Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THANH TÂM PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DẠNG CHẬP TRONG LỚP HÀM {0} Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: TS LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 2: PGS TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 02 tháng 12 năm 2012 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 1 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình tích phân dạng chập lớp hàm {0} nói riêng phương trình tích phân kỳ dị nói chung xây dựng phát triển mạnh mẽ vòng nửa kỷ, từ năm 1920 đến năm 1970 Các kết gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, Cùng song hành tiếp sau đời hàng loạt lý thuyết toán tử kỳ dị trừu tượng không gian tuyến tính tổng quát gắn với lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển liên hợp phức nhiều dạng toán bờ khác Tại Việt Nam, từ năm 1980, có nhiều người quan tâm đến lĩnh vực toán bờ Riemann, phương trình tích phân kỳ dị Cauchy, phương trình tích phân dạng chập thu số kết định Từ đó, lý thuyết toán tử phương trình tích phân kỳ dị trở thành mảng lớn hấp dẫn toán học đại Việt Nam (Xem [1]-[5]) Tuy nhiên nay, tài liệu tham khảo lĩnh vực ít, trình bày mức độ sơ lược Đặc biệt, dạng phương trình tích phân dạng chập chưa hệ thống cách chi tiết Ngoài ra, việc nghiên cứu cho ta thấy vẻ đẹp, phong phú nhiều loại phương trình tích phân nói chung phương trình tích phân dạng chập nói riêng (Xem [1]-[2]) Xuất phát từ vấn đề nêu trên, định chọn đề tài "Phương trình tích phân dạng chập lớp hàm {0}" với hy vọng tìm hiểu sâu lý thuyết, hệ thống phương trình tích phân dạng chập minh họa rõ nét qua ví dụ, nhằm làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu Hệ thống tổng quan lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị làm sở để nghiên cứu phương trình tích phân dạng chập lớp hàm {0} Nắm số lớp phương trình tích phân đặc trưng dạng chập với nhân hai nhân, số phương trình dạng cặp tương ứng khảo sát số lớp phương trình tích phân mở rộng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: phương trình tích phân dạng chập lớp hàm {0} Footer Page of 126 2 Header Page of 126 phương trình tích phân mở rộng liên quan Phạm vi nghiên cứu: tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu từ website, tạp chí toán học diễn đàn toán học Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu tài liệu tiếng Anh, trang web Từ đó, tác giả phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài có tính hệ thống, tổng quan đầy đủ phương trình tích phân dạng chập lớp hàm {0} Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nghiên cứu tìm hiểu toán học đại nói chung phương trình tích phân dạng chập nói riêng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Trình bày số định nghĩa, định lý tính chất lớp hàm {0} Tiếp theo hai kết quan trọng: công thức Xokhotski-Plemelij toán biên Riemann, dùng nhiều giải phương trình tích phân dạng chập Chương Trình bày cách giải phương trình tích phân dạng chập đặc trưng với nhân, hai nhân minh họa ví dụ Chương Trình bày số loại phương trình tích phân khác phương trình tích phân cặp, phương trình tích phân Winer-Hoff, phương trình tích phân dạng Volterra nêu số ví dụ Footer Page of 126 3 Header Page of 126 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER 1.1 1.1.1 Lớp hàm Holder lớp hàm {0} Lớp hàm Holder Giả sử Γ chu tuyến trơn ϕ(t) hàm xác định Hàm số ϕ(t) gọi thỏa mãn điều kiện Holder chu tuyến Γ cặp điểm tùy ý thuộc Γ, ta có |ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )| ≤ A|t2 − t1 |λ (1.1) A λ số dương A gọi số Holder λ số Holder 1.1.2 Lớp hàm {0} Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]) Ta nói F (x) thuộc lớp hàm {{0}} ảnh biến đổi Fourier đồng thời thuộc lớp hàm Holder L2 (−∞, +∞) Như vậy, lớp {{0}} tập hợp hàm số Holder L2 (−∞, +∞) dạng +∞ √ 2π f (t)eixt dt, −∞ < x < +∞ −∞ Kí hiệu {0} lớp hàm số f (t) mà ảnh qua biến đổi Fourier thuộc {{0}} 1.2 1.2.1 Tích phân kỳ dị Công thức Xokhotski-Plemelij Giá trị tích phân kỳ dị thực b dx x−c Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]) Giá trị (theo Cauchy) tích phân kỳ dị a với a < c < b, biểu thức Footer Page of 126 4 Header Page of 126  c−ε b dx + x−c lim  ε→0 a 1.2.2  dx  x−c c+ε Giá trị tích phân đường kỳ dị ϕ(τ ) dτ τ −t Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]) Giới hạn tích phân → gọi Γ giá trị tích phân kỳ dị Trong luận văn này, tích phân kỳ dị hiểu giá trị 1.2.3 Chỉ số hàm số Giả sử Γ chu tuyến đóng trơn G(t) hàm số liên tục, không triệt tiêu Γ Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]) Chỉ số hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ hiểu tỉ số độ tăng trưởng (số gia) argumen chuyển động hết lượt dọc theo chu tuyến (theo hướng dương) 2π Kí hiệu [w]Γ độ tăng trưởng w dọc theo Γ số G(t) viết dạng [arg G(t)]Γ (1.14) κ = Ind G(t) = 2π Chỉ số tính theo tích phân: κ = Ind G(t) = 2π d arg G(t) = Γ 2πi d ln G(t) (1.17) Γ Vì hàm G(t) liên tục, nên tăng trưởng argumen dọc theo chu tuyến đóng bội 2π Vậy nên ta có nhận xét: Nhận xét 1.1 Chỉ số hàm số liên tục chu tuyến đóng không triệt tiêu số nguyên Nhận xét 1.2 Chỉ số tích hai hàm số tổng số Chỉ số thương hiệu số tương ứng 1.2.4 Công thức Xokhotski-Plemelij Định lý 1.1 ([1]-[2]) Giả sử Γ chu tuyến trơn (đóng mở) ϕ(τ ) hàm số tọa vị chu tuyến thỏa mãn điều kiện Holder Khi đó, tích phân dạng Cauchy Footer Page of 126 5 Header Page of 126 Φ(z) = 2πi ϕ(τ ) dτ τ −z Γ có giá trị Φ+ (t), Φ− (t) điểm chu tuyến Γ không trùng với đầu mút, chu tuyến chọn hướng từ bên trái từ bên phải dọc theo hướng đường dẫn, giá trị biên biểu diễn theo hàm mật độ tích phân ϕ(t) tích phân kỳ dị Φ(t) dạng công thức Xokhotski sau:  1 ϕ(τ )  +  Φ (t) = ϕ(t) + dτ   2πi τ − t  Γ (1.19) 1 ϕ(τ )  −  Φ (t) = − ϕ(t) + dτ    2πi τ − t Γ 1.3 1.3.1 Bài toán biên Riemann Thiết lập toán Giả thiết Γ chu tuyến đóng, đơn trơn chia mặt phẳng phức thành miền D+ miền D− (giả thiết ∞ ∈ D− ) Cho hai hàm số chu tuyến, G(t) g(t) thỏa mãn điều kiện Holder, G(t) không triệt tiêu biên Với hàm Φ(z) xác định giải tích D+ D− , ta ký hiệu Φ+ (z) = Φ(z) D+ , Φ− (z) = Φ(z) D− Với t ∈ Γ ta ký hiệu Φ+ (t) = lim z∈D+ ,z→t Φ+ (z), Φ− (t) = lim z∈D− ,z→t Φ− (z) Bài toán đặt tìm hai hàm số Φ+ (z) giải tích D+ Φ− (z) giải tích D− (kể z = ∞ ∈ D− ) thỏa mãn Γ quan hệ tuyến tính Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) (1.20) Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t) (1.21) Hàm G(t) gọi hệ số toán biên Riemann hàm g(t) gọi thành phần tự toán (1.20) gọi toán biên Riemann (1.21) gọi toán biên Riemann không Chỉ số κ hệ số toán Riemann gọi số toán Footer Page of 126 6 Header Page of 126 1.3.2 Bài toán bước nhảy Bài toán Bài toán bước nhảy toán biên Riemann dạng đơn sơ Giả thiết chu tuyến đóng Γ cho hàm số ϕ(t) thỏa mãn điều kiện Holder Ta cần xác định hai hàm số giải tích Φ+ (z), Φ− (z) triệt tiêu vô thỏa mãn điều kiện Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t) (1.22) Công thức nghiệm Hàm số tùy ý ϕ(t) cho chu tuyến đóng thỏa mãn điều kiện Holder, biểu diễn dạng hiệu hàm số Φ+ (t), Φ− (t), giá trị biên hàm giải tích Φ+ (z), Φ− (z) giả thiết Φ− (∞) = Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ− (∞) = 0, nghiệm toán cho công thức ϕ(τ ) Φ(z) = dτ + const (1.24) 2πi τ − t Γ 1.3.3 Bài toán biên Riemann Giả thiết toán biên (1.20) có nghiệm giả sử hàm số Φ+ (z) Φ− (z) nghiệm Công thức nghiệm cụ thể cho trường hợp sau: Trường hợp κ = Nếu Φ− (∞) = nghiệm chứa số tùy ý, tức tồn nghiệm độc lập tuyến tính Nếu Φ− (∞) = A = toán có nghiệm tầm thường đồng Trường hợp κ > Giả thiết gốc tọa độ nằm miền D+ Hàm số tκ có số κ Ta viết điều kiện biên dạng Φ+ (t) = tκ [t−κ G(t)]Φ− (t) Vậy nên, ta nhận nghiệm tổng quát toán Φ+ (z) = eΓ + (z) Pκ (z), Φ− (z) = eΓ − (z) −κ z Pκ (z) Trường hợp κ < Bài toán nghiệm Footer Page of 126 (1.32) Header Page of 126 1.3.4 Bài toán biên Riemann không Xét toán biên Riemann không (1.21) Ta viết G(t) thương giá trị biên hàm tắc toán nhất, X + (t) + − G(t) = − , với X + (z) = eΓ (z) , X − (z) = z −κ eΓ (z) X (t) Γ(z) = ln[τ −κ G(τ )] dτ , Ψ(z) = τ −t 2πi 2πi Γ g(τ ) dτ X + (τ ) τ − z Γ Khi đó, điều kiện biên viết dạng Φ− (t) Φ+ (t) + − Ψ (t) = − − Ψ− (t) X + (t) X (t) Tương tự toán nhất, ta thu kết sau: Khi κ 0, ta thu nghiệm Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ (z)], (1.33) đó, X(z), Ψ(z) nói Pκ đa thức bậc κ với hệ số tùy ý Khi κ < 0, ta thu nghiệm Φ(z) = X(z)Ψ(z) (1.34) Định lý 1.2 ([1]-[2]) Trong trường hợp κ toán bờ Riemann không giải ứng với thành phần tự nghiệm tổng quát cho công thức X(z) g(τ ) dτ Φ(z) = + X(z)Pκ (z) (1.35) 2πi X + (τ ) τ − z Γ Nếu κ = −1 toán không giải có nghiệm Nếu κ < −1 toán không nói chung không giải Để có nghiệm, điều kiện cần đủ thành phần tự toán thỏa mãn thêm −κ − điều kiện g(τ ) k−1 τ dτ = 0, (k = 1, 2, , −κ − 1) (1.36) X + (τ ) Γ Nếu điều kiện thỏa mãn nghiệm toán cho công thức (1.35), ta coi P (z) ≡ Trong trường hợp, ta đòi hỏi thêm điều kiện nghiệm phải triệt tiêu vô cùng, đa thức bậc κ thay đa thức κ − Footer Page of 126 8 Header Page 10 of 126 1.3.5 1.4 1.4.1 Ví dụ Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược F (x) biến đổi Fourier f (x), ta có +∞ F (x) = √ 2π f (ξ)eixξ dξ , −∞ +∞ f (t) = √ 2π F (x)e−ixt dx −∞ 1.4.2 Mối quan hệ biến đổi Fourier tích phân Cauchy 1.4.3 Biến đổi Fourier phía Footer Page 10 of 126 9 Header Page 11 of 126 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DẠNG CHẬP ĐẶC TRƯNG 2.1 2.1.1 Phương trình dạng chập với nhân Dạng phương trình Xét phương trình dạng chập, dạng đơn giản ∞ f (t) + √ 2π k(t − s)f (s)ds = g(t), −∞ < t < ∞ (2.1) −∞ đó, k(t), g(t) hàm cho trước thuộc lớp {0} Nghiệm phương trình tìm lớp hàm 2.1.2 Cách giải Ta sử dụng biến đổi Fourier để giải phương trình tích phân dạng chập nói Ta thu nghiệm phương trình tích phân dạng chập (2.1) ∞ f (t) = √ 2π [1 + K(x)]−1 G(x)e−ixt dx, −∞ < t < ∞ (2.5) −∞ Ta thấy, nghiệm (2.5) thuộc lớp {0} Để viết nghiệm dạng đối xứng, ta viết ∞ f (t) = g(t) + √ 2π r(t − s)g(s)ds, −∞ < t < ∞ (2.7) −∞ Hàm số r(t − s) thường gọi kết thức phương trình tích phân dạng chập 2.1.3 Ví dụ Ta xét ví dụ đơn giản sau để mô tả phương pháp trình bày Xét phương trình tích phân dạng chập ∞ f (t) + λ −∞ Footer Page 11 of 126 e−|t−s| f (s)ds = g(t), −∞ < t < ∞, (2.8) 10 Header Page 12 of 126 λ tham số thực Trong trường hợp này, nhân phương trình tích phân dạng chập có dạng √ k(t) = λ 2πe−|t| , −∞ < t < ∞ (2.9) Tích phân Fourier có dạng 2λ x2 + 1 Điều kiện giải chuẩn có dạng λ ∈ / − ∞; − Từ đây, ta xác định 2λ R(x) = − x + + 2λ K(x) = (2.10) Sử dụng biến đổi Fourier ngược, ta thu ∞ r(t) = √ 2π −∞ Tính theo thặng dư, ta có ∞ 2λ R(x)e−ixt dx = − √ 2π e−ixt dx x2 + + 2λ −∞ √ 2π −|t|√1+2λ e r(t) = −λ √ + 2λ Vậy nên nghiệm phương trình tích phân dạng chập (2.8) có dạng ∞ λ f (t) = g(t) − √ + 2λ √ −|t−s| 1+2λ e g(s)ds −∞ − , ta thu phương trình ứng với toán biên Riemann suy biến Ta có 1+2λ Đặt −1−2λ = a2 Phương trình (2.8) đưa dạng Đối với trường hợp giải chuẩn bị phá vỡ −∞ < λ x2 + 2λ + F (x) = G(x) x2 + hay x2 − a2 F (x) = G(x) x2 + Do (x2 + 1)G(x) a2 + F (x) = = G(x) + G(x) x2 − a2 x − a2 Vế phải có kỳ dị x = ±a Ta đòi hỏi hệ số G(x) khả vi lân cận điểm đạo hàm G (x) thỏa mãn điều kiện Holder Khi G(±a) = 0, hay Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 ∞ ∞ g(t) cos atdt = 0, −∞ g(t) sin atdt = −∞ ta thu nghiệm lớp {0} dạng ∞ f (t) = g(t) − λ G(x) −ixt e dt x2 − a2 π −∞ Sau vài tính toán, ta thu a2 + f (t) = g(t) − 2a ∞ sin asg(s + t)ds, −∞ < t < ∞ 2.2 2.2.1 Phương trình dạng chập với hai nhân Dạng phương trình Xét phương trình tích phân dạng chập với hai nhân sau ∞ f (t) + √ 2π 0 k1 (t − s)f (s)ds + √ 2π k2 (t − s)f (s)ds = g(t), t ∈ R, (2.11) −∞ k1 (t) k2 (t) hàm cho trước trục thực 2.2.2 Cách giải Định lý 2.1 ([1]-[2]) Nếu số κ = Ind + K2 (x) + K1 (x) (2.17) dương, phương trình tích phân dạng chập (2.11) (với g = 0) có κ nghiệm độc lập tuyến tính, phương trình không giải vô điều kiện nghiệm phụ thuộc vào κ số phức tùy ý Khi số κ 0, phương trình tích phân dạng chập (2.11) (với g = 0) có nghiệm đồng Phương trình không giải vô điều kiện κ = nghiệm Khi số κ < 0, điều kiện ∞ −∞ Footer Page 13 of 126 G(t)dt = 0, k = 1, 2, , −κ , X + (t)[1 + K1 (t)](t + i)k (2.18) 12 Header Page 14 of 126 điều kiện cần đủ để (2.11) giải Trong trường hợp, nghiệm cho công thức ∞ f (t) = √ 2π [F + (x) − F − (x)]e−ixt dx, −∞ < t < ∞, (2.19) −∞ đó, F + (x), F − (x) nghiệm toán Riemann (2.15) tương ứng 2.2.3 Ví dụ Ví dụ Xét phương trình tích phân dạng chập hai nhân dạng sau ∞ f (t) + √ 2π 0 k1 (t − s)f (s)ds + √ 2π k2 (t − s)f (s)ds = g(t), t ∈ R, −∞ k1 (t) = √ −2 2πe−t , t > ; k2 (t) = 0, t 0, t0 t − 2πe , t < Khi đó, k1 (t − s) = ứng với t < s k2 (t − s) = ứng với t < s Vậy, phương trình tích phân dạng chập tương ứng có dạng t e−(t−s) f (s)ds − f (t) − e−(t−s) f (s)ds = 0, t > 0, −∞ t f (t) − √ e−(t−s) f (s)ds = − 2πet , t < −∞ Tính biến đổi Fourier, ta ∞ e−t eixt dt = − K1 (x) = −2 2i 2i , K2 (x) = − x+i x+i i x−i G(x) = , D(x) = =1 x−i x−i Điều kiện biên, có dạng F + (x) = F − (x) + Footer Page 14 of 126 i(x + i) (x − i)2 13 Header Page 15 of 126 Ta có F + (z) = 0, F − (z) + i(z + i) = 0, nên (z − i)2 ∞ f+ (t) = 0, f− (t) = √ 2π i(x + i) −ixt e dx (x − i)2 −∞ Ta thu nghiệm toán f (t) = Ví dụ Ví dụ Ví dụ Footer Page 15 of 126 0,√ t>0 t − 2πe (1 + 2t), t < 14 Header Page 16 of 126 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CẶP VÀ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG VOLTERRA 3.1 3.1.1 Phương trình tích phân cặp Dạng phương trình Trong thực tế, có nhiều toán mà ẩn hàm xác định hai tập phân biệt ứng với hai điều kiện khác Những phương trình cho theo cách thường gọi phương trình cặp Ta xét phương trình cặp tích phân dạng chập ∞ ϕ(t) + √ 2π ϕ(t) + √ 2π k1 (t − s)ϕ(s)ds = g(t), < t < ∞, −∞ ∞ (3.1) k2 (t − s)ϕ(s)ds = g(t), − ∞ < t < −∞ đó, hàm có mặt phương trình thuộc lớp {0} Nhận xét rằng, ta viết phương trình cặp (3.1) dạng phương trình nhân ∞ k(t, s)ϕ(s)ds = g(t), −∞ < t < +∞, ϕ(t) + (3.2) −∞     √ k1 (t − s), t > 0, 2π k(t, s) =    √ k2 (t − s), t < 2π Hoàn toàn tương tự trường hợp phương trình cặp tích phân dạng chập với hai nhân đặt     √ k1 (t − s), s > 0, 2π k(t, s) =    √ k2 (t − s), s < 2π Footer Page 16 of 126 15 Header Page 17 of 126 Để sử dụng biến đổi Fourier, ta viết phương trình cặp dạng ∞ ϕ(t) + √ 2π ϕ(t) + √ 2π k1 (t − s)ϕ(s)ds = g(t) + f− (t), −∞ ∞ (3.3) k2 (t − s)ϕ(s)ds = g(t) + f+ (t), −∞ −∞ < t < ∞ f± (t) hàm phía chưa biết 3.1.2 Cách giải Lấy biến đổi Fourier phương trình (3.3), ta thu [1 + K1 (x)]Φ(x) = G(x) + F − (x), [1 + K2 (x)]Φ(x) = G(x) + F + (x) Ta có ba ẩn hàm hàm số Φ(x), F ± (x) Giả sử điều kiện giải chuẩn thỏa mãn, tức + K1 (x) = 0, + K2 (x) = Khi đó, ta khử Φ(x) từ G(x) + F − (x) G(x) + F + (x) = Φ(x) = + K1 (x) + K2 (x) (3.4) Từ đây, ta thu toán biên Riemann F + (x) = + K2 (x) − K2 (x) − K1 (x) F (x) + G(x), −∞ < x < ∞ + K1 (x) + K1 (x) (3.5) Tiếp theo, sử dụng biến đổi Fourier ngược, ta thu nghiệm phương trình cặp (3.1) ∞ ϕ(x) = √ 2π =√ 2π −∞ ∞ −∞ G(x) + F − (x) −ixt e dx + K1 (x) (3.6) + G(x) + F (x) −ixt e dx + K2 (x) Vì số toán biên Riemann (3.5) (2.15) nhau, nên điều kiện giải công thức tính nghiệm hoàn toàn tương tự trường hợp Footer Page 17 of 126 16 Header Page 18 of 126 phương trình dạng chập với hai nhân Điều kiện giải ứng với số âm, có dạng ∞ −∞ 3.1.3 3.2 K2 (x) − K1 (x) dx G(x) , k = 1, 2, , −κ X + [1 + K1 (x)] (x + i)k (3.7) Ví dụ Phương trình tích phân Winer - Hoff 3.2.1 Dạng phương trình Ta xét phương trình dạng chập sau: ∞ f (t) + √ 2π k(t − s)f (s)ds = g(t), < t < ∞ (3.8) Phương trình xác định nửa trục dương nên thường gọi phương trình phía, hay phương trình Winer-Hoff 3.2.2 Cách giải Ta xem phương trình (3.8) phương trình tích phân dạng chập hai nhân với k1 (t) = k(t), k2 (t) = 0, g(t) = g+ (t) = g(t), t > 0, t 0, lời giải phương trình đồng thời lời giải phương trình (3.8) Ngược lại, bổ sung phương trình (3.9) nửa trục âm hàm f− (t) f+ (t) = f (t) t > 0, ta thu phương trình ∞ f+ (t) + √ 2π k(t − s)f+ (s)ds = f− (t) + g+ (t), −∞ < t < ∞ (3.10) −∞ Lấy biến đổi Fourier hai vế (3.10) giả thiết ta xét trường hợp giải chuẩn, F + (x) = 1 F − (x) + G+ (x), −∞ < x < ∞ + K(x) + K(x) (3.11) Chuyển phương trình (3.8), ta thu nghiệm ∞ f (t) = f+ (t) = √ 2π Footer Page 18 of 126 F + (x)e−ixt dx, t > −∞ (3.12) 17 Header Page 19 of 126 Công thức cuối cho thấy, nghiệm không phụ thuộc vào F − (x), tức là, không phụ thuộc vào cách lựa chọn phần thác triển bổ sung thêm Công thức tính số toán có dạng κ = −Ind [1 + K(x)] (3.13) 3.2.3 3.3 3.3.1 Ví dụ Phương trình tích phân dạng Volterra Dạng phương trình Ta xét phương trình với cận lấy tích phân biến thiên sau: t f (t) + √ 2π k(t − s)f (s)ds = g(t), < t < R, (3.22) đó, R vô Phương trình (3.22) gọi phương trình tích phân dạng Volterra 3.3.2 Cách giải Ta xem phương trình (3.22) trường hợp riêng phương trình WinerHoff Ta viết dạng ∞ f (t) + √ 2π k+ (t − s)f (s)ds = g(t), < t < ∞, Ta thu toán bờ Riemann tương ứng dạng G+ (x) F − (x) F (x) = + , + K + (x) + K + (x) + hàm thác triển giải tích vào nửa mặt phẳng trên, + K + (x) trừ không hữu hạn cực điểm không điểm + K + (z) Ta xét trường hợp giải chuẩn, tức + K + (z) không triệt tiêu trục thực Vì thế, số toán không dương Ta viết điều kiện biên dạng (1 + K + (x))F + (x) = F − (x) + G+ (x) Ta thu F − (x) = F + (x) = Footer Page 19 of 126 G+ (x) + K + (x) (3.23) 18 Header Page 20 of 126 Trước hết, ta xét trường hợp, + K + (z) không điểm nửa mặt phẳng (tức κ = 0) Khi đó, ta thấy F + (x) ∈ {{0, +∞}} đó, phương trình có nghiệm t f (t) = g(t) + √ 2π r(t − s)g(s)ds, t > 0, (3.24) ∞ r(t) = − √ 2π K + (x) −ixt e dx + K + (x) −∞ Khi 1+K + (z) có không điểm a1 , , am bội s1 , , sm , nửa mặt phẳng (tức κ < 0), G+ (z) có không điểm a1 , , am bội không nhỏ G+ (z) thua s1 , , sm , cực điểm phương trình + K + (z) (3.23) có nghiệm dạng (3.24) Điều kiện đòi hỏi G+ (z) không aj tương đương với điều kiện ∞ g(t)e−iαj tt k dt = 0, k = 0, , sj − 1, j = 1, , m (3.25) −∞ Nếu xảy trường hợp G+ (z) có không điểm a1 , , am bội nhỏ thua s1 , , sm , G+ (z) có cực điểm nghiệm toán biên không thuộc + K + (z) {{0, +∞}} nên nghiệm phương trình (3.23) không thuộc {0} Tương tự, ta xét phương trình ∞ f (t) + √ 2π k(t − s)f (s)ds = g(t), < t < ∞ (3.26) t Bài toán bờ Riemann tương ứng có dạng F + (x) = 1 − F (x) + G+ (x) − − + K (x) + K (x) Khi + K + (z) không điểm nửa mặt phẳng dưới, F − (x) ∈ {{−∞, 0}} + K − (x) Footer Page 20 of 126 (3.27) 19 Header Page 21 of 126 Ký hiệu K − (x) ∈ {{−∞, 0}} R (x) = − + K − (x) − Lấy biến đổi Fourier ngược, ta thu ∞ f (t) = g(t) + √ 2π r− (t − s)g(s)ds, t > t Khi + K + (z) có không điểm nửa mặt phẳng dưới, số không điểm hiển nhiên hữu hạn ta thu toán bờ Riemann với số dương: κ = Ind = −Ind [1 + K − (x)] = ν1 + · · · + νn > 0, − + K (x) đó, νk bội không điểm zk tương ứng Giả sử, C1k C2k Cνk k + + · · · + z − zk (z − zk )2 (z − zk )νk phần khai triển Laurent zk , F − (x) − + K − (x) ν1 j=1 Cj1 − ··· − (z − z1 )j νn j=1 Cjn ∈ {{−∞, 0}} (z − zn )j Do n G+ (x) F (x) = + + K − (x) k=1 νk + j=1 Cjk + ··· (z − zk )j ta thu ∞ f (t) = g(t) + √ 2π n t Pk (t) đa thức bậc νk − 3.3.3 Ví dụ Footer Page 21 of 126 Pk (t)e−izk t , t > 0, r− (t − s)g(s)ds + k=1 20 Header Page 22 of 126 KẾT LUẬN Luận văn Phương trình tích phân dạng chập lớp hàm {0} giải vấn đề sau: Trình bày đầy đủ chi tiết cách giải toán biên Riemann miền đơn liên minh họa ví dụ cụ thể Nêu lý thuyết phương trình tích phân dạng chập đặc trưng, phương trình tích phân dạng chập mở rộng cách giải chi tiết loại Đây lớp phương trình tích phân dạng chập mà nghiệm cần tìm có dáng điệu tiệm cận dạng mũ, cần đến lý thuyết toán biên Riemann hàm giải tích để giải Luận văn xây dựng số ví dụ phương trình tích phân dạng chập cho phép tìm nghiệm chúng dạng tường minh Footer Page 22 of 126  ... cứu phương trình tích phân dạng chập lớp hàm {0} Nắm số lớp phương trình tích phân đặc trưng dạng chập với nhân hai nhân, số phương trình dạng cặp tương ứng khảo sát số lớp phương trình tích phân. .. cách giải phương trình tích phân dạng chập đặc trưng với nhân, hai nhân minh họa ví dụ Chương Trình bày số loại phương trình tích phân khác phương trình tích phân cặp, phương trình tích phân Winer-Hoff,... 126 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN CẶP VÀ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG VOLTERRA 3.1 3.1.1 Phương trình tích phân cặp Dạng phương trình Trong thực tế, có nhiều toán mà ẩn hàm xác định hai tập phân biệt ứng