Mục lục
Mục lục Qui 1
Lời cảm ơn Q Q Q Q Q HQ ee 2
Bảng các ký hiệu 3
Mở đầu .Q Q QQ Q o 4 Chương | Bất đẳng thức liên hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức đại số 7 1.1 Bất đẳng thức với đa thức bậc thấp 7
1.11 Bất đẳng thức với tam thức bậchai 7
1.1.2 Bất đẳng thức với đa thức bậc ba 10
1.1.3 Bất đẳng thức với đa thức bậc bốn 12
1.2 Một số tam thức quan trọng 17
1.3 Bất đẳng thức với đa thức cĩ các nghiệm thực 21
1.4 Bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của đathức 35
1.5 Bất đẳng thức với đa thức khơng âm 42
1.6 Bất đẳng thức liên quan đến hệ số của đa thức 44
Phu luc 2.2 0.00.00 002 ee ee 52 Chương 2 Bất đẳng thức liên hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức lượng giác 54 2.1 Bất đẳng thức về tổng lượng giác 54
2.2 Bat dang thức với chuẩn” 63
2.3 Bất đẳng thức cho nhân Dirichlet 68
2.4 Bài tốn cực trị trong các đa thức lượng giác 70
2.5 Bat đăng thức liên quan đến mơmen và hệ số của các đa thức eơsin khơng âm co 74 Kết luận 79
Trang 2Luận văn được hồn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS TS Ta Duy Phượng
Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo -
PGS TS Tạ Duy Phượng, người đã luơn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tơi trong suốt quá trình tơi làm luận văn
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phịng Sau Đại học, các thầy cơ giáo trong nhà trường, các thầy cơ giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong quá trình học tập và nghiên cứu
Tơi bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè cùng học ,
đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành bản luận
văn này
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Trang 3Bảng các ký hiệu R Tập hợp số thực
Cc Tập hợp số phức
|z|<1 Tập hợp các số phức z cĩ mơđun nhỏ hơn hoặc bằng 1
jz] <1 Tập hợp các số phức z cĩ mơđun nhỏ hơn 1
ck Tổ hợp chập k của nø phần tử hay là Tu CĐ [x] Phần nguyên của số thực z
P(x) Da thức P cho bởi cơng thức tương ứng với bién sé z
Trang 41 Lí do chọn đề tài
Trước tiên ta xét một số ví dụ đơn giản sau đây
Thí dụ 1 (Schoenberg, 1960)
Kí hiệu # là tập tất cả các đa thức thực P(z) = az? + bz + e khơng âm trên đoạn [—1, I] thỏa mãn điều kiện 1) P(z)dz = I Khi đĩ
i PQ) =
tec: Per 3
Thí dụ 2 (Định lí Sturm về nghiệm của phương trình bậc ba)
Phương trình
+3 + az? + b# +e= 0
với các hệ số thực a,b,e cĩ ba nghiệm thực #,#¿,#s khi và chỉ khi —4a3e + a?b? + 18abe — 4b3 — 27c? > 0
Thi du 3 (Rao, 1966)
Nếu cả ba nghiệm #z;, ¡ = 1,2,3 của đa thức P(z) = #z” +p#z?+qg#+r với các hệ số p, g, r là thực thì
< 2Vp°~ 3q =P x < 3
Thí dụ 4 (Verblunsky, 1950)
Điều kiện cần và đủ để đa thức bậc ba #3 + p#z? + q# + 1 > Ú với mọi z >0, trong đĩ p, ø là các số thực và p+ qø+ 3> 0 là
> 0
wie
Trang 5Thí dụ 5 (Đề thi chọn đội tuyển Olympic Việt Nam, 1994)
Giả thiết rằng đa thức bậc bốn cĩ bốn nghiệm dương Chứng minh
rằng phương trình l1—-4z +2 | mộ) P'(x) — P"(x) =0 Pie) (0- x cũng cĩ bốn nghiệm dương Thí dụ 6 (Olympic Hungari, 1979)
Đa thức P (+) cĩ bậc khơng lớn hơn 2ø Biết rằng với mỗi số nguyên k€[—n,n] bất đẳng thức |P(E)| < 1 được thỏa mãn Chứng minh rằng với mọi số z € [—n,n] ta cĩ bất đẳng thức
|P(x)| < 2”
Nhận xét
Những ví dụ trên cho chúng ta thấy mối quan hệ giữa các hệ số của đa thức và các nghiệm của nĩ, mơ tả thơng qua các bất đẳng thức nào
đĩ Qua đĩ chúng ta cĩ thể hiểu sâu sắc hơn về đa thức và nghiệm của
nĩ
Theo chúng tơi, đây là một cách tiếp cận hay trong lý thuyết đa
thức Vì vậy tơi chọn đề tài này làm đề tài luận văn cao học
2 Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu và trình bày tổng quan về các bất đẳng thức liên quan đến
Trang 6Tìm hiểu lý thuyết đa thức và các vấn đề liên quan
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đa thức P„(2)
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến quan
hệ giữa nghiệm của đa thức và hệ số của đa thức
5 Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và cơng cụ của giải tích, hình học giải tích và
giải tích phức để tiếp cận và giải quyết vấn đề Thu thập và nghiên cứu
các tài liệu cĩ liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề mà luận
văn đề cập tới
6 Đồng gĩp của luận van
Luận văn được viết chủ yếu dựa trên Chương 2 (trang 85-172) của cuốn sách [12], cĩ tham khảo thêm các tài liệu khác
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học, giáo viên và học sinh về các bất
đẳng thức liên quan đến quan hệ giữa hệ số của đa thức và nghiệm của nĩ
Trang 7Chương l1
Bất đẳng thức liên hệ giữa hệ số và
nghiệm của đa thức đại số
1.1 Bất đẳng thức với đa thức bậc thấp
Mục này trình bày các kết quả cơ bản cho đa thức với bậc khơng quá
bốn, cùng với các tính chất của chúng như tính dương, tính đơn diệp,
- Hơn nữa, ta cũng xét các mở rộng tương ứng cho các đa thức cĩ bậc
cao hơn
1.1.1 Bất đẳng thức với tam thức bậc hai
Dinh ly 1.1.1 (Moser va Pounder, 1962) Néu ax? + bx +c 1a mot tam
thức bậc hai với các hệ số thực và cĩ các nghiệm thực, thì
9
a+b+c< q max {a,b,c}
Bài tốn thú vị trên được Dixon tổng quát hĩa thành:
Dinh ly 1.1.2 (Dixon) Néu P(x) = a,x" + ay_yx"7! + + + ar + ay
là một đa thức bậc n với các hệ số thực và chỉ cĩ các nghiệm thực, thì So a < A, max a, va min a, < B, max a;
Trang 8A), = — mn+UỤ Đụ — + s— đ
Œ?(nT— s)””(s+ 1) Cs 2
Tiếp theo ta cĩ
Định lý 1.1.3 Nếu P(z) = az° + bz + c là một tam thức bậc hai với
các hệ số phức khác khơng thì nghiệm của nĩ phải nằm trong đĩa đĩng b |z|< P| + Fl a b (1.1.1) Thật vậy, ta cĩ 4ac
|VA|= |v1= 4ae|= iol) 1-4] < bị 1+
hay 2ac 2ac < |b] (1 b|+ v4 pl (1+ |) = Le Vay b VA b c b| Je = |-— 4+ 7°) < |= — -|=l- “| lzl 2a 2a | |2a + 2a b a + b Bất đẳng thức (1.1.1) được chứng minh
Schoenberg đã xét bài tốn cực trị thú vị sau đây
Dinh ly 1.1.4 (Schoenberg, 1960) Ki hiéu F 1A tap tat ca cdc da thitc
thuc P(x) = ax* + be + c khơng âm trên [—1;1] thỏa mãn điều kiện
Ji, P (a) dx = 1 Khi đĩ
2
min (mạn 2) ==
Trang 9Dễ dàng kiểm tra được rằng cả ba đa thức
(1 —#°)
P.ø) = (132) P,(2)=5 (1-2), P; (x) = | co đều nằm trong tập F
Thật vậy, hiển nhiên, P„(z) > 0 với Vz € [—1, 1] và ¡ = 1,2,3 Hơn nữa,
J}`,P)dz = J ` ,‡(L+z) dx '
Jo, Po(a)de = ska _ a) de <B>
1) P(x)dae = [ ,Ÿ (1— z?) dz
{ah 1 13 13 1
Chứng tỏ P, € F, i= 1,2,3 Hinh 1
Với mỗi z (—1 < z < 1) ta cĩ (xem hình 1)
ll elo Z 8 | %|5, NY P(x) véi —l<z<-g; max {Pi (ø), P›(z).Pi(z)} =4 Píø) với —1<z<1:
| nơ với +>„<#<1
Chứng tỏ max {P, (x) , Po (x) , Ps (x)} > 2
=l<z<
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = +3
Suy ra max P(r) > 2 voi Pe F
-l<a<l
Mặt khác, với mọi tam thite bac hai P(x) = ax? + bz + e chúng ta cĩ
1 b
"(;) =g+s+%P(=1) =a-—b+c
' P(x) dz = ty (ax? + ba + c) dz = | —a#Ẻ + —b#ˆ + cx 1, 1, ‘24 = —+2c
-1 -1 3 2 “4 3
Do đĩ với mọi tam thite bac hai P(x) = ax? + br +c thuoc tap Ƒ ta cĩ:
1 2 2
Trang 10Do đĩ max P max P (5) = 3 hay min max P (5) = 5 =2hay min max P (4) =2 Vay min max P (x) = l Điều phải chứng minh
~1<z<1 PeF
Nhận xét 1.1.1
Bài tốn Schoenberg cĩ thể được giải quyết bằng cách biểu diễn của các
đa thức khơng âm trên đoạn [—I, 1] dưới dạng P(z) = (az +b)” + (L— z?) (a,b,c € R)
1.1.2 Bất đẳng thức với đa thức bậc ba
Định lý 1.1.5 (Rao, 1966) Cho a¿, ¡ = 0,1,2 là những số thực Nếu tất cả ba nghiệm z;,¡ = 1,2,3 của phương trình
P(#) = #` + asz? + aiz + ao =0 (*)
là những số thực thì chúng phải thỏa mãn bắt đẳng thúc
< 2\/a3 — 3a) — ay (**),
~ 3
Chứng minh (Losey) Để đưa đa thức về dạng chuẩn
T¡
Q(0) = 1° + pụ + q,
ta đặt — z — À hay z =—= -+A Khi ấy:
P(x) = (w+ À)” + as(w + À)” + ai (w + À) + ag= gŸ + pụ + q= Q0)
So sánh hệ số hai về ta được À = — An Sm và q = dụ — “0% + 952, Ta thay p và q là những số thực vì ø;, 7 = 0,1,2 là những số thực Suy ra /- = ~ =—
Do đĩ, nếu nghiệm z;,¿ = 1,2,3 của đa thức P (z) là những số thực và < 2V⁄a3—3ai—a¿
= 3
U¿ = đi — À =1, +7 <~ TV SH — 2 /—
Vì p và q là những số thực v va Y1 > Yo Sy 1a là các nghiém thuc cia Q(y)
Lj thi nenien¢ của đa thức ° (y) citing la nhitng s6 thuc va
nén
Qy =" +pyta=(y-wWly + my + yi +P):
Trang 11e Hai nghiệm cịn lại 12; của Q() là các nghiệm thực của phương trình bậc hai ÿ” + + + gu +p = 0 Suy ra A= y? —4(y? +p) > 0,
hay yj < —48, tiie la yy < 2\/- Py a ni = San Vậy
ay 2 as — 3a, — a2
nh nan
Suy ra
2\/a5 — 3a; — ay
3 3
tức là cả ba nghiệm của phương trình (*) thỏa mãn bất đẳng thức
e Nếu P(z) chỉ cĩ đúng một nghiệm thực, thì Q() cũng cĩ đúng một LMS
nghiệm thực, tức là A = gÿ — 4(wƒ + p) < 0 hay yÿ > —'"
Như vậy trong bài tốn ban đầu ta cĩ thể nĩi rằng: Hoặc tất cả ba
nghiệm của (*) là thực và chúng thỏa mãn bất đẳng thức (**) hoặc (*)
chỉ cĩ một nghiệm thực là z¡ thỏa mãn bất đẳng thức
2
, va =3ar = a2)
1> ¬————
Định lý 1.1.6 (Verblunsky, 1950) Điều kiện cần và đủ để đa thức bậc ba z”+p+?+qg#-+1 > 0 với mọi z > 0, trong đĩ p € ]R, ạC€ ]R, p+rq+3 > 0
là:
wie
pq +6(p+q) +9+2p+q+3): > 0
Định lý 1.1.7 (Wrona, 1966) Xét đa thức thực bậc ba: P(z) = + +
pz + q với các nghiệm +, #a,+3 Đặt
t5 I]
4”
d = min {|#ị — #a|,|#› — #3|, |#a — #4|}› D= +?
1) Nếu D = 0 thì d= 0;
Trang 123) Nếu D > 0 và p >0 thì /p< d< \[p+ 12:
4) Nếu D > 0 và p< 0 thì v3V=†~ v=p< d<9\|p+3W12
1.1.3 Bất đẳng thức với đa thức bậc bốn
Đối với đa thức thực bậc bốn, ta cĩ:
Định lý 1.1.8 (Mafisk) Cho P (#) = aạ#* + 4aizở + 6aa#° + 4as# + dạ
là đa thức cĩ các hệ số thực với ag > 0, |aa| + |a4| > 0 Đặt E = aga, + 305 — 4a,as,
S = aga, + 20143,
F= aya3 + aiay + a3 = AjA2a4 — 2a) 4243,
D= E® — 27F",
R= S? — 9agazay
Khi đĩ P khơng âm khi và chỉ khi D > 0 cùng với một trong các điều
kiện sau
R<0 va a, > 0 hoặc l < Ú và — agay < 2a,a3 < 2agay Xét đa thức bậc bốn
P (2) = agx* + aya? + aga” + a3x + ay thỏa mãn diéu kién P(x) > 0 véi moi x > 0
Dễ thấy, khi do ta phai c6 ay > 0 va ay > 0 Dat x = ct voice = ¢/% Khi ấy đa thức P (z) cĩ thể đưa về đa thức bậc bốn @ () với hệ số của lũy thừa bậc bốn bằng 1 Vì vậy Verblunsky đã xét đa thức dạng
P(#) = z* + a#3 + br? + c# + 1 (1.1.2)
Định lý 1.1.9 (Verblunsky) Đặt
(b— v12 + b2 — 3ac)
=9_-ÀA ` CC sa U
Trang 13L=L(b) =(p—4) Vb+2p—2-(a+c);
va
32(b — 2) với b > 6
M(b) =
| (b+ 2)? voib <6
Da thitc (1.1.2) théa man diéu kién P (x) > 0 vdi moi x > 0 nếu một và
chỉ một điều kiện sau được thỏa mãn:
1) a>0,c>0,b+2+2Vac > 0;
2) a>0,c>0,b+2+2Vac <0,Ù< 0; 3) œ<0,c<0,b<0,M(0) > 8ac,b+ 2 > 0;
4)
P(z)= h ('-‡): (1.1.3)
với các điểm +; nằm trên đường trịn đơn vị Ở trong mặt phẳng phức Cohen đã chứng minh được rằng trên một số đường Ƒ' nối gốc tọa độ với
C, bất đẳng thức |P.(z)| < 1 luơn đúng trừ điểm z = 0 Một thời gian
sau Ơ Lowener đã thiết lập một đa thức (1.1.3) cĩ tính chất: Trên mọi
bán kính của đĩa đơn vị luơn tồn tại một điểm mà tại đĩ |P(z)| > 1
Trong khi đĩ, Erdưs, Herzog, và Piranian cũng đã thảo luận câu hỏi sau
day: Tén tại hay khơng hằng số L sao cho uới mọi đa thức (1.1.3) bat đẳng thức |P{(2)| < L đúng trên một đường nối gốc tọa độ tới Ở nà cĩ
chiều đài lớn nhất là L?
Erdưs, Herzog, và Piranian giải quyết câu hỏi này với đa thức (1.1.3)
trong trường hợp n < 4 và thu được kết quả sau |6]
Định lý 1.1.10 Cho P(z) = [|] (z— z,), với |z„| = 1 Với n < 4, tồn
val
tai hai gid tri 6’ va 0" sao cho với < r < +œ ta cĩ
Trang 14Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh (1.1.4) cho trường hợp n = 3 va n = 4
Trường hợp ø = 1 và ø = 2 bất đẳng thức (1.1.4) dé dang thỏa mãn
Trường hợp n = 3: Gọi œ, Ø,+ là ba gĩc tạo bởi các bán kính 0z„, với
2->œ>j8>x~>0vàa+8+>*x=2m Suy raa > 2
Ching minh sy t6n tai cia 6’: Dé chttng minh sự tồn tại của Ø', ta
ip
dat 2) =1, 2 =e’, 2; =e Ta sé chitng minh rang |P (r)| < |L— r3|
với <r < +œ Thật vậy, vì
JP(r)|= |L- rị V1 — 2rcos 8 + r?V1 — 2rcos+ + r? nên ta chỉ cần chứng minh
A'=(I=z} —|P()Ÿ
=(I-r} [2r (1+ 7°) (1+ cos 8 + cosy) +r? (1 — 4cos 8 cos 7)| > 0
Ta cĩ: 8 9 9
—^ wT +y 20
< — <—-<=— <——— — 1.1
OSD Sas gOS QS > (1.1.5)
nên
1 + cos Ø + cos = " LTeo TT = 0
Suy ra
A’ > (1 —r)? [4 (1 + cos 8 + cos 7) + 1 — 4c0s 8 cos 9]
=r(1— ry 9 — Lésin? sin? 2 2 Sử dụng (1.1.5), ta được 8~*+ 8+1” 2 — 2cos 0-< asin S sin 2 = 200s <3,
và vì vậy giá tri 6’ = 0 thỏa mãn tính chất địi hỏi
Trang 15, =e? VA 2 = el(=*9) Ta sé chi ra rang|P (r)| > jo 2 trên Đặt z¡ =e 1+? với 0 <r< +oœ Nếu œ>z thì |P(r)| > (1+ ry? > ltr’
Phần cịn lại của chứng minh œ sẽ nằm trong khoảng = <a< 1 Khi dé: Dat t = cos 5, suy ra cos 2 = 4ƒ — 3f và < £ <
Vir S$ +8 < 8, tacé |r — 25] 2 [r— 3e#
1 5
Do do |P(r)| > (1 — 2rt +r?) [1 = 2r (488 — 38) + rẺ]?
Suy ra
A" = (1 —2rt +r°)? [1 — 2r (48 — 3t) 47°] — (147°)?
là khơng âm với 0 < r< œ và 0< f <š
Từ đĩ ta cĩ A“= Air (1+?!) + 4¿r? (L+r?) + 4sr?, trong đĩ
A, = 2t(1—4t?) >0; Ay = (1-4?) (3-80?) >0; As = —24-4t+8t°—-328°
Do đĩ, A” > r? (2Ay + As) > 0
Trudng hgp n = 4: Goi a, 6,7, 6 theo thit tu 1A bén gĩc khơng âm tạo bởi các bán kính Ĩz, v6ia+6+y+6 = 2n
Chứng minh sự tồn tại của 6: Giả sử a, 8, 7,6 da dude chon sao cho ++ỗ< Đặt z¡ = 1, z¿ = cổ, z; = ci†4) = e 12) z —e ”,, Ta sẽ chỉ ra rằng IP(r)| < |L— r!| với 0 <r < +œ Ta cĩ |r — zi| = |1—r| và |r — z¿|<1+r Do 0< ð<z—+< nên ta cĩ bất đẳng thức = |r +e] |r— z| < |: — =3)
Hơn nữa |(r — z) (r — z)| < |r? — e729] < 147°
Suy ra điều phải chứng minh
Chứng minh sự tồn tại của 6“: Chọn œ,đ,+,ðổ tương tự như trên
Giả sử
Trang 16Đặt z¡ —€?”, zv=€°, 2z = ci+5), Zy =e (G+), Từ (1.1.6) ta nhận được
aoa a a
——=<_-+ỏ<— < = 1.1.7
TZ SQtresSgtesttys (1.1.7)
Ta chia ra hai trường hợp :
e Nếu œ > ta chứng minh |P(r)| > 1+r với U <r< œ
— Với œ > ø ta cĩ điều phải chứng minh
— Với § Sa < ø và = 3,4, từ bất đẳng thức (1.1.7) ta cĩ
|r — z„| > r — eứ=3)| = |r+z¡{:
Suy ra
|P(r)|> |r— ziÏ|r + z4 = |r”— z"Ÿ = 1-2r’? cosatr’ > 1+r* e Nếu œ < ÿ ta chttng minh |P(ir)| > 1+r* v6i0 <r <oo
Thật vậy, từ (1.1.7) ta cĩ
li” — z| > lir — c1) = li +z|
Do đĩ
|( — z) ( — z)| > |r? + {| > (1 + 2r? cosa + ry?
Tương tự,
\(ir — 21) (ir — )| = (L+ 2r” cosø + rye,
Suy ra |P(ir)| > 14+2r?cosa+r’ > 147% Dinh lí đã được chứng
minh
Nhận xét 1.1.2 Trong trường hop nø = 4 bất đẳng thức |P(z)| > 1
Trang 17cĩ P ()| = V3 < 1 Thậm chí cho phép tính liên tục, ta thấy rằng
nếu œ > Ø > + > 65> 0 thì bất đẳng thức |P(z)| > 1 khơng nhất thiết
thỏa mãn tại mọi điểm trên đường phân giác của gĩc œ
Bài tốn xác định giá trị lớn nhất của øœ là bậc của đa thức (1.1.3) luơn
luơn thoả mãn bất đẳng thức (1.1.4) trên hai bán kính tương ứng của đĩa đơn vị hoặc trên hai tia từ gốc tọa độ dường như là một vấn đề thú
vi
1.2 Một số tam thức quan trọng
Chúng ta bắt đầu với kết quả đáng chú ý sau:
Với mọi số thực œ uà số chăn n bất kù luơn cĩ:
Q(z)=z”—nz+øm—1>0 (1.2.1)
Đẳng thúc xảụ ra khi uà chỉ khi œ = 1
Chứng minh Nếu z < 0 ta cĩ Q(z) >0 Xét z >0:
Theo qui tác dấu Descartes, đa thức Q khơng thể cĩ nhiều hơn hai nghiệm dương Vi Q (1) = Q’ (1) = 0 nén Q c6 mot nghiém kép x = 1
Vậy z = I là nghiệm thực duy nhất của Q Bat đẳng thức (1.2.1) được chứng minh
Bất đẳng thức trên cĩ thể được sử dụng như là điểm xuất phát trong quá trình tìm kiếm các bất đẳng thức khác Thí dụ, Dilcher, Nulton và
Stolarsky da xét tam thức
m
T(z) = mã" — nạ” + n — 1m, n>m>0, (1.2.2)
và bất đẳng thức tương ứng 7'(z) > 0 khi 0 < z < 1
Chẳng hạn, khi ta thay z bởi (=) ” với ụ># >0 và ” = À, ta thu được
bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân cĩ trọng số (AG)
Trang 18Dilcher, Nulton va Stolarsky đã nghiên cứu sự phân bố nghiệm của đa
thức (1.2.2) Dưới đây là các kết quả của họ
Cho đường trịn C = {z€C | |z]}=1} va ki hiéu gced(m,n) là ước
chung lớn nhất của hai s6 nguyén m va n
Dinh ly 1.2.1 (Dilcher, Nulton va Stolarsky) Gia stta > b > 0 là các
so thuc van > m > 0 IA cdc 86 nguyén Khi đĩ số nghiệm của tam thức P (z) = bz" — az" +a—b nam han trong C lA m—ged(m,n) néu ¢ > 2
và là mm nếu TS
Hệ qua 1.2.1 Néun > m > 0 là hai sỗ nguyên nguyên tố cùng nhau thì tam thức T{z)trong (1.2.3) cĩ m — 1 nghiệm nằm hẳn bên trong Œ
và m — mm — 1 nghiệm nằm hẳn bên ngồi C và một nghiệm kép z = 1 trên Œ
Cho n > 3 thì nghiệm của oy nằm trong các hình vành khăn sau:
(a) Với ma = 1:1+(n— 9)" < |z|< |2(n— 1|"; (b) Với 2 < m < n — 2: =L 1 2n 1 1 2n ` | <lz|< nin {2 (n — m)|*=",1 + " \ †›ì — THY m TH 7ì — TH (e) Với m = œ — 1: [2(ø— 1)]*=t < |z|<1—(m— 1)” Đặt = 1, bất đẳng thức AG (1.2.3) rút gọn thành 1—À+Az—z*®>0,0<z<1,0<À<l (1.2.4)
Thay ø bởi e! ta được đa thức hàm số mũ P (£) = I— À+ Àe! — e*, Tiếp tuc thay e’ béi (1+ £)", khi đĩ P() cĩ dạng
t n At Tì
P()=1-A4a(1+ 4) - (+)
n n
Cuối cùng, với biến mới z = 1 + " ta cĩ đa thức
Trang 19dần đến về trái của (1.2.4) khi — +œ
Kết quả sau đây cho ta thấy khi giá trị ø nhỏ (phụ thuộc À), sự phân
bố các nghiệm của đa thức Q„ (z) khơng phụ thuộc vào X
Định lý 1.2.2 Nếu 0 < À < 1 là một số thực bắt kì cho trước, thì đa
thức Q„ (z) = Àz"+1—À—(Àz+1—À)” vơ nghiệm bên trong đường
tron don vi C khin < = +1
Dinh ly 1.2.3 (Dilcher, Nulton và Stolarsky) Nếu À cho trước và n đủ
lớn, thì đa thức Q„(z) = Àz" +1 — À— (Az~+1—À)” cĩ nghiệm bên
trong đường trịn Œ khi và chỉ khi À khơng là nghịch đảo của một số nguyên dương
Brannan đã nghiên cứu tính đơn điệp (univalence) của họ đa thức phụ thuộc tham số £ dạng 3 (z) = z + asz? + tzỶ trong đĩa đơn vị, với f
là số thực dương
Định lý 1.2.4 (Brannan) Với 0 < † < }, tam thức P; (z) là đơn diệp
trong |z| < 1 khi va chi khi ay nim trong ellipse
2 2
x + y <1
(<3) (3) <1]:
Trong khi d6, vdi + < t < š, tam thức P; (z) đơn diệp trong |z| < 1 khi
E3,:=
và chỉ khi a¿ nằm trong giao N20 t<0<3 E,„„của họ các ellipse
2 2
x y 1
+ <
(=,) (4) <1
Để chứng minh dinh li nay, Brannan đã sử dụng tiêu chuẩn Dieudonné
Egy i= {rruec sau đây
Định lý 1.2.5 (Dấu hiệu Dieudonné)
Đa thức P(z) = z + a¿z? + - + a,z" là đơn diệp trong |z| < 1 khi và
chỉ khi với mọi giá trị 0 € [0,5] đa thức liên kết
sin 20 sin nd 4
6) =1 lod pees zt
Trang 20khơng triệt tiêu trong |z| < 1 Khi 0 = 0, ð(z,8) cĩ thể hiểu là P,' (z) Dinh lí 1.2.4 cũng được tìm ra bởi Cowling và Royster bằng một cách
khác Trong khi đĩ, Ruscheweyh và Wirths, Rahman và 5zynal đã xét tam thức tổng quát hơn là
P(z)=2+Qnz" + „z?"~!, với mm € ĐN\ {1}, a„,Ø„ € C
Dinh ly 1.2.6 (Rahman và Szynal) Gia sit P (z) = z+a,2™+t2""!,
với t là số thực đương va a, € C Néu
_ 1+ tSom_2 (u) 1— tSam—2 (u)
Sint (u) Sm—1 (u)
, Ở đây Sj, (wu) 1a da thitc Chebyshev loai 2 bac k, thi P (z) don diệp trong
mién |z| <1 khi va chi khia,, ném trong giao Dn = (),, Emu Cla cdc
Am (0) va By (u) =
ellipse
Pe ye
Enuti=\/crtiyeC a+ xs S17, OSust
sở A„(u) By (1)
Thay m = 2, ta thu được Định lí 1.2.4 cha Brannan
Để chứng minh Định lí 1.2.6, Rahman và 5zynal sử dụng các bổ đề sau Bổ đề 1.2.1 Nếu P(z) =1+az+bz? (bE R, a €C) khong triét tiêu
trong mién |z| < 1 thi a nam trong ellipse
2 2 x ——— | <lpvới— 1< Ùb< y a l (r5) +(4) S ha <”< e Nếu b = I thì a€ [—2;2] t:= {rte e Néu b= —1 thi a € [—2¡; 2]
Bồ đề 1.2.2 Nếu P(z) = z + a„z" + đ„z?"=1 don diép trong mién
|z|< 1 thì
2p (z) =1+ Am 2} + Bn2r~? z 0
Trang 21Rahman và Waniurski đã xét tam thức bất kì dạng z + a„z” +
n
Anz" (m<n)
Định lý 1.2.7 (Rahman va Waniurski) Tam thie f, (z) = z—aaz?+t2!, ( véi ag € R, 0<t < +) don diép trong mién |z| < 1 khi va chi khi
$(1+4t), neud<t< 4, (l—4t) <a, < (3(29* — 49, nếu ‡ <t< ‡(‡)°), 2| — ¬= ((4t)~' — 4t), néu 3()') <‡†<}† Nie
Dinh ly 1.2.8 (Rahman va Waniurski) Tam thitc
: 1
fil) =2-4322 + tz" (0<:<3)
đơn diệp trong miền |z| < 1 khi và chỉ khi a; € Go, ở đây Gụ là miền xác định bởi đường cong + () = e~”* + 4te* và chứa gốc tọa độ
1.3 Bất đẳng thức với đa thức cĩ các nghiệm thực Trong mục này chúng ta chỉ xét các đa thức mà tất các các nghiệm của chúng đều là số thực
Dinh lý 1.3.1 (Peyser) Cho P(z) = (œ— zi) -(œ— #„), ở đây
Z4, ,®„ là các số thực thỏa mãn z„ < z;.¡với mọi k = 1, ,m — 1
Đặt
P'(a) =n (a= yi) +++ ("= Yur)
VỚI # S Yp S Cpa, VA Avy = Vey — 2p, kK = 1, ,n —1 Khi do, voi
k=1, ,n—1 tacé:
Ax, Ax,
oO eye _
ThE Te = MES Pe k+1 (1.3.1)
Trang 22Hệ quả 1.3.1 Nghiệm y (1 < k <n— 1) của P' thỏa mãn bất đẳng thức #y + n < yy, < eye — A n
Điều này cĩ nghĩa là mỗi nghiệm y, khong thể bằng z¿ hoặc z¿¡ và khoảng cách giữa z;và #;„¡ lớn hơn 4, Đánh giá này khơng phụ thuộc vào chỉ số k mà nĩ chỉ phụ thuộc vào bậc của đa thức P
Ap dụng khác của (1.3.1) là:
1) ị luơn nằm trong nửa đầu của khoảng đầu tiên hay là y, < “3 2) „ luơn nằm trong nửa khoảng thứ hai của khoảng cuối cùng hay
Ln-1 + Ly
Yn = Ụ 2
Định lý 1.3.2 (Marik) Nếu đa thức
n—k
Tì +
chỉ cĩ nghiệm thực thì
ay 2 Ap-14K41 (k= 1, ,2— 1)
va
4 (az — +») l — An 414k+3) > (dy:idi.-s — dyd 3) 5
với mọi k = 0,1, ,m — 3
Định lý 1.3.3 (Olds và Starke) Nếu các nghiệm của phương trình
aye” — Chaya" | + CPag a”? — + + (-1)"a, = 0, (1.3.3) là dương và phân biệt thì
Ay > OAs
với mọi p,q,r, s sao cho p+ q=r + s và |p — q| < |r — sỊ Đặc biệt,
Trang 23Jolliffe đã xét đẳng thức (1.3.3) khi øạ = 1 và chứng minh được ø„? >
a„_a,.¡, với điều kiện các nghiệm là những số thực
Fransén và Lohne đã chứng minh một bất đẳng thức đơn giản sau:
Cho da thúc thực
P(x) = apt" + aya! Fe + Gy 10 + On (aoa, # 0),
tới tất củ các nghiệm x1, ,€n, déu dudng, ta cé:
Q1An-1 > nề
đo,
Thật vậy, dựa vào bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
Tì n 1
An-1 Ay
Gn ao k=1 k=l Tr
nhân ta cĩ:
Dinh ly 1.3.4 (Constantinescu) Cho P(r) = S}ayz" và Q(z) =
k=0
m
S2 by¿+* là hai đa thức với hệ số thực với tất cả các nghiệm là thực và
k=0
a„ >0, bm > 0 Néu các nghiệm đơi một khác nhau thì với mm = ta cĩ
A, 1Ù > drbp—† (k = 1, wy) >
và với ?n = 0 — | ta cĩ
đy 1Ùy < dyÐy_ 1 (k = Ì, ,T — 1) :
Bat dang thitc sau cho ta thay méi lién hé gitta P (x), P’ (x) va P” (x)
là các đa thức với nghiệm thực:
Nếu tất cả các nghiệm của đa thức thực P (z) bậc ø là thực thì
(n — 1) P'(x)? — nP (x) P" (x) > 0
Gọi z„ (u = 1, ,m) là tất cả các nghiệm của đa thức P bậc n Ding
đạo hàm logarit cho đa thức ?, ta cĩ:
n
P(x)? — P(x) P" (x) = P(x) ` !
Trang 24Nếu P là đa thức với nghiệm thực thì ta được bất đẳng thức Laguerrc:
P(z)}— P(z)P"(z)>0 (œeR)
Dilcher và Stolarsky đã nghiên cứu chỉ tiết về nghiệm của đa thức đặc
biệt
Q(x) = P(x)’ — P(x) P" (2)
Cho P(z) là đa thức thực bậc n với các nghiệm thực 2, ,2, va cho là
các nghiệm của đạo hàm / sao cho #ị < : < #„ Và ị < - < „-ạ
Khi đĩ, đặt
(n— l)& = (x) + +++ 4+ 2,) — £5
va
(n — 2) m = (Yr +++ + Yn-1) — Yes Popoviciu đã chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 k 1 k-1 pln 2-1 Yous val v=1 1 n 1 n-1 } » Ly S E1 » Yos (1.3.4) “=n—R+1 0=n—k+1 1 n 1 n-1 =2„0() > ——Tồ ow), v=l n— v=l 1 n 1 n-1 — 2 o(&) SD om), v=1 v=1 ở đây z — ĩ(z) là một hàm lồi
Nếu nghiệm của đa thức P khơng âm và A4 = 4 (a +-++++ 2), G = ( tn)", thi
G<(&-&)" <A va
2 2 2
Trang 25với ¡ = Ì, ,m — và k=¡+l1, ,n
Cho P (x) = z"+øiz"~†+as#"~®+ -+a„_1# + a„ là một đa thức thực
với các nghiệm thực z+, ,#„ Đặt a l« #Z= —— = — n n (1.3.5) v=l va A =D, = (n—1) a,’ — 2nay = » (z¡ — z;)Ÿ 1<i<j<n n 2 n n 2 =n » (x,—#) =n » #2 — (>: 2) (1.3.6) v=l1 0=l 0=l
Nếu ai và a›¿ là các số thực cố định, thì ký hiệu một lớp các đa thức như trên là P,, (a), a2) Nhu vay ta co thé thay Z và A là các đặc trưng chung
đối với các đa thức trong nhĩm trên
Với đa thitc 4 Ft) ta GĨ:
Dy = » (¿— #;)” = ( n—1) 5» =zz]~(Š»—s) ;
l<i<j<n
1j#k
tức là, D„_¡ = “+A — m(z,— #)”, ở đây, # và A tương ứng cho bởi (1.3.5) và (1.3.6) Vì D„_¡ > 0 nên
1
|>z„ — #| < n (n-1)A, (1.3.7)
tức là, tất cả các nghiệm của da thức P đều nằm trong đoạn
I= |z- „ví =ĐA, z+ Vn= ĐA
Giả sử #ạ, „_¡ là các nghiệm của đạo hàm, Lupas đã khẳng định:
Trang 26va n-1 MA „7/0 Yo) S (n= 1)’ (1.3.9) ie sẽ aT yr %)
ở đây ƒ : T — IR là hàm số cĩ đạo hàm cấp hai liên tục thỏa mãn m< ƒ (z)<M (xe)
Đẳng thức xảy ra khi ƒ (z) = 32
Các bất đẳng thức trên đã được chứng minh bởi Milovanovié như sau:
Vì z,¿ € I (k = 1, ,n) nên , € Ï (k = 1, ,m — 1)
Nếu m < ƒ ”(z) < M (x € J) thi d(x) = f (x) — $mz? là một hàm lồi
trên
Sử dụng bất đẳng thức (1.3.4) và bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi, ta
cĩ thể viết
n n—1 n
Yo) - Low) =o) 2 (2),
vel v=l vel
tức là,
Như vậy, (1.3.10) quy về bất đẳng thức đầu tiên trong (1.3.8), với dấu bằng xảy ra khi ƒ () = 3”
Từ (1.3.4) ta thấy:
n-1
1 1 1 mA
SK (xy) ` (Yo) 2 > alt
Trang 27Đẳng thức xảy ra khi ƒ (z) = 32
Như vậy, bất đẳng thức đầu tiên trong (1.3.9) đã được chứng minh
Tuong tu, dit d(x) = —f (x) + 4M 2”, ching ta chitng minh duge bat
đẳng thức thứ hai trong (1.3.8) và (1.3.9)
Sử dụng điều kiện z¡ > z; > - > z„, Lupas đã cho một đánh giá sát
hơn so với (1.3.7)
Định lý 1.3.5 (Lupas) Nếu P € ?„(ai,aa) thì với k = 2, ,m — 1 ta co Ql + 3| 3 | ¬ LA 8 IA a + Sir Ss | = Gb 1 1 A #—-V(n— l)A <Sz„< #— ; n nVn—1 ~ 1 /&-DA_ <g+1 (n—k)A * n n—-kt1 7 >" n k >
Lupas cũng xét các cực trị của các phiếm hàm
o:P, (41,02) +R vam: P,, (1,42) —> R xác định bởi Ø(P) = mã — #„ va m(P)= min | (ti — 24), ở đây, P(z;) =0, 2) > a >-++ > ay
Người ta cịn gọi số ø (P) là span của đa thức P
Định lý 1.3.6 Véi moi P € P,, (a1, a2) ta co:
Trang 28Bất đẳng thức bên trái trở thành đẳng thức khi và chỉ khi
P) = P (z) = («- |) :- z2) , P q
Bất đẳng thức bên phải đạt được khi và chỉ khi
P(x) = P* (2) = (¿ — a) - 3) (a — 2)"
Cận trên trong (1.3.11) được tìm thấy bởi 3z.-Nagy và được khám phá lại bởi Popoviciu, ơng cũng phỏng đốn về sự tồn tại của cận dưới Bây giờ chúng ta sẽ trình bày chứng minh của Lupas cho Định lí 1.3.6 Chứng minh định lí 1.3.6 Dễ thấy hai đa thức P,, P* thuộc lớp các
đa thức ?„ (ø,ø;¿) Trước tiên ta chứng mỉnh rằng
/2A
max o(P)=o0(P*) =\/— (1.3.12)
PE Py (a1,02) n
Chúng ta xét A dưới dạng
A=n So (a, - 28) + nly — #„)”+2n(# — øi) (8 z„) (1.3.13)
v=2
Bởi vì (#— z¡)(#— #„) > —+(#i — Ip) = —†ø(P) và đẳng thức xảy
ra khi # = ote nén
tt (1.3.13) suy ra A > 2o(P)’, do đĩ ø(P) <\/*
Nếu P € P,, (a1, a2) c6 dang P (#) = (œ — #¡) (# — #„)(œ — #)""”thì xây
ra dấu bằng Dặt tên các thành phan trong P,, (a1, a2) chỉ gồm một dang
như trên là P* Cơng thức (1.3.12) chứng minh xong Để tìm cận dưới, ta xét A là hàm n biến #¡, ,z„ Ta cĩ
OA
Ox, ~
2n (x, —£) Gia sta, > - >a, > E> pa, DS Ly
Trang 29Mặt khác, k ¬ k) < pq với dẫu bằng xảy ra khi và chỉ khi k = p= [š ] hoic k = q = [ett nfl
A< mot PP
Cuối cùng, đặt P, chứa các thành phần trong ?„ (a¡,a;) chỉ gồm một
] Diéu nay cho phép ching ta khang dinh rang
dang (x — x) (« — an, k = p hoặc k = g Vậy thì
A min o(P)=oa(P,) =,4/—
Pe P,, (a1,a2) ( ) ( ) pq
Lupas nghiên cứn phiếm hàm m va thu được kết quả như sau:
Định lý 1.3.7 (Lupas) Nếu P € P„ (am,a¿) thì m(P) <S 4/3*
Tì
Dang thite xay ra khi P (x) = P* (x) = J] (z — mœ— "=3+l ¬ n n?—1
v=l
Robinson đã xét bài tốn xác định spøn lớn nhất của đạo hàm cấp k của các đa thức cĩ bậc z và cĩ đúng ø nghiệm thực, khi span của mỗi
đa thức đã được cho tự động Ở đây chỉ cần xét đa thức một biến với
nghiệm nằm trong đoạn [—1; 1] Khi đĩ tất cả các nghiệm của P#) đều nằm trong đoạn ấy
Bài tốn là hiển nhiên nếu ø > 2k + 2
Trong trường hợp này, ta đặt k + 1 nghiệm của P tại mỗi đầu mút + = +1, do đĩ Pử) sẽ cĩ nghiệm là hai đầu mút, và do đĩ nĩ cĩ spàn là 2
Nếu ø > 2k + 2 thì một vài nghiệm của P là tùy ý
V6i n = 2k +2 thi span cia o (P™) đạt cực đại chỉ khi P(x) = (2? _ là
Robinson đã xét trường hợp khơng tầm thường trong bài tốn này, tức là khi k+2 < n < 2k + 1, và ơng đã chứng minh rằng ø (P) cĩ thể
đạt cực đại chỉ khi tất cả các nghiệm của P ở tại các đầu mút x = +1,
tức là khi P(z) = (z — 1)”(z + 1) với p+ q = n
Trang 30Gọi ?„„ là một lớp các đa thức P(z) = e [[ (a — #,) với nghiệm thực
v=l Ly < %2 < < In
va o (P) = #„ — #¡ = 2s, ở đây 2s là một số dương cho trước
Khi đĩ, 5 ZS nếu n là số chẵn, max Ø (p- ) = Pc?,„ n+l k ` 4 12 ( 211, nếu n là sơ lẻ và (n-3) | 25 / =, néu n la s6 chan, max ơ|P“”~ ) = ( , Pc?,„ 3(n+1) £ ` 4 12
( —*——cos0,, nếu m„ là sơ lẻ
2 a — 1 2
6 day, 0, = 3 arcsin m-2vna
Bay giờ chúng ta xét bài tốn xác định spam nhỏ nhất của đạo hàm cấp
k của đa thức trong lớp ?„.„, tức là đi tìm
min o (P“) (k = 1, ,.n —2) (1.3.14)
PEP rs
Giá trị chính xác của (1.3.14) với mọi k đã được tìm ra bởi 5z.-Nagy Kết quả tương tự như vậy cũng được chứng minh bởi Meir và Sharma
Khi k = 1, Ahmad đã tìm ra một cận trên cho (1.3.14)
Dinh lý 1.3.8 Cho k = I1, ,n — 2, ta cĩ:
min z(P") =„(= TH), Pc?„„ n n=— (1.3.15)
và chỉ đạt được với các đa thúc cĩ dạng:
c{( — a)"? (tz —a)— s*) (acc R)
Trang 31Meir và Sharma kết luận rằng chỉ cần chứng minh (1.3.15) cho trường hợp k = 1 va n > 3 That vay, 4p dung (1.3.15) cho
PU-) (jf =1, ,k)
ta cĩ:
> (P”) So (Pe) (+) , (j =1, È),
cÁn)>en (Sim) canh 25 71):
với đăng thức xảy ra chi khi o (P’) = o (P) (= 2), Trước hết ta chứng
Do đĩ
minh (1.3.15) với k = 1, khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử ø = Ì và nghiệm của P € ?„¡ thuộc đoạn [—1; 1] Khi đĩ:
P(ø)= TT») ,„—l<#‡< -<z„ s < 1
Giả sử ị < - < 0„_¡ là nghiệm của P' Rõ ràng giá trị nhỏ nhất của
ø(P') khơng thể xảy ra nếu z¡ = —I1 và #„_; = 1 Từ định lí Rolle ta suy ra một trong hai điều sau:
(i) Ca y, va 0„_¡ là các nghiệm cực trị của phương trình
n-2
P'(y) = 2y + 1 = 0 1.3.16
Pty) yo ra (
(H) ị hoặc g„_¡ cố định, coi „_¡ = 1 và y; lA nghiém nhé nhat cia
(1.3.16)
Ta thấy giá trị nhỏ nhất của ø(P') khơng xảy ra trong trường hợp
#ị < #„-s Cụ thể trong trường hợp phân biệt giữa một phần ; đối với
z¡ trên siêu phẳng #¡ + #„_;¿ = const, ta cĩ (1.3.16)
dy, (1 2(y?+1)\ 1 1
mS z+ 24) —( 3ˆ
mm (1 — 2p) (m1 Yi — 21) (wi — Tạng)”
Trang 32Vi ị < #¡ < #„_¿ nên on > 0 Bang cách tương tự ta thấy trường hợp () cũng như trường hợp (i1) chỉ cĩ Pham <0, vi vay
Oo (P) = Set Ø„_¡ đụ <9,
Ox Or, Ox, <
Diéu này cho thấy khoảng cách nhỏ nhất chỉ xảy ra khi
Uy SH SH Mp2 = A, |a| < 1
Dựa vào P (z) = e(#? — 1) (& — œ)”ˆ, ta cĩ: z(p)=aj2-tm=3, Giá trị nhỏ nhất của hàm này xảy ra khi cho œ = 0
Giả thiết biết sự phân bố các nghiệm của các đa thức, Meir và Sharma đã chứng minh các kết quả sau:
Định lý 1.3.9 Giả sử ?} là lớp con của tất cả đa thức cĩ bậc n, với nghiệm z„,(u = 1, ,m) thỏa mãn điều kiện
n Ly > (0 =1, ,m), 3) #„ <n, và cho k <n — 2 v=l1 Khi đĩ, max Ø (P”) =n-—k Pepi
Giá tri lén nhat dat dugc chi khi P (x) = cx"~! (x — n), véic £ 0 1a mot hằng số tùy ý
Định lý 1.3.10 Giả sử ?? là lớp con của tất cả đa thức cĩ bậc n, với nghiệm #„ (0 = 1, ,m) thỏa mãn điều kiện 3) #ø} < n Nếu k < n — 9
v=l
thi
max 0
Pc??
(P”) _ on n= he \)
Ỏ đây giá trị lớn nhất đạt được chỉ khi các đa thức cĩ dạng
Trang 33với e # 0 là một hằng số tùy ý và Q là một đa thức cĩ bậc lớn nhất
bằng k — 1
Meir va Sharma đã nghiên cứu về span của tổ hợp tuyến tính của các
đạo hàm của đa thức Cụ thể, họ xét các tốn tử vi phân cĩ dạng:
k d ` z
h(D) =]] (D+a0,;)(D=—, ala hing sé i (D) II: + a;) ( qq’ © le hing so
với bài tốn xác định spøn lớn nhất của h(D)P(z) khi P € ”} và PC7? Khi tất cả œ; cùng dấu và P € P!, Meir va Sharma da chi ra n2
2,
các đa thức cĩ span lớn nhất của h (D) P cĩ dạng c(x — 1)?(a + 1)" , 6 day p+q=nvac la hang s6
Cho —1 < z¡ < - <z„ < 1 và cho P(z) là đa thức cĩ dạng
r
P(x) = (z~ 1J'{ +1)! - z0: (1.3.17)
i=1
ở đây p, q, r 1a cdc sé nguyén khong 4m, p+qg+r=n >0 vac lA mot
số thực Cho ||P|| và # định nghĩa như sau :
|PI= max |P(ø)|.£= (»- q+ ») n
Số lượng p, q và # khơng hồn tồn độc lập vì dựa vào quan hệ |z;| < 1
ta cĩ 2 2
-1+““<z<1-Ê+, n n
Đưa ra hàm số (œ, 9) > ð (œ, 8) với
(œ6) =(Eta+Ø)7720+a=Ø) 7® 70=<e+@) 01 =a=8)
với < œ,Ø,œ + 8 <1, Elbert thu được các kết quả sau:
Định lý 1.3.11 Cĩ một đa thức ở dạng (1.3.17) thỏa mãn bất đẳng
thúc 1 ,
P @\\2
IPl>s{a(2, 4)} nm nm
Trang 34Định lý 1.3.12 Nếu # > a với 0 < œạ < 1 thì
[Pll > sli (a0, 0)
Dấu bằng xảy ra khi vã chỉ khi ay = 1 hay lA p =n hoac q = n Dinh ly 1.3.13 Cho 2 sé p, q va |z| = aj Giả sử p < q khi đĩ:
|P|| =
afi (o/nay amy — a¿ (q/n)” — ae? } , khi g? — pỲ > a’n?
afi (Vou? + (win ay? + (p/n)? Fon) khi q? — p < a?n?,
Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi ay? = 1 — 2F
Trong trường hợp q < ø chỉ cần hốn đổi vai trị của p và q
Cho đa thức thực P bậc ø với tất cả các nghiệm thực dương
#„ (0 = 1, ,m), Aihara nghiên cứu dấu của biểu thức
n-1 n-2
Fn = — ¬> ` ` zy, m=0,1,2,
m m
ở đây „ (ø = I, ,m — 1) và z„(o = 1, ,m= — 2) tương ứng là nghiệm
của các đa thức P' và P”
Xét P(x) = 2" + a,2""! + aga"? + + +a)
Dé thay, tì = Fy = 0, va Hạ = —2¢,3 + 301 C2 — C3, ở đây
oo (v=1, ,n)
OR
Ta lay vi du P (x) = (2 — a) (a —b)""* (a, b > 0), ta thay, F, = 2( Do đĩ, F3 c6 thé bang khơng, dương hoặc là số âm
Cy
ab)? n
Bây giờ, ta xét biểu thức tổng quát sau
n—k m
Π`) [2] v=1
(k)
ở đây, z›ˆ (ø =1, ,m — k) là nghiệm của đa thức đạo hàm P#®) cấp k
D mp — k=0
kvap<n
Trang 35Dinh ly 1.3.14 (Aihara) D„„ = 0 vdim = 1,2, ,p
Dinh ly 1.3.15 (Erdés) Néu da thtte P(x) = c + ae +++: +
Crt", CoC, # 0, chỉ cĩ các hệ số nguyên và tất cả các nghiệm nằm
trong khoảng (—1; 1) thì |e„| > 2"
Tổng quát hơn, là kết quả của Reddy:
Định lý 1.3.16 (Reddy) Nếu
P(z) = Œ„ (% — #1) (& — #a)-©'(œ — #„), với n > 1,
cĩ tắt cả các nghiệm nằm trong đoạn [—1; 1] và thỏa mãn điều kiện
kr
|P (m%)| > a> 0, véin, = cos —,k = 0,1, ,m(m> 1) m
(m=1)n
thì |e,| >2 = a
Dấu bằng xảy ra khi P(z) = +a T„, ()“ (ø >0) và m chia hết n, ở
đây T„„ là đa thúc Chobyshov loại I bậc m xác định bởi cơng thúc
Tm (x) = cos(marccos rz) (—1 < # < 1)
Dé thay, khi thay a = 1 va m = 2 ta được Định lí 1.3.15
1.4 Bất đẳng thức liên quan đến nghiệm của đa thức
Néu z, = &, + im (v =1, ,n) là các nghiệm của đa thức P(z) =
S2 a„z", Ostrowski đã chứng minh các bất đẳng thức sau đây cho tất cả
v=0
các giá trị thực cha x:
» ( 1 ) 5 Re POP" (2) = P(e)’
n„#0 m P(x)’
LY Sp, Pin)’ = P (i) P'(ix)
Trang 36Ngồi ra, nếu „ # 0 hoặc €, # 0 ( = I, ,m) thì ta cĩ: > (4) > pro Po =P le) P(e)
v=1 Te P(a)
“ay P (ia) P"(iz) P'ø}
2 ( ) xi P(ix)? ,
Các bất đẳng thức này tương đương với
n 5 (1)/anen=2am v=l 1h 7 ao 0 và n IS 2aga› — ai” » (2) > gRe ate = a ; a v=l , 0
Định lý 1.4.1 (De Bruijin) Cho đa thúc P (z) bậc n > 1, cĩ các nghiệm
Zi, vZ„ Và 10Ị, ,t0„_+ là các nghiệm của đa thức đạo hàm P' (z)
EKhi đĩ ta cĩ: n-1 n 1 1 „| S— wl A — Dd |Imw,| < — 97 [Im 2,| (1.4.1) v=1 v=1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi phần thực của tat cä các nghiệm của
P() bằng nhau
Bruijn và Springer đã mở rộng Định lí 1.4.1 cho trường hợp tổng quát nhất, cụ thể cho các đa thức tùy ý với hệ số thực hoặc phức Để làm
được điều này, họ đã đưa ra một hàm số phụ là P* (z) nhận được từ P(¿) khi ta thay các nghiệm của P (z) trong nửa mặt phẳng dưới bằng
số phức liên hợp của chúng
Dé thay rằng Dinh lí 1.4.1 là đúng khi mọi nghiệm của P (z) nằm trong
miền Imz > 0 Bởi vì khi đĩ, dựa vao Dinh If Gauss-Lucas [12, trang
Trang 37ZI, ,Zn, 104, ,10,_¡ đều cùng dấu Dịnh lí được suy ra từ mối quan
hệ
a hae
Bởi vậy trong Dịnh lí 1.4.1 dấu bằng sẽ xảy ra ở trường hợp này Trong trường hợp tổng quát trở về trường hợp trên sau khi áp dụng bổ đề của Bruijn va Springer Bổ đề 1.4.1 Cho > =z]]t Z— 2y) Il (2-%), (O<k<n) v=l v=k+1 O day Im z, > 0 (v=1, ,k), Imz, <0 (v=k+1, ,n) Nếu ta đặt n =z]]t (z — 2) TI (z - Z,), (1.4.2) v=l1 v=k+1 thi
chỉ khi khơng cĩ hai nghiệm nào của P (z) tách rời nhau bởi trục thực (z)| < |P*?(œ)| với mọi số thực x Đẳng thức trên xảy ra khi và
>
===Q+ih, }) -=S+7T,
=1” v=k+1
ở đây z, eo , 5, T là các số thực
Khi do, 4 me =(Q+S)+i(R+T) va =(Q+S)+i(R-T)
Vilmz, > 0 (v=1, ,k) va Imz, < “0 mm ) nên Ï >
0,T <0
5 _ Pia)| & |Pr)
Do d6 |< |R—-T| hay Fe Sle
Néu z 1A 86 thuc thi |P (x)| = |P* (z)| suy ra |P’ (x)| < |P*'(2)|
Đăng thức xảy ra với mọi số thực z chỉ khi R = 0 hoặc 7 = 0 Nĩi cách
khác, nếu mọi nghiệm của P (z) nằm trong Imz < 0 hoặc nằm trong
Imz > 0
Trang 38Chứng minh Định lí 1.4.1 Cho đa thức P" (z) được định nghĩa như
(1.4.2)
Vì mọi nghiệm của ?* (z) đều nằm trong Im z > 0 nên:
n-1 n
1 % 1
| [Im w,| =~ › | Im z,|, (1.4.3)
: v=1 v=
6 day w*,, ,w*,-1 la ki hiéu cdc nghiệm của đa thức P*”(z) Hơn nữa,
A A
J log LP' (z)| dz < J log |P*' (x)| dx (A > 0), (1.4.4)
-A _A
hay
n-1 A n-1 A
>| log |x — w,| dx < >| log |a — w*| da (1.4.5)
v=1 "74 v=1 "7A Ta cĩ:
A 1
/ log |z — aldz = 2(A log A — A) + mma] +0 (2) (1.4.6)
-A Từ (1.4.5) và (1.4.6) ta thấy khi A — +œ thì n-1 n-1 S> | Im w,| <3 |Imuj| (1.4.7) v=l1 vel Từ (1.4.3) và (1.4.7) ta kết luận: n-1 1 1 n | » |Imw,| < n 2 Jmsil
Đây là điều phải chứng minh Đẳng thức trong (1.4.7) xảy ra khi và
chỉ khi đẳng thức trong (1.4.4) xảy ra, tức là, nếu |P'(z)| = |P*7()|
với mọi số thực # Sử dụng bổ đề (1.4.2) ta cĩ tất cả các nghiệm của P(z)đều nằm trong Imz > 0 hoặc Imz < 0 Định lí (1.4.1) đã được chứng minh
Trang 39
- Ý nghĩa hình học của Định lí 1.4.1 là nghiệm của đa thức P’(z) nim
giữa gần trục thực hơn nghiệm của đa thức P (z)
- Áp dụng tương tự về một đường bất kì khi ta thay |Imz| bởi |Im (œz + Ø)|, ở đây œ, Ø là các số phức Cĩ thể suy ra điều này khi
ta áp dụng Dịnh lí 1.4.1 cho hàm số P (=) a
Các định lí sau đây được chứng minh một cách tương tự
Dinh ly 1.4.2 (Bruijn va Springer) Giả sử zị, ,z„ là các nghiệm của đa thúc P(z), t, ,t0„_ + là các nghiệm của đa thức P'(z) và
Im z¡ <Imz < -<Imz,
Néu w(x) 1A ham lồi biến số thực với z € [Im z¡, Im z„} và
1 n 1 n-1
DWw,P)= "3, w (Im z,) — — (Im w,),
v=l vel
thi D(w,P) > 0 Đẳng thức xảy ra chỉ khi là hàm tuyến tính với + € [Imz¡, Im z„].Điều này bao gồm trường hợp Im z¡ = - = Im z„
Trường hợp đặc biệt, khi j (z) = |z|” (r > 1), ta cĩ
Dinh ly 1.4.3 (Bruijn va Springer) St dụng các ký hiệu của Định lí 1.4.1, với mọi r > 1, ta cĩ
n-1
1 , 1g ,
n= T2 | <7 XL lImal’
Dang thúc xẩy ra trong hai trường hợp sau:
a) Nếu r = 1 và tất cả các nghiệm của P cùng nằm trong nửa mặt phẳng
Im z > 0 hoặc Ïm z < 0
b) Nếu r > 1 và Ïm z¡ = - = Ïm z„
Định lý 1.4.4 (Pruijn và Springer) Dưới giả thiết của Dịnh lí 1.4.1 ta co 1
n-1 n
1 „ 1 „
Trang 40với mọi r > 1 Đẳng thức xảy ra trong hai trường hợp sau:
a)r = 1 và tất cả các nghiệm của P đều nằm trongcùng nửa mặt phẳng
với điểm cuối 0 b) Khi z¡ = - = zạ
Chứng minh Gọi đ là đường thẳng đi qua điểm 0 và tạo với trục thực
dương một gĩc a Khi đĩ, khoảng cách từ điểm z € C tới d là
|cosa Im z — sina Rez]
Theo Dinh lí 1.4.4 ta cĩ:
m—] n
- 1
|eos œ Im z — sina Rez|" < — ` |eos œ Im z — sin œ Re z]Ï” n
v=l v=1
1
n—
Tích phân hai về ta được: n-1
a » J,” |cosaIm z — sina Re z|"da
n : -
<t > Je" \cosalm z — sina Rez|"da
Suy ra (1.4.8)
Cho a,b, va c la ba diém trong mặt phẳng phức
Ki hiéu A (a,b,c) 1a dién tich cha tam giác tạo bởi ba điểm trên
Định lý 1.4.5 (Kramer) Cho P(z) là đa thức bậc n với các nghiệm
ZI, ,Z„ VÀ 10+, ,1U„_¡ là các nghiệm của đa thúc đạo hầm P' Khi đĩ ta cĩ:
1 1
5 ` A (Wp, Wg, Wr) < nã ` A Z¡,Zj, 2w)
(n — ) 1<p<q<n-1 ˆ 1<i<j<k<n
Cho P(z) = z"+aiz"~!+: +a„ là đa thức với các nghiệm z¡, , Zạ Landau và Specht chứng minh được:
n
|zi -z„|” < I+Ồ, |a,|’,6 dayl <m<n