Bất đẳng thức biến phân đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Bất đẳng thức biến phân đơn điệu 1.1 Toán tử đơn điệu 1.1.1 Một số tính chất không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.1.3 Toán tử đơn điệu 1.2 Bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân không gian 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian 11 Euclid 11 Banach 16 Chương Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 2.1.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại 2.1.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đối ngẫu suy rộng 2.2 Tham số hiệu chỉnh 2.2.1 Độ lệch suy rộng 2.2.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh 23 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 23 23 27 30 30 33 ii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình hướng dẫn tác giả trình nghiên cứu viết luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư công tác Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàm lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, với giúp đỡ nhiệt tình PGS TS Nguyễn Thị Thu Thủy, truyền thụ kiến thức cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, toàn thể thầy cô trường giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập Trường Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8C (khóa 2014-2016), bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 Tác giả luận văn Lương Thị Thương Bảng ký hiệu R N∗ Rn H X Ω C ∅ ∀x ∃x f (x) inf F (x) trường số thực tập số tự nhiên khác không gian Euclide n-chiều không gian Hilbert thực không gian Banach thực tập đóng lồi X tập lồi đóng khác rỗng X tập rỗng x tồn x cực tiểu hàm f (x) infimum tập {F (x) : x ∈ X} x, y x xn → x xn x T I IΩ ∂IΩ D(T ) R(T ) Gr(T ) int C f ∂f tích vô hướng hai vectơ x y chuẩn véctơ x xn hội tụ mạnh đến x xn hội tụ yếu đến x toán tử đơn điệu không gian Hilbert toán tử đồng H hàm tập Ω vi phân hàm miền xác định toán tử T miền giá trị toán tử T đồ thị toán tử T phần tập hợp C gradient hàm f vi phân hàm lồi f x∈X Mở đầu Cho X không gian Banach thực Ký hiệu X ∗ không gian liên hợp X, C tập lồi đóng khác rỗng X, A : X → X ∗ ánh xạ phi tuyến Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian Banach (viết tắt VI(A, C)) phát biểu sau: Tìm phần tử x∗ ∈ X thỏa mãn: x∗ ∈ C : Ax∗ , x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (0.1) Bất đẳng thức biến phân VI(A, C) đưa nghiên cứu Stampacchia (xem [6]) vào năm đầu thập kỷ 60 nghiên cứu toán biên phương trình đạo hàm riêng Từ phương pháp bất đẳng thức biến phân quan tâm nghiên cứu rộng rãi trở thành công cụ hữu hiệu việc xây dựng kỹ thuật để giải số nhiều toán kinh tế kỹ thuật Mặc dù có nhiều kết nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân, việc cải tiến phương pháp nhằm gia tăng hiệu đề tài thời sự, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong không gian Hilbert H, bất đẳng thức biến phân VI(A, C) tương đương với toán điểm bất động: x∗ = PC (x∗ − µAx∗ ), (0.2) PC phép chiếu mêtric từ H lên tập lồi đóng C H µ > số tùy ý Do đó, phương pháp chiếu số biến thể phương pháp dùng để giải bất đẳng thức biến phân (0.1) Nếu ánh xạ A đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz C số µ > đủ nhỏ, ánh xạ xác định vế phải (0.2) ánh xạ co Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm dãy lặp Picard un+1 = PC (un − µA(un )) (0.3) hội tụ mạnh tới nghiệm toán (0.1) Phương pháp chiếu không dễ dàng thực thi phức tạp tập lồi C Để khắc phục nhược điểm này, Yamada [7] đề xuất phương pháp lai đường dốc vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert H Chú ý rằng, toán điểm bất động ánh xạ không giãn, nói chung, toán đặt không chỉnh Do đó, toán bất đẳng thức biến phân VI(A, C), nói chung, toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm toán không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải toán này, phải sử dụng phương pháp giải ổn định Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (xem [4] tài liệu trích dẫn) Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày lại số kết [4] hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu không gian Banach Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương với tiêu đề "Bất đẳng thức biến phân đơn điệu" nhằm giới thiệu số khái niệm tính chất không gian Banach, không gian Hilbert, ánh xạ đơn điệu toán bất đẳng thức biến phân không gian Euclid không gian Banach Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[3] Chương hai với tiêu đề "Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu" nhằm giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại ánh xạ đối ngẫu suy rộng, đồng thời trình bày phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [4] Chương Bất đẳng thức biến phân đơn điệu Chương trình bày khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert; bất đẳng thức biến phân đơn điệu không gian Euclid không gian Banach; số ví dụ bất đẳng thức biến phân đơn điệu Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1]-[3] 1.1 1.1.1 Toán tử đơn điệu Một số tính chất không gian Banach Cho X không gian Banach thực phản xạ, X ∗ không gian liên hợp X, hai có chuẩn kí hiệu , kí hiệu SX := {x ∈ X : x = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach X, kí hiệu x∗ , x giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X gọi không gian lồi chặt với x, y ∈ SX , x = y suy (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1) Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach thực X gọi không gian có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) X phản xạ X hội tụ yếu phần tử xn x hội tụ chuẩn xn → x kéo theo hội tụ mạnh xn − x → Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian lồi địa phương f : X → R ∪ {±∞} Khi đó, (i) Hàm f gọi nửa liên tục x¯ ∈ X (với f (¯ x) < ∞), với > 0, tồn lân cận U x¯ cho f (¯ x) − ≤ f (y) ∀y ∈ U ; (ii) Hàm f gọi nửa liên tục X f nửa liên tục x¯ ∈ X 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 Cho H không gian tuyến tính R, tích vô hướng xác định H ánh xạ , : H × H −→ R (x, y) −→ x, y thỏa mãn điều kiện sau đây: x, y = y, x với x, y ∈ H; x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H; λx, y = λ x, y với x, y ∈ H, λ ∈ R; x, x ≥ với x ∈ H x, x = ⇔ x = Số x, y gọi tích vô hướng hai vectơ x, y H Định nghĩa 1.1.5 Cặp (H, , ), H không gian tuyến tính R, , tích vô hướng H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.6 Mọi không gian tiền Hilbert H không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức x = x, x ∀x ∈ H (1.1) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định (1.1) H gọi không gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Không gian Rn không gian Hilbert với tích vô hướng n x, y = x k yk k=1 Trong x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , chuẩn cảm sinh n x = x, x = n x2k xk xk = k=1 k=1 Định nghĩa 1.1.9 Tập hợp C ⊆ H gọi tập lồi ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Định nghĩa 1.1.10 Tập C ⊂ H gọi tập đóng dãy hội tụ {xn } ⊂ C có giới hạn thuộc C, nghĩa với {xn } ⊂ C cho xn → x kéo theo x ∈ C Định lý 1.1.11 Nếu C tập lồi đóng không gian Hilbert H tồn phần tử x0 ∈ C cho x0 ≤ x với x ∈ C Chứng minh Áp dụng đẳng thức hình bình hành, với x, y ∈ C ta có x + y + x − y = 2( x + y )2 Do x−y = 2( x + y 2) − Đặt d = inf x Vì C tập lồi nên x∈C x+y ≥ d Từ (1.2) ta có x−y ≤ 2( x x+y 2 (1.2) x+y ∈ C, kéo theo + y ) − 4d2 (1.3) 29 hàm µ(t) Trong bất đẳng thức (2.22) ta suy σµ (α) hàm không tăng Bổ đề 2.1.5 Cho X không gian có tính chất E-S, X ∗ không gian ∗ lồi chặt, A, Ah : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại với miền xác định D(A) = D(Ah ), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng X cho (2.1) Khi đó, lim xγα = x∗ , x∗ ∈ Ω x∗ = α→∞ min{ x | x ∈ Ω} Chứng minh Trước tiên ta thấy rằng, tính lồi đóng tập Ω không gian X có tính chất E-S, phần tử x∗ tồn xác định Áp dụng (2.3), (2.19) định nghĩa ánh xạ đối ngẫu J µ , ta có bất đẳng thức µ( xγα )( xγα − x∗ ) − xγα − x∗ h δ + g( x∗ ) α α δ h + g( x∗ ) ≤ ∀x∗ ∈ S, α α x¯ ∈ X từ suy tính bị chặn dãy {xγα1 } α → ∞ Do xγα1 ∗ x¯ ∈ Ω theo Định lí Mazur Ta thấy x¯ = x tính chất J µ Từ (2.19), ta có yαγ − y h , xγα − z + α µ( xγα ) − µ( z ) ( xγα − z ) + α J µ z, xγα − z ≤ y h − f δ , z − xγα ∀y h ∈ Ah z, ∀z ∈ Ω Từ điều kiện đơn điệu toán tử Ah ta suy bất đẳng thức µ( xγα ) − µ( z ) ( xγα − z ) + J µ z, xγα − z ≤ yh − f δ α ∗ z − xγα (2.23) Ta có đánh giá J µ z, xγα yh − f δ −z ≤ α ∗ z − xγα ∀z ∈ Ω (2.24) Trong (2.24), cho α → ∞ ta nhận J µ z, x¯ − z ≤ ∀z ∈ Ω (2.25) 30 Do (2.25) đảm bảo đẳng thức x¯ = x∗ xảy Nếu (2.23) z = x∗ xγα → x∗ α → ∞ Vì X không gian có tính chất E-S nên suy bổ đề chứng minh 2.2 2.2.1 Tham số hiệu chỉnh Độ lệch suy rộng Bây ta xét nguyên lý độ lệch suy rộng (2.20) Rõ ràng ρµ (α) = ασµ (α) Từ Bổ đề 2.1.4, ρµ (α) đơn trị liên tục với α ≥ α0 > Ta nghiên cứu α → ∞ Từ Bổ đề 2.1.5 θX ∈ / Ω, lim ρµ (α) = ∞ α→∞ Cho θX ∈ Ω xγα → θX α → ∞ Từ Bổ đề 1.2.16 bất đẳng thức biến phân (2.18) tương đương với f δ ∈ B h xγα + αJ µ xγα , với B h toán tử đơn điệu cực đại cho ∗ B h = Ah + ∂IΩ : X → 2X , (2.26) ∗ ∂IΩ : X → 2X vi phân hàm tập Ω Rõ ràng D(B h ) = Ω Do đó, có phần tử ξαγ ∈ B h xγα cho ξαγ + αJ µ xγα = f δ (2.27) Ta dãy {ξαγ } bị chặn α → ∞ Tính đơn điệu B h cho ta bất đẳng thức ξαγ − ξ h , xγα ≥ ∀ξ h ∈ B h (θX ) (2.28) Sử dụng tính chất (J ν )∗ = (J µ )−1 ánh xạ đối ngẫu J µ không gian X có tính chất E-S, ta thu từ (2.27) đẳng thức sau: xγα ν ∗ = (J ) f δ − ξαγ , α 31 J ν ánh xạ đối ngẫu X ∗ với hàm đo ν(t) = µ−1 (t) Khi (2.28) viết sau δ γ ξαγ − ξ h ν ∗ f − ξα , (J ) α α ≥ ∀ξ h ∈ B h (θX ) Không khó để suy từ bất đẳng thức ξαγ − f δ ≤ ξh − f δ ∗ ∀ξ h ∈ B h (θX ), ∗ (2.29) bảo toàn tính bị chặn {ξαγ } Do đó, ξ ∈ X∗ ξαγ α → ∞ (2.30) Vì toán tử đơn điệu cực đại B h demi-đóng, ξαγ ∈ B h (xγα ) xγα → θX α → ∞, ta có giới hạn nghiệm ξ ∈ B h (θX ) Từ hội tụ yếu (2.30) (2.29) suy bất đẳng thức sau: ξ − fδ ∗ ≤ lim inf ξαγ − f δ α→∞ ≤ lim sup ξαγ − f δ α→∞ h ≤ ξ − fδ ∗ ∗ (2.31) ∀ξ h ∈ B h (θX ) ∗ Do đó, ξ − fδ ∗ = min{ ζ − f δ ∗ | ζ ∈ B h (θX )} (2.32) Vậy dãy {ξαγ } hội tụ yếu đến ξ ξ xác định từ (2.32) Sự biểu diễn toán tử B h (2.26) nghĩa θX ∈ intΩ tập Ah B h trùng θX Do đó, trường hợp này, ξ ∈ Ah (θX ) ξ − fδ ∗ = min{ ζ − f δ ∗ | ζ ∈ Ah (θX )} Kết (2.31) suy hội tụ chuẩn: ξαγ − f δ ∗ → ξ − fδ ∗ α → ∞ Tương tự trên, ta tìm từ (2.27) ρµ (α) = ξαγ − f δ ∗ , (2.33) 32 ξ ∈ B h (θX ) Cuối ta cần chứng minh X ∗ không gian E-S, ξαγ → ξ α → ∞ Ta nêu bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Cho B h định nghĩa (2.26) Cho X không gian ∗ có tính chất E-S, X ∗ không gian lồi chặt, A, Ah : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại với miền xác định D(A) = D(Ah ), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng X cho (2.1) Khi đó, (i) θX ∈ / Ω lim ρµ (α) = ∞; α→∞ (ii) θX ∈ Ω ξαγ ξ α → ∞, ξαγ ∈ B h xγα ξ ∈ B h (θX ) Thêm vào đó, lim ρµ (α) = ξ − f δ ∗ , α→∞ (iii) θX ∈ ∂Ω ξ thỏa mãn điều kiện (2.32); (iv) θX ∈ intΩ ξ thỏa mãn điều kiện (2.33); (v) X ∗ không gian E-S ξαγ ξ α → ∞ Thay xét bất đẳng thức (2.18), ta xét bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh sau: Ah x + αJ µ (x − z ) − f δ , z − x ≥ ∀z ∈ Ω, x ∈ Ω, (2.34) z phần tử cố định X Bổ đề 2.2.2 Cho xγα nghiệm bất đẳng thức (2.34) B h định nghĩa (2.26) Cho X không gian có tính chất E-S, X ∗ ∗ không gian lồi chặt, A, Ah : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại với miền xác định D(A) = D(Ah ), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng X cho (2.1) đúng, hàm σ(α) = xγα − z đơn trị, liên tục không tăng Thêm vào đó, xγα → x∗ α → ∞, x∗ ∈ Ω định nghĩa toán cực tiểu sau: x∗ − z = min{ x − z | x ∈ Ω} 33 Hàm ρµ (α) = αµ( xγα − z ) hàm đơn trị liên tục Hơn nữa, (i) z ∈ / Ω lim ρµ (α) = ∞; α→∞ (ii) z ∈ Ω ξαγ ξ0 α → ∞, ξαγ ∈ B h xγα ξ0 ∈ B h (z ) Thêm vào đó, lim ρµ (α) = ξ0 − f δ ∗ ; α→∞ (iii) z ∈ ∂Ω ξ0 ∈ B h z có đẳng thức ξ0 − f δ ∗ = min{ ζ − f δ ∗ | ζ ∈ B h z }; ∗ | ζ ∈ Ah z } (iv) z ∈ intΩ ξ0 ∈ Ah z ξ0 − f δ ∗ = min{ ζ − f δ Chứng minh Chứng minh trình bày tương tự lập luận bổ đề trước 2.2.2 Nguyên lý độ lệch suy rộng chọn tham số hiệu chỉnh Sử dụng Bổ đề 2.1.4 - 2.2.1, ta phát biểu chứng minh nguyên lý độ lệch suy rộng cho bất đẳng thức biến phân (2.18) Trước tiên ta xét trường hợp toán tử đơn điệu cho xác Định lý 2.2.3 Cho X không gian có tính chất E-S với X ∗ lồi chặt, A : X → X ∗ đơn điệu cực đại toán tử hemi-liên tục với miền xác định D(A), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng Giả sử bất đẳng thức biến phân (2.2) có tập nghiệm S khác rỗng x¯∗ ∈ S nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, f δ δ−xấp xỉ f cho f − f δ ∗ ≤ δ ≤ θX ∈ / Ω Khi tồn α ¯ > cho ρ(¯ α) = α ¯ xδα = kδ p , k > 1, p ∈ (0, 1], (2.35) xδα nghiệm (cổ điển) bất đẳng thức biến phân hiệu 34 chỉnh Ax + αJx − f δ , z − x ≥ ∀z ∈ Ω, x ∈ Ω, (2.36) với α = α ¯ Hơn nữa, (i) δ → α ¯ → 0; (ii) δ → p ∈ (0, 1) xδα → x¯∗ δ → 0; α ¯ (iii) δ → 0, p = S = {x0 } xδα δ số C > cho ≤ C α ¯ x0 tồn Chứng minh Trong Định lí 1.1.35, toán tử đơn điệu cực đại toán tử hemi-liên tục A định nghĩa tập D(A) Vì intD(A) ∩ Ω = ∅ Do đó, trường hợp áp dụng kết Bổ đề 1.2.13 Định lí 1.2.20 Theo chứng minh Định lí 2.1.1, ta suy bất đẳng thức xδα ≤ δ + x∗ α xδα + δ ∗ x α ∀x∗ ∈ S (2.37) Suy xδα ≤ x∗ + δ α ∀x∗ ∈ S (2.38) Cố định x∗ ∈ S chọn α cho 2α x∗ < (k − 1)δ p , k > 1, p ∈ (0, 1] (2.39) Suy ρ(α) = α xδα ≤ α x∗ + δ < (k − 1)δ p + δ ≤ kδ p Mặt khác, từ Bổ đề 2.2.1 lim ρ(α) = ∞ α→∞ Sau tồn α ¯ suy từ tính liên tục ρ(α) Tiếp theo, từ (2.39) ta có bất đẳng thức (k − 1)δ p α ¯> x∗ (2.40) 35 Do đó, δ x∗ δ 1−p ≤ α ¯ k−1 δ δ → δ → p ∈ (0, 1), ≤ C với C = x∗ (k − 1)−1 Vây α ¯ α ¯ δ → p = Dễ dàng thấy (2.38) suy tính bị chặn dãy {xδα¯ } Vì thế, ta thu kết xδα¯ x¯ ∈ X δ → Vậy Ω tập đóng yếu theo định lí Mazur, nên suy x¯ ∈ Ω Vì vậy, x¯ ∈ S Xét toán tử đơn điệu cực đại ∗ B : A + ∂IΩ : X → 2X Rõ ràng D(A) = Ω Theo Bổ đề 1.2.16, từ bất đẳng thức biến phân (2.36) với α = α ¯ , ta có f δ ∈ Bxδα¯ + α ¯ Jxδα¯ Điều có nghĩa tồn ξαδ¯ ∈ Bxδα¯ cho ξαδ¯ + α ¯ Jxδα¯ = f δ Từ (2.35), ta nhận ρ(¯ α) = α ¯ xδα¯ = ξαδ¯ − f δ ∗ = kδ p Suy giới hạn: ξαδ¯ → f δ → Viết lại tính chất đơn điệu toán tử B sau ξαδ¯ − Az − y, xδα¯ − z ≥ ∀z ∈ Ω, ∀y ∈ ∂IΩ z (2.41) Vì θX ∗ ∈ ∂IΩ z với z ∈ Ω, ta đặt y = θX ∗ Sau đó, cho (2.41) qua giới hạn δ → 0, ta f − Az, x¯ − z ≥ ∀z ∈ Ω Bất đẳng thức sau tương đương với (1.9) theo Bổ đề 1.2.13 Nghĩa x¯ ∈ S Cho p ∈ (0, 1) Cùng với (2.38), bất đẳng thức (2.37) cho ta 36 đánh giá xδα¯ ≤ 2δ + x∗ α ¯ ∀x∗ ∈ S (2.42) Hơn với tính hội tụ yếu xδα¯ đến x¯ ∈ S, từ (2.42) ta có x¯ ≤ lim inf xδα¯ ≤ lim sup xδα¯ ≤ x∗ δ→0 ∀x∗ ∈ S (2.43) δ→0 Do x¯ = x¯∗ ngiệm có chuẩn nhỏ x¯∗ ∈ S Tuy nhiên hội tụ xδα¯ đến x¯∗ δ → suy từ (2.43) Vì X không gian có tính chất E-S, nên điều kiện ii) thỏa mãn Từ (2.35), ta có kδ p (2.44) α ¯= δ xα¯ Ta thấy xδα¯ > với δ > đủ nhỏ x¯∗ = θX Sau ta giả thiết θX ∈ / Ω Khi đó, từ (2.44) ta có α ¯ → δ → p ∈ (0, 1) Nếu p = xδα¯ x0 = θX Từ tính chất liên tục yếu chuẩn không gian Banach, ta có x0 ≤ lim inf δ→0 xδα¯ , ta kết luận α ¯ → δ → Định lý 2.2.4 Cho X không gian có tính chất E-S với X ∗ lồi chặt, A : X → X ∗ đơn điệu cực đại toán tử hemi-liên tục với miền xác định D(A), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng Giả sử bất đẳng thức biến phân (2.2) có tập nghiệm S khác rỗng x¯∗ ∈ S nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, f δ δ−xấp xỉ f cho f − f δ ∗ ≤ δ ≤ θX ∈ / Ω, θX ∈ Ω ξ0δ − f δ ∗ > kδ p , k > 1, p ∈ (0, 1], ξ0δ định nghĩa sau: (i) θX ∈ intΩ ξ0δ = A(θX ); (ii) θX ∈ ∂Ω ξ0δ − f δ = min{ ζ − f δ ∗ | ζ ∈ B(θX )}, B = A + ∂IΩ Khi kết luận Định lí 2.2.3 (2.45) 37 Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.1, ta có lim ρ(α) = ξ0δ − f δ ∗ α→∞ Trong (2.40), tồn α > cho ρ(α) < kδ p Điều kiện (2.36) đảm bảo α ¯ thỏa mãn (2.45) tồn Vì khả giải bất đẳng thức biến phân (2.36) tương đương với f ∈ Bx, D(B) = Ω Bx = Ax với x ∈ intΩ, kết (2.45) θX ∈ / S Những khẳng định lại chứng minh Định lí 2.2.3 Cùng với (2.36), ta nghiên cứu bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Axδα + αJ(xδα − z ) − f δ , z − xδα ≥ ∀z ∈ Ω, xδα ∈ Ω z điểm bất động X Với điều kiện Định lí 2.2.3 2.2.4, không khó để chứng minh rằng: (i) Nếu z ∈ / Ω Định lí 2.2.3 ρ(α) = α xδα − z Vectơ x¯∗ định nghĩa toán cực tiểu sau: x¯∗ − z = min{ x∗ − z | x∗ ∈ S} (ii) Nếu z ∈ Ω Định lí 2.2.4 đúng, chứng minh rằng: trường hợp z ∈ intΩ, (2.45) thay bất đẳng thức ξ0δ − f δ ∗ = min{ζ − f δ | ζ ∈ Bz }, ∗ B = A + ∂IΩ Tiếp theo ta bỏ qua tính chất hemi-liên tục A ta xét định lí sau Định lý 2.2.5 Giả sử A toán tử đơn điệu cực đại Khi tất điều kiện Định lí 2.2.3 2.2.4 (2.1) thỏa mãn Mặt khác, θX ∈ intΩ, ξ0δ định nghĩa toán cực tiểu: ξ0δ − f δ ∗ = min{ ζ − f δ ∗ | ζ ∈ A(θX )} (2.46) Tương tự, z ∈ intΩ, ξδ0 định nghĩa ξδ0 − f δ ∗ = min{ ζ − f δ ∗ | ζ ∈ Az } (2.47) 38 Nếu θX ∈ ∂Ω (tương ứng, z ∈ ∂Ω) ξδ0 định nghĩa (2.46) (tương ứng, (2.47)), A thay B = A + ∂IΩ Bây ta phân tích bất đẳng thức biến phân với toán tử cho xấp xỉ Định lý 2.2.6 Giả sử X không gian có tính chất E-S với X ∗ ∗ lồi chặt, A : X → 2X toán tử đơn điệu cực đại với miền xác định D(A), Ω ⊂ D(A) tập lồi đóng, với điều kiện (2.1), bất đẳng thức biến phân (2.2) có tập nghiệm S khác rỗng x¯∗ ∈ S ∗ nghiệm có chuẩn nhỏ Cho Ah : X → 2X với h > toán tử đơn điệu cưc đại, Ω ⊂ D(Ah ) intD(Ah ) ∩ Ω = ∅ Cho điều kiện (2.5) (2.6), g(t) hàm không âm, liên tục hàm tăng < δ + h ≤ Hơn nữa, giả sử trường hợp θX ∈ Ω, bất đẳng thức biến phân phụ ξ0 − f δ ∗ > k + g(0) (δ + h)p , k > 1, p ∈ (0, 1], (2.48) thỏa mãn, ξ0 định nghĩa toán cực tiểu sau: (1) θX ∈ intΩ ξ0 − f δ ∗ = min{ ζ − f δ ∗ | ζ ∈ Ah (θX )}; ∗ = min{ ζ − f δ ∗ | ζ ∈ B h (θX )}, (2) θX ∈ ∂Ω ξ0 − f δ B h = Ah + ∂IΩ Khi tồn α ¯ thỏa mãn phương trình ρ(¯ α) = α ¯ xγα¯ = k + g( xγα¯ ) (δ + h)p , k > 1, p ∈ (0, 1], (2.49) xγα¯ nghiệm bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.8) với α = α ¯ γ = (δ, h) Hơn nữa, (i) γ → α ¯ → 0; (ii) γ → p ∈ (0, 1) xγα¯ → x¯∗ δ+h → 0; α ¯ 39 (iii) γ → 0, p = S = {x0 } xγα¯ δ+h số C > cho ≤ C α ¯ x0 tồn Chứng minh Áp dụng tính đơn điệu toán tử A, bất đẳng thức (2.12) điều kiện (2.5) (2.6) định lí, ta tính xγα ≤ δ h + g( xγα )+ x∗ α α xγα + δ h + g( xγα ) α α x∗ ∀x∗ ∈ S (2.50) Từ suy xγα ≤ x∗ + δ h + g( xγα ) ∀x∗ ∈ S α α Do đó, ρ(α) = α xγα ≤ 2α x∗ + δ + hg( xγα ) Nếu cho x∗ ∈ S, tham số α cho 2α x∗ < (k − 1)(δ + h)p , k > 1, p ∈ (0, 1], nghĩa α< k−1 (δ + h)p , ∗ x (2.51) ρ(α) < k + g( xγα ) (δ + h)p (2.52) Xét trường hợp thứ θX ∈ Ω Theo Bổ đề 2.1.5 2.2.1, ta có lim xγα = α→∞ lim ρ(α) = ξ − f δ ∗ , α→∞ ξ ∈ B h (θX ) Khi đó, từ tính liên tục ρ(α), g(t) từ (2.48), (2.52) tồn nghiệm α ¯ > phương trình (2.49) Hơn nữa, từ (2.51) suy α ¯> k−1 (δ + h)p ∗ x (2.53) Như chứng minh Định lí 2.2.4, khẳng định (i) (ii) cho 40 δ+h suy từ (2.53), trường hợp cho p = α ¯ p ∈ (0, 1) Nếu điều kiện đơn điệu toán tử Ah dùng (2.12) với α = α ¯ ta có bất đẳng thức tương tự (2.50): dãy xγα¯ ≤ δ h + g( x∗ )+ x∗ α ¯ α ¯ xγα¯ + δ h + g( x∗ ) α ¯ α ¯ x∗ ∀x∗ ∈ S Tương tự trên, ta có đánh giá xγα¯ ≤ x∗ + δ h + g( x∗ ) α ¯ α ¯ (2.54) Do đó, dãy {xγα¯ } bị chặn nên xγα¯ x¯ ∈ Ω γ → Vì x¯ ∈ S Thật vậy, bất đẳng thức biến phân (2.8) f δ ∈ B h xγα¯ + α ¯ Jxγα¯ , B h = Ah + ∂IΩ Điều nghĩa tồn ξαγ¯ ∈ B h ξαγ¯ cho ξαγ¯ + α ¯ Jxγα¯ = f δ Từ đẳng thức cuối (2.49) suy hội tụ mạnh {ξαγ¯ } đến f γ → Từ (2.6), với x ∈ Ω y ∈ Ax, ta trích dãy {y h }, y h ∈ Ah x, cho y h → y h → Khi đó, tính đơn điệu toán tử B h thể bất đẳng thức sau: ξαγ¯ − y h , xγα¯ − x ≤ ∀x ∈ Ω Cho γ → ta f − y, x¯ − x ≤ ∀x ∈ Ω, ∀y ∈ Ax Từ Bổ đề 1.2.13, ta suy x¯ ∈ S khẳng định định lí p = chứng minh Cho p ∈ (0, 1) Sử dụng tính hội tụ yếu xγα¯ đến x¯ ∈ S bất đẳng thức (2.48), ta chắn Định lí 2.2.3 x¯ = x¯∗ xγα¯ → x¯∗ γ → Vậy tính hội tụ mạnh xγα¯ → x¯∗ đưa vào không gian X có tính chất E-S Chứng minh α ¯ → γ → Nhằm điều kiện (2.48) đảm bảo θX ∈ / S Nếu θX ∈ N f ∈ B(θX ), B = 41 A+∂IΩ Theo định nghĩa toán tử B B h , tồn ξ h ∈ B h (θX ) cho ξ h − f ∗ ≤ hg(0) Khi ξh − f ∗ ≤ ξh − f δ ∗+ f − fδ ∗ ≤ hg(0) + δ ≤ (k + g(0) (δ + h)p , điều mâu thuẫn với (2.48) Chứng minh α ¯ (2.49) Giả sử (2.49) có hai nghiệm α ¯ β¯ cho ρ(¯ α) = α ¯ xγα¯ = k + g( xγα¯ ) (δ + h)p (2.55) ¯ = β¯ xγ¯ = k + g( xγ¯ ) (δ + h)p , ρ(β) β β (2.56) xγα¯ xγβ¯ thỏa mãn tương ứng bất đẳng thức sau: yαγ¯ + α ¯ Jxγα¯ − f δ , z − xγα¯ ≥ ∀z ∈ Ω, yαγ¯ ∈ Ah xγα¯ , xγα¯ ∈ Ω, (2.57) ¯ γ¯ − f δ , z − xγ¯ ≥ ∀z ∈ Ω, y γ¯ ∈ Ah xγ¯, xγ¯ ∈ Ω (2.58) yβγ¯ + βJx β β β β β Đặt x = xγβ¯ (2.57) z = xγα¯ (2.58) cộng bất đẳng thức vừa thu Ta suy ¯ γ¯, xγα¯ − xγ¯ ≤ yαγ¯ − yβγ¯, xγα¯ − xγβ¯ + α ¯ Jxγα¯ − βJx β β Nếu x ∈ / Ω từ Bổ đề 2.2.1, ta có lim ρ(α) = ∞ Do yêu cầu α→∞ (2.48) trường hợp bỏ qua Chú ý 2.2.7 Các toán ứng dụng quan trọng quy toán bất đẳng thức biến phân cho tập Ω định nghĩa sau [5] Ω = {u | u = u(x) ∈ X, u(x) ≥ 0} Ω = {u | u = u(x) ∈ X, u(x)|∂Ω = 0}, x ∈ G, G tập đo bị chặn Rn X không gian Banach 42 Kết luận Đề tài luận văn đề cập đến bất đẳng thức biến phân đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh Nội dung bao gồm: (1) Trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại bất đẳng thức biến phân đơn điệu với ánh xạ đối ngẫu suy rộng (2) Trình bày nguyên lý độ lệch suy rộng phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý độ lệch suy rộng bất đẳng thức biến phân đơn điệu Việc cải tiến phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu nhằm gia tăng hiệu vv hướng phát triển đề tài 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2005) [2] Nguyễn Bường, Hiệu chỉnh toán phi tuyến phương pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2001) [3] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2003) Tiếng Anh [4] Ya I Alber and I P Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer Verlag, New York (2006) [5] J.-L Lions, Quelques methodes de resolution des problems aux limits non linéaires, Dunod, Paris (1969) [6] G Stampacchia, "Formes bilineares coercitives sur les ensembles convexes", Comptes Rendus de lÁcadémie des Sciences, Paris, 258, 4413–4416 (1964) [7] Y Yamada, "The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intesectionof the fixed point sets of nonexpansive mappings, Inhently parallel algorithms in feasibility and optimization and their applications", Edited by D Butnariu, Y Censor, and S Reich, North-Holland, Amsterdam, Holland, 473–504 (2001) [...]... của bất đẳng thức (1.21) thu được từ (1.24) và (1.25) 23 Chương 2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu Chương này trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.9) trên tập ràng buộc được cho chính xác với toán tử nhiễu đơn điệu và ánh xạ đối ngẫu suy rộng Các kiến thức của chương này được tham khảo từ tài liệu [4] 2.1 2.1.1 Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức. .. kiện của Định lí 2.1.1 và 2.1.2, sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh (2.8) là tương đương với tính giải được của bất đẳng thức biến phân (2.2) x¯ ∈ X khi α → 0 Khi đó x¯ ∈ S được chứng Chứng minh Cho xγα minh trong Định lí 2.1.1 Chiều ngược lại được suy ra từ Định lí 2.1.1 và 2.1.2 27 2.1.2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đối ngẫu suy rộng Ta xét bất đẳng thức hiệu chỉnh tổng quát Ah x... định nghĩa bởi bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Ah x + αJx − f δ , z − x ≥ 0 ∀z ∈ Ω, x ∈ Ω, α > 0 (2.8) đến x¯∗ Theo Định lí 1.2.20, bất đẳng thức (2.8) có duy nhất nghiệm Kí hiệu nghiệm đó là xγα , trong đó γ = (δ, h) ∈ R0 và R0 = (0, δ ∗ ] × (0, h∗ ] với δ ∗ và h∗ là các hằng số dương Ta thấy rằng xγα là nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân (2.2) Vì Ah là một toán tử đơn điệu cực đại nên... đại với D(A) = Ω thì bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.9) trong Định nghĩa 1.2.10 tương đương với phương trình toán tử Ax = f (1.15) Chứng minh Một nghiệm x0 của phương trình (1.15) với toán tử đơn điệu cực đại A, được định nghĩa bởi f ∈ Ax0 thỏa mãn Định nghĩa 18 1.2.10 Do đó, nó là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.9) Bây giờ giả sử x0 là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.9) trong Định... toán bất đẳng thức biến phân bao hàm bài toán cực trị nhưng bất đẳng thức biến phân biểu diễn dưới dạng bài toán cực trị chỉ khi điều kiện đối xứng và nửa xác định dương đặt lên ma trận Jacobian A(x) được thỏa mãn Vậy có thể khẳng định bất đẳng thức biến phân là bài toán tổng quát hơn bài 16 toán cực trị theo nghĩa nó bao gồm cả trường hợp ma trận Jacobian của A(x) là bất đối xứng 1.2.2 Bất đẳng thức biến. .. đẳng thức biến phân đơn điệu Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại Cho X là một không gian có tính chất E-S, X ∗ , không gian đối ngẫu ∗ của X, là một không gian lồi chặt, A : X → 2X là một toán tử đơn điệu cực đại trên miền xác định D(A) của A, Ω ⊂ D(A) là một tập con lồi đóng trong X Ta giả thiết intΩ = ∅ hoặc D(A) ∩ Ω = ∅ (2.1) Xét bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm... nghiệm x của bất đẳng thức biến phân (1.9) với x ≤ r ∗ Định lý 1.2.20 Giả sử A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại, Ω thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.18 thì bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh Ax + αJx − f, y − x ≥ 0 ∀y ∈ Ω, x ∈ Ω, (1.19) có duy nhất nghiệm với mọi α > 0 và với mọi f ∈ X ∗ Một nghiệm xα thỏa mãn (1.19) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân (1.9) Định lý 1.2.21... của bất đẳng thức biến phân (1.9) nếu tồn tại một phần tử z 0 ∈ Ax0 sao cho z 0 − f, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω (1.10) Một nghiệm x0 thỏa mãn (1.10) cũng được gọi là nghiệm cổ điển của bất đẳng thức biến phân (1.9) Định nghĩa 1.2.11 Một phần tử x0 ∈ Ω được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.9) nếu z − f, y − x0 ≥ 0 ∀y ∈ Ω, ∀z ∈ Ay (1.11) Bổ đề 1.2.12 Nếu x0 ∈ Ω là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân. .. hai bất đẳng thức trên ta suy ra z 1 − z 0 , x0 − x1 ≥ 0 Vì A là toán tử đơn điệu nên z 0 − z 1 , x0 − x1 = 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết x0 = x1 Từ Bổ đề 1.2.16, việc giải bất đẳng thức biến phân (1.9) với toán tử đơn điệu cực đại A và việc giải phương trình Ax + ∂IΩ (x) = f với toán tử đơn điệu cực đại A + ∂IΩ là tương đương ∗ Định lý 1.2.18 Giả sử A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại và. .. thuẫn với giả thiết của (i) Từ Định lý 1.2.9 suy ra, bài toán cực trị lồi OP(f, C) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu VI(A, C) với A = f Tuy nhiên, bất đẳng thức biến phân thể hiện điều kiện tối ưu của bài toán cực trị có thêm một vài tính chất so với bất đẳng thức biến phân thông thường Cụ thể, nếu ma trận A là đối xứng, thì với mọi v cố định, tồn tại hàm số khả vi 1 A y + τ ... đẳng thức biến phân đơn điệu 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu 2.1.1 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại... Bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Bất đẳng thức biến phân không gian 1.2.2 Bất đẳng thức biến phân không gian 11 Euclid 11 Banach 16 Chương Hiệu chỉnh bất đẳng thức. .. chương tham khảo từ tài liệu [4] 2.1 2.1.1 Phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân đơn điệu Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu cực đại Cho X không gian có tính chất