Mối quan hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức qua các bất đẳng thức

1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bảng các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Bất đẳng thức liên hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức đại số 7 1.1. Bất đẳng thức với đa thức bậc thấp . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Bất đẳng thức với tam thức bậc hai . . . . . . . . 7 1.1.2. Bất đẳng thức với đa thức bậc ba . . . . . . . . . 10 1.1.3. Bất đẳng thức với đa thức bậc bốn . . . . . . . . 12 1.2. Một số tam thức quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Bất đẳng thức với đa thức có các nghiệm thực . . . . . . 21 1.4. Bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của đa thức . . . . 35 1.5. Bất đẳng thức với đa thức không âm . . . . . . . . . . . 42 1.6. Bất đẳng thức liên quan đến hệ số của đa thức . . . . . . 44 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2 Bất đẳng thức liên hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức lượng giác 54 2.1. Bất đẳng thức về tổng lượng giác . . . . . . . . . . . . . 54 2.2. Bất đẳng thức với chuẩn L p . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3. Bất đẳng thức cho nhân Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 68 2.4. Bài toán cực trị trong các đa thức lượng giác . . . . . . . 70 2.5. Bất đẳng thức liên quan đến mômen và hệ số của các đa thức côsin không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo - PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tôi làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè cùng học. . . , đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Nguyễn Đình Quang 3 Bảng các ký hiệu R Tập hợp số thực. C Tập hợp số phức. |z| ≤ 1 Tập hợp các số phức z có môđun nhỏ hơn hoặc bằng 1. |z| < 1 Tập hợp các số phức z có môđun nhỏ hơn 1. C k n Tổ hợp chập k của n phần tử hay là n! k!(n−k)! . [x] Phần nguyên của số thực x. P (x) Đa thức P cho bởi công thức tương ứng với biến số x. P n (z) Đa thức P bậc n, biến số z. 4 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trước tiên ta xét một số ví dụ đơn giản sau đây Thí dụ 1 (Schoenberg, 1960) Kí hiệu F là tập tất cả các đa thức thực P (x) = ax 2 + bx + c không âm trên đoạn [−1, 1] thỏa mãn điều kiện  1 −1 P (x)dx = 1. Khi đó min −1≤ξ≤1  max P ∈F P (ξ)  = 2 3 . Thí dụ 2 (Định lí Sturm về nghiệm của phương trình bậc ba) Phương trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 với các hệ số thực a, b, c có ba nghiệm thực x 1 , x 2 , x 3 khi và chỉ khi −4a 3 c + a 2 b 2 + 18abc − 4b 3 − 27c 2 ≥ 0. Thí dụ 3 (Rao, 1966) Nếu cả ba nghiệm x i , i = 1, 2, 3 của đa thức P(x) = x 3 + px 2 + qx + r với các hệ số p, q, r là thực thì x i ≤ 2  p 2 − 3q − p 3 . Thí dụ 4 (Verblunsky, 1950) Điều kiện cần và đủ để đa thức bậc ba x 3 + px 2 + qx + 1 > 0 với mọi x ≥ 0, trong đó p, q là các số thực và p + q + 3 ≥ 0 là pq + 6(p + q) + 9 + 2(p + q + 3) 3 2 > 0. 5 Thí dụ 5 (Đề thi chọn đội tuyển Olympic Việt Nam, 1994) Giả thiết rằng đa thức bậc bốn có bốn nghiệm dương. Chứng minh rằng phương trình 1 − 4x x 2 P (x) +  1 − 1 − 4x x 2  P  (x) − P  (x) = 0 cũng có bốn nghiệm dương. Thí dụ 6 (Olympic Hungari, 1979) Đa thức P (x) có bậc không lớn hơn 2n. Biết rằng với mỗi số nguyên k ∈ [−n, n] bất đẳng thức |P (k)| ≤ 1 được thỏa mãn. Chứng minh rằng với mọi số x ∈ [−n, n] ta có bất đẳng thức |P (x)| ≤ 2 2n . Nhận xét Những ví dụ trên cho chúng ta thấy mối quan hệ giữa các hệ số của đa thức và các nghiệm của nó, mô tả thông qua các bất đẳng thức nào đó. Qua đó chúng ta có thể hiểu sâu sắc hơn về đa thức và nghiệm của nó. Theo chúng tôi, đây là một cách tiếp cận hay trong lý thuyết đa thức. Vì vậy tôi chọn đề tài này làm đề tài luận văn cao học. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu và trình bày tổng quan về các bất đẳng thức liên quan đến hệ số và nghiệm của đa thức. 6 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết đa thức và các vấn đề liên quan. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đa thức P n (z). Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến quan hệ giữa nghiệm của đa thức và hệ số của đa thức. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, hình học giải tích và giải tích phức để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Đóng góp của luận văn Luận văn được viết chủ yếu dựa trên Chương 2 (trang 85-172) của cuốn sách [12], có tham khảo thêm các tài liệu khác. Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học, giáo viên và học sinh về các bất đẳng thức liên quan đến quan hệ giữa hệ số của đa thức và nghiệm của nó. Bổ sung và hoàn chỉnh hai chương trong bản thảo bộ sách Phương trình đa thức của tác giả PGS. TS. Tạ Duy Phượng. 7 Chương 1 Bất đẳng thức liên hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức đại số 1.1. Bất đẳng thức với đa thức bậc thấp Mục này trình bày các kết quả cơ bản cho đa thức với bậc không quá bốn, cùng với các tính chất của chúng như tính dương, tính đơn diệp, . . . Hơn nữa, ta cũng xét các mở rộng tương ứng cho các đa thức có bậc cao hơn. 1.1.1. Bất đẳng thức với tam thức bậc hai Định lý 1.1.1. (Moser và Pounder, 1962) Nếu ax 2 + bx + c là một tam thức bậc hai với các hệ số thực và có các nghiệm thực, thì a + b + c ≤ 9 4 max {a, b, c}. Bài toán thú vị trên được Dixon tổng quát hóa thành: Định lý 1.1.2. (Dixon) Nếu P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + ··· + a 1 x + a 0 là một đa thức bậc n với các hệ số thực và chỉ có các nghiệm thực, thì n  k=0 a k ≤ A n max 0≤k≤n a k và min 0≤k≤n a k ≤ B n max 0≤k≤n a k 8 . Ở đây, các hằng số A n và B n xác định bởi các công thức: A n = (n + 1) n C s n (n − s) n−s (s + 1) s , B n = 1 C s n , s =  n 2  . Tiếp theo ta có Định lý 1.1.3. Nếu P(z) = az 2 + bz + c là một tam thức bậc hai với các hệ số phức khác không thì nghiệm của nó phải nằm trong đĩa đóng |z| ≤     b a     +    c b    . (1.1.1) Thật vậy, ta có    √ ∆    =     b 2 − 4ac    = |b|       1 − 4ac b 2      ≤ |b|  1 +     4ac b 2     hay    √ ∆    ≤ |b|  1 +     2ac b 2      = |b| +     2ac b     . Vậy |z| =      − b 2a ± √ ∆ 2a      ≤     b 2a     +     b 2a     +    c b    =     b a     +    c b    . Bất đẳng thức (1.1.1) được chứng minh. Schoenberg đã xét bài toán cực trị thú vị sau đây. Định lý 1.1.4. (Schoenberg, 1960) Kí hiệu F là tập tất cả các đa thức thực P (x) = ax 2 + bx + c không âm trên [−1; 1] thỏa mãn điều kiện  1 −1 P (x) dx = 1. Khi đó min −1≤x≤1  max P ∈F P (x)  = 2 3 . Chứng minh 9 Dễ dàng kiểm tra được rằng cả ba đa thức P 1 (x) = 1 2 (1 + x) , P 2 (x) = 1 2 (1 − x) , P 3 (x) = 3 4  1 − x 2  . đều nằm trong tập F. Thật vậy, hiển nhiên, P i (x) ≥ 0 với ∀x ∈ [−1, 1] và i = 1, 2, 3. Hơn nữa,  1 −1 P 1 (x)dx =  1 −1 1 2 (1 + x) dx = 1 4 (1 + x) 2    1 −1 = 1;  1 −1 P 2 (x)dx =  1 −1 1 2 (1 − x) dx = − 1 4 (1 − x) 2    1 −1 = 1;  1 −1 P 3 (x)dx =  1 −1 3 4  1 − x 2  dx = 3 4  x − x 3 3     1 −1 = 1. Chứng tỏ P i ∈ F , i = 1, 2, 3. Với mỗi x (−1 ≤ x ≤ 1) ta có (xem hình 1) max {P 1 (x) , P 2 (x) , P 3 (x)} =          P 2 (x) với − 1 ≤ x ≤ − 1 3 ; P 3 (x) với − 1 3 ≤ x ≤ 1 3 ; P 1 (x) với + 1 3 ≤ x ≤ 1. Chứng tỏ max −1≤x≤1 {P 1 (x) , P 2 (x) , P 3 (x)} ≥ 2 3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = ± 1 3 . Suy ra max −1≤x≤1 P (x) ≥ 2 3 với P ∈ F . Mặt khác, với mọi tam thức bậc hai P (x) = ax 2 + bx + c chúng ta có P  1 3  = a 9 + b 3 + c; P (−1) = a − b + c;  1 −1 P (x) dx =  1 −1  ax 2 + bx + c  dx =  1 3 ax 3 + 1 2 bx 2 + cx      1 −1 = 2a 3 +2c. Do đó với mọi tam thức bậc hai P (x) = ax 2 + bx + c thuộc tập F ta có: P  1 3  = 2 3  1 −1 P (x) dx − 1 3 P (−1) = 2 3 − 1 3 P (−1) ≤ 2 3 . 10 Do đó max P ∈F P  1 3  = 2 3 hay min −1≤x≤1 max P ∈F P  1 3  = 2 3 . Vậy min −1≤x≤1 max P ∈F P (x) = 2 3 . Điều phải chứng minh. Nhận xét 1.1.1 Bài toán Schoenberg có thể được giải quyết bằng cách biểu diễn của các đa thức không âm trên đoạn [−1, 1] dưới dạng P (x) = (ax + b) 2 +  1 − x 2  c 2 (a, b, c ∈ R) 1.1.2. Bất đẳng thức với đa thức bậc ba Định lý 1.1.5. (Rao, 1966) Cho a i , i = 0, 1, 2 là những số thực. Nếu tất cả ba nghiệm x i , i = 1, 2, 3 của phương trình P (x) = x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 (*) là những số thực thì chúng phải thỏa mãn bất đẳng thức x i ≤ 2  a 2 2 − 3a 1 − a 2 3 (**). Chứng minh (Losey) Để đưa đa thức về dạng chuẩn Q(y) = y 3 + py + q, ta đặt y = x − λ hay x = y + λ. Khi ấy: P (x) = (y + λ) 3 + a 2 (y + λ) 2 + a 1 (y + λ) + a 0 = y 3 + py + q = Q (y) . So sánh hệ số hai vế ta được λ = − a 2 3 , p = 3a 1 −a 2 2 3 và q = a 0 − a 1 a 2 3 + 2 a 3 2 27 . Ta thấy p và q là những số thực vì a i , i = 0, 1, 2 là những số thực. Suy ra  − p 3 = √ a 2 2 −3a 1 3 . Do đó, nếu nghiệm x i , i = 1, 2, 3 của đa thức P (x) là những số thực và x i ≤ 2 √ a 2 2 −3a 1 −a 2 3 thì nghiệm của đa thức Q (y) cũng là những số thực và y i = x i − λ = x i + a 2 3 ≤ 2 √ a 2 2 −3a 1 3 = 2  − p 3 . Vì p và q là những số thực và y 1 ≥ y 2 ≥ y 3 là các nghiệm thực của Q(y) nên Q(y) = y 3 + py + q = (y − y 1 )(y 2 + y 1 y + y 2 1 + p). Từ đó ta thấy: [...]... giỏc ca gúc Bi toỏn xỏc nh giỏ tr ln nht ca n l bc ca a thc (1.1.3) luụn luụn tho món bt ng thc (1.1.4) trờn hai bỏn kớnh tng ng ca a n v hoc trờn hai tia t gc ta dng nh l mt vn thỳ v 1.2 Mt s tam thc quan trng Chỳng ta bt u vi kt qu ỏng chỳ ý sau: Vi mi s thc x v s chn n bt k luụn cú: Q (x) = xn nx + n 1 0 (1.2.1) ng thc xy ra khi v ch khi x = 1 Chng minh Nu x 0 ta cú Q (x) > 0 Xột x > 0 : Theo... ), (1.3.17) i=1 õy p, q, r l cỏc s nguyờn khụng õm, p + q + r = n > 0 v x l mt s thc Cho P v x nh ngha nh sau : 1 P = max |P (x)| , x = 1x1 n r pq+ xi i=1 S lng p, q v x khụng hon ton c lp vỡ da vo quan h |xi | 1 ta cú 2p 2q x1 n n a ra hm s (, ) à (, ) vi 1 + à (, ) = (1 + + )1++ (1 + )1+ (1 + )1+ (1 )1 vi 0 , , + 1, Elbert thu c cỏc kt qu sau: nh lý 1.3.11 Cú mt a thc dng (1.3.17)... P (x) = a Tm (x) m (a > 0) v m chia ht n, õy Tm l a thc Chebyshev loi 1 bc m xỏc nh bi cụng thc Tm (x) = cos (m arccos x) (1 x 1) D thy, khi thay a = 1 v m = 2 ta c nh lớ 1.3.15 1.4 Bt ng thc liờn quan n nghim ca a thc n Nu zv = v + iv (v = 1, , n) l cỏc nghim ca a thc P (z) = av z v , Ostrowski ó chng minh cỏc bt ng thc sau õy cho tt c v=0 cỏc giỏ tr thc ca x: v =0 v =0 1 v 2 P (x) P (x) P (x)2 . mọi số x ∈ [−n, n] ta có bất đẳng thức |P (x)| ≤ 2 2n . Nhận xét Những ví dụ trên cho chúng ta thấy mối quan hệ giữa các hệ số của đa thức và các nghiệm của nó, mô tả thông qua các bất đẳng thức. cứu: Đa thức P n (z). Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến quan hệ giữa nghiệm của đa thức và hệ số của đa thức. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công. cứu Tìm hiểu và trình bày tổng quan về các bất đẳng thức liên quan đến hệ số và nghiệm của đa thức. 6 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết đa thức và các vấn đề liên quan. 4. Đối tượng và phạm