Thông tin tài liệu
1 Mnc lnc Mnc lnc Lài cám ơn Báng ký hi¾u Má đau Bat thNc liên h¾ giĐa h¾ so nghi¾m cúa đa thNc đai so 1.1 Bat thúc vói đa thúc b¾c thap 1.1.1 Bat thúc vói tam thúc b¾c hai 1.1.2 Bat thúc vói đa thúc b¾c ba .10 1.1.3 Bat thúc vói đa thúc b¾c bon 12 1.2 M®t so tam thúc quan 17 1.3 Bat thúc vói đa thúc có nghi¾m thnc 21 1.4 Bat thúc liên quan đen nghi¾m cna đa thúc .35 1.5 Bat thúc vói đa thúc không âm 42 1.6 Bat thúc liên quan đen h¾ so cna đa thúc 44 Phn lnc 52 Bat thNc liên h¾ giĐa h¾ so nghi¾m cúa đa thNc lưang giác 54 2.1 Bat thúc ve tong lưong giác 54 2.2 Bat thúc vói chuan Lp 63 2.3 Bat thúc cho nhân Dirichlet 68 2.4 Bài toán cnc tr% đa thúc lưong giác .70 2.5 Bat thúc liên quan đen mơmen h¾ so cna đa thúc côsin không âm 74 Ket lu¾n .79 Tài li¾u tham kháo 80 Lài cám ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS TS Ta Duy Phưong Tơi xin bày tó lòng cám ơn chân thành sâu sac tói thay giáo PGS TS Ta Duy Phưong, ngũi ó luụn quan tõm, đng viờn, tắn tỡnh húng dan tơi suot q trình tơi làm lu¾n văn Tơi xin gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giỏm hiắu trũng hoc S pham H Nđi 2, phòng Sau Đai hoc, thay giáo nhà trưòng, thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p nghiên cúu Tơi bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân, ban bè hoc , đ®ng viên tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thnh bỏn luắn ny H Nđi, thỏng nm 2012 Nguyen Đình Quang Báng ký hi¾u R T¾p hop so thnc C T¾p hop so phúc |z| ≤ T¾p hop so phúc z có mơđun nhó ho¾c bang |z| < T¾p hop so phúc z có mơđun nhó Cn k To hop ch¾p k cna n phan tú hay n! k!(n−k)! [x] Phan nguyên cna so thnc x P (x) Đa thúc P cho bói cơng thúc tương úng vói bien so x Pn(z) Đa thúc P b¾c n, bien so z Má đau Lí chon đe tài Trưóc tiên ta xét m®t so ví du đơn gián sau Thí dn (Schoenberg, 1960) Kí hi¾u F t¾p tat cá đa thúc thnc P (x) = ax2 + bx + c không âm đoan [ 1, 1] thóa mãn đieu kiắn P (x)dx = Khi ú max P (ξ) 2= P ∈F −1≤ξ≤1 Thí dn (Đ%nh lí Sturm ve nghi¾m cna phương trình b¾c ba) Phương trình x3 + ax2 + bx + c = vói h¾ so thnc a, b, c có ba nghi¾m thnc x1, x2, x3 chí −4a3c + a2b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 ≥ Thí dn (Rao, 1966) Neu cá ba nghi¾m xi, i = 1, 2, cna đa thúc P (x) = x3 + px2 + qx + r vói h¾ so p, q, r thnc , p2 − 3q − p xi ≤ Thí dn (Verblunsky, 1950) Đieu ki¾n can đn đe đa thúc b¾c ba x3 + px2 + qx + > vói moi x ≥ 0, p, q so thnc p + q + ≥ pq + 6(p + q) + + 2(p + q + 3) > Thí dn (e thi chon tuyen Olympic Viắt Nam, 1994) Giá thiet rang đa thúc b¾c bon có bon nghi¾m dương Chúng minh rang phương trình − 4x x2 1− P (x) + − 4x P r(x) − P rr(x) = x2 có bon nghi¾m dương Thí dn (Olympic Hungari, 1979) Đa thúc P (x) có b¾c khơng lón 2n Biet rang vói moi so nguyên k ∈ [−n, n] bat thúc |P (k)| ≤ đưoc thóa mãn Chúng minh rang vói moi so x ∈ [−n, n] ta có bat thúc |P (x)| ≤ 22n Nh¾n xét Nhung ví du cho thay moi quan h¾ giua h¾ so cna đa thúc nghi¾m cna nó, mơ tá thơng qua bat thúc Qua có the hieu sâu sac ve đa thúc nghi¾m cna Theo chỳng tụi, õy l mđt cỏch tiep cắn hay lý thuyet đa thúc Vì v¾y tơi chon đe tài làm đe tài lu¾n văn cao hoc Mnc đích nghiên cNu Tìm hieu trình bày tong quan ve bat thúc liên quan đen h¾ so nghi¾m cna đa thúc Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu lý thuyet đa thúc van đe liên quan Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Đa thúc Pn(z) Pham vi nghiên cúu: Các báo tài li¾u liên quan đen quan h¾ giua nghi¾m cna đa thúc h¾ so cna đa thúc Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien thúc công cu cna giái tích, hình hoc giái tích giái tích phúc đe tiep c¾n giái quyet van đe Thu th¾p nghiên cúu tài li¾u có liên quan, đ¾c bi¾t báo mói ve van đe mà lu¾n văn đe c¾p tói Đóng góp cúa lu¾n văn Lu¾n văn đưoc viet chn yeu dna Chương (trang 85-172) cna cuon sách [12], có tham kháo thêm tài li¾u khác Xây dnng lu¾n văn thành mđt ti liắu tong quan v tham khỏo tot cho sinh viên hoc viên cao hoc, giáo viên hoc sinh ve bat thúc liên quan đen quan h¾ giua h¾ so cna đa thúc nghi¾m cna Bo sung hồn hai chương bán tháo b® sách Phương trình đa thúc cna tác giá PGS TS Ta Duy Phưong Chương Bat thNc liên h¾ giĐa h¾ so nghi¾m cúa đa thNc đai so 1.1 Bat thNc vái đa thNc b¾c thap Muc trình bày ket q bán cho đa thúc vói b¾c khơng q bon, vói tính chat cna chúng tính dương, tính đơn di¾p, Hơn nua, ta xét mó r®ng tương úng cho đa thúc có b¾c cao 1.1.1 Bat thNc vái tam thNc b¾c hai Đ%nh lý 1.1.1 (Moser Pounder, 1962) Neu ax2 + bx + c m®t tam thúc b¾c hai vói h¾ so thnc có nghi¾m thnc, a+b+c≤ max {a, b, c} Bài toán thú v% đưoc Dixon tong quát hóa thành: Đ%nh lý 1.1.2 (Dixon) Neu P (x) = anxn + an n−1 −1x + · · · + x + a0 a1 l mđt a thỳc bắc n vói h¾ so thnc chí có nghi¾m thnc, n ak ≤ An max ak ak ≤ Bn max ak 0≤k≤n 0≤k≤n k=0 0≤k≤ n đây, hang so An Bn xác đ%nh bói cơng thúc: , s (n + = n An = Bn = n s, 1) Cn n−s s s (s + 1) Cn(n − Tiep theo ta có s) Đ%nh lý 1.1.3 Neu P (z) = az2 + bz + c mđt tam thỳc bắc hai vúi cỏc hắ so phỳc khác khơng nghi¾m cúa phái nam đĩa đóng |z| ≤ b + c (1.1.1) a b ac Th¾t v¾y, ta có 4ac √ y , b − 4ac = |b| ∆ = + ≤| 1− b2 b| b2 √ 2ac 2ac = |b| + ∆ ≤ |b| b b V¾ y b √ ∆ |z| = − ± 2a ≤ 2a b + c 2a b 2a b c + = .+ a b b Bat thúc (1.1.1) đưoc chúng minh Schoenberg xét toán cnc tr% thú v% sau Đ%nh lý 1.1.4 (Schoenberg, 1960) Kí hi¾u F t¾p tat cá đa thúc thnc P (x) = ax2 + bx + c khơng âm [−1; 1] thóa mãn ieu kiắn 11 P (x) dx = Khi −1≤x≤1 ChNng minh max P (x)= P ∈F De dàng kiem tra đưoc rang cá ba đa thúc 1 (1 + x) , P1 (x) (1 − x) , P (x) 2 = = (x) = P3 x2 − đeu nam t¾p F Th¾t v¾y, hien nhiên, Pi(x) ≥ vói ∀x ∈ [−1, 1] i = 1, 2, Hơn nua, ¸1 ¸ P (x)dx −1 = = 1 (1 −1 + x) dx = 1; (1 + x) −1 ¸1 ¸1 P (x)dx −1 (1 − x) dx −1 = = 1; = − (1 − x) ¸ ¸ −1 = P3(x)dx −1 = x 34 −1 − x dx − = 1 −1 Chúng tó Pi ∈ F , i = 1, 2, .x Vói moi x (−1 ≤ x ≤ 1) ta có (xem hình 1) P2(x) vói − ≤ x ≤ − ; max {P1 (x) , P2 (x) , P3 (x)} P3(x) vói − ≤ x ≤1; 3 = P1 (x) vói + 13 ≤ x ≤ Chúng tó max −1≤x≤ {P1 (x) , P2 (x) , P3 (x)} ≥ Đang thúc xáy chí x = ±31 Suy max P (x) ≥ vói P ∈ F −1≤x≤ M¾t khác, vói moi tam thúc b¾c hai P (x) = ax2 + bx + c có Vì b1 ≥ 0, khơng mat tính tong quát, có the chuan hóa (2.4.2) bang cách giá sú rang b1 = Th¾t v¾y, b1 = chí có the xáy S (θ) tri¾t tiêu Cho ≤ θ ≤ π Moi đa thúc sin không âm có the viet lai dưói dang n sin kθ S (θ) = (sin θ) bk sin θ k=1 é đây, = sin θP (cos θ), P (cos θ) + a1 cos θ + · · · + an−1 cos (n − 1) θ (2.4.3) = đa thúc cơsin khơng âm b¾c n − H¾ so tương úng cho bói cơng thúc 2bk = ak−1 − ak+1 (an = an+1 = 0) Sú dung bieu dien Fejér – Riesz cho đa thúc (2.4.4) lưong giác khơng âm, đa thúc P (cos θ) có the viet dưói dang P (cos θ) = c0 + c1eiθ + · · · + −1ei(n−1)θ vói cv cn hang so thnc Theo (2.4.3), (2.4.4) (2.4.5), h¾ so bk dang tồn phương cna c0, c1, , cn−1 Như v¾y, bk = Φk (c0, c1, , cn−1) n−1 Đ¾c bi¾t : b1 = Φ1 (c0, c1, , cn−1) = n−3 (a0 − a2 ) cv − = cvcv+2 v=0 v=0 Theo ket cna Rogosinski Szeg˝o cho đa thúc b¾c n b1 (= 1), ta đ¾t B (k, n) = bk B¯ (k, n) = max bk Neu đa thúc sin S (θ) dương khống (0, π), đa thúc n S (π − θ) = k−1 (−1) bk sin kθ k=1 có tính chat tương tn Hơn nua B (k, n) = − B¯ (k, n) k so chan Ngoài ra, đa thúc (S (θ) + S (π − θ)) = b1 sin θ + b3 sin 3θ + · · · khơng âm Khi n so chan đa thúc có b¾c toi đa n − Ta thay: B (k, n) = B (k, n − 1) , B¯ (k, n) B¯ (k, n − 1) , klé, nchan = M¾c dù Rogosinski Szeg˝o đe c¾p đen hai tính tốn lí thuyet B (k, n) B¯ (k, n), ho chí thu đưoc công thúc hien cho b2 , b3 bn−1, bn Ta có Đ%nh lý 2.4.4 (Rogosinski Szeg˝o) Cho S (θ) m®t đa thúc sin khơng âm khống (0, π) cho bói (2.4.2) b1 = Khi cos n lé n+ 2π |b2| ≤ cos θ0 n chan ó θ0 nghi¾m dương nhó nhat cúa phương trình sin (n + 4) (n + 2) (n + 4) + (n + 2) = θ θ sin Hơn nua, ta có: 2π π − cos m+3 ≤ b3 ≤ + cos m+3 ( chan), 2π − cos θ1 ≤ b3 ≤ + cos ( lé), m + ó m = n−1 θ1 nghi¾m dương nhó nhat cna phương trình (m + 4) sin (m + 2) θ + (m + 2) sin (m + 4) θ = Cho k = n − k = n, Rogosinski Szeg˝o thu đưoc n−1 |bn−1| ≤ 1, − n+3 n−2 − ≤ n+2 ≤ bn−1 ≤ 1, |bn| ≤ bn ≤ 1(n so lé) n (n so chan) n+2 Cuoi cùng, Rogosinski Szeg˝o xác đ%nh đưoc giá tr% lón nhat cna S (θ) cho θ co đ%nh khoáng (0, π): S (θ) ≤ max {An (θ) , Bn (θ)} (n so lé) 74 S (θ) ≤ max {Cn (θ) , Dn (θ)} (n so chan) é An (θ) = Bn (θ) = Cn (θ) = (n−3) /2 4sin θ cot θ 2sin2θ Dn (θ) = 4sin θ tan θ ((n + 2) sin θ − sin (n + 2) θ) , ((v + 3) sin (v + 1) θ (v + 1) sin (v +−3) θ) v=0 (v + 1) (v + 3) (n−2)/2 (v + 1) sin (v + 2) θ) − , (v + 1) (v + 2) ((v + 2) sin (v + 1) θ v= (n−2)/2 ((v + 2) sin (v + 1) θ + (v + 1) sin (v + 2) θ) 2 2sin θ , (v + 1) (v + 2) v=0 Đ¾c bi¾t, θ = 0, + 2b2 + 3b3 + · · · + nbn ≤ 2.5 24 (n + 1) (n + 2) (n + 3) (khi n lé) 24 n (n + 2) (n + 4) (khi n chan) Bat thNc liên quan đen mơmen h¾ so cúa đa thNc côsin không âm Cho Cn (θ) = n ρk,n cos kθ ≥ (n ∈ N) + k= m®t đa thúc cơsin khơng âm b¾c n, vói hang so Fourier (2.5.1) 75 ρk,n = π ¸ π Cn (t) cos kt dt (1 ≤ k ≤ n) ρ0,n = 1, ρk,n = (k > n) Mơmen đai so mơmen lưong giác cna chí so α ≥ đưoc đ%nh nghĩa tương úng sau: An (α) = ¸ tαCn (t) dt, π π Tn (α) = π ¸ π t α sin Cn (t) dt Theo sn chuan hóa (2.5.1), tat cá mơmen đeu dương An (0) = Tn (0) = Dưói trình bày m®t so bat thúc ve mơmen đai so lưong giác đưoc biet h¾ so Fourier cna đa thúc lưong giác dang (2.5.1) Đ%nh lý 2.5.1 (Stark) Vói α, β ≥ ta có: Tn (α + β) ≤ 2β Tn (α) , An (α + β) ≤ πβ An (α) , π α Tn (α) Tn (α) ≤ An (α) ≤ Hai bat thúc đau tiên suy tù đ%nh nghĩa Bat thúc lai de dàng suy tù θ 0≤ ≤ π θ θ ≤ sin 2 (0 ≤ θ ≤ π) Đ%nh lý 2.5.2 (Stark) Vói α ≥ ta ln có: Tn (α) 76 Tn (α + 1) Tn (α − 1) ≤ Tn (α) Tn (2α) Tn (2α + ≤ Tn (2α − 2) 2) Tn (2α) Các bat thúc van ta thay Tn bang An Các bat thúc đưoc chúng minh dna vào bat thúc CauchySchwarz- Buniakowsky Đ¾c bi¾t, ta có , , Tn (1) ≤ Tn (2)vàTn (2) ≤ Tn (4) Quan h¾ ngưoc chúa h¾ so Fourier cho mơmen lưong giác vói chí so chan dưói đúng: m Tn (2m) = k+1 (−1) m ), k=1 Cm−k (1 − ρk,n) (m = 1, 2, 76 k − ρk,n = k m+1 Tn (2m) (k = 1, 2, ) (−1) C2m m=1 k+ m k+m M®t so trưòng hop đ¾c bi¾t (khi m = 1, 2, 3): Tn (2) = (1 − ρ1,n) , Tn (4) = (3 − 4ρ1,n + ρ2,n) , Tn (6) = (10 − 15ρ1,n + 6ρ2,n − ρ3,n) m− Neu − ρ1,n ƒ= vói moi n ∈ N Bm (k) = Q k − v2 v= k − ρk,n = k2 − − ρ1,n m=2 m (−1) (2m )! Bm (k) · Tn (2) Tn (2m) Đoi vói chí so phân so cna mơmen lưong giác, Stark chúng minh Đ%nh lý 2.5.3 Neu < α ≤ 1) α α α−1 (1 − ρ1,n) ≤ Tn (α) ≤ 2 (1 − ρ1,n) , α α−1 2) 3) 2α−2Tn (2) ≤ Tn (α) ≤ [Tn α(2)] , 4) ó P = n α−2 (1 − ρ1,n ) Pn ≤ Tn (2 + α) ≤ (1 − nρ1,n ) P , α Tn (4) ≤ Tn (2 + α) ≤ [Tn (2)] 1−ρ2,n 1− α [Tn (4)] , Đang thúc xáy trưòng hopα = 1−ρ1,n Ta có bat thúc tong quát sau cho đa thúc (2.5.1) Đ%nh lý 2.5.4 Vói Cn (t) ≥ ta có: − ρk,n ≤ k2 (k = 2, 3, ) − ρ1,n kx ChNng minh Sú dung bat thúc sin sin x ≤ k, ta có: kt sin (k ∈ N, t ∈ R) 2 sin2 t ≤k (2.5.2) M¾t khác, kí hi¾u qk (t) = k2 (1 − cos t) − (1 − cos kt) Vói moi t ∈ R ta có qk (t) = − cos t k2 (1 − cos t) = kt 2sin2 − k2 − − cos t 2 sin kt ≥ 2 t sin Khi đó, qk (t) Cn (t) đeu dương, kéo theo: ¸ π qk (t) Cn (t) dt = (1 − ρ ) − (1 − ρ ) kn 1n ≤2 k2 π Tù suy (2.5.2) Stark phát hi¾n bat thúc − ρk,n = − π ¸ π k2 Cn (t) cos kt dt ≥ c (1 ≤ k ≤ n) (2.5.3) n2 Cn (θ) đa thúc cơsin b¾c n chuan khơng âm cho bói (2.5.1) Stark thiet l¾p (2.5.3) vói hang so c = π Becker Stark chúng minh bat thúc − cos θ ≥ 2π2 θ ≤ π ≤θ (2.5.4) De thay bat thúc trưòng hop đ¾c bi¾t cna bat thúc 2 sin απ θ 1 − cos θ ≥ αθ Khi đó, đ¾t θ = π π kπ 3n ≤ 3n ≤ ≤θ (1 ≤ k ≤ n) De thay, ≤ ≤ π (0 ≤ θ ≤ 2απ; < α < 1) khiα = n suy n ([kn ]+2) k Như v¾y, (2.5.4) suy π k k2 − cos ≥ [n/k] + 2π2 θ ≥ · n2 Khi đó, dna vào bat thúc bán cna Egerváry-Szász- Szeg˝o π |ρk,n| ≤ cos n k +2 , (1 ≤ k ≤ n) ta có (2.5.3) đieu phái chúng minh Ket q đưoc phát bieu dưói dang Đ%nh lý 2.5.5 Đong thòi vói moi k, n ta có bat thúc cho h¾ so Fourier k2 |ρk,n| ≤ − n2 (1 ≤ k ≤ n) · Hang so c = khơng the thay bói mđt so lún hn Ket luắn Trờn õy l ton bđ nđi dung luắn cna tụi vúi đe tài “ Moi quan h¾ giua h¾ so nghi¾m cúa đa thúc qua bat thúc” Lu¾n văn trình bày tong quan ve bat thúc đa thúc đai so lưong giác, chn yeu dna tài li¾u [1], [12], có tham kháo thêm tài li¾u khác (các sách, tap v ti liắu trờn Internet) Nđi dung c bỏn cna lu¾n văn gom hai chương: Chương trình bày tong quan ve bat thúc đa thúc đai so Chương trình bày tong quan ve bat thúc đa thúc lưong giác Lu¾n văn đat đưoc nhung đieu sau đây: Đưa nhìn bán tong quan ve bat thúc đa thúc Ket noi nghi¾m cna đa thúc h¾ so cna đa thúc qua bat thúc hay Đưa ket mó có tính chat phát trien, tao đieu ki¾n đe nghiên cúu phát trien thêm M®t phan nhó cna lu¾n văn có the làm cú lý thuyet vắn dung e giỏi quyet mđt so bi cỏc kỳ thi Olympic Toán quoc te (IMO) Hy vong đe tài lu¾n văn se đưoc giáo viên, sinh viên hoc sinh quan tâm Tài li¾u tham kháo [1] Ta Duy Phưong, Phương trình đa thúc(Bán tháo), 134 trang [2] T Andreescu and Z Feng (2001), 101 Problem in algebra from the training of the USA IMO team, AMT [3] J M Ash and M Ganzburg (1999), An extremal problem for trigonometric polynomials, AMT [4] T Craven and G Csordas (1982), On the number of real roots of polynomials, Pacific Journal Of Mathematics, Vol 102, No [5] D K Dimitrov (2002), Extremal Positive Trigonometric Polynomi- als, Universidade Estadual Paulista [6] P Erd˝os, F Herzog and G Piranian (1945), Polynimals whose zeros lie on the unit circle, Duke Math J 22, 347-352 [7] P Erd˝os and I Niven (1948), On the roots of a polynomial and its derivative, Bull Amer Math Soc 54, 184-190 [8] G H Hardy, J E Littlewood, G Pólya (1934), Inequalities, Cambridge [9] A Lupa¸s (1977), Inequalities for the roots of a class of polynomials, Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz No 577 – 598, 79-85 [10] E Makai (1971), A property of Dirichlet’s kernel, Vol II, Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz No 357 – 380, 5558 [11] R B Manfrino, J A G Ortega, R V Delgado (2009), Inequalities A Mathematical Olympiad Approach, Birkhauser [12] G V Milovanovi´c, Dragoslav S Mitrinovi´c, Themistocl¯es M Ras- sias (1999), Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros, World Scientific Publishing [13] D S Mitrinovi´c (1970), Analytic Inequalities, Springer, BerlinHeidelberg-New York [14] D S Mitrinovi´c, E S Barners, D C B Marsh, J R M Radok (1964), Elementary Inequalities, P Noordhoff Ltd – Groningen [15] D S Mitrinovi´c, J E Peˇcari´c, A M Fink (1993), New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Publ [16] A Negut (2005), Problems for the mathematical olympiads, Gil Publishing House [17] Bl Sendov, A Andreev and N Kjurkchiev (1994), Numerical Solution of Polynomial Equations (trong b® sách Handbook of Numerical Analysis), Vol III, 1994, P G Ciarlet and J L Lions Eds., Elsevier Science [18] S Verblunsky (1950), A theorem on quartic polynomials, Duke Math J 17, 507-510 [19] J Dieudonné (1931), Recherches sur quelques problèmes relatifs aux polynomes et aux functions bornées d’une variable complexe, Ann Ecole Norm Sup (3) 48, 247-358 ... trình bày tong quan ve bat thúc liên quan đen h¾ so nghi¾m cna đa thúc 3 Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu lý thuyet đa thúc van đe liên quan Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Đa thúc Pn(z)... cNu Đoi tưong nghiên cúu: Đa thúc Pn(z) Pham vi nghiên cúu: Các báo tài li¾u liên quan đen quan h¾ giua nghi¾m cna đa thúc h¾ so cna đa thúc Phương pháp nghiên cNu Sú dung kien thúc cơng cu cna... Xây dnng luắn thnh mđt ti liắu tong quan v tham kháo tot cho sinh viên hoc viên cao hoc, giáo viên hoc sinh ve bat thúc liên quan đen quan h¾ giua h¾ so cna đa thúc nghi¾m cna Bo sung hồn hai
Ngày đăng: 18/02/2018, 05:48
Xem thêm:
