 1.1. [11], [22] Nếu ∆ ⊂ R n là một tập lồi, compact, khác rỗng và φ : ∆ → R n là liên tục, khi đó bài toán V I(φ, ∆) có nghiệm. Dưới điều kiện bức thích hợp chúng ta có thể có định lí cho bài toán trên tập lồi không compact. Định lý 1.2. [11] Cho ∆ ⊂ R n là một tập lồi, đóng, khác rỗng và φ : ∆ → R n là ánh xạ tuyến tính. Nếu ∃x 0 ∈ ∆  φ(y) − φ(x 0 ), y − x 0  ||y − x 0 || → +∞, y ∈ ∆, (1.7) thì bài toán V I(φ, ∆) có nghiệm. Ta có (1.7) tương đương với điều kiện sau đây ∀γ > 0, ∃ρ > 0 :  φ(y) − φ(x 0 ), y − x 0   y − x 0   γ, ∀y ∈ ∆ : y  ρ. Điều đó chứng tỏ rằng nếu ∆ là tập compact thì bất kỳ x 0 ∈ ∆, (1.7) là đúng. Nếu ∃x 0 ∈ ∆ sao cho (1.7) vẫn còn đúng khi đó ta nói rằng điều kiện bức thoả mãn. Điều kiện bức giữ một vai trò khá quan trọng trong việc nghiên cứu bất đẳng thức biên phân trên tập ràng buộc không compact. Chú ý rằng (1.7) là một trường hợp quan trọng của các điều kiện bức. Nếu ∃x 0 ∈ ∆ và α ∈ R +  φ(y) − φ(x 0 ), y − x 0   α  y − x 0  2 , ∀y ∈ ∆, (1.8) thì chắc chắn (1.7) vẫn còn đúng. Điều đó rõ ràng rằng ∃α > 0 sao cho φ(y) − φ(x), y − x  α  y − x 0  2 , ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, (1.9) thì (1.8) thoả mãn. 10 Định nghĩa 1.2. Nếu ∃α > 0 sao cho (1.9) đúng thì φ gọi là đơn điệu mạnh trên ∆. Nếu những điều kiện yếu hơn sau đây φ(y) − φ(x), y − x > 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, x = y, (1.10) φ(y) − φ(x), y − x  0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, (1.11) thoả mãn, thì φ gọi là đơn điệu ngặt trên ∆ và đơn điệu trên ∆ tương ứng. Ví dụ 1.1. Cho ∆ ⊂ R n là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Cho D ∈ R n×m và c ∈ R n . Nếu ma trận D xác định dương thì toán tử tuyến tính φ : ∆ → R n xác định bởi φ(x) = Dx + c là đơn điệu mạnh trên ∆. Trong trường hợp này, chúng ta dễ dàng thử lại rằng α cần tìm ở công thức (1.9) có thể xác định bởi α = inf  v T F v : v ∈ R n ,  v = 1  . Hơn nữa, Nếu D là nửa xác định dương thì công thức φ(x) = Dx + c xác định một toán tử đơn điệu. Mệnh đề 1.4. Các điều kiện sau đây là đúng i, Nếu φ đơn điệu ngặt trên ∆ thì bài toán V I(φ, ∆) có 1 nghiệm. ii, Nếu φ là đơn điệu và liên tục trên ∆ thì tập nghiệm của bài toán V I(φ, ∆) là tập lồi đóng. Để chứng minh điều kiện thứ hai ở mệnh đề trên chúng ta cần sử dụng các điều kiện về đơn điệu sau đây của bài toán V I. Bổ đề 1.1. [11] Nếu ∆ ⊂ R n là một tập lồi, đóng và φ : ∆ → R n là một toán tử tuyến tính, đơn điệu thì _ x ∈ Sol(V I(φ, ∆)) khi và chỉ khi x ∈ ∆ và φ (y) , y − x  0, ∀y ∈ ∆. (1.12) Chứng minh. Điều kiện cần. Cho _ x ∈ Sol(V I(φ, ∆)). Vì tính đơn điệu của φ, chúng ta có φ(y) − φ( x), y − x  0, ∀y ∈ ∆. [...]... khái niệm bất đẳng thức biến phân, khái niệm về bài toán bù, bài toán bù tuyến tính và đặc biệt là mở rộng thú vị của khái niệm bất đẳng thức biến phân là khái niệm bất đẳng thức biến phân affine, các tính chất của nó Chương 2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE Trong chương này, những định lí cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine sẽ được chứng minh... biến phân affine là một tập đóng có thể rỗng ii, Nếu tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân affine là không bị chặn thì bài toán này có một tia nghiệm iii, Nếu tập nghiệm của một bài toán bất đẳng thức biến phân affine là hữu hạn thì bài toán này có một khoảng nghiệm Chứng minh Phát biểu i, tương ứng từ công thức (1.25) bởi vì, cho I0 ⊂ I, tập PrRn (QI0 ) là đa diện lồi thì nó đóng Nếu Sol... tử affine với M là ma trận Jacobian đối xứng cố định Định nghĩa 1.4 Cho M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , ∆ ⊂ Rn là một đa diện lồi Bài toán bất đẳng thức biến phân Tìm x ∈ ∆ sao cho M x + q, y − x 0, ∀y ∈ ∆, (1.15) được gọi là bất đẳng thức biến phân affine xác định bởi các dữ kiện {M, q, ∆} và kí hiệu bởi AV I (M, q, ∆) Tập nghiệm của bài toán này được viết ngắn gọn là Sol (AV I (M, q, ∆)) Định lí sau đây chứng... rằng x ∈ Sol (V I (φ, ∆)) Chứng minh mệnh đề 1.4 Chứng minh i, Giả sử ngược lại rằng φ đơn điệu ngặt trên ∆, nhưng bài toán V I (φ, ∆) có hai nghiệm khác nhau x và y Khi đó φ (x) , y − x ≥ 0 và φ (y) , x − y ≥ 0 Kết hợp hai bất đẳng thức đó ta có φ (x) − φ (y) , y − x ≥ 0 Bất đẳng thức này mâu thuẫn với bất đẳng thức φ (y) − φ (x) , y − x > 0 ii, Giả thiết rằng φ đơn điệu và liên tục trên ∆, ∀y ∈ ∆... u0 vào (1.29) và thay tiếp vào (1.31) chúng ta được M u0 + q, v 0 Thay y = u0 + t2 v, ở đó t > 1 vào (1.29) và sử dụng (1.31) chúng ta có thể kết luận rằng M u0 + q, v 0 Từ đó và từ bất đẳng thức ở trước suy ra rằng ii, thoả mãn Theo (1.29), ( 1.31) và ii, ∀y ∈ ∆ chúng ta có 0 M u0 + q + tM v, y − u0 − tv = M u0 + q, y − u0 + + t M v, y − u0 , ∀t > 0 Từ đó suy rằng bất đẳng thức M v, y − u0 < 0, ∀y ∈... 0, ∀k ∈ N Hoặc bất đẳng thức M xk + q, x0 ≥ M xk + q, xk , ∀k ∈ N (2.21) 35 Chia bất đẳng thức (2.21) cho xk 0 2 và cho k → ∞ chúng ta được M v, v (2.22) Vì xk ∈ ∆, chúng ta có Axk ≥ b Chia bất đẳng thức trên cho xk và lấy giới hạn khi k → ∞ chúng ta được Av ≥ 0 Điều đó suy ra rằng v ∈ O+ ∆ Vì v = 1 nên (2.22) mâu thuẫn với giả thiết của M đơn điệu nón chặt trên ∆ Vì vậy chúng ta đã chứng tỏ được rằng... Định nghĩa 1.3 Bài toán (1.13), ở đó ∆ ⊂ Rn là một nón lồi, đóng và φ : Rn → Rn được kí hiệu bởi N CP (φ, ∆) và gọi là bài toán bù xác định bởi φ và ∆ 1.3 Bất đẳng thức biến phân affine Nếu x là một nghiệm địa phương của bài toán toàn phương 1 min f (x) = xT M x + q T x : x ∈ ∆ , 2 (1.14) ở đó M ∈ Rn×n là ma trận đối xứng cấp n, q ∈ Rn và ∆ ⊂ Rn là một đa s diện lồi, thì M x + q, y − x 0, ∀y ∈ ∆ Điều... ∆ thoả mãn bất đẳng thức φ (y) , y − x ≥ 0 Từ đó chúng ta suy ra rằng Ω(y) là một tập lồi đóng Từ bổ đề 1.1 suy ra rằng Sol (V I (φ, ∆)) = Ω (y) y∈∆ 12 Do đó Sol (V I (φ, ∆)) là tập lồi đóng Từ định lí 1.2 và bổ đề 1.4(i) suy ra rằng, nếu ∆ = ∅ và φ : ∆ → Rn đơn điệu mạnh và liên tục thì bài toán V I (φ, ∆) có nghiệm duy nhất Trong phần tiếp theo, chúng ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân trong... hợp đặc biệt của bài toán (1.13) Điều đó có vai trò rất quan trọng trong định lí về số chiều của bất đẳng thức biến phân và bài toán bù Định nghĩa 1.7 Bài toán (1.13) với ∆ = Rn và φ (x) = M x + q, ở đó + M ∈ Rn×n và q ∈ Rn được biểu diễn bởi LCP (M, q) và được gọi là bài toán bù tuyến tính xác định bởi M và q Tập nghiệm của bài toán này được biểu diễn bởi Sol (M, q) Chúng ta có thể viết lại bài toán... định bất kỳ y ∈ ∆, từ (1.29) chúng ta kết luận rằng 1 1 1 1 M u0 + M v + q, y − u0 − v t t t t 0, ∀t > 0 Bởi vậy M v, −v 0 (1.30) Thay y = u0 + t2 v, ở đây t > 1, vào (1.29) và chia bất đẳng thức cho t t2 − t chúng ta thu được 1 1 M u0 + M v + q, v t t Cho t → +∞ suy ra M v, v 0, ∀t > 1 0 Kết hợp với (1.30) chúng ta có M v, −v = 0 (1.31) Điều đó chứng tỏ rằng v ∈ l (M ) Thay y = u0 vào (1.29) và thay . khái niệm bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân affine, khái niệm bài toán bù và các tính chất của chúng. Chương 2: Sự tồn tại nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân affine Trong. nhiều ứng dụng rộng rãi. Nhưng với toán học ứng dụng càng đi sâu vào một phân ngành thì tính ứng dụng càng rộng rãi. Bất đẳng thức biến phân affine là trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức. thức biến phân thành bất đẳng thức biến phân affine, nghiên cứu tính chất của bài toán bất đẳng thức biến phân affine, sự tồn tại nghiệm của nó và một phần ứng dụng của nó vào cân bằng mạng lưới