Các bất đẳng thức trong xác suất

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN ************* Hoàng Th% Man CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Ngành: Tốn - Úng dung HÀ N®I - 2013 Hồng Th% Man CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Ngành: Toán - Úng dung Mã so: Ngưài hưáng dan Th.s Nguyen Trung Dũng TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM H NđI KHOA TON KHểA LUắN TOT NGHIfi ĐE TÀI CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT Ho tên sinh viên thNc hi¾n : HỒNG TH± MAN Láp : K35A-CN Toán Giáng viên hưáng dan : NGUYEN TRUNG DŨNG Lài cám ơn Trong trình nghiên cúu thnc hi¾n khóa lu¾n, vói sn co gang cna bán thân vói sn hưóng dan giúp đõ nhi¾t tình cna thay giáo ban sinh viên, em hồn thành khóa lu¾n Em xin bày tó lòng biet ơn tói thay, cơng tác tai Khoa Tốn Trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i Thay trnc tiep giáng day, truyen đat cho em nhung kien thúc quý báu ve chun mơn kinh nghi¾m nghiên cúu khoa hoc thòi gian qua Em xin chân thành gúi lòi cám ơn đen nhung ngưòi thân gia đình, ban bè ln giúp đõ, đ®ng viên tao moi đieu ki¾n cho em suot q trình hoc t¾p hồn thi¾n lu¾n văn Đ¾c bi¾t em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen thay giáo, thac sĩ Nguyen Trung Dũng, ngưòi t¾n tình giúp đõ chí báo cung cap cho em nhung kien thúc nen táng đe em hoàn thành khóa lu¾n Thay ngưòi giúp em ngày tiep c¾n có niem say mê khoa hoc suot thòi gian đưoc làm vi¾c Thay Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, Ngày 16 tháng năm 2013 Sinh viên HỒNG TH± MAN Hồng Th% Man - Toán-K35 Lài cam đoan Tên em là: Hồng Th% Man sinh viên đai hoc khóa 2009 – 2013, lóp K35A-CN Tốn, khoa Tốn , trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i Em xin cam đoan đe tài: “Các bat thúc xác suat” ket nghiên cúu thu th¾p cna riêng em Nhung nđi dung khúa luắn ny l em thnc hi¾n dưói sn hưóng dan trnc tiep cna thay Nguyen Trung Dũng Các lu¾n cú, ket thu đưoc đe tài trung thnc, khơng trùng vói tác giá khác Moi tham kháo dùng báo cáo đeu đưoc trích dan rõ ràng tên tác giá, tên cơng trình, thòi gian, đ%a điem cơng bo Neu có khơng trung thnc lu¾n văn em xin hon ton ch%u trỏch nhiắm trúc hđi ong khoa hoc Hà N®i, Ngày 16 tháng năm 2013 Sinh viên HỒNG TH± MAN Hồng Th% Man - Tốn-K35 Mnc lnc Lài nói đau Chương 1: Cơ sá lý thuyet 1.1 Không gian Lp 1.2 Kì vong có đieu ki¾n .6 1.2.1 Đ%nh nghĩa 1.2.2 Tính chat .7 1.3 Martingale vói thòi gian ròi rac 1.3.1 Khái ni¾m ve tương thích dn báo đưoc 1.3.2 Thòi điem dùng 1.3.3 Martingale 11 Chương 2: Các bat thNc xác suat 15 2.1 Bat thúc moment .15 2.1.1 Bat thúc Chebyshev 15 2.1.2 Bat thúc Cr .16 2.1.3 Bat thúc Holder .16 2.1.4 Bat thúc Cauchy-Buniakowski .17 2.1.5 Bat thúc Minkowski .18 2.1.6 Bat thúc Jensen 18 2.1.7 Bat thúc Liapunov 18 2.1.8 Bat thúc Kolmogorov 19 2.1.9 C¾n Chernoff 21 2.2 Bat thúc cna kì vong có đieu ki¾n 22 2.2.1 Bat thúc Holder .22 2.2.2 Bat thúc Minkowski .22 2.2.3 Bat thúc Jensen 22 2.3 Bat thúc Martingale 25 2.3.1 Bat thúc Kolmogorov 26 2.3.2 Bat thúc Doob .26 2.3.3 Bat thúc cat ngang 28 Ket lu¾n 30 Hồng Th% Man - Tốn-K35 MUC LUC MUC LUC Tài li¾u tham kháo 31 Hoàng Th% Man - Tốn-K35 Lài nói đau Bat thúc m®t van đe quan cna tốn hoc, m®t dang tốn tương đoi khó khơng có m®t phương pháp thnc sn “tot” đe giái quyet loat tốn Nhung lòi giái cho nhung bat thúc thưòng mang nhung ý tưóng hay đ®c đáo.Càng ngày van đe đưoc khai thác sâu hơn, phương pháp giái rat đa dang phong phú ngày phúc tap Trong xác suat bat thúc m®t đe tài thú v% thu hút sn quan tâm cna nhieu ngưòi Vói nhung lí vói lòng say mê nghiên cúu sn giúp đõ t¾n tình cna thay giáo, Th.s Nguyen Trung Dũng, em chon đe tài: "Các bat thNc xỏc suat" Nđi dung khúa luắn bao gom phan sau: • Chương 1: Cơ só lý thuyet é phan em trình bày nhung lý thuyet só phuc vu cho vi¾c chúng minh bat thúc em trình bày ó chương • Chương 2: Các bat thúc xác suat Đây chương trình bày bat thúc chúng minh gom bat thúc moment, bat thúc cna kì vong có đieu ki¾n, bat thúc Martingale vói thòi gian ròi rac Tuy có nhieu co gang thòi gian có han nên van đe khóa lu¾n van chưa đưoc trình bày sâu sac khơng the tránh khói có nhung sai sót cách trình bày Em rat mong đưoc sn góp ý xây dnng cna thay ban Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, Ngày 16 tháng năm 2013 Sinh viên HOÀNG TH± MAN Hồng Th% Man - Tốn-K35 Chương Cơ sá lý thuyet 1.1 Không gian Lp Đ%nh 1.1.1 nhiên Vói p X( > 0, hi¾u Lp =(Ω, Lp(Ω, F, P) t¾p hopp cácnghĩa bien ngau xáckíđ%nh F, P)) cho E p |X| < ∞ Khi X ∈ L , p > ta kí hi¾u p " X "= (E |X| )p1 chuan b¾c p cna X 1.2 1.2.1 Kì vong có đieu ki¾n Đ%nh nghĩa Cho bien ngau nhiên X mà E(|X|) < ∞ Ta biet, E(X|Y ) kì vong có đieu ki¾n cna X đoi vói Y , đưoc đ%nh nghĩa hàm cna Y Y = y bang:   xP(X = x | Y = y) neu X, Y ròi rac E[X | Y = y] = x ¸ xfX|Y (x | y)dx neu X, Y liên tuc v cú hm mắt đ ộ ú f f (x, y) fX|Y (x | y) = ¸ f (x, y) = f (y) Y f (x, y)dx M®t ket quan E[X] = E[E[X | Y ]] Sau đưoc chúng minh đưoc viet lai Hồng Th% Man - Tốn-K35 1.2 Kì vong có đieu ki¾n CHƯƠNG CƠ Sá LÝ THUYNT  E[X | Y = y]P(Y = y) neu X, Y ròi rac  y E[X] =  ¸  E[X | Y = y]fY (y)dy neu X, Y liên tuc ket quan mà đưoc sú dung m®t loat tính tốn sau Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho hai bien ngau nhiên X, Y, ta goi E[X | Y ] kì vong có Aieu kiắn) thỡ cna X theo Y , l mđt hàm h(Y ) mà có tính chat vói moi ∈ σ(Y E[XIA] = E[h(Y )IA] (1.1) 1.2.2 Tính chat (1) Neu C hang so E(C | F ) = C (h.c.c) (2) Neu X ≤ Y (h.c.c) E(X | F ) ≤ E(Y | F ) (h.c.c) (3) |E(X | F )| ≤ E(|X| | F ) (4) Neu a, b hang so aEX + bEY xác đ%nh E((aX + bY ) | F ) = aE(X | F ) + bE(Y | F ) (h.c.c) (5) E(X | {∅, Ω}) = EX (h.c.c) (6) E(X | F ) = X (h.c.c) (7) E[E(X | F )] = EX (h.c.c) (8) Neu F1 ⊂ F2 E[E(X | F2) | F1] = E[E(X | F1) | F2] = E(X | F1) (h.c.c) (9) Neu X đc lắp vúi F (ngha l (X) v F đc lắp) thỡ E(X | F ) = EX (h.c.c) (10)Neu Y F− đo đưoc, E |Y | < ∞, E |XY | < ∞ E(XY | F ) = Y E(X | F ) (h.c.c) Chúng minh (1) Là hien nhiên 2.1.9 C¾n Chernoff Giỏ sỳ bien ngau nhiờn X cú hm mắt đ xác suat f (x), moi t > ta viet g(x) = etxf (x) M (t) é M (t) = Ef [etX ] đưoc goi hàm sinh moment cna bien ngau nhiên X Vói moi c > ta có Pf (X ≥ c) = E[M (t)e−tX |X ≥ c]Pg(X ≥ c) ≤ Eg[M (t)e−tX |X ≥ c] ≤ M (t)e−tc Bói v¾y vói tat cá t > 0, ta có Pf (X ≥ c) inf M (t)e−tc t>0 (2.10) Bat thúc (2.10)đưoc goi c¾n Chernoff Bo đe 2.1.3 Cho ≤ p ≤ pe t(1−p) + (1 − p)e −tp t ≤e H¾ 2.1.4 Cho X1, , Xnn l cỏc bien ngau nhiờn đc lắp cú phân phoi Bernoulli, đ¾t X = Xi Khi đó, vói moi c > ta có i=1 P (X − E[X] ≥ c) ≤ e −2c2 n P (X − E[X] ≤ −c) ≤ e Chúng minh Vói c > 0, t > ta có , −2c2 n (2.11) (2.12) P (X − E[X] ≥ c)= P (et(X−EX) ≥ etc) ≤ e−tcE[et(X−EX)] n n ≤ i=1 −tc e E[exp{ (bat thúc Markov) t(Xi − E[Xi])}] = e−tcE[ Y i=1 n = Y e−tc i=1 et(Xi−E[Xi])] E[et(Xi−E[Xi])] 2.2 Bat thúc cna kì vong có đieuCkHi¾Ưn ƠNG CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT Tuy nhiên, neu Y bien ngau nhiên có phân phoi Bernoulli vói tham so p, E[e t(Y −EY ) ] = pe t(1−p) + (1 − p)e −tp t ≤ e8 é bat thúc đưoc suy tù bo đe (2.1.3) Bói v¾y Lay t = P (X − EX ≥ c) ≤ e−tce 4c nt2 n ta đưoc bat thúc (2.11) Đe chúng minh (2.12), ta viet (2.12) ve dang −2c2 P (EX − X ≥ c) ≤ e n chúng minh tương tn 2.2 2.2.1 Bat thNc cúa kì vong có đieu ki¾n Bat thNc Holder Neu X ∈ Lr, Y ∈ Ls, r, s so cho < r < 1 ∞, + = r s 1 r s E(|XY | | F ) ≤ (E(|X| | F )) r · (E(|Y | | F )) s 2.2.2 Bat thNc Minkowski Neu X, Y ∈ Lr, ≤ r r r r E(|X + Y | | F ) ≤ (E(|X| | F )) r + (E(|Y | | F )) r 2.2.3 Bat thNc Jensen Neu g : R → R hàm loi, túc là, g(ax + by) ≤ ag(x) + bg(y), ≤ a, b ≤ 1, a + b = 1, x, y ∈ R, g(E(X | F )) ≤ E(g(X) | F ), (vói đieu ki¾n ton tai kì vong, chang han E |g(X)| < ∞) Chúng minh Ta thay g hàm loi nên se ton tai m®t chuoi đem đưoc (an, bn) điem cna R2 cho g(x) = sup(anx + bn) ∀x ∈ R n Cho moi n co đ%nh, tù tính chat thú cna kì vong có đieu ki¾n tù g(X) ≥ anX + bn, ta có E[g(X) | F ] ≥ anE[X | F ] + bn Đieu vói moi n, suy E[g(X) | F ] ≥ sup(anE[X | F ] + bn) = g(E[X | F ]) M¾nh đe 2.2.1 (Bat thÚc moment cap hai) Cho bien ngau nhiên X khơng âm Khi (EX)2 P (X > 0) EX2 ≥ Chúng minh Tù bat thúc Jensen ta có EX2 = E[X2|X > 0]P (X > 0)] ≥ (E[X|X > 0])2P (X > 0) (EX)2 = P (X > 0) n Neu Xi ∼ B(1, pi), i = 1, , n, đ¾t X = Xi i=1 Bo đe 2.2.2 Vói moi bien ngau nhiên R bat kì, ta có n E[XR] = i=1 Chúng minh piE[R|Xi = 1] n E[XR] = E[ n = XiR] i=1 E[Xi R] i= n {E[XiR|Xi = 1]pi + E[XiR|Xi = 0](1 − pi)} = = i= n piE[R|Xi = 1] i=1 n pi M¾nh đe 2.2.3 P (X > 0) ≥ E[X|Xi = 1] i=1 Chúng minh Đ¾t R = I{X>0 Lưu ý rang } X E[XR] = P (X > 0), E[R|Xi = 1] = E[ Tù bo đe (2.2.2) X |Xi = 1] n |Xi = 1] P (X > 0) = piE[ i=1 n ≥ i=1 pi X E[X|Xi = 1] cơng thúc cuoi suy tù bat thúc Jensen Ví dn 2.2.4 Xột hắ thong gom m bđ phắn, moi bđ ph¾n có the làm vi¾c ho¾c khơng Giá sú Sj, j = 1, , n cỏc bđ phắn cho Si Sj = vúi i = j, hắ thong hoat đng oc neu cú ớt nhat mđt bđ phắn Sj hoat đng Giỏ sỳ cỏc bđ phắn j hoat đng đc lắp vúi xỏc suat j Van e tìm c¾n dưói cna xác suat đe h¾ thong hoat đng Li giỏi 2.3 Bat ang thỳc Martingale Xi = CHƯƠNG CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT neu tat cá b® phắn nam Si hoat đng neu trỏi lai Y pi = P (Xi = 1) = αj j∈Si n Khi đó, ket hop X = Xi, ta có i=1 P (hắ thong hoat đng oc) = P (X > 0) n pi ≥ E[X|Xi = 1] i= n = i=1 pi n i=1 n = i=1 P (Xj = 1|Xi = 1) pi 1+ Y αk jƒ=i k∈Sj−Si Sj − Si bao gom tat cỏ bđ phắn thuđc Sj m khụng thu®c S i 2.3 Bat thNc Martingale Đ%nh 2.3.1 dưói, thìlývói moiNeu λ ∈{X R n, Fn(λ, n> =0)0, 1, , N} Martingale λP( max 0≤n≤N Xn > λ) ≤ E[XN I( Xn > λ)] ≤ EX + , max N 0≤n≤N λP( 0≤n≤ N Chúng minh Đ¾t Xn ≤ −λ) ≤ −EX0 + E[XN I( Xn > −λ)] 0≤n≤N Xn > λ) A=( max 0≤n≤ Ta có N N 2.3 Bat thúc Martingale [ A = (X0 > λ) CHƯƠNG CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT [ N (Xn > λ, Xm ≤ λ) max = n=1 0≤m≤n−1 [ n=0 n A Xm ≤ λ) A0 = (X0 > λ), An = (Xn > λ, max 0mn1 l thuđc Fn rũi An Am = ∅, ∀0 ≤ n ƒ= m ≤ N Suy λP(A) ≤ ≤ n E[XnI(An)] E[E(XN | Fn)I(An)](do tính chat martingale dưói) n = = n n E[E(XN I(An) | Fn)] E[XN I(An)] = E[XN I(A)] ≤ E[X+I(A)] ≤ EX + n N Bat thúc thú hai đưoc chúng minh tương tn 2.3.1 Bat thNc Kolmogorov p n= 0,∞, , N} martingale vói E |Xn| < ∞, n n.F1 n, ≤ = Neu 0, {X , N, p< vói moi λ>0 λpP( max p |Xn| > λ) ≤ E |XN | 0≤n≤N p {|Xn| , Fn, n Chúng minh Vì = 0, , N} martingale dưói (khơng âm), nên theo bat thúc đ%nh lý vói a > aP( max p 0≤n≤N p |Xn| > a) ≤ E |XN | Đieu vói a = λp hoàn thành chúng minh 2.3.2 Bat thNc Doob Neu {Xn, Fn, n = 0, , N} martingale dưói khơng âm vói p E |Xn | < ∞, n = 0, , N, < p < ∞, " XN "p≤" max |Xn| "p≤ q " XN "p, 0≤n≤N p " X "p= (E |X| )1p , p + = q Đoi vói p = 1, " XN "1≤" max |Xn| 0≤n≤N " 1≤ e {1+ " XN ln+XN "1} e− Chúng minh Đau tiên ta chúng minh đoi vói p > Bat thúc phía trái tam thưòng Đe chúng minh bat thúc phía phái ta sú dung bat thúc đ%nh lý bat thúc Holder, E( max 0≤n≤ N ¸ p |Xn| ) = p ∞ ¸ ∞ ≤ p xp−1P( max |Xn| > x)dx 0≤n≤ N xp−2 E[|XN | I( max |Xn| > x)]dx 0≤n≤N = pE |XN | ¸ max |Xn| 0≤n≤ N |Xn| xp−2dx = qE[|XN | ( max |Xn|p−1)] 0≤n≤N p p1 ≤ q(E |XN | ) [E( max |Xn|p)] q 0≤n≤N Tù rút bat thúc phía phái Bây giò chúng minh đoi vói p = Bat thúc phía trái tam thưòng Đe đơn gián ta đ¾t X ∗ = max N |Xn| 0≤n≤N Giong chúng minh bat thúc trên, ta có ¸ ∞ + EX N − ≤ P{X N − ≥ t}dt N − 1) = ∗ ∗ ∗ E(X ¸ ¸ ∞ ≤ XN dP dt {X∗ + N ≥1+t} t = EXN ¸ XN −1 ∗ Vì vói a ≥ 0, b > = EXN lnXN∗ dt 1+ t alnb ≤ aln+a + be−1, nên: EX − ≤ EXN ≤ EXN ln+Xn + e−1EX∗ ∗ ∗ N lnX N N Tù rút bat thúc phía phái Tiep theo ta trình bày bat thúc cat ngang Vói so thnc a, b cho −∞ < a < b < ∞, kí hi¾u ν = ν(a, b, N ) so lan dãy {Xn, n = 0, , N} chuyen tù giá tr% nhó ho¾c bang a tói giá tr% lón ho¾c ν đưoc cat ngang tù dưói lên trênhơn đoan [a, b]bang cna b dãy {Xn, ngoi = 0, so lan , N} 2.3.3 Bat thNc cat ngang Neu {Xn, Fn, n = 0, , N} martingale dưói, thì: (b − a)Eν ≤ E(XN − a)+ − E(X0 − a)+ Chúng minh Vì {Xn, Fn, n = 0, , N} martingale dưói, nên {(Xn − a)+, Fn, n = 0, , N} martingale ν{(X bang so+lan cat tù Do dưói lên trêncan đoan [0, b minh − a]dưói, cna dãy , n =không 0, ngang âm , N} ta n − a)dưói chí chúng đoi vói martingale {X , F , n = n n 0, , N} bEν ≤ E(XN − X0), (2.13) ν so lan cat ngang tù dưói lên đoan [0, b] cna dãy {Xn, n = 0, , N} Kí hi¾u τ0 τ τ2 τ2n− τ2n = = = = = 0; min{m : < m ≤ N, Xm = 0}; min{m : τ1 < m ≤ N, Xm ≥ b}; min{m : τ2n−2 < m ≤ N, Xm = 0}; min{m : τ2n−1 < m ≤ N, Xm ≥ b} Kí hi¾u l t¾p so n lón nhat cho τn đưoc xácRõ đ%nh (nghĩa rong) ràngđúng ≤ lđan ≤N Đ¾t τn = N lay tương úng khác cho tat cá n > l Khi đó, τN +1 = N SN − S0 = N (Xτ n+1 − Xτn n=0 Xét n lé Neu n < l, )= n chan + n lé (2.14) Xτn+1 ≥ b > = Xτn neu n = l, Xτn+1 = XN ≥ = neu n > l, Xτn Xτn+1 = XN = X τn Vì v¾y, n+1 (Xτ )≥ Xτn n lé − n+1 − Xτn ) ≥ (Xτ l b = νb, (2.15) n lé