Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tích phân tự chập

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN ĐẮC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TỰ CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN ĐẮC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TỰ CHẬP Chuyên ngành: TOÁN HỌC TÍNH TOÁN Mã số : 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Nội - Năm 2016 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình, chu đáo nghiêm khắc GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến người thầy Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy động lực để cố gắng trình hoàn thiện luận văn Qua đây, xin gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, cán Phòng Sau đại học, thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2010 - 2012 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện mặt trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người cổ vũ, động viên suốt trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Văn Đắc i Bảng kí hiệu hội tụ yếu → hội tụ mạnh F đạo hàm Fréchet toán tử F JF (x1 , x2 , , xn ) ma trận Jacobian F Range(G) miền giá trị toán tử G C[0, T ] không gian hàm liên tục [0, T ] C [0, T ] không gian hàm khả vi liên tục [0, T ] L2 [0, T ] không gian hàm bình phương khả tích Lebesgue [0, T ] H0 [0, T ] Không gian hàm thuộc W 1,2 [0, T ] có giá compact [0, T ] Lσ,R cặp không gian L2 [0, T ] với tích vô hướng phụ thuộc R [0, T ] ·, · σ , · σ tích vô hướng chuẩn có trọng số σ ·, · σ,R , · σ,R tích vô hướng chuẩn có trọng số σ phụ thuộc R ·, · ∞ chuẩn không gian L∞ W k,p [0, T ] không gian Sobolev ·, · , · tích vô hướng chuẩn không gian tương ứng B[yđ , δ] Hình cầu tâm yđ , bán kính δ ii Mục lục Bảng kí hiệu i Lời nói đầu v Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép tính vi phân không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Một số không gian định chuẩn 1.1.2 Một số khái niệm liên quan 1.1.3 Đạo hàm Fréchet 1.1.4 Một số kết phương trình Volterra 1.2 Khái niệm toán đặt chỉnh toán đặt không chỉnh 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Lavrent’ev 1.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 1.3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev 12 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán tử gần đơn điệu 15 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh ước lượng sai số 16 2.2 Phương trình tự chập 19 2.3 Thử nghiệm số 25 Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược 3.1 26 Phương trình tự chập hiệu chỉnh 26 iii MỤC LỤC 3.2 Sự hội tụ tính đặt chỉnh 30 3.3 Phép rời rạc hóa 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 iv Lời nói đầu Thời gian gần đây, phương trình tích phân t x(t − s)x(s)ds = y(t) nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu xuất số lĩnh vực khoa học, công nghệ, quang phổ học, hay lý thuyết xác suất thống kê, cần khôi phục hàm mật độ biến ngẫu nhiên biết kì vọng hàm mật độ bình phương biến Phương trình gọi phương trình tích phân loại dạng tự chập toán ngược tự chập Như hầu hết phương trình tích phân Volterra loại 1, toán ngược tự chập đặt không chỉnh, theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho toán trở nên vô nghiệm vô định Mặt khác, số liệu thường thu nhập thực nghiệm, qua đo đạc, quan trắc, vv sau lại xử lí máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số Chính thế, người ta cần phải có phương pháp giải ổn định toán đặt không chỉnh, cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Viện sĩ Tikhonov người khởi xướng phương pháp giải ổn định toán ngược Cách tiếp cận ông đưa toán giải phương trình F (u) = y toán tìm cực tiểu phiếm hàm làm trơn F (u) − y + α u − u0 thiết lập hội tụ dãy điểm cực tiểu tới nghiệm toán ngược v Lời nói đầu ban đầu Vào năm 80 kỷ XX, lý thuyết hiệu chỉnh cho toán không chỉnh tuyến tính hoàn thiện Đến năm 1989, lý thuyết hiệu chỉnh cho toán đặt không chỉnh phi tuyến phát triển mạnh Cũng vào thời gian này, phương pháp biến phân toàn phần hiệu chỉnh áp dụng khử nhiễu làm rõ ảnh Khác với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov kinh điển, phiếm hàm cần cực tiểu phương pháp biến phân toàn phần hiệu chỉnh nói chung không khả vi Bước phát triển lý thuyết hiệu chỉnh hiệu chỉnh không lồi, phiếm hàm cần cực tiểu hóa không lồi Mô hình hiệu chỉnh không lồi khởi nguồn từ thống kê lý thuyết lấy mẫu Trong trường hợp toán tử F tuyến tính, tự liên hợp không âm, toán tìm cực tiểu phiếm hàm làm trơn tương đương với việc giải phương trình F ∗ F u + αu = F ∗ yδ Tuy nhiên, trường hợp này, người ta xét phương trình đơn giản F u + αu = yδ Phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh từ phương trình đơn giản gọi phương pháp Lavrent’ev (hoặc Lavrentiev) Một số tác giả gọi phương pháp Browder-Tikhonov, hay phương pháp nhiễu kì dị Phương pháp Lavrent’ev áp dụng cho phương trình với toán tử đơn điệu gần đơn điệu Đây phương pháp thích hợp để nghiên cứu toán ngược tự chập Trong luận văn tìm hiểu trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tích phân tự chập phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev phương pháp hiệu chỉnh địa phương Ngoài phần lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kết phép tính vi phân không gian tuyến tính định chuẩn, khái niệm toán đặt chỉnh toán đặt không chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Lavrent’ev vi Lời nói đầu Chương 2: Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán tử gần đơn điệu Trong chương này, dựa vào báo [9] mục Tài liệu tham khảo, trình bày việc thiết lập ước lượng sai số phương pháp Lavrent’ev để giải toán đặt không chỉnh không gian Hilbert với toán tử phi tuyến gần đơn điệu theo nghĩa đạo hàm Fréchet nghiệm xác accretive Một quy tắc tiên nghiệm việc chọn tham số phép hiệu chỉnh trình bày tương ứng ước lượng sai số thiết lập Luận văn đề cập tới phép rời rạc hóa toán Chương 3: Hiệu chỉnh địa phương Trong chương này, dựa vào báo [4] mục Tài liệu tham khảo, trình bày lí thuyết hiệu chỉnh địa phương cho toán ngược tự chập Đã chứng minh hội tụ tính đặt chỉnh toán hiệu chỉnh, trình bày đánh giá sai số phương pháp Do thời gian kiến thức học viên có hạn, luận văn không tránh khỏi sai sót Rất mong thày cô bạn học viên góp ý để luận văn hoàn thiện vii Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép tính vi phân không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Một số không gian định chuẩn Không gian Rnp với x = (x1 , x2 , , xn ) chuẩn 1/p n x p |xi |p = i=1 p số thực bất kì: ≤ p < +∞ Không gian dãy số lp với phần tử x = (x1 , x2 , , xn , ) chuẩn 1/p ∞ x p |xi |p = < ∞ i=1 Không gian hàm Lp [a, b] phần tử hàm đo x(s) có xp (s) khả tích với chuẩn xác định sau  b 1/p   x Lp |x(s)|p =  < ∞  a Không gian hàm x(s) liên tục [a, b] x C[a,b] = max |x(s)| s∈[a,b] Không gian Sobolev Cho Ω miền giới nội Rn x ∈ C l (Ω) hàm khả vi liên tục đến Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Kết hợp phương trình (3.24) (3.28) với phương trình (3.29), ta có (αR (x)I + BR (x))(x − x) = fRδ − fR − εR − RR (x, x − x) + DR (x)(x − x) + (αR (x) − αR (x))x, (3.30) σ,R I toán tử đồng Lσ,R [0, 1] Với v ∈ L2 [0, 1], đặt ER (x, v) = DR (x)(v) − αR (v)x, (3.31) ta ý ánh xạ v → ER (x, v) tuyến tính Khi phương trình (3.30) trở thành (αR (x)I + BR (x))(x − x) = fRδ − fR − εR − RR (x, x − x) + ER (x)(x − x) + (αR (x) − αR (x))(x − x) (3.32) Hai bổ đề sau sử dụng để thiết lập tính khả nghịch toán tử (αR (x)I + BR (x)) ∈ L(Lσ,R [0, 1]) Bổ đề 3.2.1 Nếu x ∈ W 2,∞ [0, + R] x(t) > với t ∈ [0, + R], tồn σ0 > không phụ thuộc vào R > 0, cho toán tử BR (x) accretive Lσ,R [0, 1] với σ ≥ σ0 ; tức là, BR (x)v, v ≥0 σ,R với v ∈ Lσ,R [0, 1], BR sử dụng độ đo η thỏa mãn (3.12)-(3.13) Chứng minh Theo ý tưởng [16], với đại lượng phụ thuộc -R, ta định nghĩa cho t ∈ [0, 1], aR (t) ≡ R x(t + ρ)dη(ρ), với h ∈ Lσ,R [0, 1], t aR (t − s)h(s)ds, BR (x)(h)(t) = h.k t ∈ (0, 1) (3.33) Trước tiên, với σ đủ lớn, ta chứng minh toán tử BRσ (x) accretive L2 [0, 1], BRσ (x) xác định (3.33) ngoại trừ nhân aR (t) với BR thay aR [σ](t) = e−σt aR (t) Đặt A0 = x(t) > 0, A1 = x t∈[0,1+R] 33 L∞ [0,1+R] , A2 = x L∞ [0,1+R] , Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược R aR (t) ≥ 2A0 dη(ρ), t∈[0,1] R aR L∞ [0,1] ≤ 2A1 dη(ρ), R aR L∞ [0,1] ≤ 2A2 dη(ρ), với h.k t ∈ (0, 1), R aR [σ](t) ≥ e −σt 2A0 dη(ρ) , R aR [σ](t) ≤ e−σt 2(−σA0 + A1 ) dη(ρ), R aR [σ](t) ≤ e−σt 2(σ A0 − 2σA1 − A2 ) dη(ρ) Với σ ≥ σ0 , σ0 ≥ A1 + A21 + A0 A2 , A0 (độc lập với R), từ tính dương η , ta có aR [σ](t) ≥ 0, aR [σ] (t) ≤ 0, aR [σ] (t) ≥ 0, với h.k t ∈ (0, 1) Do đó, nhân aR [σ](·) không âm, không giảm lồi Sử dụng Bổ đề 2.2.1 với σ (x) accretive L [0, 1], điều kéo theo B (x) accretive σ ≥ σ0 , ta có BR R L2 [0, 1] với chuẩn có trọng e−2σt Một mệnh đề tương tự thiết lập cho BR (x) sử dụng chuẩn có trọng, điều kéo theo BR (x) accretive Lσ,R [0, 1] với σ ≥ σ0 Bổ đề 3.2.2 Nếu x ∈ C [0, + R] thỏa mãn x(0) > giả sử độ đo η thỏa mãn (3.12)-(3.13) Khi với R > đủ nhỏ ta có αR (x) > ≤ αR (x) x(0) 34 R ρdη(ρ) (3.34) Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Chứng minh Ta viết R αR (x) = 2x(0) ρdη(ρ)[1 + h(R)], R h(R) = x(0) ρ sx (ξ(s))dsdη(ρ) R ρdη(ρ) 0 với ξ(s) ∈ [0, R] Tiếp theo, R |h(R)| ≤ x(0) R ρdη(ρ) x ∞ ρ2 x ∞ K(2) dη(ρ) ≤ R, 2x(0) K(2) xác định (3.14) Từ suy 1 = (1 + O(R)) R αR (x) 2x(0) ρdη(ρ) R → Từ Bổ đề 3.2.1 3.2.2, ta có x ∈ W 2,∞ [0, + R] với x(0) > 0, αR (x) > (αR (x)I + BR (x))−1 ∈ L(Lσ,R [0, 1]) với R > đủ nhỏ; nữa, ta có ước lượng sau (xem [15]): (αR (x)I + BR (x))−1 ≤ với · , αR (x) (3.35) toán tử chuẩn L(Lσ,R [0, 1]), với σ ≥ σ0 , σ0 > độc lập với R Bây ta viết lại phương trình hiệu chỉnh (3.8) sau x = HR x, (3.36) σ,R từ (3.32), HR : Lσ,R [0, 1] → L2 [0, 1] cho HR x = (αR (x)I + BR (x))−1 [fRδ − fR − εR − RR (x, x − x) + ER (x, x − x) + (αR (x) − αR (x))(x − x)] + x (3.37) Bổ đề cho đánh giá đại lượng thích hợp vế phải phương trình (3.37) 35 Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Bổ đề 3.2.3 Cho x ∈ C [0, + R] thỏa mãn x(0) > 0, giả sử f δ thỏa mãn giả thiết F -dữ liệu, giả sử độ đo η thỏa mãn (3.12)-(3.13), đặt σ > Cho x1 , x2 ∈ L(Lσ,R [0, 1]) Khi fRδ − fR fRδ − fR εR σ,R ≤ 2C σ,R δCωR1/2 R x1 − x2 ∞ ρ3/2 dη(ρ), σ,R (3.39) R x ∞ ρ dη(ρ) + √ x(0) ∞ (3.38) F = L2 [0, + R] R 2eσ,R ≤C √ x σ,R x F = C[0, + R] δCωR, ≤ ρ3 dη(ρ) , (3.40) R x1 − x2 C2 − αR (x1 ) − αR (x2 ) ≤ 2eσR R ρ1/2 dη(ρ) σ,R (3.41) Chứng minh Bất đẳng thức (3.38) trường hợp fδ ∈ C[0, + R] hiển nhiên R |fRδ (t) − fR (t)| (f δ (t + ρ) − f (t + ρ))ω(ρ; R)dρ = ≤ δωR Với trường hợp fδ ∈ L2 [0, + R] ta thấy fRδ − fR ∈ L∞ (0, 1) |fRδ (t) − fR (t)| = 1/2 R R |ω(ρ; R)|2 dρ |f δ (t + ρ) − f (t + ρ)|2 dρ 0 ≤ fδ − f L2 [0,1+R] ωR 1/2 với h.k t ∈ (0, + R) Khi đó, từ Bổ đề 3.1.1 ta có kết cần chứng minh Với (3.39) ta thấy với h.k t ∈ (0, 1), |ER (x, x1 − x2 )(t)| R ρ ≤2 |x(t + ρ − s) − x(t) x1 (s) − x2 (s)|dsdη(ρ) 0 R ≤2 x 1/2 ρ 2σs −2σs (ρ − s) ∞ 0 1/2 ρ e 36 e |x1 (s) − x2 (s)| ds dη(ρ) Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Với (3.40) ta thấy với ξ ∈ (0, R), R |εR (t)| ≤ x (x(0)ds + x (ξ)s) ds R ∞ R ≤2 x (ρ − s) ∞ ∞ 1/2 ρ ≤2 x 1/2 ρ dη(ρ) ρ3 x(0)2 ρ + x 3/2 ρ ρ ∞ 1/2 dη(ρ) x(0)ρ1/2 + x ∞ ρ3/2 √ dη(ρ) với h.k t ∈ (0, 1), từ ta có (3.40) Cuối cùng, sử dụng đánh giá ρ R (x1 (s) − x2 (s))ds dη(ρ) |αR (x1 ) − αR (x2 )| ≤ 0 1/2 R R e−2σt |x1 (t) − x2 (t)|2 dt ≤ 2eσR ρ1/2 dη(ρ), 0 ta có ước lượng (3.41) Bây ta chứng minh kết hội tụ sau Định lí 3.2.2 Giả sử f δ thỏa mãn điều kiện F -dữ liệu đặt τdata = 1/2 trường hợp F = C[0, + R], τdata = 2/5 trường hợp F = L2 [0, + R] Giả sử độ đo η(ρ) > thỏa mãn (3.12)-(3.13) toán ngược tự chập (3.3) có nghiệm dương x ∈ W 2,∞ [0, + R] thỏa mãn x(0) > 9b2 e2σ x ∞ (3.42) với σ ≥ σ0 b ≥ 2ω/ω , ω, ω cho trước (3.12) Khi với ˆ C ∈ (1, 9/8], tồn số k1 > C(C) > độc lập với R cho δ = δ(R) > thỏa mãn δ ≤ k1 R1/τdata , (3.43) với R > đủ nhỏ phương trình hiệu chỉnh (3.36) có nghiệm xδR ∈ Lσ,R [0, 1] thỏa mãn xδR − x Ở · σ,R σ,R ≤ Cˆ R2 xác định từ (3.15) với giá trị C cho trước nói Hơn nữa, xδR ∈ Lσ,R [0, 1] phụ thuộc liên tục vào fδ ∈ F với R > đủ nhỏ 37 Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Chứng minh Ta áp dụng nguyên lí ánh xạ co cho phương trình hiệu chỉnh ˆ Từ Bổ đề 3.1.3, 3.2.2, 3.2.3, bất đẳng thức (3.12) hình cầu B[x, CR] (3.35) ta có HR x − x σ,R 1 fRδ − fR σ,R + RR (x, x − x) σ,R + εR α(x) α(x) α(x) |αR (x) − αR (x)| ER (x, x − x) σ,R + x − x σ,R + α(x) αR (x) δC 2ω p e2σ 2ω −1 ≤ R + R x − x 2σ,R x(0) ω x(0) ω ≤ σ,R 2ω x ∞ R+ √ K(3)R2 3ω 3x(0) 2C x ∞ eσR + √ K( )R1/2 x − x σ,R 3x(0) + 2C + x ∞ 2eσR K( )R−1/2 x − x x(0) σ,R C2 R , −1 với σ ≥ σ0 , p = −1 F = C[0, + R] p = −3/2 F = L2 [0, + R] Áp dụng giả thiết (3.43) x − x σ,R ˆ , ta có ≤ CR k1 C 2ω e2σ 2ω ˆ 2 2ω ≤ R+ C R + 2C x ∞ R x(0) ω x(0) ω 3ω √ σR 2C x ∞ e 2C x ∞ ˆ 2eσR K( 12 ) Cˆ R2 + √ K(3)R2 + + √ + K( )CR 3x(0) x(0) 3x(0) C2 − HR x − x σ,R Do ta có HR x − x σ,R ˆ với Cˆ > với R > đủ nhỏ Điều ≤ CR kiện đủ để hệ thức thỏa mãn bk1 C + x x(0) ∞ bC + e2σ b ˆ ˆ C < C x(0) (3.44) Nếu ta đặt k1 = x (3.45) ∞ x(0), phương trình (3.44) trở thành ˆ ≡ L(C) e2σ b ˆ ˆ C − C + 2bC x x(0) ∞ < (3.46) ˆ = có hai nghiệm dương phân biệt < Cˆ1 < Cˆ2 giả thiết Dễ thấy L(C) ˆ < 0, (3.42) C ∈ (1, 9/8] Khi với Cˆ thỏa mãn Cˆ1 < Cˆ < Cˆ2 , ta có L(C) HR x − x σ,R ˆ với R > đủ nhỏ ≤ CR 38 Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược ˆ , ta xét x1 , x2 ∈ B[x, CR] ˆ Để chứng minh HR ánh xạ co B[x, CR] ý HR x1 − HR x2 σ,R = (αR (x)I + BR (x))−1 {RR (x, x2 − x) − RR (x, x1 − x) + ER (x, x1 − x2 ) (3.47) − [(αR (x1 ) − αR (x))(x1 − x) − (αR (x2 − αR (x))(x2 − x)]} σ,R ≤ TR (x1 , x2 ), TR (x1 , x2 ) ≡ 1 RR (x, x2 − x) − RR (x, x1 − x) σ,R + ER (x, x1 − x2 ) σ,R αR (x) αR (x) + (αR (x1 ) − αR (x))(x1 − x) − (αR (x2 ) − αR (x))(x2 − x) σ,R αR (x) Vì (αR (x1 ) − αR (x))(x1 − x) − (αR (x2 ) − αR (x))(x2 − x) σ,R αR (x) = (αR (x1 ) − αR (x2 ))(x1 − x) − (αR (x2 ) − αR (x))(x1 − x2 ) αR (x) |αR (x2 ) − αR (x)| |αR (x1 ) − αR (x2 )| x1 − x σ,R + x1 − x2 σ,R ≤ α(x) α(x) ≤ ≤ R ρ dη(ρ) R x(0) ρdη(ρ) ˆ 4eσR K( 12 )CR √ x1 x(0) C − 2eσR C2 R { x1 − x2 −1 − x2 σ,R x1 − x σ,R + x2 − x σ,R σ,R x1 − x2 σ,R } x1 −x2 σ,R σ,R , ta có TR (x1 , x2 ) ≤ 2e2σ 2ω ˆ C x(0) ω x1 −x2 σ,R + ˆ 2C x ∞ eσR 4eσR K( 12 )CR √ √ K( )R + 3x(0) x(0) C − Vì ta có x(0) Cˆ < 2σ , 2e b x(0) ω Cˆ < 2σ 2e 2ω 39 (3.48) Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Với R > đủ nhỏ, HR x1 − HR x2 σ,R ≤ TR (x1 , x2 ) ≤ q x1 − x2 σ,R x(0) , 2e2σ b ˆ với phương trình hiệu chỉnh (3.36) có nghiệm xδR B[x, CR] x(0) Cˆ thỏa mãn Cˆ1 < Cˆ < 2σ 2e b Cuối cùng, cố định R > đủ nhỏ đặt f1δ , f2δ ∈ F thỏa mãn ˆ với q < Hơn ta ý với x1 , x2 ∈ B[x, CR] fiδ − f F ≤ δ ≤ k1 R1/τdata , ˆ1 +C ˆ2 C = i = 1, 2, với giá trị k1 cho (3.45), F C[0, + R] L2 [0, + R] Đặt ˆ C, σ , q xác định đặt f δ HR,i xác định với i = 1, C, R,i (3.11) (3.37), tương ứng, sử dụng liệu fiδ thay fδ Khi với ˆ ⊂ Lσ,R [0, 1] phương trình i = 1, tồn nghiệm xδR,i ∈ B[x, CR] x = HR,i x Hơn nữa, xδR,1 − xδR,2 σ,R = HR x1 xδR,1 − HR x2 xδR,2 σ,R δ δ − fR,2 ) = (αR (x)I + BR (x))−1 {(fR,1 + RR (x, xδR,2 − x) − RR (x, xδR,1 − x) + ER (x, xδR,1 − xδR,2 ) − [(αR (xδR,1 ) − αR (x))(xδR,1 − x) − (αR (xδR,2 ) − αR (x))(xδR,2 − x)]} σ,R δ δ δ f δ − fR,2 σ,R + TR (xR,1 , xR,2 ) αR (x) R,1 C f1δ − f2δ F 2ω p R + q xδR,1 − xδR,2 σ,R , ≤ x(0) ω ≤ p = −1 trường hợp F = C[0, + R] p = −3/2 trường hợp F = L2 [0, + R] Lập luận trên, ta có xδR,1 − xδR,2 σ,R ≤ Cb Rp f1δ − f2δ (1 − q)x(0) F Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình hiệu chỉnh (3.36) vào liệu chứng minh Hệ 3.2.2 Giả sử toán tự chập (3.3) có nghiệm dương x ∈ W 2,∞ [0, 1+ R] độ đo η thỏa mãn (3.12)-(3.13) với số ω, ω (3.13) thỏa mãn 40 Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược ˜ độc lập với R x Cho fδ thỏa mãn (3.8) với R > đủ nhỏ, K điều kiện F -dữ liệu đặt τdata = 1/2 F = C[0, + R] τdata = 2/5 F = L2 [0, + R] Khi tồn số k1 , Cˆ > độc lập với R cho δ = δ(R) > thỏa mãn δ ≤ k1 R1/τdata , (3.49) với R > đủ nhỏ phương trình hiệu chỉnh (3.36) có nghiệm xδR ∈ Lσ,R [0, 1] thỏa mãn xδR − x · σ,R σ,R ≤ Cˆ R2 , xác định từ (3.15) với giá trị C = √ Hơn nữa, nghiệm xδR ∈ Lσ,R [0, 1] phụ thuộc liên tục vào fδ ∈ F với R > đủ nhỏ Chứng minh Đặt C = √ ˜ K ˜ , cho (3.8), độc lập xác định ˜b = 2K với R x Không giảm tổng quát ta giả sử x thỏa mãn √ x(0) x ∞ < 2e−2σ , 16˜b2 (3.50) điều không đúng, ta chia hai vế phương trình (3.3) cho κ2 > để thu phương trình với liệu f /κ2 nghiệm y = x/κ, y thỏa mãn (3.50) Chú ý thay đổi tỉ lệ tương tự η không ˜ , tức ˜b thay đổi giá trị K Chứng minh hệ giống chứng minh Định lí 3.2.2 với chút thay đổi Đầu tiên ta ý đặt b = ˜bx(0), b ≥ 2ω/ω hệ thức (3.44) từ chứng minh Định lí 3.2.2 Viết (3.44) theo ˜b, ta có điều kiện đủ để đảm bảo HR x − x k1˜bC + x ∞x σ,R ˆ với Cˆ > đó: ≤ CR ˆ (0)˜bCˆ + e2σ ˜bCˆ < C Xác định k1 (3.45), bất đẳng thức (3.51) trở thành ˆ = e2σ ˜bCˆ − Cˆ + x L(C) 41 ∞x (0)˜bC < (3.51) Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Với điều kiện (3.50) phương trình bậc hai L có nghiệm dương phân biệt < ˆ < Cˆ1 < Cˆ2 ta chọn Cˆ ∈ (Cˆ1 , Cˆ2 ) để đảm bảo L(C) Phần lại chứng minh giống Định lí 3.2.2, ta cần ý điều Cˆ + Cˆ2 = kiện (3.48) Cˆ , nghiệm Cˆ1 Cˆ2 thỏa mãn x(0) 2e2σ b 3.3 2e2σ ˜b = Phép rời rạc hóa Trong phần này, ta xét phép rời rạc phương trình hiệu chỉnh (3.6) dẫn đến phương pháp ổn định khoảng [0, 1]; phương pháp thu phi tuyến không khoảng nhỏ ban đầu [0, R], tuyến tính khoảng lớn [R, 1] Ta xét phép rời rạc kiểu trùng khớp cho (3.6) đó, để đơn giản ta giả thiết độ đo η cho độ đo Lebesgue, tức là, R R g(ρ)dη(ρ) = (3.52) g(ρ)dρ, ý điều kiện (3.11) thỏa mãn trường hợp Đặt N = 1, 2, 3, xác định ti = i∆t, i = 0, 1, , N, ∆t = 1/N Ta đặt R = r∆t, r ∈ {1, 2, , N } cố định (r N ) Với i = 2, 3, , N , đặt χi (t) hàm khoảng (ti−1 , ti ] χ1 (t) hàm khoảng [t0 , t1 ], xác định không gian hàm khúc [0, 1] SN = span{χi , i = 1, 2, , N } Khi ta tìm x ∈ SN thỏa mãn phương trình trùng khớp R ρ R ti f δ (ti + ρ)dρ x(ti + ρ − s)dsdρ = x(s)dsdρx(ti ) + R ρ (3.53) với i = 1, 2, , N Ta sử dụng quy tắc cầu phương hình chữ nhật để xấp xỉ 42 Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược tích phân [0, R], tức là, r−1 R g(ρ)dρ ≈ ∆t g(tj ), j=0 kết hợp với phép xấp xỉ (3.53) Mỗi số hạng trong (3.53) xấp xỉ sau: r−1 R δ f δ (ti+q ), f (ti + ρ)dρ ≈ ∆t N p=1 cp χp (t) đặt x(t) = R q=0 với t ∈ [0, 1], ta có ρ x(s)dsdρx(ti ) ≈ 2∆t x(s)ds + · · · + x(s)ds + 0 tr−1 r−1 x(s)ds ci l cm = 2(∆t) ci , l=1 m=1 ta ý hệ số ci liên quan đến c1 , c2 , , cr−1 Số hạng thứ hai vế trái (3.53) phức tạp tùy thuộc vào giá trị i liên quan đến r, ta có dạng khác số hạng Tổng quát hơn, với i = 1, 2, , N cố định, ta có R r−1 ti ti x(ti + ρ − s)dsdρ ≈ ∆t ρ x(ti+j − s)x(s)ds j=0 (3.54) tj Ta xét phương trình (3.54) trường hợp sau • Nếu i < r − 1, phương trình i ti R x(ti + ρ − s)dsdρ ≈ (∆t) ρ r−1 i m cl ci+m−l − m=1 l=m cl ci+1+m−l , m=i+1 l=i+1 phi tuyến theo ci liên quan tới tất giá trị c1 , c2 , , cr−1 • Nếu i = r − 1, R i ti x(ti + ρ − s)dsdρ ≈ (∆t) ρ i cl ci+m−l , m=1 l=m phi tuyến theo ci liên quan tới tất giá trị c1 , c2 , , cr−1 43 Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược • Nếu i > r − 1, R r ti r x(ti + ρ − s)dsdρ ≈ (∆t) ρ cl ci+m−l , m=1 l=m với kết này, ta ý i = r, (3.54) bậc hai theo cr hệ số c1 , , cr−1 tìm Nếu i > r phương trình tuyến tính theo cr hệ số c1 , , cr−1 xác định • Với i = 1, 2, , r − 2, ta có r − phương trình r−1 l 2(∆t) i cm m cl ci+m−l − ci + (∆t) l=1 m=1 r−1 i m=1 l=m cl ci+1+m−l m=i+1 l=i+1 r+1 f δ (ti+q ) = ∆t q=0 Chú ý tất giá trị c1 , c2 , , cr−1 tham gia r − phương trình • Với i = r − 1, ta có r − phương trình r−1 l 2(∆t) i cm i ci + (∆t) l=1 m=1 r+1 f δ (ti+q ) cl ci+m−l = ∆t m=1 l=m q=0 Chú ý tất giá trị c1 , c2 , , cr−1 có mặt r−1 phương trình Vì ta có r−1 phương trình với r−1 ẩn, nên tìm c1 , c2 , , cr−1 Nói chung ta phải giải hệ phương trình phi tuyến để tìm c1 , c2 , , cr−1 • Một tìm c1 , c2 , , cr−1 , ta tìm cr , , cN r−1 l 2(∆t) r cm i ci + (∆t) l=1 m=1 r+1 f δ (ti+q ) cl ci+m−l = ∆t m=1 l=m q=0 với i = r, r + 1, , N Ta phải giải phương trình phi tuyến với cr phương trình thứ r bậc hai với cr Các số c1 , c2 , , cr xác định, lại N − r phương trình giải liên tiếp nhanh phương trình thứ i tuyến tính với ci với i > r 44 Kết luận Luận văn tìm hiểu phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán tử gần đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh địa phương để giải toán tự chập phi tuyến Luận văn mô tả chi tiết phương pháp hiệu chỉnh đưa ước lượng sai số Một số hướng nghiên cứu tiếp theo: Nghiên cứu phương trình tổng quát phương trình tự chập t F (x(t − τ )x(τ ))dτ = y(t), t K(t, τ )x(τ )x(t − τ )dτ = y(t) • Nghiên cứu tồn nghiệm lớp phương trình • Phương pháp hiệu chỉnh cho lớp phương trình 45 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh - Nguyễn Bường, Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2005) [2] P Bakushinsky, A Smirnova, On application of generalized discrepancy principle to iterative methods for nonliear ill-posed problems, Numerical Func Anal and Optimization 26 (2005) 35-48 [3] J Baumeister, Deconvolution of appearance potential spectra, In: R.Kleinmann, et al.(eds): Direct and inverse boundary value problems Proc Conf Oberwolfach Lang, Frankfurt am Main (1991) 1-13 [4] Z Dai and P K Lamm, Local regularization for the nonlinear inverse autoconvolution problem Siam J Numer Anal 46 (2008) 832-868 [5] G Fleischer, B Hofmann, On inversion rates for the autoconvolution equation, Inverse Problems 12 (1996) 419-435 [6] G Fleischer, R Gorenflo, B Hofmann, On the autoconvolution equation and total variation constraints, Z Angew Math Mech 79 (1999) 149-159 [7] G Fleischer, R Hofmann, The local degree of ill-posedness and the autoconvolution equation, Nonlinear Analysis, Theory, Methods Application Vol.30, No.6, (1997) 3323-3332 [8] R Gorenflo and B Hofmann, On autoconvolution and regularization, Inverse Problems 10 (1994) 353-373 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [9] J Janno, Lavrent’ev regularization of ill-posed problems containing nonlinear near-to-monotone operators with application to autoconvolution equation, Inverse Problems 16 (2000), 333-348 [10] P K Lamm, Approximation of ill-posed Volterra problems via predictorcorrector regularization methods, SIAM J Appl Math 195 (1995) 469-494 [11] M M Lavrent’ev, Some Improperly Posed Problems of Mathematical Physics, Springer Tracts in Natural Philosophy vol 11 (1967) [12] F Liu, M Z Nashed, Convergence of regularized solutions of nonlinear ill-posed problems with monotone operators, Partial Differential Equations and Applications (1996) 353-361 [13] P Mahale, M T Nair, Iterated Lavrent’ev regularization for nonliear illposed problems, ANZIAM Journal 51 (2009) 191-217 [14] J A Nohel, D F Shea, Frequency domain methods of Volterra equations, Adv Math 22 (1976) 278-304 [15] H Tanabe, Equations of Evolution, London: Pitman 1979 [16] L von Wolfersdorf and J Janno, On a class of nonlinear convolution equation, Z Anal Anw 14 (1995) 497-508 47 [...]... ước lượng sai số tối ưu cho xδkδ − xˆ 14 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán tử gần đơn điệu Phương pháp Lavrent’ev (còn được gọi là phương pháp nhiễu kì dị) là một kĩ thuật hiệu chỉnh hữu hiệu cho các phương trình Volterra loại một Ưu điểm của phương pháp này là bảo toàn cấu trúc tiến hóa tự nhiên của các phương trình Volterra và do đó dẫn tới các thủ tục số đơn... nghiệm Vì F là đơn điệu, ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev để giải (1.7) Trong phương pháp này nghiệm hiệu chỉnh xδα thu được từ phương trình toán tử F (x) + α(x − x0 ) = y δ (1.9) Phương trình (1.9) có duy nhất nghiệm xδα ∈ Br0 (ˆ x) ⊆ D(F ), r0 = x0 − xˆ + αδ với mọi tham số hiệu chỉnh α > 0, và x0 là ước lượng ban đầu của nghiệm xδα Phương pháp hiệu chỉnh lặp Bakushinski: xδk+1 = xδk... là đơn điệu 2.2 Phương trình tự chập Một ví dụ của phương trình Volterra phi tuyến loại một là phương trình tự chập t F (x)(t) ≡ x(t − τ )x(τ )dτ = y0 (t), t ∈ (0, T ) (2.19) 0 Phương trình này xuất hiện trong nhiều bài toán kĩ thuật Ví dụ là trong quang phổ học, ở đó mật độ của trạng thái trống của một vật thể được phục hồi sử 19 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán... t ∈ (0, 1), ρ ∈ (0, R) 0 Chia đoạn lấy tích phân từ 0 đến ρ và ρ đến t + ρ, rồi đổi biến, ta có ρ t x(t + ρ − s)x(s)ds + 2 0 x(t + ρ − s)x(s)ds = f (t + ρ) ρ 26 (3.3) Chương 3 Hiệu chỉnh địa phương cho bài toán tự chập ngược với h.k t ∈ (0, 1), ρ ∈ (0, R) Theo phương pháp hiệu chỉnh địa phương cho phương trình Volterra tuyến tính ta tích phân cả hai vế phương trình (3.3) theo độ đo η = η(ρ) > 0 được... trường hợp này đều dựa trên ý tưởng phân chia đường chéo của nhân qua việc tích phân từng phần phương trình kiểu Volterra Một kĩ thuật khác có thể sử dụng để nghiên cứu dáng điệu của phương pháp Lavrent’ev là sử dụng tính đơn điệu Định lí hội tụ tổng quát của phương pháp 15 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán tử gần đơn điệu Lavrent’ev giải bài toán với toán tử đơn điệu... thuyết hiệu chỉnh địa phương cho bài toán tự chập phi tuyến (3.2) 3.1 Phương trình tự chập được hiệu chỉnh Ta sẽ xét phương trình cơ bản cho xấp xỉ hiệu chỉnh của nghiệm chính xác x của (3.1) Giả sử rằng dữ liệu và nghiệm luôn tồn tại trên khoảng mở rộng [0, 1 + R] với R ∈ (0, 1] đủ nhỏ và chú ý rằng điều này luôn thực hiện được nhờ giảm độ dài của khoảng ban đầu Do đó với bất kì 0 < R < R, x là lời giải. .. δ}, gδ (0) > 0, sao cho điểm cực tiểu toàn cục của f (x) + gδ (x) cách x∗ = 0 xa tùy ý 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và Lavrent’ev 1.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Xét phương trình toán tử (1.6) A(x) = y, Định nghĩa 1.3.1 Toán tử đa trị R(y, α) : Y × R+ → 2X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.6) trong lân cận yđ nếu: (i) Tồn tại δ > 0 sao cho ∀α > 0, ∀y ∈ B[yđ , δ], δ ≤ δ1... 2.2.2 Qua các điều kiện của Định lí 2.2.1 phương trình tự chập (2.19) có chính xác hai nghiệm Một trong số chúng là nghiệm dương x0 và nghiệm 24 Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán tử gần đơn điệu còn lại là −x0 Điều khẳng định này được chứng minh trong [8] bằng Định lí Titschmarch Chú ý 2.2.3 Trong ứng dụng thực tế của phương pháp (2.21) giá trị ban đầu x0 (0) của nghiệm... Dựa vào bài báo [9] trong phần này ta trình bày cách thiết lập ước lượng sai số của phương pháp Lavrent’ev để giải các bài toán đặt không chỉnh trong không gian Hilbert với các toán tử phi tuyến gần đơn điệu theo nghĩa đạo hàm Fréchet tại nghiệm chính xác là accretive Sau đó ta áp dụng kết quả này cho phương trình Volterra tự chập phi tuyến 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và ước lượng sai số Cho X là không... khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình Euler: A∗ Axα + αxα = A∗ y Nếu A là toán tử đối xứng không âm thì nghiệm hiệu chỉnh theo phương pháp Lavrent’ev tìm được từ phương trình đơn giản hơn: Axα + αxα = y 11 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev Cho F : D(F ) ⊆ X → X là toán tử đơn điệu phi tuyến xác định trong không gian Hilbert thực X với tích vô hướng ·, · và chuẩn ... chun b iu kin sup{|g (x)| : x R }, g (0) > 0, cho im cc tiu ton cc ca f (x) + g (x) cỏch x = xa tựy ý 1.3 Phng phỏp hiu chnh Tikhonov v Lavrentev 1.3.1 Phng phỏp hiu chnh Tikhonov Xột phng trỡnh