Các bất đẳng thức trong xác suất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT Họ tên sinh viên thực hiện : HOÀNG THỊ MẤN Giảng viên hướng dẫn : NGUYỄN TRUNG DŨNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Họ tên sinh viên thực hiện : HOÀNG THỊ MẤN

Giảng viên hướng dẫn : NGUYỄN TRUNG DŨNG

HÀ NỘI - 2013

Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, với sự cố gắngcủa bản thân cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của cácthầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luận này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại KhoaToán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Thầy cô đã trực tiếpgiảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyênmôn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong giađình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho emtrong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, thạc sĩNguyễn Trung Dũng, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấpcho em những kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài khóa luậnnày Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềmsay mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng Thầy

Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

HOÀNG THỊ MẤN

Lời cam đoan

Tên em là: Hoàng Thị Mấn là sinh viên đại học khóa 2009 – 2013,lớp K35A-CN Toán, khoa Toán , trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Em xin cam đoan đề tài: “Các bất đẳng thức trong xác suất” là kếtquả nghiên cứu và thu thập của riêng em Những nội dung trong khóaluận này là do em thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầyNguyễn Trung Dũng Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài làtrung thực, không trùng với các tác giả khác Mọi tham khảo dùngtrong báo cáo này đều được trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên côngtrình, thời gian, địa điểm công bố Nếu có gì không trung thực trongluận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

HOÀNG THỊ MẤN

Mục lục

Lời nói đầu 5

Chương 1: Cơ sở lý thuyết 6 1.1 Không gian Lp 6

1.2 Kì vọng có điều kiện 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Tính chất 7

1.3 Martingale với thời gian rời rạc 9

1.3.1 Khái niệm về tương thích và dự báo được 9

1.3.2 Thời điểm dừng 9

1.3.3 Martingale 11

Chương 2: Các bất đẳng thức trong xác suất 15 2.1 Bất đẳng thức moment 15

2.1.1 Bất đẳng thức Chebyshev 15

2.1.2 Bất đẳng thức Cr 16

2.1.3 Bất đẳng thức Holder 16

2.1.4 Bất đẳng thức Cauchy-Buniakowski 17

2.1.5 Bất đẳng thức Minkowski 18

2.1.6 Bất đẳng thức Jensen 18

2.1.7 Bất đẳng thức Liapunov 18

2.1.8 Bất đẳng thức Kolmogorov 19

2.1.9 Cận trên Chernoff 21

2.2 Bất đẳng thức của kì vọng có điều kiện 22

2.2.1 Bất đẳng thức Holder 22

2.2.2 Bất đẳng thức Minkowski 22

2.2.3 Bất đẳng thức Jensen 22

2.3 Bất đẳng thức trong Martingale 25

2.3.1 Bất đẳng thức Kolmogorov 26

2.3.2 Bất đẳng thức Doob 26

2.3.3 Bất đẳng thức cắt ngang 28

Kết luận 30

MỤC LỤC MỤC LỤC

Tài liệu tham khảo 31

Lời nói đầu

Bất đẳng thức là một vấn đề khá quan trọng của toán học, nó làmột dạng toán tương đối khó vì chúng ta không có một phương phápthực sự “tốt” nào để giải quyết loạt các bài toán này Những lời giảicho những bất đẳng thức thường mang những ý tưởng khá hay vàđộc đáo.Càng ngày vấn đề này càng được khai thác sâu hơn, chính vì

đó phương pháp giải cũng rất đa dạng phong phú và ngày càng phứctạp Trong xác suất bất đẳng thức cũng là một đề tài thú vị thu hút

sự quan tâm của khá nhiều người

Với những lí do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu cùng sự giúp

đỡ tận tình của thầy giáo, Th.s Nguyễn Trung Dũng, em đã chọn đềtài: "Các bất đẳng thức trong xác suất"

Nội dung khóa luận bao gồm 2 phần sau:

• Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Ở phần này em trình bày những lý thuyết cơ sở phục vụ cho việcchứng minh các bất đẳng thức em trình bày ở chương 2

• Chương 2: Các bất đẳng thức trong xác suất

Đây là chương trình bày các bất đẳng thức và chứng minh gồmcác bất đẳng thức moment, các bất đẳng thức của kì vọng có điềukiện, và các bất đẳng thức trong Martingale với thời gian rời rạc.Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nêncác vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và khôngthể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Em rất mongđược sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

HOÀNG THỊ MẤN

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

1.1 Không gian Lp

Định nghĩa 1.1.1 Với p > 0, kí hiệu Lp = Lp(Ω, F ,P) là tập hợp

các biến ngẫu nhiênX( xác định trên (Ω, F ,P)) sao cho E|X|p < ∞

Khi X ∈ Lp, p > 0 ta kí hiệu

k X k= (E|X|p)1p là chuẩn bậc p của X

1.2 Kì vọng có điều kiện

1.2.1 Định nghĩa

Cho biến ngẫu nhiên X mà E(|X|) < ∞ Ta đã biết, E(X|Y ) là

kì vọng có điều kiện của X đối với Y, và được định nghĩa là hàm của

xfX|Y(x | y)dx nếu X, Y liên tục và có hàm mật độ f

1.2 Kì vọng có điều kiện CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

E[X | Y = y]fY(y)dy nếu X, Y liên tục

đây là kết quả quan trọng mà được sử dụng trong một loạt các tínhtoán sau này

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y, ta gọi E[X | Y ]

là kì vọng có điều kiện của X theo Y, là một hàm h(Y ) mà có tínhchất với mọi A ∈ σ(Y ) thì

1.2 Kì vọng có điều kiện CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

(2) X ≤ Y (h.c.c) suy ra E[XIA] ≤E[YIA] với mọi A ∈ F

1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.3 Martingale với thời gian rời rạc

1.3.1 Khái niệm về tương thích và dự báo được

Giả sử (Ω, A,P) là không gian xác suất, F ∈ A là σ− trường concủa A và X là biến ngẫu nhiên nào đó Ta nói rằng X tương thíchvới F nếu X là F − đo được Trong trường hợp đó ta viết X ∈ F

Kí hiệu σ(X) = X−1(B), trong đó B là σ− trường Borel của R Rõràng, X ∈ F khi và chỉ σ(X) ⊂ F Cho trước dãy ngẫu nhiên X ={Xn, n ∈N} Kí hiệu σ({Xn, n ∈ N}) là σ− trường con bé nhất của

A chứa tất cả các σ− trường σ(Xn), n ∈ N Ta gọi σ({Xn, n ∈ N})

1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chú ý 1.3.3 τ là thời điểm Markov khi và chỉ khi

Ví dụ 1.3.6 Giả sử {Xn, n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên, và

Bn, n = 1, 2, là dãy tập Borel của R Đặt τ1 = τB1;

∞ trong trường hợp còn lại

τn được định nghĩa tương tự Khi đó, (τn, n ∈ N) là dãy các thời điểmMarkov đối với {σ≤n, n ∈ N} Chứng minh đối với τ2 suy ra

Tính chất 3 Nếu τ1, τ2, là dãy các thời điểm Markov đối với

1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Tính chất 4 Nếu τ là thời điểm Markov đối với {Fn, n ∈ N}, thì

τ ∈ Fτ Nếu τ và σ là các thời điểm Markov đối với {Fn, n ∈ N} saocho P(τ ≤ σ) = 1, thì Fτ ⊂ Fσ

Tính chất 5 Nếu τ1, τ2, là dãy các thời điểm Markov đối với

là đo được đối với Fτ, tức là, Xτ ∈ Fτ

Tính chất 8 Giả sử f : Ω → R là biến ngẫu nhiên F∞− đo được

và τ là thời điểm Markov đối với {Fn, n ∈ N} Khi đó f là Fτ− đođược nếu và chỉ nếu với mọi n ∈ N, hạn chế của f trên {τ = n} là

(i) {Xn, Fn, n ∈ N} là dãy tương thích;

(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈N;

(iii) với m ≤ n, m, n ∈ N

E(Xn | Fm) ≤ Xm, P− hầu chắc chắn

1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1.3.8 Giả sử(Ω, A,P) là không gian xác suất DãyX ={Xn, Fn, n ∈ N} được gọi là martingale dưới (đối với {Fn, n ∈ N}),nếu

(i) {Xn, Fn, n ∈ N} là dãy tương thích;

(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈N;

(iii) với m ≤ n, m, n ∈ N

E(Xn | Fm) ≥ Xm, P− hầu chắc chắn

Định nghĩa 1.3.9 Giả sử (Ω, A,P) là không gian xác suất Dãy

X = {Xn, Fn, n ∈ N} được gọi là martingale (đối với {Fn, n ∈ N}),nếu

(i) {Xn, Fn, n ∈ N} là dãy tương thích;

Ví dụ 1.3.11 Giả sử {Xn, n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên nào đó

có E|X| < ∞ và {Fn, n ∈ N} là dãy σ− trường con không giảm của

Tính chất 2 NếuX = {Xn, Fn, n ∈ N} là martingale dưới, thì hàmtrung bình EXn không giảm theo n ∈N.

1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Tính chất 3 Nếu X = {Xn, Fn, n ∈ N} là martingale, thì hàm

E|Xn|p, 1 ≤ p < ∞ không giảm theo n ∈ N.

Tính chất 4 Giả sử X = {Xn, Fn, n = 0, 1, , N } là martingaletrên, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với Fn, n = 0, 1, , N)sao cho

• Giả sử X = {Xn, Fn, n = 0, 1, , N } là martingale trên, và τ, σ

là hai thời điểm Markov (đối với Fn, n = 0, 1, , N) sao cho

P{σ ≤ τ ≤ N } = 1 Khi đó, ta có

EX0 ≥ EXσ ≥EXτ ≥ EXN

• Giả sử X = {Xn, Fn, n = 0, 1, , N } là martingale dưới, và τ, σ

là hai thời điểm Markov (đối với Fn, n = 0, 1, , N) sao cho

P{σ ≤ τ ≤ N } = 1 Khi đó, ta có

EX0 ≤ EXσ ≤EXτ ≤ EXN

• Giả sử X = {Xn, Fn, n = 0, 1, , N } là martingale trên, và τ, σ

là hai thời điểm Markov (đối với Fn, n = 0, 1, , N) sao cho

P{τ ≤ N } = 1 Khi đó, ta có

E|Xτ| ≤ EX0 + 2EXN− ≤ 3 sup

n≤NE|Xn|

Tính chất 6 Giả sử X = {Xn, Fn, n = 0, 1, , N } là martingaletrên, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với Fn, n = 0, 1, , N)sao cho P{τ ≤ N } = P{σ ≤ N } = 1 Khi đó

Xσ = E(Xτ | Fσ), ({τ ≥ σ},P− hầu chắc chắn),

hoặc tương đương

Xτ ∧σ = E(Xτ | Fσ), (P− hầu chắc chắn)

1.3 Martingale với thời gian rời rạc CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Đặc biệt, nếu P{σ ≤ τ ≤ N } = 1, thì

EX0 = EXσ = EXτ = EXN

Tính chất 7 Giả sử X = {Xn, Fn, n = 0, 1, , N } là martingale(martingale dưới), và τ là thời điểm Markov (đối với Fn, n ∈ N) Khi

đó, dãy "ngắt" tại thời điểm τ, tức là

Xτ = {Xn∧τ, Fn, n ∈ N}

cũng là martingale (martingale dưới)

Ý nghĩa: Nếu biết phương sai củaX thì ta sẽ biết với xác suất bằngbao nhiêu để X rơi vào lân cận  của giá trị trrung bình, tức là cho

ta biết mức độ tập trung (phân tán) của X quanh EX

Ví dụ 2.1.2 Nếu D = 5 · 10−2;  = 10−1 thì:

P{ω : |X(ω) −EX| < 0, 1} ≥ 1 − 5 · 10−2 = 95%

2.1 Bất đẳng thức moment CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Với r > 1 hàm ϕ(t) có cực tiểu tại t = 1

E|XY | ≤k X kp · k Y kq (2.4)

2.1 Bất đẳng thức moment CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Chứng minh Vì hàm f (x) = xp, x ∈ (0, +∞) lồi dưới, nên

Thay a, b trong bất đẳng thức sơ cấp



= 2

Từ đó ta có (2.5)

2.1 Bất đẳng thức moment CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.1.5 Bất đẳng thức Minkowski

Giả sử X, Y ∈ Lp, 1 ≤ p < ∞ Khi đó X + Y ∈ Lp và

k X + Y kp≤k X kp + k Y kp (2.6)Chứng minh Do bất đẳng thức Cr ta chỉ còn phải chứng minh bấtđẳng thức Minkowski với p > 1 Ta có

ϕ(x) ≥ ϕ(x0) + (x − x0)k(x0), x ∈ R, (2.8)

ở đây k(x0) có thể lấy là đạo hàm phải hoặc trái của ϕ tại x0

Thay x bởi X, x0 bởi EX vào (2.8) sau đó lấy kỳ vọng ta có

Eϕ(X) ≥ ϕ(EX) + k(EX)(EX −EX) = ϕ(EX)

2.1.7 Bất đẳng thức Liapunov

Đối với biến ngẫu nhiên X bất kì và 0 < s < t, ta có

2.1 Bất đẳng thức moment CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Chứng minh Thật vậy, áp dụng (2.7) với ϕ(x) = |x|ts và thayX bởi

a Giả sử (Xn)n≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và EXk =

0, DXk < ∞, k = 1, n Khi đó, với  tùy ý ta có:

2.1 Bất đẳng thức moment CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.1 Bất đẳng thức moment CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.2 Bất đẳng thức của kì vọng có điều kiện CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Tuy nhiên, nếu Y là biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli với tham

số p, khi đó

E[et(Y −EY )] = pet(1−p)+ (1 − p)e−tp ≤ et28

Ở đó bất đẳng thức được suy ra từ bổ đề (2.1.3) Bởi vậy

và chứng minh tương tự như trên

2.2 Bất đẳng thức của kì vọng có điều kiện

2.2 Bất đẳng thức của kì vọng có điều kiện CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Chứng minh Ta thấy vì g là hàm lồi nên sẽ tồn tại một chuỗi đếmđược (an, bn) điểm của R2 sao cho

2.2 Bất đẳng thức của kì vọng có điều kiện CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Lời giải

Đặt

2.3 Bất đẳng thức trong Martingale CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Xi =



1 nếu tất cả các bộ phận nằm trong Si hoạt động

0 nếu trái lại

2.3 Bất đẳng thức trong Martingale CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.3 Bất đẳng thức trong Martingale CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

xp−1P( max

0≤n≤N|Xn| > x)dx

≤ p

Z ∞ 0

Bây giờ chúng ta chứng minh đối với p = 1 Bất đẳng thức phía trái

là tầm thường Để đơn giản ta đặt

P{XN∗ − 1 ≥ t}dt

≤

Z ∞ 0

2.3 Bất đẳng thức trong Martingale CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

nên:

EXN∗ − 1 ≤ EXNlnXN∗ ≤ EXNln+Xn+ e−1EXN∗

Từ đó rút ra bất đẳng thức phía phải

Tiếp theo ta trình bày bất đẳng thức cắt ngang Với các số thực

a, b sao cho −∞ < a < b < ∞, kí hiệu ν = ν(a, b, N ) là số lần dãy

{Xn, n = 0, , N } chuyển từ giá trị nhỏ hơn hoặc bằng a tới giá trịlớn hơn hoặc bằng b ν được gọi là số lần cắt ngang từ dưới lên trênđoạn [a, b] của dãy {Xn, n = 0, , N }

bEν ≤ E(XN − X0), (2.13)trong đó ν là số lần cắt ngang từ dưới lên trên đoạn [0, b] của dãy

2.3 Bất đẳng thức trong Martingale CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Kết luận

Thực tập chuyên ngành với đề tài:“ Các bất đẳng thức trongxác suất”, em đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếu sau:

• Bất đẳng thức moment

• Các bất đẳng thức của kì vọng có điều kiện

• Các bất đẳng thức trong Martingale với thời gian rời rạc

Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của em đãđược hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn chỉ bảo tận tình củathầy giáo NGUYỄN TRUNG DŨNG và ý kiến đóng góp của cácthầy cô trong khoa Toán và các bạn sinh viên Đề tài thực tập cơbản đã đạt được mục đích đề ra Nó đã mang lại sự cần thiết vànhững lợi ích của thực tập chuyên ngành nói chung và việc đào tạo

Cử nhân ngành Toán nói riêng, góp phần trong sự phát triển củaToán học Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới bắt đầu làm quenvới phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài này cũng khôngtránh khỏi thiếu sót Em rất mong được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiếncủa thầy cô và các bạn để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Sinh viênHOÀNG THỊ MẤN

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất , NXBGiáo dục 2009

[2] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất và ứng dụng, NXBĐại học quốc gia Hà Nội 2005

[3] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết xácsuất, NXB Đại học quốc gia Hà Nội

[4] Sheldon M Ross and Erol A Peko¨z, A Second course inprobability, 2007

[5] David Williams, Probability with Martigales