Bất đẳng thức biến phân AFFINE

    Khoá luận tốt nghiệp                                                                      Vi Thị Tuyến  LỜI CẢM ƠN      Bước  đầu  làm  quen  với  việc  tiến  hành  nghiên  cứu  khoa  học  nên  em  không khỏi bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn. Để có được khoá luận hoàn thiện  em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán cùng các thầy  cô  trong  trường  ĐHSPHN2  và  đặc  biệt  là  sự  tân  tình  chỉ  bảo  và  đóng  góp  những ý kiến quý báu của thầy Hoàng Ngọc Tuấn trong thời gian qua.    Do  điều  kiện  thời  gian  cùng  với  vốn  kiến  thức  chắc  chắn  sẽ  không  tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của  thầy cô và các bạn để tìm được những ý tưởng tốt hơn bổ sung cho khóa luận  được hoàn thiện hơn nữa và sẽ là tài liệu tham khảo thật sự bổ ích cho tất cả  những độc giả có niềm đam mê môn Toán.     Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Giải  tích,  các  thầy  cô  trong  khoa  Toán  và  đặc  biệt  là  thầy  Hoàng  Ngọc  Tuấn đã  hướng dẫn em hoàn thành khóa luận này.    Em xin chân thành cảm ơn!  Hà Nội, tháng 05 năm 2012  Sinh viên    Vi Thị Tuyến           Khoá luận tốt nghiệp                                                                      Vi Thị Tuyến  LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản khóa luận này được hoàn thành do sự cố gắng nỗ  lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy  Hoàng Ngọc Tuấn.  Khóa luận này không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu trùng tôi  xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.  Rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để bản khóa luận được  hoàn thiện hơn.  Hà Nội, tháng 05 năm 2012  Sinh viên    Vi Thị Tuyến           Khoá luận tốt nghiệp                                                                      Vi Thị Tuyến  MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1  CHƯƠNG 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE 3  1.1 Bất đẳng thức biến phân 3  1.2 Bài toán bù  8  1.3 Bất đẳng thức biến phân affine 9  1.4 Bài toán bù tuyến tính 17  CHƯƠNG  2.  SỰ  TỒN  TẠI  NGHIỆM  CỦA  BẤT  ĐẲNG  THỨC  BIẾN  PHÂN AFFINE 21  2.1 Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu 21  2.2 Sự tồn tại nghiệm dưới tính đồng dương 26  CHƯƠNG  3.  TÍNH  LIÊN  TỤC  LIPSCHITZ  TRÊN  CỦA  ÁNH  XẠ  NGHIỆM TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 34  3.1 Định lý Walkup – Wets 34  3.2 Tính Liên tục Lipschitz trên với tham biến tuyến tính 37  KẾT LUẬN 45  TÀI LIỆU THAM KHẢO 46                          Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân là một bất đẳng thức liên quan tới một hàm mà  phải được giải với mọi giá trị của một biến cho trước, biến này thường thuộc  vào một tập hợp lồi.  Lý thuyết của bất đẳng thức biến phân được phát triển từ  việc giải quyết các bài toán cân bằng, và hiện này nó có những ứng dụng rỗng  rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, tài chính, tối ưu và lý thuyết trò chơi.  Bất đẳng thức biến  phân  affine  là  một  trường  hợp  riêng  của  bất đẳng  thức  biến  phân,  khi  mà  hàm  trong  bất  đẳng  thức  là  hàm  affine.  Sự  tồn  tại  nghiệm của bài toán và tính chất của ánh xạ nghiệm là những vấn đề cần thiết  rất đáng để nghiên cứu và tìm hiểu sâu thêm.  Vì những lí do trên nên em chọn đề tài:  Bất đẳng thức biến phân affine và cũng với hi vọng hiểu sâu được nội dung được vài toán và tầm quan trọng  của nó.  Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu cấu  trúc bài toán Bất đẳng thức biến phân affine.  Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các điều kiện cho sự tồn tại nghiệm của Bất đẳng thức biến  phân affine, và đưa ra một số tính chất của ánh xạ nghiệm của bài toán.  Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bất đẳng thức biến phân affine.  Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các lý luận, các công cụ toán học và phương pháp nghiên cứu  của lý thuyết tối ưu, lý thuyết biến phân.                                                                                                                                                       1        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận  của em gồm ba chương:  Chương 1. Bất đẳng thức biến phân affine  Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine  Chương 3. Tính liên tục Lipschitz trên của ánh xạ nghiệm trong bất đẳng thức  biến phân affine                  2        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  CHƯƠNG 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE   1.1 Bất đẳng thức biến phân  Bài toán bất  đẳng  thức biến phân bắt nguồn  một  cách  tự nhiên trong khuôn  khổ của bài toán tối ưu.         Cho f : n  là  một  hàm  thuộc  lớp  C1 và    n   là  một  tập  lồi  đóng khác rỗng  Mệnh đề 1.1. Nếu  x  là một nghiệm địa phương của bài toán tối ưu         f  x  : x                                               (1.1)  thì                                         f ( x ), y  x  y                                     (1.2)  Chứng minh Đặt   f ( x)   x        (x)  f (x)         x     f ( x)   x   n  n ,                                  (1.3)  ta có (1.2)  được viết lại là                                               (x), y  x  y                                  (1.4)  Định nghĩa 1.1. Nếu    n  là tập đóng lồi khác rỗng và   :   n  được  cho là toán tử (ánh xạ) khi đó bài toán đặt ra là tìm một số  x    thỏa mãn  (1.4) được  gọi là  bài  toán bất  đẳng  thức biến phân,  thường  gọi  là,  bất đẳng  thức biến phân (kí hiệu, VI). Kí hiệu là VI  ,    Tập nghiệm Sol (VI  ,   )  của VI  ,    là tập hợp tất cả các  x    thỏa mãn (1.4).         Mệnh đề 1.1 chỉ ra rằng một bài toán tối ưu là trơn, có thể dẫn đến bài  toán  bất  đẳng  thức  biến phân  như  thế  nào?  Câu  hỏi  tự  nhiên  đặt  ra  là:  Cho  3        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  trước  một  bất  đẳng  thức  biến  phân  VI  ,     với  một  toán  tử  liên  tục  : n  n ,  có thể tìm được một hàm -  C1   f : n   sao cho VI  ,    có  thể lấy được từ bài toán tối ưu (1.1) bằng cách đã nêu ra hay không? Nếu hàm  f  như vậy tồn tại, ta phải có                    ( x)  f ( x), x                                      (1.5)           Ta thấy nếu f là một hàm thuộc lớp  C  thì toán tử   : n  n xác định  bởi (1.3) có một ma trận Jacobian đối xứng. Nhắc lại rằng nếu một hàm véc tơ  là   : n  n  có các thành phần trơn  1 ,,n  thì ma trận Jacobian của    tại  x  được xác định bởi công thức   ( x)   1 ( x) 1 ( x)   x x2 xn    J  ( x)            n ( x) n ( x)  1 ( x)   x x2 xn   Vì  f  là một hàm thuộc lớp  C ,  từ (1.3) ta có :     i ( x )  f ( x )  f ( x)  j ( x)                                          x j x j xi xi x j xi  với mọi  i, j  Điều này dẫn tới  J  ( x)  là một ma trận đối xứng.  Mệnh đề 1.2. Cho    n  là một tập đóng lồi khác rỗng. Nếu   : một  hàm  véc  tơ  với các  thành phần  trơn sao cho    n  n  là   i ( x )  j ( x)    với  mọi  x j xi i, j   (toán  tử  trơn  đối  xứng),  thì  tồn  tại  một  hàm  thuộc  lớp  C toán  tử   f : n   sao cho hệ thức (1.5) thỏa mãn. Điều này có nghĩa là bài toán  bất đẳng thức  biến phân  VI  ,     có thể  coi là điều kiện cần tối ưu của bài  toán (1.1).  4        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến         Các  mệnh  đề  đơn  giản  sau  đây  cho  thấy,  không  giống  nghiệm  của  bài  toán quy  hoạch  toán học, nghiệm của bài toán  VI  có đặc trưng  địa phương.  Mệnh đề 1.3. Cho  x    Nếu tồn tại     sao cho                 ( x ), y  x  y    B  x ,   ,                           (1.6)  thì  x   Sol (VI  ,   ).  Chứng minh.  Giả  sử  rằng      thỏa  mãn  (1.6).  Với  mỗi  y  ,   tồn  tại  t  t ( y )  (0,1)  sao cho  y (t ) : x  t ( y  x )  thuộc vào    B ( x ,  )  Bởi (1.6),    ( x ), y (t )  x  t  ( x ), y  x  Điều này dẫn tới   ( x ), y  x   với mọi  y    Do đó  x  Sol(VI( ,  ))            Định lý Hartman – Stampacchia sau đây là định lí tồn tại cơ bản cho bài  toán VI.  Định lý 1.1. Nếu    n  là lồi, compact, khác rỗng và   :   n  là liên tục  thì bài toán VI  ,    có nghiệm.          Dưới điều kiện bức, ta có các định lý tồn tại cho bài toán trên các tập lồi  không compact.  Định lý 1.2. Cho    n  là tập lồi, đóng, khác rỗng và    :   n  là một  toán tử liên tục. Nếu tồn tại  x    sao cho            ( x)   ( x ), y  x y  x    và  y  , y  ,          (1.7)   thì bài toán VI  ,    có nghiệm.  Hiển  nhiên     là  compact  thì,  với  mọi  x  ,   (1.7)  là  đúng.  Nếu  tồn  tại  x    sao cho (1.7) đúng thì ta nói điều kiện bức được thỏa mãn. Điều kiện  bức  có vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu các bất đẳng  thức  biến phân  trên  tập  hợp  không  compact.  Chú  ý,  (1.7)  là  một  trong nhiều  hình  thức  của  điều kiện bức.  5        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến       Nếu tồn tại  x    và     sao cho    ( y )   ( x ), y  x   y  x y                                 (1.8)  thì, (1.7) là đúng. Nếu tồn tại     sao cho                 ( y )   ( x), y  x   y  x x  , y  ,                         (1.9)  thì (1.8) thỏa mãn.  Định nghĩa 1.2. Nếu tồn tại     sao cho (1.9) được thỏa mãn thì ta nói    là  đơn điệu mạnh trên    Nếu các điều kiện yếu hơn sau đây                      ( y )   ( x), y  x  0, x  , y  , x  y,                  (1.10)  và          ( y )   ( x), y  x  0, x  , y  ,                        (1.11)  đúng, thì    tương ứng được gọi là đơn điệu chặt trên   và đơn điệu trên      Ví dụ 1.1. Cho    n  là tập đóng, lồi, khác rỗng. Cho  D  Nếu  ma trận  D là xác  định dương thì toán tử   :   n nn  và  c  n         được  xác  định bởi   ( x)  Dx  c, x    là đơn điệu mạnh trên     Trong trường hợp này,  ta dễ  dàng thấy rằng     thỏa mãn (1.9) có thể xác định bằng cách đặt     inf vT Dv : v  n , v  1   Tương  tự,  nếu  D  là  nửa  xác  định  dương  cho  bởi  công  thức   ( x)  Dx  c,   x  ,  xác định một toán tử đơn điệu.  Mệnh đề 1.4. Ta có các khẳng định sau:  (i)    Nếu    là đơn điệu chặt trên    thì bài toán VI  ,    không có nhiều hơn  một nghiệm;  (ii)    Nếu     là  liên  tục  và  đơn  điệu  trên     thì  tập  nghiệm  của  bài  toán  VI  ,    là đóng và lồi (có thể là tập rỗng).            Để chứng minh được khẳng định thứ hai trong mệnh đề đó ta cần một  bổ đề sau.   6        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  Bổ đề 1.1 Nếu    n  là tập đóng, lồi và   :   n  là một toán tử liên tục,  đơn điệu thì  x  Sol(VI  ,   ) khi và chỉ khi  x    và                                            ( y ), y  x  0, y                                 (1.12)  Chứng minh.  Điều kiện cần: Cho  x  Sol(VI  ,   ). Áp dụng tính đơn điệu của   , ta có                                        ( y )   ( x ), y  x  0, y     Kết hợp với (1.4) ta có kết quả                                     ( y ), y  x   ( x ), y  x  0, y     Điều kiện (1.12) đã được chứng minh.   Điều kiện đủ: Giả sử  x    và (1.12) đã thỏa mãn. Cố định  y    Do tính  lồi của   ,  y (t ) : x  t ( y  x )  thuộc vào    với mọi  t  (0,1)  Thay  y  y (t )   vào (1.12) ta có     ( y (t )), y (t )  x   ( x  t ( y  x ), t ( y  x )   Điều này dẫn tới                                                ( x  t ( y  x ), y  x  0, t  (0,1)   Cho  t  0,  do tính liên tục của    ta có   ( x ), y  x   từ bất đẳng thức cuối  cùng cố định với mọi  y  ,  ta kết luận  x  Sol(VI   ,                                                          Chứng minh mệnh đề 1.4 (i)    Giả  sử,  ngược  lại  rằng,     là  đơn  điệu  chặt  trên     nhưng  bài  toán  (VI  ,   có  hai  nghiệm  phân  biệt  x   và  y   Ta  có   ( x ), y  x    và   ( y ), x  y   Kết hợp các bất đẳng thức lại ta có   ( x )   ( y ), y  x    Bất đẳng thức cuối cùng mâu thuẫn với sự kiện   ( y )   ( x ), y  x  (ii)  Giả sử    là liên tục và đơn điệu trên    Với mọi  y  ,  kí hiệu  ( y )  là  tập hợp gồm tất cả các  x    thỏa mãn bất đẳng thức   ( y ), y  x   Ta có  ( y )  là đóng, lồi. Từ Bổ đề 1.1 ta suy ra   7        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  Từ (2.29) và tính đồng dương của M Trên    suy ra  qT x k   với mọi  k  N   Suy ra                                                 qT v                                                       (2.32)  Cố định     \ 0 Ta có                                                  x k Vì      x k  Sol(VI ( M , q,  K )),      nếu                          Mx k  q, x k          x k  0      (k  N )    Từ  kết  quả  trên  và  (2.31)  ta  suy  ra  Mv ,     Bất  đẳng  thức  cuối  cùng là đúng với mọi     \ 0,  ta thấy rằng Mv     Kết hợp với (2.31) và  (2.32) ta khẳng định (2.28) là thỏa mãn. Thế thì (2.27) là sai. Ta rút ra sự mâu  thuẫn .Vậy dãy    x k   là bị chặn. Chứng minh tương tự như trong phần chứng  minh của Định lý 2.4 suy ra bài toán  AVI ( M , q, )  có nghiệm.     Ví dụ 2.2 Cho  1       0  M    0      22    x  ( x1 , x2 )  , q  1,1  : x1  0, ,   x2  0, x1  x2  Định lý 2.5 có thể áp dụng để giải bài toán  AVI ( M , q, )  Thật vậy, ta có  vT Mv  v12  v22  0    v       Chứng tỏ M là  đồng dương trên    Mặt  khác, ta lại có   Sol(AVI(M , q,0  ))  v  : v  0 , Mv  (0  )  , vT Mv  0     Do đó   32        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến                       qT v  v1  v2  0    v  (v1 , v2 )  Sol(AVI(M ,0, )) \ 0   Ta có (2.27) là thỏa mãn. Áp dụng Định lý 2.5 để giải bài toán  AVI(M,q, )   Do đó, ta có                                     Sol(AVI(M , q,  ))  (0,0)        Tương tự phần chứng minh trên, nếu  M là đồng dương chặt trên  ,   không  thể  áp  dụng  Định  lý  (2.3)  để  giải  bài  toán  trên.  Tất  cả  các  điều  kiện  trong (2.23) là thỏa mãn nếu chọn  v  (1,1)  \ 0 ,  Định lý (2.4) không thể  là lời giải bài toán.  Nhận xét 2.2 Trong trường hợp    là một nón lồi đa diện, từ điều kiện của  Định lý 2.4 và Định lý 2.5. Thật vậy, theo điều giả thiết của Định lý 2.4 ta có                     Sol(AVI(M ,0,  ))  0 Do đó                                                      Sol(AVI(M ,0, ))    Thế  thì    (2.27)  thỏa  mãn  với  mọi  q  n n     Áp  dụng  Định  lý  2.5  để giải  bài  toán  AVI ( M , q, )  là đúng. Áp dụng Định lý 2.5 vào bài toán LCP ta có hệ  quả sau.  Hệ 2.2. Nếu M là một ma trận đồng dương và                                      q  int(Sol(M ,0)  ),                                                 (2.33)   thì bài toán LCP(M,q) có nghiệm .           33        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  CHƯƠNG TÍNH LIÊN TỤC LIPSCHITZ TRÊN CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 3.1 Định lý Walkup – Wets Cho    n một toán tử tuyến tính  A :  ( x)  Ax  b  với mọi  x                                n  m n n  m  m  toán tử affine; khi đó tồn tại   và vec tơ  b  m  sao cho   Đặt  ( y )   1 ( y )     x   :  ( x)  y                              =  x   : Ax  b  y Định nghĩa 3.1. Tập    affine   : n  là tập khác rỗng. Gọi   : n       (3.1)   được gọi là có tính chất  L j  nếu với mọi toán tử  , m  N ,   với  dim(ker( ))  j ,   ánh xạ  ngược  y   ( y )   nó  là Lipschitz trên miền hữu hiệu của nó. Điều này có nghĩa là tồn tại một hằng  số l > 0 sao cho                              ( y ')  ( y )  l y ' y BR n    khi  ( y )  , ( y ')  ,   (3.2)         Trong định nghĩa trên, dim(ker( )) kí hiệu số chiều của tập affine                                      ker     x  n :  ( x)  0          Các định lý sau đây là công cụ quan trọng cho chứng minh các kết quả  khác trong chương này.  Định lý 3.1. Cho    n  là tập lồi đóng khác rỗng và cho  j  N ,1  j  n    Thế thì     là tập lồi đa diện khi và chỉ khi nó có tính chất  L j            Trong phần tiếp theo, ta sẽ chỉ sử dụng một khẳng định của định lý này:  Nếu    là tập lồi đa diện, thì nó có tính chất  L j   34        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  Hệ 3.1.  Nếu      n n   là  tập  lồi  đa  diện  và  nếu   :  m   là  toán  tử  affine, thì tồn tại hằng số l > 0 sao cho (3.2), ở đó  ( y )  được xác định bởi  n (3.1) với mọi  y  ,  là đúng.  Chứng minh.  Nếu  j : dim(ker( )   thỏa  mãn  điều  kiện   j  n  1,   thì  kết  luận suy ra ngay từ Định lý 3.1. Nếu dim(ker( ) = n thì  ker( )  R n ,  và ta có   nếu     y  0,    nÕu                                  ( y )  J 1 ( y )       nÕu     y     nếu  Nó cho thấy rằng (3.2) là thỏa mãn với mọi l > 0. Bây giờ ta giả sử rằng dim(ker( ) =  0. Đặt  ( x)  Ax  b,  ở đó  A : là đơn ánh,   Y :  ( vậy tập  Y0 : A( Cho  A : n n n n  m  là một ánh xạ tuyến tính và  b  )  là tập affine trong  m m  vì      với  dim Y  n,  n  m  Cũng như  )  là một không gian con tuyến tính của  m  với  dim Y0  n     Ax    Y0  là ánh xạ tuyến tính được định nghĩa bởi cách đặt  Ax với mọi  x  n  Dễ thấy                                        1 ( y ')   1 ( y )  A 1 y ' y    với mọi  y  Y và   y '  Y  Từ đó suy ra (3.2) là thỏa mãn với  l : A 1 Nhận xét 3.1. Dưới giả thiết Hệ quả 3.1, với mọi  y  m   ,  ( y )  là một tập lồi  đa diện (có thể rỗng).  Nhận xét 3.2. Kết luận của Định lý 3.1 là không đúng nếu chọn j = 0. Tức là,  các khẳng định được mô tả trong phần cuối của chứng minh Hệ quả 3.1 chỉ ra  rằng mọi tập khác rỗng    n  đều có tính chất  L0  Tương tự, kết luận của  Định lí 3.1 là không đúng nếu   j  n   Hệ 3.2.  Với bất kỳ tập  lồi đa diện khác  rỗng    C sn n   và  bất kì ma  trận   tồn tại hằng số l > 0 sao cho                                 (C , d '')   (C , d ')  l d '' d ' BRn                               (3.3)  35        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  khi  đó  (C , d ') và   (C , d '')   là  khác  rỗng;  ở  đó   (C , d ) :  x   : Cx  d                                                                           với  mọi  d  R s   Chứng  ( x)  C ( x) Vì                       Đặt  minh.  (C , y )   1 ( y )    ( y )      ở đó  ( y )  được xác định bởi (3.1), áp dụng Hệ quả 3.1 ta có thể tìm l > 0  sao cho tính liên tục Lipschitz được phát biểu trong (3.3) là thỏa mãn.            Hệ 3.3. Với bất kì tập lồi đa diện khác rỗng    A mn  ma trận  C  sn n ,  với bất kì ma trận   tồn tại một hằng số l > 0 sao cho  ( A, C , b '', d '')  ( A, C , b ', d ')  l ( b '' b '  d '' d ' ) BRn                    (3.4)  trong đó  ( A, C , b ', d ')  và   (A, C , b '', d '') là khác rỗng; ở đó  ( A, C , b, d ) :  x   : Ax  b, Cx  d                với mọi  b  m   và  d  s   Chứng minh. Đặt    A      E                                         C    C       0    ở đó kí hiệu E là ma trận đơn vị trong  sm  m  s ( n  m ) mm ,   và 0 là kí hiệu ma trận 0 trong   Đặt                                 ( x,  )  n  m : x  ,   0   Bởi Hệ quả 3.2, tồn tại  l > 0 sao cho                            (C , b '', d '')   (C , b ', d ')  l ( b '' b '  d '' d ' ) B khi    (C , b ', d ' )    và   (C , b '', d '')  , ở đó    x   b                            (C , b, d ) : ( x,  )   : C              d   Vì  36    nm          (3.5)      Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến                     ( A, C , b, d )   x   :   m ,   0, Ax    b, cx  d                       = PrRn ( (C , b, d )) ở đó   PrR n ( x, )  x  với mọi   ( x,  )  n m    , ta thấy ngay rằng (3.5) suy ra  (3.4)  Tính Liên tục Lipschitz với tham biến tuyến tính Định nghĩa 3.2  Nếu   : n m  là hàm đa trị thì đồ thị miền hữu hiệu của  nó được định nghĩa, tương ứng, bởi tập                                  graph   ( x, y )                                  Dom     x  n n : y   ( x) ,   m  :  ( x )     n Định nghĩa 3.3.  Tập  ánh  xạ  đa  trị   : 2 m   được  gọi  là  hàm  đa  trị  đa  diện nếu đồ thị của nó có thể được biểu diễn bởi hợp của hữu hạn các tập lồi  đa diện trong  n  m           Phát biểu sau đây chứng tỏ toán tử nón chuẩn tắc tương ứng tập lồi đa  diện là hàm đa trị đa diện.  n Mệnh đề 3.1. Giả sử rằng     là tập lồi đa diện khác rỗng. Thế thì công  thức                                       ( x )  N  ( x)   ( x  xác định là một hàm đa trị đa diện   : nn Chứng minh. Cho  m  N , A  n n )  n      và  b  m  sao cho     x  n : Ax  b   Đặt   I  1, , m  Gọi                                   F   x  n : A x  b , AI \ x  bI \    là giả mặt của   tương ứng với tập chỉ số    I  Với mọi  x  F ta có                                    T ( x)  v  n : A v  0   Vì   37        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến                                  N  ( x)    R n :  , v  v  T ( x) ,    ta có    N  ( x)  khi và chỉ khi bất đẳng thức   , v   là hệ quả của hệ bất  đẳng thức  A v   Do đó, áp dụng Bổ đề Farkars ta suy ra    N  ( x)  khi và  chỉ khi tồn tại  1  0, , m  sao cho                                                   =  i ( AiT ),   i ở  đó  Ai   kí  hiệu  i  là  dòng  thứ  i  của  ma  trận  A.  (chú  ý  nếu       và  x  F ,  x  int ,  do đó     với mọi    N  ( x) )  Đặt                                     ( x,  )  n  n : x  F ,   N  ( x)    Hiển nhiên,     graph   Chú ý rằng     (x, )  n  n : Ax  b ,AI \ x  bI \  ,   i i (AiT ) víi mäi      Là tập lồi. Ở đó   ký hiệu là số lượng các phần tử trong    Dễ dàng nhận  thấy rằng bao đóng   của   được cho bởi công thức       (x, )  Rn  Rn : Ax  b , AI \ x  bI \  ,   i i (Ai ) víi mäi   R  =PrRn Rn (x, ,  ) n  n     R : Ax  b ,AI \ x  bI \  , i i ATi    ,   ở đó  Pr n  n ( x,  ,  )  ( x,  )  Dễ dàng thấy rằng tập trong các dấu ngoặc nhọn  cuối cùng là một tập lồi đa diện. Từ sự kiện này, ở công thức của    và Định  lý  19.1  trong  Rockafellar  (1970)  ta  suy  ra     là  tập  lồi  đa  diện.  Vì       I F ,  ta có                                         graph  =                                                   (3.6)   I   Chú ý rằng graph   là tập đóng. Thật vậy, giả sử   x k ,  k   là dãy thỏa mãn   x ,    x ,   k k n  n ,   và   x k ,  k    graph    với mọi  k  N  ta có  38        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến                                       k , y  x k  y  , k  N   Cố định bất kì  y   và lấy giới hạn  k   , từ bất đẳng thức cuối cùng ta thu  được   , y  x    Vì  bất  đẳng  thức  đúng  với  mọi  y  ,   ta  thấy  rằng    N  ( x)  Do đó  ( x ,  )    graph    Ta đã chứng  minh rằng  tập graph    là  đóng. Dựa vào sự kiện này, từ (3.6) ta suy ra rằng                                                graph         I Điều này nghĩa là graph   có thể được biểu diễn là hợp của hữu hạn các tập  lồi đa diện. Ta có điều phải chứng minh.                          nn Mệnh đề 3.2. Cho trước các ma trận  M  , A nn  và   C  sn  Thế thì  công thức                                    (q, b, d )  Sol(AVI(M , q, (b, d ))),   ở đó                               ( q, b, d )  n m  s  , (b, d ) :  x  n : Ax  b, Cx  d    và  Sol (AVI(M , q, (b, d )))   ký  hiệu  là  tập  nghiệm  của  bài  toán  (2.1)  với    (b, d ),  xác định một hàm đa trị đa diện  : n  m  s n    Chứng minh. Theo Hệ quả 5.2,  x  Sol(AVI(M , q,  (b, d )))  khi và chỉ khi tồn  tại     1 , , m   m  và   =(1 , ,  s )  R s sao cho   Mx  AT   C T   q  0,                                          Ax  b, Cx  d ,   0,                                     (3.7)   T ( Ax  b)   Đặt  I  1, , m  Với mỗi tập chỉ số    I , ta đặt  39        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  Q  Pr1 (( x, q, b, d ,  ,  ) : Mx  AT   C T   q  0,                                       A x  b , AI \ x  bI \ ,                 (3.8)                    Cx  d ,   0, I \  0), ở đó                                       Pr1 ( x, q, b, d ,  ,  )  ( x, q, b, d )    với mọi  ( x, q, b, d ,  ,  )  n n  m  s   m  s  Do đó  Q  là tập lồi đa  diện. Chú ý rằng     Q                                                     (3.9)                                       graph    I Thật vậy, với mỗi (x, q, b, d )   graph   ta có                                    x  sol (AVI(M , q, (b, d )))    m Do  đó  tồn  tại     1 , , m     và   =(1 , ,  s )  s   thỏa  mãn  (3.7).  Đặt    i  I : Ai x  bi    Cho  mọi  i  I \  ,   Ai x  bi   Thế  thì  từ  đẳng  thức  i ( Ai x  bi )   ta suy ra rằng   i    với mọi  i  I \   Từ nhận xét này, ta  thấy rằng  ( x, q, b, d ,  ,  )  thỏa mãn tất cả các điều kiện đã được mô tả trong  dấu ngoặc nhọn của công thức (3.8). Có nghĩa là  ( x, q, b, d )  Q  Do đó ta có                     graph   Q    I Vì, bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên, ta thu được công thức (3.9), nó cho  thấy graph   có thể được biểu diễn bởi hợp hữu hạn tập lồi đa diện đa trị.     Định lý 3.2 Nếu   : n m   là một hàm đa trị đa diện, thì tồn tại một hằng  số l > 0 sao cho với mọi  x  n  tồn tại lân cận  U x  của  x  thỏa mãn                           ( x )   ( x )  l x  x BRm x U x                               (3.10)  Định nghĩa 3.4. Giả sử rằng   : n m  là đa trị và điểm  x  n  cho trước.  Nếu tồn tại l > 0 và lân cận  U x  của  x  sao cho tính chất (3.10) là đúng, thì     được gọi là Lipschitz trên địa phương tại  x  với hằng số Lipschitz  l .  40        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến     Tính Lipschitz trên địa phương là yếu hơn tính Lipschitz địa phương  Định nghĩa 3.5. Hàm đa trị   : n tại  x  n m   được gọi là Lipschitz địa phương   nếu tồn tại hằng số l > 0 và lân cận  U x  của  x  sao cho                                  ( x )   (u )  l x  u BR m x U x , u U x    Nếu tồn tại một hằng số l > 0 sao cho                                    ( x )   (u )  l x  u BR m    với mọi x và u thuộc    n , thì    được gọi là Lipschitz trên           Từ  Định  lý  3.2  cho  thấy  rằng  nếu     là  hàm  đa  trị  đa  diện  thì  nó  là  Lipschitz trên địa phương tại mọi điểm thuộc  n   với cùng hằng số Lipschitz.  Chú ý rằng đường kính                                      diamU x : Sup y  x : x U x , y U x     của lân cận  U x   phụ thuộc vào  x và có thể thay  đổi rất lớn từ  điểm này  đến  điểm khác.  Chứng minh định lý 3.2 Vì    là hàm đa trị đa diện, tồn tại các tập lồi đa diện khác rỗng                                 Q j  n  m ( j  1, , k )    sao cho                               graph    Q j ,                                                (3.11)  jJ với  J  1, , k  Với  mỗi  j  J   ta  xét  hàm  đa  trị  : n m    được  định   nghĩa bởi                                     j ( x)   y  m : ( x, y )  Q j                                   (3.12)  Hiển nhiên, graph  j  Q j  Từ (3.11) và (3.12) suy ra                              graph   graph j    ,   (x)   j (x)   jJ jJ Khẳng định 1. Với mọi  j  J , tồn tại hằng số   j   sao cho   41        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến                             j ( x)   j (u )  l j x  u BRm                      (3.13)  khi   j ( x)     và   j (u )     (Điều  này  có  nghĩa  là   j   là  Lipschitz  trên  miền hữu hiệu của nó.)  n        Để chứng minh khẳng định này, ta xét toán tử tuyến tính  : được định nghĩa bởi cách đặt    x, y   x  với mọi   x, y   n  m  m  n     Cho                                 Q j ( x)   z  Q j :  ( z )  x                                            (3.14)  Bởi Hệ quả 3.1, tồn tại   j   sao cho                                Q j ( x )  Q j (u )  l j x  u BR n  m                                        (3.15)  khi     j ( x)     và   j (u )     Từ  (3.12)  và  (3.14)  suy  ra  rằng                     Q j ( x)   x   j ( x) x  R n                                          (3.16)  Đặc biệt,  Q j ( x)    khi và chỉ khi   j ( x)      n Cho trước bất kì  x  n ,u   và  y  j ( x),  từ (3.15) và (3.16) ta thấy rằng  khi đó tồn tại  v  (u )  sao cho                                      ( x, y )  (u , v )   j x  u    Vì    ( x, y )  (u , v)  x  u  y  v  ,     bất  đẳng  thức  cuối  cùng  suy  ra  y  v   j x  u  Từ các chứng minh trên, có thể kết luận của (3.13) là đúng  mỗi khi   j ( x )    và     j (u )              Ta  đặt    max l j : j  J    chứng  minh  sẽ  được  hoàn  thành  nếu  ta  có  thể thiết lập được sự kiện sau đây.  42        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  Khẳng định 2.    Với  mỗi  x  n   tồn  tại  lân  cận    U x   của  x   sao  cho  (3.10)  đúng.  Lấy  x  n  đã cho trước bất kì. Đặt                                   J   j  J : x  dom j  , J1  J \ J   Vì dom   j   (Q j ) , ở đó    là toán tử tuyến tính được định nghĩa ở trên, ta  thấy rằng  dom j  là tập lồi đa diện. Điều này dẫn tới tập   jJ dom j  là đóng.  (Chú ý rằng nếu  J1    thì tập đó là rỗng.) Vì  x   jJ1 dom j ,  tồn tại      sao cho lân cận   U x : B ( x ,  )  của  x  không giao với tập   dom j    jJ1 Lấy  x U x  Nếu  x   jJ0 dom j ,  thì                                   ( x )     j ( x )      j ( x)        jJ   jJ1 Khi đó bao hàm thức (3.10) là đúng. Nếu  x   jJ0 dom j , thì ta có                              ( x )    j ( x)    j ( x),   jJ jJ 0' ở đó  J '0   j  J : x  dom j   Với mọi  j  J 0' , theo khẳng định 1 ta có   j ( x )   j ( x )   j x  x BRm   ( x )   x  x BRm   Do đó                               ( x )    j ( x)   ( x )  l jJ 0' x  x BRm    Khẳng định 2 đã được chứng minh.            Nhận xét 3.3. Từ chứng minh của định lí 3.2 ta có thể dễ dàng thấy rằng    là  Lipschitz trên tập   jJ dom j với hằng số Lipschitz l.           Kết hợp Định lý 3.2 với Mệnh đề 3.2 ta thu được kết quả sau về tính liên  tục Lipschittz trên của ánh xạ nghiệm trong bài toán AVI tổng quát ở đó tham   biến tuyến tính chịu  tác động nhiễu.  43        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  nn Định lý 3.3.  Giả  sử  M  , A mn   và  C  sn   được  cho  là  tập  lồi  đa  diện. Thế thì tồn tại hằng số l > 0 sao cho hàm đa trị  : n m   s n 2   được định nghĩa bởi công thức                                   (q,b,d)  Sol(AVI(M,q, (b,d))),    ở đó  ( q, b, d )  n  m  s  và  (b, d ) :  x  n : Ax  b, Cx  d ,     là Lispchitz trên địa phương tại mọi điểm   q , b , d   n  m s   với hằng số  Lipschitz l.            Áp  dụng  Định  lý  3.3  trong  trường  hợp  tập  ràng  buộc  (b, d )   của  bài  toán  AVI( M , q, (b, d ))  là cố định, (tức là, cặp (b, d)) là không chịu tác động  nhiễu) ta có kết quả sau  Hệ 3.4. Giả sử  M  nn   là ma trận cho trước và    n  là tập lồi đa  diện khác rỗng. Thế thì tồn tại hằng số l > 0 sao cho hàm đa trị  : n n 2   được định nghĩa bởi công thức                                             (q)  Sol(AVI(M , q, ))   ở đó  q  n ,  là Lipschitz trên địa phương tại mọi điểm  q  Lipschitz l.  44    n   với hằng số      Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  KẾT LUẬN   Khoá luận đã trình bày một cách có hệ thống các khái niệm, sự tồn tại  nghiệm  và  các  tính  chất  của  ánh  xạ  nghiệm  của  bất  đẳng  thức  biến  phân  affine.  Bất đẳng thức biến phân  affine  là  một vấn  đề  lý thú và sâu rộng, cần  nhiều thời gian nghiên cứu và tìm tòi học hỏi. Hi vọng sẽ nhận được những  đóng góp quý báu từ thầy cô và các bạn.                             45        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt  1.   Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, nhà xuất bản Đại  học quốc gia Hà nội  2.   Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, nhà xuất bản Khoa học và  Kĩ thuật  [B] Tài liệu tiếng Anh  3.      D.  Kinderlehrer  and  G.  Stampacchia  (1980):  An  Introduction  to  Variational  Inequalities  and  Their  Applications,  Academic  Pres,  New  York-Lon don  4.      Lee,  G.  M.,  Tam,  N.N.,  Yen,  N.N.:  Quadratic Programming and  Affine Variational Inequalitities:  A  Qualitative  Study,  Series:  Nonconvex Optimi zation and its Application, vol.78, Springer Verlag,  New Youk (2005)  5.      R.  T.  Rockafellar  (1970):  Convex Analysis,  Princeton  University  Press, Princeton, New Jersey  6.   D. G. Luenberges [1984], Linear and Nonlinear Programming, 2nd  ed., Addison - Wesley, Reading, MA.  46    [...]... (i)   Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine là một tập  đóng (có thể rỗng);  (ii)    Nếu  tập  nghiệm  của  bài  toán  bất đẳng thức biến phân affine là  không bị chặn, nó chứa một tia nghiệm;  (iii)  Nếu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine là vô  hạn, thì nó chứa một khoảng nghiệm;  Chứng minh. Phát biểu (i) được suy ra trực tiếp từ công thức (1.25) bởi vì,  với ...   ở  đó   ( x)  Mx  q   là  ánh  xạ  affine có  dạng  ma  trận  Jacobian đối xứng không đổi M.  nn S Định nghĩa 1.4. Cho  M  ,q  n  và. Gọi    n  là một tập lồi đa diện.  Bài toán bất đẳng thức biến phân               Tìm  x   : Mx  q, y  x  0 y                                            (1.15)   được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân affine (kí hiệu, AVI) xác định  bởi tập hợp các dữ liệu ... là  NCP( , )   và  được  gọi  là  bài  toán  bù  (phi  tuyến) xác định bởi    và             Vì bài toán bù là dạng đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân,   các định lý tồn tại cho bài toán VI có thể áp dụng cho chúng.  1.3 Bất đẳng thức biến phân affine Theo  lý  thuyết  quy  hoạch  toàn  phương  với  ràng  buộc  tuyến  tính,  nếu  x   là  một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch toàn phương... liên  tục,  đơn  điệu  mạnh  thì  bài  toán  VI  ,     có  một  nghiệm duy nhất.         Trong phần sau, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp  tập    là một nón.  1.2 Bài toán bù Mệnh đề 1.5 Nếu    là một nón lồi, đóng, bài toán VI  ,   bất đẳng thức có  thể được viết lại dưới dạng tương đương như sau                   x   ,   ( x )    ,  ( x ), x  0,                                   (1.13) ... và  tập  nghiệm  đia  phương  của  bài  toán  quy  hoạch  toàn  phương  không  lồi,tập  nghiệm  của  bài  toán    AVI  thì  có  cấu  khá trúc đơn giản.  Định lý 1.4. Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine là hợp  của hữu hạn các tập lồi đa diện.  12        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  Chứng minh Xét bài toán AVI tổng quát dạng (1.15). Vì ... suy ra được   Mu 0  q, v  0.   Điều này và bất đẳng thức trước đó chỉ ra rằng  (ii) được thỏa mãn. Bởi (1.29), (1.31) và (ii), với mọi  y    ta có   0  Mu 0  q  tMv, y  u 0  tv  = Mu 0  q, y  u 0  t Mv, y  u 0   16        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  với mọi t > 0. Điều này suy ra bất đẳng thức Mv, y  u 0  0  là sai. Vậy ta có ...                                         20        Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE 2.1 Sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện đơn điệu  Xét  bài  toán  (2.1).  Nếu     là  tập  lồi  đa  diện,  tồn  tại  m  N , A b m mxn   và  ,  sao cho                                             ...                             I 0  i  I : Ai x  bi  , I1  I \ I 0  i  I : Ai x  bi     Từ bất đẳng thức cuối cùng trong (1.23) ta có  i  0 i  I1  Do đó  ( x,  )   thỏa mãn hệ    Mx  AT   q  0,   AI0 x  bI 0 , xI0  0,                                                  (1.24)    AI1 x  bI1 , I1  0 Cho bất kỳ  I 0  I   và  kí hiệu  QI0   là tập hợp  tất cả  các  cặp  ( x,  )  thỏa  mãn ... i ( ai )   Mx  q                                         (1.18)  iI 0   Đặt   i  0   với  mọi  i  I1   và    1 , , m   Từ  ai  AiT   với  mọi  i  I ,   Từ  (1.18)  ta  có  được  bất đẳng thức đầu  tiên  trong  (1.17).  Từ  x  ( A, b)   và   i ( Ai x  bi )  0, i  I  các điều kiện khác trong (1.17) cũng thỏa mãn.             Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử tồn tại   ... 0     t  0   t t t t Vậy                                            Mv, v  0                                                    (1.30)  Thay  y  u 0  t 2v,    ở đó  t  1 , vào (1.29) và chia bất đẳng thức cho  t  t 2  1 ,  ta có                                   1 0 1 Mu  Mv  q, v  0     t  1   t t Cho  t  , ta được  Mv, v  0  Kết hợp điều này với (1.30) ta được                                                ... Chương 1. Bất đẳng thức biến phân affine Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân affine Chương 3. Tính liên tục Lipschitz trên của ánh xạ nghiệm trong bất đẳng thức biến phân affine ... PHẦN MỞ ĐẦU 1  CHƯƠNG 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE 3  1.1 Bất đẳng thức biến phân 3  1.2 Bài toán bù  8  1.3 Bất đẳng thức biến phân affine 9  1.4 Bài toán bù tuyến tính... Khoá luận tốt nghiệp                                                                        Vi Thị  Tuyến  CHƯƠNG 1. BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE   1.1 Bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân bắt nguồn  một  cách  tự nhiên trong khuôn  khổ của bài toán tối ưu.