Luận văn: Đa thức và nghiệm của đa thức

Luận văn Đa thức và nghiệm của đa thức trình bày về nghiệm đa thức bậc thấp trong sự hình dung trực quan gắn liền với đồ thị và một số kết quả về nghiệm của đa thức với hệ số nguyên. Mời các bạn cùng tham khảo. Mời các bạn cùng tham khảo.

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Hà Huy Khoái, đãđịnh hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp, trườngĐại học Thăng Long đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 4 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Minh Nguyệt

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS.TSKH HàHuy Khoái, luận văn chuyên ngành Toán sơ cấp với đề tài:”Đa thức vànghiệm của đa thức” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểucủa bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 4 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Minh Nguyệt

Mục lục

1.1 Đa thức 5

1.2 Đa thức tuyến tính và đa thức bậc hai 7

1.2.1 Đồ thị của đường thẳng 7

1.2.2 Đồ thị của hàm bậc hai 9

1.3 Đa thức bậc ba 12

1.3.1 Đồ thị hàm bậc ba 13

1.3.2 Nghiệm của đa thức bậc ba 16

1.4 Đa thức bậc bốn 19

1.4.1 Nghiệm của đa thức bậc bốn 19

1.4.2 Đồ thị của hàm bậc bốn 20

1.5 Một số bài toán kiểu Olympic 22

2 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC HỆ SỐ NGHUYÊN 27 2.1 Bài toán số nguyên Chebyshev 27

2.2 Bài toán Schur về cấp tăng của hệ số 31

2.2.1 Cấp tăng của hệ số đầu 31

2.2.2 Trung bình của các không điểm 34

2

Tài liệu tham khảo 46

Mở đầu

Đa thức và nghiệm của đa thức là một trong những phần quan trọngcủa chương trình Toán ở bậc THPT Mặc dù trong các sách giáo khoa đãtrình bày việc tìm nghiệm của đa thức bậc thấp, nhưng sự liên hệ với đồthị của đa thức chưa được đề cập thấu đáo, trong khi chính điều này lại rấtquan trọng trong việc làm cho học sinh hiểu rõ bản chất toán học của vấn

đề, rèn luyện tư duy trực quan trong nghiên cứu toán học Vì vậy, phầnthứ nhất của luận văn được dành cho sự trình bày về nghiệm đa thức bậcthấp trong sự hình dung trực quan gắn liền với đồ thị

Phần tiếp theo của luận văn trình bày một số kết quả về nghiệm của đathức với hệ số nguyên Đây là một trong những chủ đề quan trọng của đại

số và số học

Luận văn được viết dựa theo một số công trình nghiên cứu gần đây (xem[2]), hoặc một số bài giảng nâng cao dành cho học sinh giỏi ở nước ngoài(xem phần Tài liệu tham khảo)

4

Chương 1

ĐA THỨC BẬC THẤP VÀ

NGHIỆM CỦA CHÚNG

1.1 Đa thức

Đa thức là một hàm p xác định trên tập số phức C có giá trị tại z ∈ C

được cho bởi tổ hợp tuyến tính các lũy thừa của z:

p(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn, z ∈ C

Các số a0, a1, , an gắn với lũy thừa của z là độc lập với z; chúng đượcgọi là hệ số của p, và có thể là số thực hoặc số phức Một đa thức đượcxác định khi các hệ số của chúng được cho cụ thể Bậc cao nhất của z với

hệ số tương ứng khác không, được gọi là bậc của p Trong đa thức p, bậccủa nó là n nếu an 6= 0 Các đa thức bậc 0 là hằng số Các đa thức bậc

1 được gọi là đa thức tuyến tính, đa thức bậc 2 được gọi là đa thức bìnhphương, đa thức bậc 3 gọi là đa thức lập phương, bậc 4 gọi là đa thức bậcbốn, bậc 5 gọi là đa thức bậc 5, và tiếp tục Mặt khác, ta có thể xem chúng

là phương trình của các đường thẳng, đường bậc hai, đường bậc ba, v.v

Số phức z0 được gọi là nghiệm hay không điểm của đa thức p nếu giátrị của nó tại z0 bằng không:

p(z0) = 0

Một đa thức có tất cả các hệ số của nó là số thực có thể không có bất

kỳ nghiệm thực nào Ví dụ đơn giản nhất là đa thức bậc hai x2+ 1 Nó cóhai nghiệm phức là i, −i

Định lý 1.1.1 Một đa thức bậc lẻ mà có các hệ số đều là thực, có ít nhấtmột nghiệm thực

Chứng minh trực quan Xét đồ thị của đa thức trong mặt phẳng

Ví dụ, đồ thị của một đa thức bậc 1 là một đường thẳng, nó có các điểmtrên mặt phẳng nằm bên trên và bên dưới trục hoành, và chứa một điểmtrên trục hoành Tương tự, đồ thị của đa thức lập phương có các điểmtrên mặt phẳng nằm trên và dưới trục hoành Vì các miền này nối liền vớinhau, hợp của chúng phải chứa một điểm trên trục thực Nói chung, nếubậc của

p(x) = anxn + · · · + a0

là lẻ, với mọi x > 0 đủ lớn, dấu của p(x) trùng với dấu của an, trong khinếux lớn và không dương, p(x)có cùng dấu với −an Do đó, p nhận cả giátrị dương và giá trị âm, và là một hàm trơn nên nó phải có không điểm

Tính thực của các hệ số trong định lý trên là cần thiết Ví dụ, đa thứctuyến tính x − i không có nghiệm thực

Định lý 1.1.2 (Gauss) Mọi đa thức khác hằng có ít nhất một nghiệm,

có thể là số phức Một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm phân biệt.Kết quả sâu sắc này được gọi là Định lý cơ bản của Đại số

Định lý 1.1.3 Giả sử p có các hệ số thực và z là một nghiệm phức của

nó Khi đó z cũng là nghiệm của nó

6

1.2 Đa thức tuyến tính và đa thức bậc hai.

Trong mục này, chúng ta tập trung vào đa thức tuyến tính và đa thứcbậc hai với hệ số thực, và giới hạn miền xác định là tập số thực Khi đóchúng ta có thể khảo sát đồ thị của chúng và kiểm tra các tính chất theoquan điểm hình học Các hàm này có dạng

con của mặt phẳng mà giao của nó với mỗi đường thẳng đứng có nhiềunhất một điểm Hệ quả là, đường tròn không phải là đồ thị của một hàm,cũng như đường parabol {(x, y) : y2 = 4x} không phải là đồ thị của mộthàm.

Nếu c + mx là một đa thức tuyến tính, đồ thị của nó trong R2 là tậpcác điểm

Để chứa phủ được tất cả các trường hợp, thì phương trình của đườngthẳng trong R2 là một biểu thức có dạng

ax + by + c = 0,

trong đó a2 + b2 > 0 Đây là đồ thị của đa thức tuyến tính khi và chỉ khi

ab 6= 0 Nó là đồ thị của đa thức hằng nếu a = 0, b 6= 0

là hai điểm phân biệt trên đồ thị, khi đó y1 = x21, y2 = x22 Đường thẳngqua P và Q có phương trình

với mọi x nằm giữa x1, x2 như yêu cầu.

Hàm bình phương tách mặt phẳng thành hai miền rời nhau, tức làtập các điểm nằm trên và nằm dưới đồ thị Tập các điểm nằm trên là

{(x, y) : y > x2}; tập các điểm nằm dưới là {(x, y) : y < x2} Tập điểmnằm trên là tập lồi: đường thẳng nối hai điểm bất kỳ của tập nằm hoàntoàn trong nó Tập dưới không lồi cũng không lõm

Đồ thị của hàm bậc hai bất kỳ có thể rút gọn thành hàm bình phươnghoặc thành phép phản xạ qua trục hoành, bằng quá trình được gọi là ’làmđầy đủ bình phương’ Để thấy điều này, giả sử

b24a2

Do đó, đồ thị của nó là lồi nếu a > 0 và lõm nếu a < 0

Chúng ta cũng có thể kết luận rằng đồ thị của p là đối xứng qua đườngthẳng x = −2ab , và nó có điểm chuyển hướng duy nhất −2ab ,4ac−b4a 2

10

Ngoài ra, đây là điểm cực tiểu nếu a > 0, là điểm cực đại nếu a < 0, tứclà

b2a) ≥ 0,

khi b2 ≤ 4ac Do đó các điều kiện trên là cần thiết để đảm bảo tính không

âm của p Ngược lại, nếu chúng xảy ra, thì bằng phép làm đầy đủ bìnhphương, ta thấy rằng

từ đó cũng suy ra rằng p là bình phương môđun đa thức tuyến tính

√

ax + b +

√4ac − b2i

2√a

Ví dụ 1.2.2 Cặp số thực (m, c) thỏa mãn y = mx + c là đường thẳngnằm dưới đồ thị của hàm bình phương chứa tập

Chứng minh Ở trên, đã phác họa chứng minh cho kết quả này dựa trên

ap(x) là dương với x dương đủ lớn và âm với x âm đủ lớn, cách này mởrộng cho trường hợp đa thức bất kỳ bậc lẻ với hệ số thực Sau đây là mộtphương pháp khác mà sử dụng Định lý 1.1.2 được đưa ra bởi Gauss Theo

12

đó, mọi hàm bậc ba (với hệ số thực hoặc phức) có ít nhất một nghiệm, mà

có thể là phức, và nhiều nhất ba nghiệm phân biệt Nên p có ba nghiệm,

và có thể không phân biệt Vì hệ số của nó là thực, theo Định lý 1.1.3,nghiệm phức của nó đi theo cặp Do đó, một nghiệm của nó phải là thực

âm, và do đó theo công thức thông thường, nghiệm của q là các số phức,

cực đại cũng không là điểm cực tiểu Vì p(−x) − p(x) = 0 với mọi x, p

là hàm lẻ, điều đó có nghĩa đồ thị của nó là phản đối xứng qua trục y

Ngoài ra, p0(x) = 3x2 ≥ 0, ∀x, điều đó có nghĩa đồ thị của nó tăng ngặttrên (−∞, ∞) Thêm vào đó, đồ thị là lồi trên khoảng (0, ∞), và lõm trên

(−∞, 0) Kết hợp các điều này lại ta có thể vẽ đồ thị của hàm y = x3

Ví dụ 1.3.2 Khảo sát đồ thị hàm y = x3 + 3x

Giải Vì x3 + 3x = x(x2 + 3), và x2 + 3 không có nghiệm thực, hàm bậc

ba này chỉ cắt trục x duy nhất tại điểm 0 Tiếp theo, p0(x) = 3(x2 + 1),thể hiện hàm bậc ba không có tiếp tuyến song song với trục x Từ đó nókhông có điểm chuyển hướng Nhưng vì p0 luôn dương, đồ thị tăng ngặttrên (−∞, ∞) Cuối cùng, p00(x) = 6x, nên chỉ bị triệt tiêu tại x = 0 Từ

p00(x) > 0 nếux > 0, ta có thể kết luận rằng đồ thị hàm là lồi trên (0, ∞)

nên có nghiệm thực khi và chỉ khi b2 ≥ 4ac Bây giờ

Điều này có nghĩa là nếu hàm bậc ba với hệ số thực có hai điểm chuyểnhướng thì trung điểm của chúng là điểm uốn.

1.3.2 Nghiệm của đa thức bậc ba

Để khảo sát nghiệm của đa thức tổng quát với hệ số thực, chúng ta cần

Ví dụ 1.3.3 Tìm nghiệm của đa thức p(x) = x3 + 3x2 − 3x + 4.

Giải Bước đầu tiên là khử số hạng x2 Ta có thể thực hiện bằng cáchdịch chuyển trục x Lưu ý rằng

p(x) = (x + 1)3 − 6x + 3 = (x + 1)3 − 6(x + 1) + 9,

nên ta chỉ cần tìm nghiệm của X3 − 6X + 10 Nên ta chọn a, b sao cho

Quay trở lại xác định nghiệm của phương trình bậc ba tổng quát p(x) =

ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0, vì các nghiệm không phụ thuộc vào dấu của

a, để cho đơn giản ta có thể giả sử a = 1 Bước một là khử số hạng liên

18

quan x2 bằng cách dịch chuyển trục x Thật vậy,

1.4.1 Nghiệm của đa thức bậc bốn

Một đa thức bậc bốn là tổ hợp tuyến tính của các đa thức đơn1, x, x2, x3, x4,

là tích của hai hàm bậc hai, và hiển nhiên không duy nhất Ngược lại, dễthấy tích của hai hàm bậc hai là hàm bậc bốn.

Định lý 1.4.1 Nếu một hàm bậc bốn có hệ số thực, thì nó có thể đượcbiểu diễn thành tích của hai hàm bậc hai và mỗi hàm đều có hệ số thực.Chứng minh Giả sử

p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e,

trong đó các hệ số a, b, c, d, e là các số thực và a 6= 0 Ta suy được ra ngaykết quả nếu p chỉ có nghiệm thực Nếu z là một nghiệm phức của p, thìtheo Định lý 1.1.3 z cũng là nghiệm Vì p có nhiều nhất 4 nghiệm phânbiệt, hoặc chúng đều là số phức, và lập thành từng cặp, hoặc có nhiều nhấthai nghiệm không là số thực Nếu chúng đều là số phức, thì ta có thể viếtchúng thành α, α, β, β, trong trường hợp này,

p(x) = a(x2 − (α + α)x + αα)(x2 − (β + β)x + ββ)

= a(x2 − (α + α)x + |α|2)(x2 − (β + β)x + |β|2)

Vì các hệ số của x trong mỗi nhân tử đều là số thực, suy ra điều phảichứng minh trong trường hợp này Nếu có đúng hai nghiệm không phải sốthực, chúng phải là liên hợp của nhau, và do đó, trong trường hợp này,các nghiệm có thể được ký hiệu là α, α, γ, δ, với γ, δ là số thực Như trướcđây,

Hàm bậc 4 đơn giản nhất là hàm p(x) = x4 = (x2)2, có đồ thị đối xứngqua x = 0 và lồi, nó là một nụ cười lớn Trong khi đó đồ thị của mọi hàmbậc 2 là đối xứng qua một đường thẳng đứng, đồ thị của hàm bậc bốnkhông nhất thiết phải đối xứng qua bất kỳ đường thẳng nào như vậy Ví

dụ, đồ thị của hàm bậc bốnp(x) = x4+xkhông đối xứng qua bất kỳ đườngthẳng đứng nào Vì nếu với h là số thực (hoặc phức), p(x + h) = p(h − x)

với mọi x, khi đó mọi số là nghiệm của hàm bậc ba 4hx3 + (4h3 + 1)x,điều này là vô lý

Vì x4 là dương với mọi x khác không, dấu của hàm bậc bốn tổng quát

p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, a 6= 0, cùng dấu với dấu của a với x

có giá trị lớn Nói cách khác, nếu a > 0, đồ thị của hàm nằm trên nửamặt phẳng trên với mọi x đủ lớn, trong khi nếu a < 0, nó nằm trong nửamặt phẳng dưới với x đủ lớn Do đó, để miêu tả đồ thị của hàm một cáchđầy đủ, chúng ta phải kiểm tra dáng điệu với mọi x trong các khoảng đốixứng Do đó, ta cần xác định các điểm chuyển hướng, và các điểm uốn nếu

có Chúng sẽ cung cấp thông tin về dạng của đồ thị, và xác định chỗ lồi,lõm, tăng giảm của đồ thị Để làm điều này, chúng ta phải dùng phươngpháp giải tích Các điểm chuyển hướng được tìm bằng cách tìm đạo hàmbậc nhất p0, và giải phương trình p0(x) = 0; các điểm uốn được tìm bằngcách xác định đạo hàm bậc hai p00 và giải phương trình p00(x) = 0 Vì p0 có

hệ số thực nên tồn tại ít nhất một điểm chuyển hướng, nhưng không nhấtthiết tồn tại điểm uốn Ví dụ, trường hợp hàm p(x) = x4 + 2x2 + 1, đốixứng qua x = 0, lồi Nó không có nghiệm thực, có chỉ một điểm chuyểnhướng tại x = 0 cũng là điểm cực tiểu, không có điểm uốn

1.5 Một số bài toán kiểu Olympic

1 (IMO 1973) Tìm giá trị nhỏ nhất của a2 + b2, trong đó a, b là các sốthực mà phương trình

giao nhau tại (0, −2) Cho nên

Chứng minh rằng b là số nguyên dương nếu và chỉ nếu a là số nguyêndương có dạng 1

2n(n

2 + 3), với n nguyên dương

Giải Bằng cách tính trực tiếp ta thấy b là nghiệm của đa thức bậc

ba x3 + 3x − 2a Cho nên, nếu b là một số nguyên dương, thì tương tự

2a = b3 + 3b Nhưng biểu thức sau là số chẵn Do vậy a là số nguyêndương Ngược lại, nếu a có dạng 1

2n(n

2 + 3) với n nguyên dương, thì n

cũng là nghiệm của cùng đa thức bậc ba Nhưng đa thức bậc ba này chỉ

có một nghiệm thức Do đó b = n

4 IRMO95 Giả sử rằng a, b và c là các số phức, và cả ba nghiệm z củaphương trình

x3 + ax2 + bx + c = 0

thỏa mãn |z| = 1 (trong đó | · | ký hiệu trị tuyệt đối) Chứng minh rằng

cả ba nghiệm w của phương trình

= |¯r + ¯p + ¯q| = |a|

Do dó

x3 + |a|x2 + |b|x + |c| = x3 + |a|(x2 + x) + 1

= (x + 1)(x2 + (|a| − 1)x + 1);

và vì ||a| − 1| ≤ 2, các nghiệm của phương trình bậc haix2+ (|a| − 1)x + 1

là các số phức có độ lớn bằng đơn vị, suy ra điều phải chứng minh

24

5 Chứng minh rằng x4 + x3 + x2 + x + 1 là nhân tử của x44 + x33 +

6 Cho các hệ số của đa thức bậc ba ax3 + bx2 + cx + d là số nguyên,

ad lẻ và bc chẵn Chứng minh rằng ít nhất một nghiệm là số vô tỉ

Giải Giả sử tất cả nghiệm đều là số hữu tỉ, và áp dụng định lý nghiệmhữu tỉ Theo đó, nếu p/q là nghiệm hữu tỉ với p, q ở dạng tối giản nhất,thì p là ước của d và q là ước của a Nhưng ad lẻ Do vậy của a, d cùng lẻ,nên p, q lẻ Tiếp theo lưu ý rằng

ap3 + bp2q + cpq2 + dq3 = 0

Số hạng cuối cùng và số hạng đầu tiên lẻ, nên tổng của chúng là số chẵn,

và vì bc chẵn nên một trong b, c chẵn Cho nên một trong bp2q, cpq2 chẵn.Cuối cùng, nếu các nghiệm là số hữu tỉ chúng ta có thể ký hiệu chúngbằng p1/q1, p2/q2, p3/q3, trong đó k = 1, 2, 3, pk, qk là số nguyên lẻ, với

pk, qk không có thừa số chung Khi đó

Chương 2

NGHIỆM CỦA ĐA THỨC HỆ SỐ NGHUYÊN

2.1 Bài toán số nguyên Chebyshev

Ký hiệu Cn và Zn là tập các đa thức đại số có bậc nhiều nhất n, tươngứng, với hệ số phức và hệ số nguyên Định nghĩa chuẩn đều trên tậpcompact E ⊂C như sau

kf kE := sup

z∈E

|f (z)|

Bài toán cực tiểu chuẩn đều trên E bởi đa thức monic trong C được gọi

là bài toán Chebyshev (xem [12]) Trong trường hợp cổ điển E = [−1, 1],nghiệm rõ ràng của bài toán này là đa thức monic Chebyshev Tn(x) :=

21−ncos(n arccos x) có bậc n ∈ N Sử dụng phép đổi biến, ta mở rộng bàitoán này thành khoảng tùy ý [a, b] ⊂ R sao cho

tn(x) :=



b − a2

ktnk[a,b] = 2



b − a4

n

, n ∈ N (2.1)

Cho nên, hằng số Chebyshev của đoạn [a, b] là

Một bài toán cổ điển có liên hệ chặt chẽ là tìm đa thức nhỏ với hệ

số nguyên Ta nói rằng Qn ∈ Zn là đa thức số nguyên Chebyshev trên

Hằng số nguyên Chebyshev (hay đường kính siêu hạn nguyên) của [a, b]

được cho bởi

tZ([a, b]) := lim

n→∞kQnk1/n[a,b] (2.4)

Ở đây chúng ta không nhất thiết cần đa thức là monic, do các hệ số nguyên

đã tạo một ràng buộc cho bài toán cực trị này (Việc yêu cầu hệ số đầu

là monic dẫn tới một bài toán thực sự khác được nghiên cứu bởi Borwein,Pinner, and Pritsker [5].) Có thể có người đã nhận thấy rằng nếu b−a ≥ 4,

thì Q(x) ≡ 1, n ∈ N, theo (2.1) và (2.3), nên

tZ([a, b]) = 1, b − a ≥ 4 (2.5)

28