Các bất đẳng thức trong xác suất

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ************* Hong Th Mn CC BT NG THC TRONG XC SUT KHểA LUN TT NGHIP I HC Ngnh: Toỏn - ng dng H NI - 2013 TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ************* Hong Th Mn CC BT NG THC TRONG XC SUT KHểA LUN TT NGHIP I HC Ngnh: Toỏn - ng dng Mó s: Ngi hng dn Th.s Nguyn Trung Dng H NI - 2013 TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON KHểA LUN TT NGHIP TI CC BT NG THC TRONG XC SUT H tờn sinh viờn thc hin : HONG TH MN Lp : K35A-CN Toỏn Ging viờn hng dn : NGUYN TRUNG DNG H NI - 2013 Li cm n Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin khúa lun, vi s c gng ca bn thõn cựng vi s hng dn v giỳp nhit tỡnh ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn, em ó hon thnh khúa lun ny Em xin by t lũng bit n ti cỏc thy, cỏc cụ cụng tỏc ti Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni v cỏc Thy cụ ó trc tip ging dy, truyn t cho em nhng kin thc quý bỏu v chuyờn mụn cng nh kinh nghim nghiờn cu khoa hc thi gian qua Em xin chõn thnh gi li cm n n nhng ngi thõn gia ỡnh, bn bố ó luụn giỳp , ng viờn v to mi iu kin cho em sut quỏ trỡnh hc v hon thin lun ny c bit em xin by t lũng bit n sõu sc n thy giỏo, thc s Nguyn Trung Dng, ngi ó tn tỡnh giỳp ch bo v cung cp cho em nhng kin thc nn tng em hon thnh bi khúa lun ny Thy cng l ngi ó giỳp em ngy cng tip cn v cú nim say mờ khoa hc sut thi gian c lm vic cựng Thy Em xin chõn thnh cỏm n! H Ni, Ngy 16 thỏng nm 2013 Sinh viờn HONG TH MN Li cam oan Tờn em l: Hong Th Mn l sinh viờn i hc khúa 2009 2013, lp K35A-CN Toỏn, khoa Toỏn , trng i hc S phm H Ni Em xin cam oan ti: Cỏc bt ng thc xỏc sut l kt qu nghiờn cu v thu thp ca riờng em Nhng ni dung khúa lun ny l em thc hin di s hng dn trc tip ca thy Nguyn Trung Dng Cỏc lun c, kt qu thu c ti l trung thc, khụng trựng vi cỏc tỏc gi khỏc Mi tham kho dựng bỏo cỏo ny u c trớch dn rừ rng tờn tỏc gi, tờn cụng trỡnh, thi gian, a im cụng b Nu cú gỡ khụng trung thc lun em xin hon ton chu trỏch nhim trc hi ng khoa hc H Ni, Ngy 16 thỏng nm 2013 Sinh viờn HONG TH MN Mc lc Li núi u Chng 1: C s lý thuyt 1.1 1.2 1.3 Khụng gian Lp Kỡ vng cú iu kin 1.2.1 nh ngha 1.2.2 Tớnh cht Martingale vi thi gian ri rc 1.3.1 Khỏi nim v tng thớch 1.3.2 Thi im dng 1.3.3 Martingale v d bỏo c Chng 2: Cỏc bt ng thc xỏc sut 2.1 Bt ng thc moment 2.1.1 Bt ng thc Chebyshev 2.1.2 Bt ng thc Cr 2.1.3 Bt ng thc Holder 2.1.4 Bt ng thc Cauchy-Buniakowski 2.1.5 Bt ng thc Minkowski 2.1.6 Bt ng thc Jensen 2.1.7 Bt ng thc Liapunov 2.1.8 Bt ng thc Kolmogorov 2.1.9 Cn trờn Chernoff 2.2 Bt ng thc ca kỡ vng cú iu kin 2.2.1 Bt ng thc Holder 2.2.2 Bt ng thc Minkowski 2.2.3 Bt ng thc Jensen 2.3 Bt ng thc Martingale 2.3.1 Bt ng thc Kolmogorov 2.3.2 Bt ng thc Doob 2.3.3 Bt ng thc ct ngang Kt lun 6 9 11 15 15 15 16 16 17 18 18 18 19 21 22 22 22 22 25 26 26 28 30 MC LC MC LC Ti liu tham kho 31 Li núi u Bt ng thc l mt khỏ quan trng ca toỏn hc, nú l mt dng toỏn tng i khú vỡ chỳng ta khụng cú mt phng phỏp thc s tt no gii quyt lot cỏc bi toỏn ny Nhng li gii cho nhng bt ng thc thng mang nhng ý tng khỏ hay v c ỏo.Cng ngy ny cng c khai thỏc sõu hn, chớnh vỡ ú phng phỏp gii cng rt a dng phong phỳ v ngy cng phc Trong xỏc sut bt ng thc cng l mt ti thỳ v thu hỳt s quan tõm ca khỏ nhiu ngi Vi nhng lớ trờn cựng vi lũng say mờ nghiờn cu cựng s giỳp tn tỡnh ca thy giỏo, Th.s Nguyn Trung Dng, em ó chn ti: "Cỏc bt ng thc xỏc sut" Ni dung khúa lun bao gm phn sau: Chng 1: C s lý thuyt phn ny em trỡnh by nhng lý thuyt c s phc v cho vic chng minh cỏc bt ng thc em trỡnh by chng Chng 2: Cỏc bt ng thc xỏc sut õy l chng trỡnh by cỏc bt ng thc v chng minh gm cỏc bt ng thc moment, cỏc bt ng thc ca kỡ vng cú iu kin, v cỏc bt ng thc Martingale vi thi gian ri rc Tuy ó cú nhiu c gng nhng thi gian v kh nng cú hn nờn cỏc khúa lun cha c trỡnh by sõu sc v khụng th trỏnh cú nhng sai sút cỏch trỡnh by Em rt mong c s gúp ý xõy dng ca thy cụ v cỏc bn Em xin chõn thnh cm n! H Ni, Ngy 16 thỏng nm 2013 Sinh viờn HONG TH MN Chng C s lý thuyt 1.1 Khụng gian Lp nh ngha 1.1.1 Vi p > 0, kớ hiu Lp = Lp (, F, P) l hp cỏc bin ngu nhiờn X ( xỏc nh trờn (, F, P)) cho E |X|p < Khi X Lp , p > ta kớ hiu X = (E |X|p ) p 1.2 1.2.1 l chun bc p ca X Kỡ vng cú iu kin nh ngha Cho bin ngu nhiờn X m E(|X|) < Ta ó bit, E(X|Y ) l kỡ vng cú iu kin ca X i vi Y , v c nh ngha l hm ca Y Y = y bng: xP(X = x | Y = y) nu X, Y ri rc E[X | Y = y] = x xfX|Y (x | y)dx nu X, Y liờn tc v cú hm mt f ú fX|Y (x | y) = f (x, y) = f (x, y)dx f (x, y) fY (y) Mt kt qu quan trng l E[X] = E[E[X | Y ]] Sau ú nú c chng minh v c vit li l 1.2 Kỡ vng cú iu kin E[X] = CHNG C S Lí THUYT E[X | Y = y]P(Y = y) nu X, Y ri rc y E[X | Y = y]fY (y)dy nu X, Y liờn tc õy l kt qu quan trng m c s dng mt lot cỏc tớnh toỏn sau ny nh ngha 1.2.1 Cho hai bin ngu nhiờn X, Y, ta gi E[X | Y ] l kỡ vng cú iu kin ca X theo Y , l mt hm h(Y ) m cú tớnh cht vi mi A (Y ) thỡ E[X IA ] = E[h(Y )IA ] 1.2.2 (1.1) Tớnh cht (1) Nu C l hng s thỡ E(C | F) = C (h.c.c) (2) Nu X Y (h.c.c) thỡ E(X | F) E(Y | F) (h.c.c) (3) |E(X | F)| E(|X| | F) (4) Nu a, b l hng s v aEX + bEY xỏc nh thỡ E((aX + bY ) | F) = aE(X | F) + bE(Y | F) (h.c.c) (5) E(X | {, }) = EX (h.c.c) (6) E(X | F) = X (h.c.c) (7) E[E(X | F)] = EX (h.c.c) (8) Nu F1 F2 thỡ E[E(X | F2 ) | F1 ] = E[E(X | F1 ) | F2 ] = E(X | F1 ) (h.c.c) (9) Nu X c lp vi F (ngha l (X) v F c lp) thỡ E(X | F) = EX (h.c.c) (10) Nu Y l F o c, v E |Y | < , E |XY | < thỡ E(XY | F) = Y E(X | F) (h.c.c) Chng minh (1) L hin nhiờn 2.1 Bt ng thc moment CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT Chng minh Vỡ hm f (x) = xp , x (0, +) li di, nờn f (x) f (1) f (1)(x 1) hay xp p(x 1) vi x > a Thay x = ( ) p , (a > 0, b > 0) vo bt ng thc sau cựng, ta cú b 1 a b a p b1 p b, p p hay 1 a b + ap bq p q |X|p |Y |q Thay a = ,b = vo bt ng thc trờn v ly kỡ vng, X pp Y qq ta cú 1 E |XY | 1= + p q X pã Y q T ú ta cú (2.4) Nu E |X|p ã E |Y |q = thỡ (2.4) l hin nhiờn 2.1.4 Bt ng thc Cauchy-Buniakowski Gi s X, Y L2 Khi ú E |XY | X Chng minh (2.5) l tm thng nu gi thit X ã Y > Thay a, b bt ng thc s cp Y X 2 ã (2.5) Y 2= Vy cú th |ab| a2 + b2 , bi X X 2E v Y Y tng ng, sau ú ly k vng hai v, ta cú |XY | X 2ã Y E X2 X T ú ta cú (2.5) 17 2 +E Y2 Y 2 = 2.1 Bt ng thc moment 2.1.5 CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT Bt ng thc Minkowski Gi s X, Y Lp , p < Khi ú X + Y Lp v p X +Y X p + Y p (2.6) Chng minh Do bt ng thc Cr ta ch cũn phi chng minh bt ng thc Minkowski vi p > Ta cú |X + Y |p = |X + Y |ã|X + Y |p1 |X|ã|X + Y |p1 +|Y |ã|X + Y |p1 , Mt khỏc, bt ng thc Holder cho ta: 1 E |X| |X + Y |p1 (E |X|p ) p (E |X + Y |p ) q v 1 E |Y | |X + Y |p1 (E |Y |p ) p (E |X + Y |p ) q T õy suy iu phi chng minh 2.1.6 Bt ng thc Jensen Gi s : R R l hm li di, X v (X) l cỏc bin ngu nhiờn kh tớch Khi ú E(X) (EX) (2.7) Chng minh Tht vy, vỡ l hm li nờn liờn tc cú o hm phi, v o hm trỏi ti mi im Do ú (X) cng l bin ngu nhiờn, ngoi vi x0 R tựy ý ta cú (x) (x0 ) + (x x0 )k(x0 ), x R, (2.8) õy k(x0 ) cú th ly l o hm phi hoc trỏi ca ti x0 Thay x bi X , x0 bi EX vo (2.8) sau ú ly k vng ta cú E(X) (EX) + k(EX)(EX EX) = (EX) 2.1.7 Bt ng thc Liapunov i vi bin ngu nhiờn X bt kỡ v < s < t, ta cú X s X 18 t (2.9) 2.1 Bt ng thc moment CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT t Chng minh Tht vy, ỏp dng (2.7) vi (x) = |x| s v thayX bi |X|s ta cú t t E(|X|s ) s (E |X|s ) s , hay t E |X|t (E |X|s ) s ú chớnh l (2.9) c bit 1 E |X| (EX ) ã ã ã (EX n ) n ã ã ã X , ú X 2.1.8 = sup{x : P[|X| > x] > 0} = inf {y : P[|X| > y] = 0} Bt ng thc Kolmogorov a Gi s (Xn )n1 l dóy cỏc bin ngu nhiờn c lp v EXk = 0, DXk < , k = 1, n Khi ú, vi tựy ý ta cú: P {max |Sn | } DSn kn , ú Sn = X1 + ã ã ã + Xn b Nu cú mt s c > no ú m P {|Xk | c} = 1, k = 1, n thỡ (c + )2 P {max |Sn | } kn DSn Chng minh a Kớ hiu A = {max |Sk | } kn Ak = { : |S1 | < , , Sk1 < , |Sk | }, k = 1, n n Ta cú A = Ak v k=1 n ESn2 ESn2 IA ESn2 IAk = k=1 Mt khỏc 19 2.1 Bt ng thc moment CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT ESn2 IAk = E(Sk + Sn Sk )2 IAk = ESk2 IAk + 2E(Sn Sk )Sk IAk + E(Sn Sk )2 IAk ESk2 IAk vỡ Sn Sk v Sk IAk c lp, E(Sn Sk ) = nờn E(Sn Sk )Sk IAk = Do ú, n ESn2 n ESk2 IAk k=1 P (Ak ) = P (A) k=1 b Ta cú ESn2 IA = ESn2 ESn2 IA ESn2 = ESn2 + P (A) P (A) trờn Ak , ta cú: |Sk1 | |Sk | |Sk1 | + |Xk | + c nờn n ESn2 IA ESn2 IAk = k=1 n n ESk2 IAk = E(Sn Sk )2 IAk + k=1 k=1 n (c + ) n P (Ak ) P (Ak ) + DSn k=1 k=1 ((c + ) + DSn )P (A) T õy suy DSn P (A) (c + )2 + DSn (c + )2 DSn 20 (c + )2 =1 (c + )2 + DSn 2.1 Bt ng thc moment 2.1.9 CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT Cn trờn Chernoff Gi s bin ngu nhiờn X cú hm mt xỏc sut f (x), mi t > ta vit etx f (x) g(x) = M (t) ú M (t) = Ef [etX ] c gi l hm sinh moment ca bin ngu nhiờn X Vi mi c > ta cú Pf (X c) = E[M (t)etX |X c]Pg (X c) Eg [M (t)etX |X c] M (t)etc Bi vy vi tt c t > 0, ta cú Pf (X c) inf M (t)etc (2.10) t>0 Bt ng thc (2.10)c gi l cn trờn Chernoff B 2.1.3 Cho p t2 pet(1p) + (1 p)etp e H qu 2.1.4 Cho X1 , , Xn l cỏc bin ngu nhiờn c lp cú n phõn phi Bernoulli, t X = Xi Khi ú, vi mi c > ta cú i=1 P (X E[X] c) e 2c2 n P (X E[X] c) e Chng minh Vi c > 0, t > ta cú , 2c2 n (2.11) (2.12) P (X E[X] c) = P (et(XEX) etc ) etc E[et(XEX) ] (bt ng thc Markov) n tc e t(Xi E[Xi ])}] E[exp{ i=1 n = etc E[ et(Xi E[Xi ]) ] i=1 n = etc E[et(Xi E[Xi ]) ] i=1 21 2.2 Bt ng thc ca kỡ vng cú iu CHNG kin CC BT NG THC TRONG XC SUT Tuy nhiờn, nu Y l bin ngu nhiờn cú phõn phi Bernoulli vi tham s p, ú E[e t(Y EY ) ] = pe t(1p) + (1 p)e t2 e ú bt ng thc c suy t b (2.1.3) Bi vy P (X EX c) etc e nt2 4c ta c bt ng thc (2.11) n chng minh (2.12), ta vit (2.12) v dng Ly t = P (EX X c) e 2c2 n v chng minh tng t nh trờn 2.2 Bt ng thc ca kỡ vng cú iu kin 2.2.1 Bt ng thc Holder Nu X Lr , Y Ls , ú r, s l cỏc s cho < r < 1 , + = thỡ r s 1 E(|XY | | F) (E(|X|r | F)) r ã (E(|Y |s | F)) s 2.2.2 Bt ng thc Minkowski Nu X, Y Lr , r thỡ 1 E(|X + Y |r | F) (E(|X|r | F)) r + (E(|Y |r | F)) r 2.2.3 Bt ng thc Jensen Nu g : R R l hm li, tc l, g(ax + by) ag(x) + bg(y), a, b 1, a + b = 1, x, y R, thỡ g(E(X | F)) E(g(X) | F), (vi iu kin tn ti kỡ vng, chng hn E |g(X)| < ) 22 2.2 Bt ng thc ca kỡ vng cú iu CHNG kin CC BT NG THC TRONG XC SUT Chng minh Ta thy vỡ g l hm li nờn s tn ti mt chui m c (an , bn ) im ca R2 cho g(x) = sup(an x + bn ) n x R Cho mi n c nh, t tớnh cht th ca kỡ vng cú iu kin v t g(X) an X + bn , ta cú E[g(X) | F] an E[X | F] + bn iu ny ỳng vi mi n, suy E[g(X) | F] sup(an E[X | F] + bn ) = g(E[X | F]) Mnh 2.2.1 (Bt ng thc moment cp hai) Cho bin ngu nhiờn X khụng õm Khi ú (EX)2 P (X > 0) EX Chng minh T bt ng thc Jensen ta cú EX = E[X |X > 0]P (X > 0)] (E[X|X > 0])2 P (X > 0) (EX)2 = P (X > 0) n Nu Xi B(1, pi ), i = 1, , n, t X = Xi i=1 B 2.2.2 Vi mi bin ngu nhiờn R bt kỡ, ú ta cú n E[XR] = pi E[R|Xi = 1] i=1 Chng minh 23 2.2 Bt ng thc ca kỡ vng cú iu CHNG kin CC BT NG THC TRONG XC SUT n E[XR] = E[ Xi R] i=1 n = E[Xi R] i=1 n {E[Xi R|Xi = 1]pi + E[Xi R|Xi = 0](1 pi )} = i=1 n = pi E[R|Xi = 1] i=1 n Mnh 2.2.3 P (X > 0) i=1 Chng minh t R = pi E[X|Xi = 1] I{X>0} Lu ý rng X E[XR] = P (X > 0), E[R|Xi = 1] = E[ |Xi = 1] X T b (2.2.2) n P (X > 0) = pi E[ i=1 n pi i=1 |Xi = 1] X E[X|Xi = 1] ú cụng thc cui suy t bt ng thc Jensen Vớ d 2.2.4 Xột h thng gm m b phn, mi b phn ny cú th lm vic hoc khụng Gi s Sj , j = 1, , n l cỏc b phn cho Si Sj = vi i = j , h thng hot ng c nu cú ớt nht mt b phn Sj hot ng Gi s cỏc b phn j hot ng c lp vi xỏc sut j Vn t l tỡm cn di ca xỏc sut h thng hot ng Li gii t 24 2.3 Bt ng thc Martingale Xi = CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT nu tt c cỏc b phn nm Si hot ng nu trỏi li pi = P (Xi = 1) = j jSi n Khi ú, kt hp X = Xi , ta cú i=1 P (h thng hot ng c) = P (X > 0) n pi E[X|Xi = 1] i=1 n pi = n i=1 P (Xj = 1|Xi = 1) i=1 n pi = i=1 1+ k j=i kSj Si ú Sj Si bao gm tt c b phn thuc Sj m khụng thuc Si 2.3 Bt ng thc Martingale nh lý 2.3.1 Nu {Xn , Fn , n = 0, 1, , N } l Martingale di, thỡ vi mi R ( > 0) P( max Xn > ) E[XN I( max Xn > )] EXN+ , 0nN 0nN P( Xn ) EX0 + E[XN I( Xn > )] 0nN 0nN Chng minh t A = ( max Xn > ) 0nN Ta cú N A = (X0 > ) N (Xn > , max Xm ) = n=1 0mn1 25 An n=0 2.3 Bt ng thc Martingale CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT ú A0 = (X0 > ), An = (Xn > , max Xm ) 0mn1 l thuc Fn ri An Am = , n = m N Suy P(A) E[Xn I(An )] n E[E(XN | Fn )I(An )](do tớnh cht martingale di) n E[E(XN I(An ) | Fn )] = n = E[XN I(An )] n = E[XN I(A)] E[Xn+ I(A)] EXN+ Bt ng thc th hai c chng minh tng t 2.3.1 Bt ng thc Kolmogorov Nu {Xn Fn , n = 0, , N } l martingale vi E |Xn |p < , n = 0, , N, p < , thỡ vi mi > p P( max |Xn | > ) E |XN |p 0nN Chng minh Vỡ {|Xn |p , Fn , n = 0, , N } l martingale di (khụng õm), nờn theo bt ng thc nh lý trờn vi a > aP( max |Xn |p > a) E |XN |p 0nN iu ny ỳng vi a = p hon thnh chng minh 2.3.2 Bt ng thc Doob Nu {Xn , Fn , n = 0, , N } l martingale di khụng õm vi E |Xn |p < , n = 0, , N, < p < , thỡ XN p max |Xn | 0nN 26 p q XN p, 2.3 Bt ng thc Martingale ú X p= CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT 1 + = p q (E |X|p ) p , i vi p = 1, thỡ XN max |Xn | 0nN e {1+ e1 XN ln+ XN 1} Chng minh u tiờn ta chng minh i vi p > Bt ng thc phớa trỏi l tm thng chng minh bt ng thc phớa phi ta s dng bt ng thc nh lý trờn v bt ng thc Holder, p xp1 P( max |Xn | > x)dx E( max |Xn | ) = p 0nN 0nN xp2 E[|XN | I( max |Xn | > x)]dx p 0nN max |Xn | 0nN = pE |XN | |Xn | xp2 dx = q E[|XN | ( max |Xn |p1 )] 0nN p p1 q(E |XN | ) [E( max |Xn |p )] q 0nN T ú rỳt bt ng thc phớa phi Bõy gi chỳng ta chng minh i vi p = Bt ng thc phớa trỏi l tm thng n gin ta t XN = max |Xn | 0nN Ging nh chng minh bt ng thc trờn, ta cú EXN E(XN + 1) = P{XN t}dt 1+t XN = EXN 1+t} {XN XN dP dt dt 1+t = EXN lnXN Vỡ vi a 0, b > alnb aln+ a + be1 , 27 2.3 Bt ng thc Martingale nờn: CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT EXN EXN lnXN EXN ln+ Xn + e1 EXN T ú rỳt bt ng thc phớa phi Tip theo ta trỡnh by bt ng thc ct ngang Vi cỏc s thc a, b cho < a < b < , kớ hiu = (a, b, N ) l s ln dóy {Xn , n = 0, , N } chuyn t giỏ tr nh hn hoc bng a ti giỏ tr ln hn hoc bng b c gi l s ln ct ngang t di lờn trờn on [a, b] ca dóy {Xn , n = 0, , N } 2.3.3 Bt ng thc ct ngang Nu {Xn , Fn , n = 0, , N } l martingale di, thỡ: (b a)E E(XN a)+ E(X0 a)+ Chng minh Vỡ {Xn , Fn , n = 0, , N } l martingale di, nờn {(Xn a)+ , Fn , n = 0, , N } cng l martingale di, v bng s ln ct ngang t di lờn trờn on [0, b a] ca dóy {(Xn a)+ , n = 0, , N } Do ú ta ch cn chng minh i vi martingale di khụng õm {Xn , Fn , n = 0, , N } bE E(XN X0 ), (2.13) ú l s ln ct ngang t di lờn trờn on [0, b] ca dóy {Xn , n = 0, , N } Kớ hiu = 0; = min{m : < m N, Xm = 0}; = min{m : < m N, Xm b}; 2n1 = min{m : 2n2 < m N, Xm = 0}; 2n = min{m : 2n1 < m N, Xm b} Kớ hiu l l s n ln nht cho n c xỏc nh ỳng n (ngha l ly tng ng khỏc rng) Rừ rng l N t n = N cho tt c n > l Khi ú, N +1 = N v N SN S0 = (Xn+1 Xn ) = n=0 + n chn Xột n l Nu n < l, thỡ 28 n l (2.14) 2.3 Bt ng thc Martingale CHNG CC BT NG THC TRONG XC SUT Xn+1 b > = Xn nu n = l, thỡ Xn+1 = XN = Xn nu n > l, thỡ Xn+1 = XN = Xn Vỡ vy, (Xn+1 Xn ) n l ú (Xn+1 Xn ) n l[...]... 2 +E Y2 Y 2 2 = 2 2.1 Bất đẳng thức moment 2.1.5 CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT Bất đẳng thức Minkowski Giả sử X, Y ∈ Lp , 1 ≤ p < ∞ Khi đó X + Y ∈ Lp và p≤ X +Y X p + Y p (2.6) Chứng minh Do bất đẳng thức Cr ta chỉ còn phải chứng minh bất đẳng thức Minkowski với p > 1 Ta có |X + Y |p = |X + Y |·|X + Y |p−1 ≤ |X|·|X + Y |p−1 +|Y |·|X + Y |p−1 , Mặt khác, bất đẳng thức Holder cho ta: 1 1... tài:“ Các bất đẳng thức trong xác suất , em đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếu sau: • Bất đẳng thức moment • Các bất đẳng thức của kì vọng có điều kiện • Các bất đẳng thức trong Martingale với thời gian rời rạc Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của em đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo NGUYỄN TRUNG DŨNG và ý kiến đóng góp của các thầy... nên theo bất đẳng thức trong định lý trên với a > 0 aP( max |Xn |p > a) ≤ E |XN |p 0≤n≤N Điều này đúng với a = λp hoàn thành chứng minh 2.3.2 Bất đẳng thức Doob Nếu {Xn , Fn , n = 0, , N } là martingale dưới không âm với E |Xn |p < ∞, n = 0, , N, 1 < p < ∞, thì XN p≤ max |Xn | 0≤n≤N 26 p≤ q XN p, 2.3 Bất đẳng thức trong Martingale trong đó X p= CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT 1 1 +... bất đẳng thức Chebyshev; (2.2) là bất đẳng thức Markov Ý nghĩa: Nếu biết phương sai của X thì ta sẽ biết với xác suất bằng bao nhiêu để X rơi vào lân cận của giá trị trrung bình, tức là cho ta biết mức độ tập trung (phân tán) của X quanh EX Ví dụ 2.1.2 Nếu D = 5 · 10−2 ; = 10− 1 thì: P{ω : |X(ω) − EX| < 0, 1} ≥ 1 − 5 · 10−2 = 95% 15 2.1 Bất đẳng thức moment 2.1.2 CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC... |X|r + Cr E |Y |r 2.1.3 Bất đẳng thức Holder Giả sử p, q ∈ (1, +∞) sao cho 1 1 + = 1 và X ∈ Lp , Y ∈ Lq p q Khi đó E |XY | ≤ X p 16 · Y q (2.4) 2.1 Bất đẳng thức moment CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT Chứng minh Vì hàm f (x) = xp , x ∈ (0, +∞) lồi dưới, nên f (x) − f (1) ≥ f (1)(x − 1) hay xp − 1 ≥ p(x − 1) với x > 0 a 1 Thay x = ( ) p , (a > 0, b > 0) vào bất đẳng thức sau cùng, ta có b... ≤ e−tc E[et(X−EX) ] (bất đẳng thức Markov) n −tc ≤ e t(Xi − E[Xi ])}] E[exp{ i=1 n = e−tc E[ et(Xi −E[Xi ]) ] i=1 n = e−tc E[et(Xi −E[Xi ]) ] i=1 21 2.2 Bất đẳng thức của kì vọng có điều CHƯƠNG kiện 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT Tuy nhiên, nếu Y là biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli với tham số p, khi đó E[e t(Y −EY ) ] = pe t(1−p) −tp + (1 − p)e t2 8 ≤e Ở đó bất đẳng thức được suy ra từ bổ... 1 Bất đẳng thức phía trái là tầm thường Để chứng minh bất đẳng thức phía phải ta sử dụng bất đẳng thức trong định lý trên và bất đẳng thức Holder, ∞ p xp−1 P( max |Xn | > x)dx E( max |Xn | ) = p 0≤n≤N 0 0≤n≤N ∞ xp−2 E[|XN | I( max |Xn | > x)]dx ≤ p 0≤n≤N 0 max |Xn | 0≤n≤N = pE |XN | |Xn | xp−2 dx 0 = q E[|XN | ( max |Xn |p−1 )] 0≤n≤N p p1 1 ≤ q(E |XN | ) [E( max |Xn |p )] q 0≤n≤N Từ đó rút ra bất đẳng. .. ϕ(EX) 2.1.7 Bất đẳng thức Liapunov Đối với biến ngẫu nhiên X bất kì và 0 < s < t, ta có X s≤ X 18 t (2.9) 2.1 Bất đẳng thức moment CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT t Chứng minh Thật vậy, áp dụng (2.7) với ϕ(x) = |x| s và thayX bởi |X|s ta có t t E(|X|s ) s ≥ (E |X|s ) s , hay t E |X|t ≥ (E |X|s ) s Đó chính là (2.9) Đặc biệt 1 1 E |X| ≤ (EX 2 ) 2 ≤ · · · ≤ (EX n ) n ≤ · · · ≤ X ∞, trong đó... thức trong Martingale Xi = 1 0 CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT nếu tất cả các bộ phận nằm trong Si hoạt động nếu trái lại pi = P (Xi = 1) = αj j∈Si n Khi đó, kết hợp X = Xi , ta có i=1 P (hệ thống hoạt động được) = P (X > 0) n pi ≥ E[X|Xi = 1] i=1 n pi = n i=1 P (Xj = 1|Xi = 1) i=1 n pi = i=1 1+ αk j=i k∈Sj −Si trong đó Sj − Si bao gồm tất cả bộ phận thuộc Sj mà không thuộc Si 2.3 Bất đẳng thức. .. Nếu n < l, thì 28 n lẻ (2.14) 2.3 Bất đẳng thức trong Martingale CHƯƠNG 2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT Xτn+1 ≥ b > 0 = Xτn nếu n = l, thì Xτn+1 = XN ≥ 0 = Xτn nếu n > l, thì Xτn+1 = XN = Xτn Vì vậy, (Xτn+1 − Xτn ) ≥ n lẻ trong đó (Xτn+1 − Xτn ) ≥ n lẻ ... BT NG THC TRONG XC SUT KHểA LUN TT NGHIP I HC Ngnh: Toỏn - ng dng Mó s: Ngi hng dn Th.s Nguyn Trung Dng H NI - 2013 TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON KHểA LUN TT NGHIP TI CC BT NG THC TRONG XC SUT... viờn thc hin : HONG TH MN Lp : K35A-CN Toỏn Ging viờn hng dn : NGUYN TRUNG DNG H NI - 2013 Li cm n Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin khúa lun, vi s c gng ca bn thõn cựng vi s hng dn v giỳp nhit... ỏo.Cng ngy ny cng c khai thỏc sõu hn, chớnh vỡ ú phng phỏp gii cng rt a dng phong phỳ v ngy cng phc Trong xỏc sut bt ng thc cng l mt ti thỳ v thu hỳt s quan tõm ca khỏ nhiu ngi Vi nhng lớ trờn cựng