Bất đẳng thức biến phân Affine và ứng dụng

LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi đưoc thnc hi¾n dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Năng Tâm Hà N®i, tháng năm 2009 Tác giá Nguyen Tan Hòa Mnc lnc Lài giái thi¾u Chương BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFFINE 1.1 Bat thúc bien phân 1.2 Bài toán bù 12 1.3 Bat thúc bien phân affine 13 1.4 Bài toán bù tuyen tính 21 Chương SU TON TAI NGHIfiM CHO BÀI TOÁN BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFFINE 25 2.1 Sn ton tai nghi¾m dưói đieu ki¾n đơn đi¾u 25 2.2 Sn ton tai nghi¾m dưói đieu ki¾n đơn đi¾u nón 32 Chương ÚNG DUNG CÚA BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFFINE VÀO BÀI TỐN CÂN BANG GIAO THƠNG 43 3.1 Mang lưói cân bang giao thông 43 3.2 Đưa tốn cân bang mang giao thơng ve toán bù 46 3.3 Đưa toán cân bang mang giao thơng ve tốn bat thúc bien phân 47 Tài li¾u tham kháo 53 MđT SO K HIfi Trong luắn văn sú dung kí hi¾u cho báng sau (, ·, ) tích vơ hưóng khơng gian Hilbert Rn khơng gian thnc n−chieu khơng gian ma tr¾n cap n vói thành phan khơng âm khơng gian ma tr¾n đoi xúng cap n khơng gian ma trắn cừ n ì m nún lựi xa + Rn× n s Rn× n×m n R O+ ∆ ∅ V I(φ, ∆) t¾p rong tốn bat thúc bien phân xác đ%nh bói t¾p ∆ ánh xa φ NCP (φ, ∆) tốn bù xác đ%nh bói nón loi ∆ ánh xa φ GLCP (M, q, ∆) tốn bù tuyen tính tong qt AV I (M, q, ∆) toán bat thúc bien phân affine xác đ%nh bói t¾p loi ∆, ma tr¾n M véc tơ q SOL (AV I (M, q, ∆)) t¾p nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân affine int∆ phan cna ∆ ∂f (x) dưói vi phân cna f tai x Mé ĐAU Lý chon đe tài Bài toán bat thúc bien phân đòi phát trien góp phan cho tốn hoc úng dung phát trien manh me Nó đưoc hình thành tù đieu ki¾n can cnc tr% cna tốn toi ưu Lóp nhung tốn bat thúc bien phân khơng gian Hilbert có vai trò quan có nhieu úng dung r®ng rãi Nhưng vói tốn hoc úng dung sâu vào m®t phân ngành tính úng dung r®ng rãi Bat thúc bien phân affine trưòng hop đ¾c bi¾t cna tốn bat thúc bien phân Sau hoc nghiên cúu mơn Giái tích hàm, Giái tích loi, lí thuyet toi ưu, vói mong muon hieu sâu ve phan lí thuyet úng dung cna bat thúc bien phân affine lna chon đe tài: "Bat thNc bien phân affine Nng dnng" Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna lu¾n văn tìm hieu sâu ve lí thuyet bat thúc bien phân affine, nghiên cúu ve sn ton tai nghi¾m cna toán này, nghiên cúu toán bù úng dung cna thnc te Nhi¾m nghiên cNu Nđi dung nghiờn cỳu cna luắn gom 03 chương: Chương 1: Bat thúc bien phân affine Trong chương này, tìm hieu khái ni¾m bat thúc bien phân, bat thúc bien phân affine, khái ni¾m tốn bù tính chat cna chúng Chương 2: Sn ton tai nghi¾m cho tốn bat thúc bien phân affine Trong chương này, tìm hieu nhung đ%nh lí bán ve sn ton tai nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân affine Chương 3: Úng dung cna bat thúc bien phân affine vào toán cân bang mang giao thơng Trong chương này, tìm hieu khái ni¾m lưói giao thơng Sn tương úng cna toán bat thúc bien phân sn cân bang mang lưói giao thơng Đoi tưang pham vi nghiên cNu Lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu sn đ¾c bi¾t hóa tù bat thúc bien phân thành bat thúc bien phân affine, nghiên cúu tính chat cna toán bat thúc bien phân affine, sn ton tai nghiắm cna nú v mđt phan ỳng dung cna vào cân bang mang lưói giao thơng Phương pháp nghiên cNu Phân tích, tong hop, Giá thuyet khoa hoc Dna giá thuyet khoa hoc cna nhà Tốn hoc trưóc Chương BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFFINE Khái ni¾m bat thúc biên phân affine toán bù đưoc đưa nhò sn thu hep khái ni¾m bat thúc bien phân 1.1 Bat thNc bien phân Bài toán bat thúc bien phân bat nguon tù toán toi ưu hóa Cho φ : Rn → Rn hm C v Rn l mđt loi, đóng, khác rong M¾nh đe 1.1 Neu x¯ mđt nghiắm %a phng cỳa bi toỏn toi u {f (x) : x ∈ ∆} , (∇f (x) , y − x) ≥ 0, ∀y ∈ ∆ th ì (1.1) (1.2) Chúng minh Goi x ∈ ∆ m®t nghiắm %a phng cna (1.1) Chon cho f (y) ≥ f (x) , y ∈ ∆ ∩ B (x, µ) Lay bat kỳ x ∈ ∆\{x}, ta thay rang ton tai ∃δ > cho x + t (x − x) ∈ ∆ ∩ B (x, µ) é t ∈ (0, δ) Hơn the nua lim f (x + t (x − x)) = f , (x, x − x) = (∇f (x) , x − ≤ t→0 − f (x) x) t = (Dx + c, x − x) Đ¾t  ∂f (x) ∂x1   φ (x) = ∇f (x)    = ∂f (x) ∂xn    , ∀x ∈ R  n  (1.3) Chúng ta thay rang (1.2) có the viet lai (φ (x) , y − x) “ 0, (1.4) R ∀y ∈ Đ%nh nghĩa 1.1 Cho ∆ ⊂ Rn mđt loi, úng v : Rn m®t ánh xa cho tốn tìm x ∈ ∆ thóa mãn (1.4) đưoc goi tốn bat thúc bien phân, ho¾c đơn gián bat thúc bien phân (kí hi¾u V I) Nó đưoc kí hi¾u bói V I(φ, ∆) T¾p nghi¾m Sol(V I(φ, ∆)) cna toán V I(φ, ∆) t¾p tat cá x ∈ ∆ thóa mãn (1.4) Chúng ta de dàng kiem tra rang x ∈ (V I(φ, ∆)) neu chí neu ∈ φ (x) + N∆ (x) é N∆(x) := {ω : (ω, y − x) ≤ 0, ∀y ∈ ∆} , goi nón pháp tuyen ngồi cna ∆ tai x M¾nh đe 1.1 chúng tó rang tốn toi ưu trơn có the dan đen bat thúc bien phân M®t câu hói náy sinh m®t cách tn nhiên: Đưa m®t bat thúc bien phân V I(φ, ∆) vói m®t hàm liên tuc φ : Rn → Rn có the tìm đưoc m®t hàm f : Rn → R, f ∈ C cho toán V I(φ, ∆) có the thu đưoc tù tốn toi ưu (1.1) bói phương pháp mơ tá hay không? Neu ton tai f , chac chan có φ (x) = ∇f (x) ∀x ∈ ∆ (1.5) Ta lưu ý rang, neu f m®t hàm C tốn tú tuyen tính φ : Rn → Rn đ%nh nghĩa bói (1.3) có ma tr¾n Jacobi đoi xúng Giá sú rang neu φ : Rn → Rn m®t hàm véc tơ có thành phan φ1, , φn trơn ma tr¾n Jacobi cna φ tai x đ%nh nghĩa bói cơng thúc   ∂φ1(x) ∂ φ1 (x) ∂ φ1 (x) ∂x2 ∂xn   ∂x:1  : : Jφ (x) =     ∂φn (x) ∂φn (x) ∂φn (x) ∂x1 ∂x2 ∂xn Vì f đưoc giá sú hàm C , nên tù (1.3) ket lu¾n rang ∂φi(x) = ∂xj ∂ 2f (x) = ∂xj xi ∂ 2f (x) ∂xixj = ∂φj (x) ∂xi , vói moi i, j Đieu chúng tó rang Jφ (x) ma tr¾n đoi xúng M¾nh đe 1.2 [6] Cho Rn l mđt loi, úng, khỏc rong Neu ∂φj (x) ∂φi(x) = φ : Rn → Rn m®t hàm véc tơ trơn tùng khúc đong thòi ∂x ∂xi j , vói tat cá i, j (m®t tốn tú đoi xúng trơn), ton tai m®t hàm f : Rn → Rn, f ∈ C cho h¾ thúc (1.5) đưoc thóa mãn Vì v¾y, thay rang tốn toi ưu trơn C tương úng vói tốn bat thúc bien phân vói tốn tú trơn đoi xúng Hơn the nua, nghiên cúu toán V I, có the g¾p trưòng hop tốn V I vói tốn tú khơng đoi xúng gián đoan M¾nh đe sau chúng tó rang, nghi¾m cna toán toi ưu toán V I khơng tương đương, nghi¾m cna tốn V I chí nghi¾m đ%a phương đ¾c trưng cna tốn toi ưu _ M¾nh đe 1.3 Cho x ∈ ∆ Neu _ _ ∃ε > : φ(x), y −x _ _ “ 0, ∀y ∈ ∆ ∩ B(x, ε), (1.6) _ x ∈ Sol(V I(φ, ∆)) Chúng minh Giá sú s > thóa mãn (1.6) Hien nhiên, vói y ∈ ∆, ∃t = _ _ _ _ t (y) ∈ (0, 1) cho _y(t) := x_.+t(y.− _x) ∈ ∆_.∩ B(x, ε) Đieu suy rang Theo (1.6), ™ φ(x), y(t) = t φ(x), y − x _ −x _ _ φ(x), y − “ ∀y ∈ ∆ Do x ∈ Sol(V I(φ, ∆)) Q x Bài toán V I(φ, ) phu thuđc hai ieu kiắn: Tắp v ỏnh xa φ Cau trúc cna t¾p nghi¾m Sol(V I(φ, ∆)) đưoc quyet đ%nh bói t¾p ∆ ánh xa φ Trong lý thuyet bat thúc bien phân, van đe sau bán: Sn ton tai nhat cna nghi¾m, tính on đ%nh sn phu thuđc (đ nhay) cna nghiắm vo sn thay oi (nhieu) cna đieu ki¾n tốn, thu¾t tốn tìm tat cỏ cỏc nghiắm hoắc mđt phan cna nghiắm %nh lí Hartman - Stampacchia sau đ%nh lí bán cho sn ton tai tốn V I Nó đưoc chúng minh nhò vi¾c cơng nh¾n đ%nh lí Brouwer Đ%nh lý 1.1 [11], [22] Neu ∆ ⊂ Rn mđt loi, compact, khỏc rong v : → Rn liên tnc, tốn V I(φ, ∆) có nghi¾m Dưói đieu ki¾n búc thích hop có the có đ%nh lí cho tốn t¾p loi khơng compact Đ%nh lý 1.2 [11] Cho Rn l mđt loi, úng, khỏc rong φ : ∆ → Rn ánh xa tuyen tính Neu ∃x0 ∈ ∆ φ(y) − φ(x0), y − x0 ||y − x0|| tốn V I(φ, ∆) có nghi¾m → +∞, y ∈ ∆, (1.7) Ta có (1.7) tương đương vói đieu ki¾n sau φ(y) − φ(x0), y − x0 ∀γ > 0, ∃ρ > “ γ, ∀y ∈ ∆ :" y "“ ρ " y − x0 0: " Đieu chúng tó rang neu ∆ t¾p compact bat kỳ x0 ∈ ∆, (1.7) Neu ∃x0 ∈ ∆ cho (1.7) van ta nói rang đieu ki¾n búc thố mãn Đieu ki¾n búc giu mđt vai trũ khỏ quan trong viắc nghiờn cỳu bat ang thỳc biờn phõn trờn rng buđc khụng compact Chú ý rang (1.7) m®t trưòng hop quan cna đieu ki¾n búc Neu ∃x0 ∈ ∆ α ∈ R+ 0 φ(y) − φ(x ), y − x “ α " y − x0 " , ∀y ∈ ∆, (1.8) chac chan (1.7) van Đieu rõ ràng rang ∃α > cho Chương ÚNG DUNG CÚA BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFFINE VÀO BÀI TOÁN CÂN BANG GIAO THƠNG Lưói giao thơng có the đưoc hình thành tù mơ hình cna tốn bat thúc bien phân Nghi¾m cna tốn bat thúc bien phân tương úng cho sn cân bang mang lưói giao thơng Bat thúc bien phân có the phù hop cho vi¾c nghiên cúu nhung loai cân bang kinh te khác Muc đích cna chương tháo lu¾n mơ hình bat thúc bien phân cna tốn cân bang giao thông 3.1 Mang lưái cân bang giao thơng Xét h¾ thong giao thơng ó vài thành nhung đưòng noi lien chúng Giá sú rang đieu ki¾n ve ky thu¾t (ve cơng suat chat lưong cna nhung đưòng, nhung đieu ki¾n liên quan) đưoc thiet l¾p Giá sú biet yờu cau ve sn vắn tỏi cna mđt so loai đưòng ho¾c đưòng noi giua hai thành H¾ thong ó m®t hàm tot neu tat cá u cau đưoc thố mãn Muc đích riêng cna mang lúi dan en mđt hắ hm tot Viắc sỳ dung (đi đen, băng qua, nhung yeu to khác) phái th¾t sn an tồn Vi¾c tù v% trí A đen v% trí B se chon đưòng cho chi phí thap nhat M®t cách tn nhiên đưa đen nguyên lí ve sn toi ưu hố ho¾c ngun lí Wardrop Đieu ki¾n ve sn cân bang giao thơng đưoc thố mãn nói lên rang mang lưói giao thơng có sn cân bang Giá sú ngun lí thưòng hop tot nhat, trưòng hop riêng có the dùng máy tính ho¾c phương pháp ưóc lưong dan đen sn cân bang giao thông tot nhat m®t đưòng Tùng trưòng hop riêng có the ánh hưóng đen tồn b® mang lưói, ví du khai thác giao thơng vói cưòng đ® cao dan đen sn xuong cap cna nhung đưòng tot Trên đưòng có sn cân bang 44 mói đieu phù hop tot nhat vói hi¾n tai trưòng hop khác có the khơng đat đưoc Mang lưói giao thơng m®t ví du ve sn hồ hop mang lưói tác đ®ng đen ngun lí cân bang Wardrop Ví du khác có the mang đi¾n thoai ho¾c mang máy tính Đieu đưoc chúng minh bói Smith (1979) Dafermos (1980) [13], m®t mang lưói giao thơng có the hình thành bat thúc bien phân Giá sú rang m®t o th% G gom mđt N cna nhung iem t¾p A cna nhung đưòng (cung) Tat cá nhung cung l mđt cắp cna hai iem (noi giua nhat điem) a thu®c A có nghĩa rang a l mđt cung Mđt ũng i l hop đưoc sap xep cna cung a1, , am, ó điem thú hai cna a noi vói điem thú nhat cna as+1 vói s = 1, , m − Chúng ta nói rang đưòng a1, , am noi lien điem thú nhat cna a1 vói điem thú hai cna am Goi I t¾p hop cna nhung c¾p điem có thú tn (đe gon ta kí hi¾u c¾p OD) Moi c¾p OD gom hai điem: Điem goc (điem thú nhat cna c¾p) điem qua (điem thú hai cna c¾p) Bieu dien bói Pi t¾p hop tat cá nhung đưòng liên thơng noi điem goc vúi iem i qua cna cắp OD i thuđc vào I Goi P = ∪ pi goi |P | bieu th% cho so phan tú cna P i∈I M®t véc tơ v = (va : a ∈ A), ó va ≥ 0, ∀a ∈ A đưoc goi l mđt lu long (hoắc cõn bang trờn cung) đo th% Vói moi va chí sn cân bang cung a Lay m®t hàm véc tơ C(v) = (Ca(v) : a ∈ A) é đó, Ca(v) ≥ 0, ∀a ∈ A Hàm C(.) : R|A| → R|A|, đưoc goi hàm chi phí lai Moi so Ca(v) đ¾c trưng cho chi phí lai tù m®t nơi đen nơi can thiet sn cân bang đưòng m®t cung chúng tó rang ton tai v% trí cân bang v mang M®t so ví du giái thích q trình lai cân bang m®t cung dien tá sn phu thu®c cna sn cân bang so vói cung khác Sn cân bang chi phí lai đưòng p ∈ Pi(i ∈ I) đưoc bieu dien bói cơng thúc C(v) = Ca(v) a∈p Goi C(v) = {Cp(v) : p ∈ P } Moi i ∈ I, đ%nh nghĩa giá tr% cnc tieu cna chi phí lai ui(v) bói c¾p OD tai i bói t¾p ui(v) = {Cp(v) : p ∈ Pi} Rõ ràng, Cp(v) − ui(v) “ 0, ∀i ∈ I, ∀p ∈ Pi Goi D = (δap) sn liờn thuđc ma trắn cna hắ thỳc "cung-ng i" ú neu p ∈/ P , a A, p P δap = ∀ ∈ ∀ neu p ∈ P ∈ Ta giá thiet m®t cách tn nhiên ve sn cân bang sau va = δapvp (3.1) p∈P Lay m®t véc tơ cna nhung yêu cau G = (gi : i ∈ I) Vói moi phan tú gi mđt yờu cau cho mđt cắp OD tai i, đieu có nghĩa so lưong, chat lưong sn cân bang tù điem goc đen điem đen cna c¾p i Chúng ta nói rang sn cân bang v mang thoá mãn yêu cau neu vp = gi, ∀i ∈ I (3.2) p∈Pi Chú ý rang  |P | ∆ := v = (vp : p ∈ P ) ∈ + R  :  vp = gi∀i ∈ I p∈Pi  (3.3) (t¾p thố mãn u cau cân bang) t¾p đa di¾n loi Neu có c¾n (γp : p ∈ P ), γp > ∀p ∈ P , vúi cụng suat hoat đng trờn cung ú cân bang thố mãn u cau đưoc xác đ%nh bói cơng thúc   ∆ = v ∈  |P | R+ : p∈P∂ vp = gi ∀i ∈ I, ™ vp ™ γp ∀p ∈ P  (3.4)  Trong trưòng hop này, ∆ mđt a diắn loi compact %nh ngha 3.1 Mđt lưói giao thơng {G, I, C(v), g} bao gom đo th% G = (N, A), mđt I cna cắp OD, m®t hàm chi phí lai C(v) = (Ca(v) : a ∈ A) , m®t véc tơ vói yêu cau g = (gi : i ∈ I) Sau sú dung ngun lí toi ưu hố đưoc đưa bói Wardrop (1952) [13] Đieu ki¾n cân bang giái thích ve sn phu thu®c ve sn cân bang vào hàm đưòng Đ%nh nghĩa 3.2 ( [13], ngun lí cân bang Wardrop) M®t lưu lưong v mang {G, I, C(v), g} đưoc goi m®t sn cân bang neu thố mãn đieu ki¾n tai moi i ∈ I, ∀p ∈ Pi Cp(v) − ui(v) = 0, neu vp > Ngun lí có the tương đương vói đieu sau Neu Cp(v) (sn tiêu ton đưòng p ∈ pi) lón ui(v) (sn tiêu ton ve đưòng nhó nhat cho c¾p OD) vp = (sn cân bang p khơng) T¾p hop nhung giá tr% cna nhung sn vi¾c dan đen sn cân bang đưòng p bang khơng t¾p khơng rong đieu có nghĩa sn cân bang tat cá cung cna p nhung so khơng! Bài tốn ve tìm sn cân bang v đưa mang {G, I, C(v), g} đưoc goi tốn cân bang mang giao thơng 3.2 Goi Đưa tốn cân bang mang giao thơng ve toán bù S(v) = {Cp(v) − ui(v) : p ∈ Pi, i ∈ I} Chúng ta thay rang so phan bù cna véc tơ S(v) bang |P | Vì Cp(v) − ui(v) “ vói tat cá p ∈ Pi, i ∈ I Chúng ta có S(v) ≥ Chú ý rang v = (vp : p ∈ P ) véc tơ âm khơng M¾nh đe 3.1 M®t lưu lưong v ∈ ∆ mang {G, I, C(v), g} cân bang neu chí neu  v “ 0, S (v) “ 0,  vp = gi ∀i ∈ p∈Pi  (3.5) I, (S(v), v) = Chúng minh Giá sú rang v = {vp : p ∈ P } m®t lưu lưong thố mãn (3.5) Vì v ≥ S(v) ≥ thúc (S(v), v) = tương đương vói vp (Cp(v) − ui(v)) = 0, ∀p ∈ Pi, i ∈ I Do vói moi i ∈ I moi p ∈ P , neu vp > Cp(v) − ui(v) = Đieu có nghĩa rang ngun lí Wardrop thố mãn Ngưoc lai, neu v = {vp : p ∈ P } tù sn cân bang de dàng suy rang (3.5) Chú ý rang (3.5) toán phi tuyen tớnh oc hỡnh thnh trờn mđt a diắn loi vói ràng bu®c v ∈ ∆, f (v) “ 0, vT f (v) = 0, ó f (v) := S(v) ∆ ⊂ R + 3.3 |P| Q Đưa tốn cân bang mang giao thơng ve toán bat thNc bien phân Xét sn liên thuđc ma trắn B = (ip) cna quan hắ "ng c¾p OD" é βip = neu p ∈ Pi neu p ∈/ P i Chú ý rang lưu lưong v thoá mãn yêu cau neu chí neu Bv = g (3.6) Th¾t v¾y, (3.6) có nghĩa rang (Bv)i = gi vói tat cá i ∈ I Đieu tương đương (3.2) Lay ∆ đưoc đ%nh nghĩa ó (3.3) ho¾c (3.4) M¾nh đe tiep theo đưoc đưa bói Smith (1979) Dafermos (1980) ( xem [13]), đưa toán cân bang mang giao thơng ve tốn bat thúc bien phân Chúng minh dưói cna De Luca Maugeri (1989) [13] Mắnh e 3.2 Mđt lu long v ∆ m®t sn cân bang cúa mang {G, I, C(v), g} neu chí neu (C(v), v − v) “ ∀v ∈ ∆ (3.7) Chúng minh Đieu ki¾n can Lay v ∈ ∆ m®t sn cân bang Lay v ∈ ∆ đ%nh nghĩa = {p ∈ Pi : Cp(v) = ui(v)} , i P = {p ∈ P : C (v) > u (v)} i (1)i p P (2) Theo ngun lí Wardrop, có (C (v) , v − v) = Cp(v)(vp − vp) p∈P =  i∈I   = i  Cp(v)(vp − vp) p∈Pi    Cp(v)(vp − vp) (2) Cp(v)(vp − v p) (1) i∈I p∈ i p∈ i + P P     ui(v)vp ui(v)(vp − vp) “ (2) (1) i∈I p∈ i p∈ i + P P     − ) + = ui(v) p (v v  vp p  (1) (2) i∈I = i∈I  p∈ P i p∈ P ui(v)(gi − gi) = i Vì v¾y (3.7) Đieu ki¾n đú Lay v ∈ ∆ giá sú (3.7) ỳng Nú thúa neu mđt cắp OD i0 ∈ I ton tai hai đưòng p ∈ Pi0 cho ˆ p ∈ Pi0 ˜ Cp ˆ(v) > Cp˜ (v) , vp˜ = Xét véc tơ v = {vp :p ∈ P } đ%nh nghĩa bói pp neu p ∈/ {ˆ ˜} p, p vp =  vp + vp neu p = ˜p ˆ ˜  neu p =pˆ Chúng ta có v ≥ vp = gi, ∀i ∈ I i∈Pi Th¾t v¾y, neu i ƒ= i0 thúc rõ ràng Neu i = i0 có p∈Pi0 p v = p, ˜} p∈Pi0 \{ˆ p = vp vp (vp − vp) ˆ ˜ p∈Pi0 = gi Hơn nua v ∈ ∆ Tù (3.7) dan đen đieu sau ™ (C(v), v − v) = Cp(v) (vp − vp) p∈P = Cp (v) (vp − vp) + Cp (v) (vp − vp) ˆ ˆ ˆ ˜ = −Cˆ (v) vp + Cp (v) vp p ˆ ˜ ˜ ˜ ˆ = −vˆ (Cp (v) − Cp (v)) p ˆ ˜ Vì v¾y Cˆp (v) − ˜Cp (v) > 0, cóˆ vp = Q Chúng ta tiep tuc chúng tó rang (3.7) có the bieu th% bói bat ang thỳc bien phõn trờn mđt cna lu long cung Theo (3.1), vA = Dv, ∀v ∈ ∆ Do đó, t¾p Z cna lưu lưong cung có the đ%nh nghĩa sau Z = {z : z = Dv, v ∈ ∆} = {z : z = Dv, Bv = g, v “ 0} (3.8) M¾nh đe 3.3 M®t lưu lưong vA = {va : a ∈ A} ∈ Z tương úng vói sn cân bang cúa mang {G, I, C(v), g} neu chí neu (C (v) , vA − vA) “ 0, (3.9) vói tat cá vA = {va : a ∈ A} ∈ Z Chúng minh Nhó rang C(v) véc tơ chi phí lai cung Theo đ%nh nghĩa cna ma tr¾n D = (δap), có (C(v), vA − vA) = Ca(v) (va − va) a∈A =  a∈A Ca(v)   p∈P δapvp −   δapvp p∈P  = Ca(v)δap (vp − vp) p∈P a∈A (vp − vp) = p∈P Ca(v)δap a∈A = Cp(v) (vp − vp) p∈P = (C (v) , vp − vp) Chúng minh bo sung cho vi¾c sú dung (3.8), m¾nh đe (3.2) thúc (C (v) , vA − vA) = (C (v) , v − v) Đieu vói moi v ∈ ∆ Q Bat thúc bien phân (3.9) ve m®t phương di¾n đơn gián (3.7) Cá hai bat thúc đeu bat thúc bien phõn trờn a diắn loi, nhng rng buđc ve cna (3.9) thũng oc ỳng dung rđng rói Ngồi nhung trưòng hop cu the giá thiet rang C(v) hàm đơn đi¾u đ%a phương manh Ket lu¾n Trong chương này, nghiên cúu ve khái ni¾m mang lưói giao thơng, sn cân bang mang lưói giao thơng, đưa tốn cân bang mang giao thơng ve tốn bù, đưa tốn cân bang mang giao thơng ve tốn bat thúc bien phân Đây úng dung quan cna bat thúc bien phân KET LU¾N Trong lu¾n văn này, đưa đưoc khái ni¾m bat thúc bien phân affine, đieu ki¾n can, đieu ki¾n đn đe toán bat thúc bien phân affine ton tai nghi¾m, úng dung cna tốn vào tốn cân bang mang giao thơng Cu the là: • Đưa đưoc khái ni¾m bat thúc bien phõn affine tự sn mú rđng khỏi niắm bi toỏn toi ưu, bat thúc bien phân, toán bù, tốn bù tuyen tính Nghiên cúu bat túc bien phân affine t¾p đa di¾n loi, nón loi a oc ieu kiắn can, ieu kiắn đn ve sn ton tai nghi¾m dưói đieu ki¾n đơn đi¾u, dưói đieu ki¾n đơn đi¾u nón, nhung ví du khang đ%nh cho sn ton tai • Đưa úng dung cna bat thúc bien phân affine vào tốn cân bang mang giao thơng vói hàm chi phớ l hm n iắu Mđt so van e can tiep tuc nghiên cúu: Trong toán bat thúc bien phân affine đieu ki¾n đơn đi¾u nón thay bang đieu ki¾n yeu sau đây: q ∈ [Sol (AV I (M, 0, + ∆))] ⇔ v∈ + , v ∈ ∆, Mv ∈ ∆ , Rn 0+ T ⇒ q v“ Mv = vT Trong úng dung vào toán cân bang mang giao thơng thay hàm chi phí C (v) đơn đi¾u bang đieu ki¾n sau đây: C (v) hàm đơn đi¾u đ %a phương manh Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Bùi Tien Dũng(2005), Tính on đ%nh bat thúc bien phân tna bien phân, Lu¾n văn Thac sy Tốn hoc, Vi¾n Tốn hoc Vi¾t Nam [2] Lê Dũng Mưu, Nh¾p mơn phương pháp toi ưu, Nhà xuat bán Khoa hoc ky thuắt, H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [3] A Beck and M Teboull (2000), "Global optimality conditions for quadratic optimization problems with binary constrains" , SIAM J Op-tim, 11(1), 179 -188 [4] Aussel, D., and Hadjisavas, N.,(2004), "Technical note On Quasimono- tone Variational Inequalities", J Optim Theory Appl [5] A Migdalas, P.M Pardalos, P Varbrand (2001), "From Local to Global Optimization", Nonconvex Optim Appl., Kluwer Academic Publishers, 53 [6] A Nagurney (1993), Network Economics: A Variational Inequality Approach, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [7] C A Floudas and V Visweswaran (1995), Quadratic optimization, Handbook of Global Optimization, Kluwer Academic Publisher, The Netherlands, 217–269 [8] Cottle, R.W, Giannessi, F., and Lions,J.L,(1998), Variational Inequalities and Coplementarity problems: Theory Application, John Wiley (New York) 54 [9] Cottle, R.W, Pang, J.-S, and Stone, R.E., (1992), The Linear Coplementarity problems, Academic Press [10] Couziex, J.-P., and S Schaible (1996), Generalized monotone affine maps, SIAMJ Matric Anal [11] Kinderlehrer, D., Stampacchia, G., (1980), An Introductionto Variational Inequalities and Their Application, Academic Press [12] Facchinei, F., and Pang, J.-S, (2003), Finite-Dimensional Variational Inequalities and Coplementarity problems, Vol I, II, Springer, USA [13] G Dahl (2000), "A note on diagonally matrices", Linear Algebra Appl, 317(1-3), 217–224 [14] G M Lee, N N Tam, N D Yen (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A qualitative study., Nonconvex Optimization and its Applications, 78, Springer-Verlag, New York [15] Gowda, M.S., and Pang, J.-S (1992), "Some existence results for mul- tiralued Coplementarity Problems", Mathematics of Operations Re- search 14 [16] Jeyakumar, V., Luc, D.T., and Schaible,S., (1998), Charaterizations of generalized monotone maps using approximate Jacobians, J.Convex Anal [17] Karamandian, S., and Schaible,S., (1990), Charaterizations of generalized monotone maps, J Optim Theory Appl [18] Karamandian, S., and Schaible,S., and J.P Crouzeix (1993), Seven kinds of monotone maps, J Optim Theory Appl [19] A.M Rubinov and Z Y Wu (2006), "Necessary global optimality con- ditions for quadratic optimization problems", University of Ballarat, Australia (preprint) 55 [20] M S Gowda and J.-S Pang (1994b), Stability analysis of variational inequalities and nonlinear complementarity problems, via the mixed linear complementarity problem and degree theory, Mathematics of Operations Research, 19, 831-879 [21] N D Yen and N X Hung (2001), A criterion for the compactness of the solution set of a linear complementarity problem, In Fixed Point Theory and Applications Vol (Y J Cho, J K Kim and S M Kang, Eds.), Nova Science Publishers, New York [22] P Hartman and G Stampacchia (1966), On some non-linear elliptic differential-functional equations, Acta Mathernatica,115, 271-310 [23] Rockafellar, R.T, (1970), Convex Analysis, Princeton University Press [24] Cottle, R.W, Pang, J.-S, and Stone, R.E., (1992), The Linear Complementarity Problem, Academic Press [25] S M Robinson (1982), Generalized equations and their solutions, Part 11: Applications to nonlinear programming, Mathematical Programming Study, 19, 200-221 ... bien phân affine Trong chương này, tìm hieu khái ni¾m bat thúc bien phân, bat thúc bien phân affine, khái ni¾m tốn bù tính chat cna chúng Chương 2: Sn ton tai nghi¾m cho tốn bat thúc bien phân affine. .. bien phân affine 5 Chương 3: Úng dung cna bat thúc bien phân affine vào toán cân bang mang giao thơng Trong chương này, tìm hieu khái ni¾m lưói giao thơng Sn tương úng cna tốn bat thúc bien phân. .. bi¾t hóa tù bat thúc bien phân thành bat thúc bien phân affine, nghiên cúu tính chat cna toán bat thúc bien phân affine, sn ton tai nghiắm cna nú v mđt phan ỳng dung cna nú vào cân bang mang lưói