Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THANH TÂM PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DẠNG CHẬP TRONG LỚP HÀM {0} Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2012 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 2: PGS. TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 02 tháng 12 năm 2012. * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0} nói riêng và phương trình tích phân kỳ dị nói chung đã được xây dựng và phát triển rất mạnh mẽ trong vòng nửa thế kỷ, từ năm 1920 đến năm 1970. Các kết quả này gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua,. . . Cùng song hành và tiếp ngay sau đó là sự ra đời của hàng loạt các lý thuyết toán tử kỳ dị trừu tượng trong không gian tuyến tính tổng quát gắn với lý thuyết các phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển và liên hợp phức cũng như nhiều dạng bài toán bờ khác. Tại Việt Nam, từ những năm 1980, đã có rất nhiều người quan tâm đến lĩnh vực các bài toán bờ Riemann, các phương trình tích phân kỳ dị Cauchy, phương trình tích phân dạng chập và đã thu được một số kết quả nhất định. Từ đó, lý thuyết toán tử và phương trình tích phân kỳ dị đã trở thành một mảng lớn khá hấp dẫn trong toán học hiện đại ở Việt Nam (Xem [1]-[5]). Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu tham khảo về lĩnh vực này vẫn còn rất ít, trình bày ở mức độ sơ lược. Đặc biệt, các dạng của phương trình tích phân dạng chập vẫn chưa được hệ thống một cách chi tiết. Ngoài ra, việc nghiên cứu còn cho ta thấy được vẻ đẹp, sự phong phú của nhiều loại phương trình tích phân nói chung và phương trình tích phân dạng chập nói riêng (Xem [1]-[2]). Xuất phát từ những vấn đề nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài "Phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}" với hy vọng sẽ tìm hiểu sâu về lý thuyết, hệ thống các phương trình tích phân dạng chập và minh họa rõ nét qua các ví dụ, nhằm làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống và tổng quan lý thuyết phương trình tích phân kỳ dị làm cơ sở để nghiên cứu phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}. Nắm được một số lớp phương trình tích phân đặc trưng dạng chập với một nhân và hai nhân, một số phương trình dạng cặp tương ứng và khảo sát một số lớp phương trình tích phân mở rộng. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0} 2 và các phương trình tích phân mở rộng liên quan. Phạm vi nghiên cứu: tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, các tài liệu từ các website, tạp chí toán học và các diễn đàn toán học . 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu và các tài liệu tiếng Anh, các trang web . Từ đó, tác giả phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Tạo được một đề tài có tính hệ thống, tổng quan đầy đủ về phương trình tích phân dạng chập trong lớp hàm {0}. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nghiên cứu và tìm hiểu toán học hiện đại nói chung và phương trình tích phân dạng chập nói riêng. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương. Chương 1. Trình bày một số định nghĩa, định lý và các tính chất trong lớp hàm {0}. Tiếp theo là hai kết quả quan trọng: công thức Xokhotski-Plemelij và bài toán biên Riemann, được dùng nhiều trong giải phương trình tích phân dạng chập. Chương 2. Trình bày cách giải phương trình tích phân dạng chập đặc trưng với một nhân, hai nhân và minh họa bằng ví dụ. Chương 3. Trình bày một số loại phương trình tích phân khác như phương trình tích phân cặp, phương trình tích phân Winer-Hoff, phương trình tích phân dạng Volterra và nêu một số ví dụ. 3 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER 1.1 Lớp hàm Holder và lớp hàm {0} 1.1.1 Lớp hàm Holder Giả sử Γ là chu tuyến trơn và ϕ(t) là hàm xác định trên đó. Hàm số ϕ(t) được gọi là thỏa mãn điều kiện Holder trên chu tuyến Γ nếu đối với mọi cặp điểm tùy ý thuộc Γ, ta có |ϕ(t 2 ) − ϕ(t 1 )| ≤ A|t 2 − t 1 | λ (1.1) trong đó A và λ là các số dương. A được gọi là hằng số Holder và λ là chỉ số Holder. 1.1.2 Lớp hàm {0} Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Ta nói F (x) thuộc lớp hàm {{0}} nếu nó là ảnh của biến đổi Fourier và đồng thời thuộc lớp hàm Holder và L 2 (−∞, +∞). Như vậy, lớp {{0}} là tập hợp các hàm số Holder trong L 2 (−∞, +∞) dạng 1 √ 2π +∞  −∞ f(t)e ixt dt,−∞ < x < +∞. Kí hiệu {0} là lớp các hàm số f(t) mà ảnh của nó qua biến đổi Fourier thuộc {{0}}. 1.2 Tích phân kỳ dị. Công thức Xokhotski-Plemelij 1.2.1 Giá trị chính của tích phân kỳ dị thực Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Giá trị chính (theo Cauchy) của tích phân kỳ dị b  a dx x − c với a < c < b, là biểu thức 4 lim ε→0   c−ε  a dx x − c + b  c+ε dx x − c   . 1.2.2 Giá trị chính của tích phân đường kỳ dị Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Giới hạn của tích phân  Γ  ϕ(τ) τ − t dτ khi  → 0 được gọi là giá trị chính của tích phân kỳ dị. Trong luận văn này, tích phân kỳ dị luôn được hiểu là giá trị chính của nó. 1.2.3 Chỉ số của hàm số Giả sử Γ là một chu tuyến đóng và trơn và G(t) là một hàm số liên tục, không triệt tiêu trên Γ. Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Chỉ số của hàm số G(t) dọc theo chu tuyến Γ được hiểu là tỉ số độ tăng trưởng (số gia) của argumen của nó khi chuyển động hết một lượt dọc theo chu tuyến (theo hướng dương) và 2π. Kí hiệu [w] Γ là độ tăng trưởng của w dọc theo Γ thì chỉ số của G(t) được viết dưới dạng κ = Ind G(t) = 1 2π [arg G(t)] Γ . (1.14) Chỉ số có thể tính theo tích phân: κ = Ind G(t) = 1 2π  Γ d arg G(t) = 1 2πi  Γ d ln G(t). (1.17) Vì hàm G(t) liên tục, nên sự tăng trưởng của argumen dọc theo chu tuyến đóng sẽ là bội của 2π. Vậy nên ta có nhận xét: Nhận xét 1.1. Chỉ số của hàm số liên tục trên chu tuyến đóng và không triệt tiêu trên đó luôn là một số nguyên. Nhận xét 1.2. Chỉ số của tích hai hàm số bằng tổng của các chỉ số. Chỉ số của một thương bằng hiệu các chỉ số tương ứng. 1.2.4 Công thức Xokhotski-Plemelij Định lý 1.1 ([1]-[2]). Giả sử Γ là chu tuyến trơn (đóng hoặc mở) và ϕ(τ) là hàm số tọa vị trên chu tuyến và thỏa mãn điều kiện Holder. Khi đó, tích phân dạng Cauchy 5 Φ(z) = 1 2πi  Γ ϕ(τ) τ − z dτ có giá trị Φ + (t), Φ − (t) tại mọi điểm của chu tuyến Γ không trùng với các đầu mút, trên chu tuyến chọn hướng từ bên trái hoặc từ bên phải dọc theo hướng đi của đường dẫn, và giá trị biên này được biểu diễn theo hàm mật độ của tích phân ϕ(t) và tích phân kỳ dị Φ(t) dưới dạng công thức Xokhotski như sau:            Φ + (t) = 1 2 ϕ(t) + 1 2πi  Γ ϕ(τ) τ − t dτ Φ − (t) = − 1 2 ϕ(t) + 1 2πi  Γ ϕ(τ) τ − t dτ. (1.19) 1.3 Bài toán biên Riemann 1.3.1 Thiết lập bài toán Giả thiết rằng Γ là chu tuyến đóng, đơn và trơn chia mặt phẳng phức thành miền trong D + và miền ngoài D − (giả thiết ∞ ∈ D − ). Cho hai hàm số trên chu tuyến, G(t) và g(t) thỏa mãn điều kiện Holder, trong đó G(t) không triệt tiêu trên biên. Với mỗi hàm Φ(z) xác định và giải tích trên D + và D − , ta ký hiệu Φ + (z) = Φ(z)   D + , Φ − (z) = Φ(z)   D − . Với mỗi t ∈ Γ ta ký hiệu Φ + (t) = lim z∈D + ,z→t Φ + (z), Φ − (t) = lim z∈D − ,z→t Φ − (z). Bài toán đặt ra là tìm hai hàm số Φ + (z) giải tích trên D + và Φ − (z) giải tích trên D − (kể cả z = ∞ ∈ D − ) và thỏa mãn trên Γ quan hệ tuyến tính Φ + (t) = G(t)Φ − (t) (1.20) hoặc Φ + (t) = G(t)Φ − (t) + g(t). (1.21) Hàm G(t) được gọi là hệ số của bài toán biên Riemann và hàm g(t) được gọi là thành phần tự do của bài toán. (1.20) được gọi là bài toán biên Riemann thuần nhất. (1.21) được gọi là bài toán biên Riemann không thuần nhất. Chỉ số κ của hệ số bài toán Riemann sẽ được gọi là chỉ số của bài toán. 6 1.3.2 Bài toán bước nhảy Bài toán Bài toán bước nhảy là bài toán biên Riemann dạng đơn sơ nhất. Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng Γ cho hàm số ϕ(t) thỏa mãn điều kiện Holder. Ta cần xác định hai hàm số giải tích Φ + (z), Φ − (z) triệt tiêu tại vô cùng và thỏa mãn điều kiện Φ + (t) − Φ − (t) = ϕ(t). (1.22) Công thức nghiệm Hàm số tùy ý ϕ(t) cho trên chu tuyến đóng và thỏa mãn điều kiện Holder, có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng hiệu của hàm số Φ + (t), Φ − (t), là giá trị biên của hàm giải tích Φ + (z), Φ − (z) dưới giả thiết Φ − (∞) = 0. Nếu không đòi hỏi điều kiện Φ − (∞) = 0, thì nghiệm của bài toán được cho bởi công thức Φ(z) = 1 2πi  Γ ϕ(τ) τ − t dτ + const . (1.24) 1.3.3 Bài toán biên Riemann thuần nhất Giả thiết rằng bài toán biên thuần nhất (1.20) có nghiệm và giả sử hàm số Φ + (z) và Φ − (z) là nghiệm của nó. Công thức nghiệm cụ thể cho các trường hợp như sau: 1. Trường hợp κ = 0. Nếu Φ − (∞) = 0 thì nghiệm chứa một hằng số tùy ý, tức là tồn tại nghiệm độc lập tuyến tính. Nếu Φ − (∞) = 0 thì A = 0 và bài toán chỉ có nghiệm tầm thường đồng nhất bằng 0. 2. Trường hợp κ > 0. Giả thiết rằng gốc tọa độ nằm trong miền D + . Hàm số t κ có chỉ số κ. Ta viết điều kiện biên dưới dạng Φ + (t) = t κ [t −κ G(t)]Φ − (t). Vậy nên, ta nhận được nghiệm tổng quát của bài toán là Φ + (z) = e Γ + (z) P κ (z), Φ − (z) = e Γ − (z) z −κ P κ (z). (1.32) 3. Trường hợp κ < 0. Bài toán thuần nhất không có nghiệm. 7 1.3.4 Bài toán biên Riemann không thuần nhất Xét bài toán biên Riemann không thuần nhất (1.21). Ta viết G(t) bởi thương của giá trị biên của hàm chính tắc của bài toán thuần nhất, G(t) = X + (t) X − (t) , với X + (z) = e Γ + (z) , X − (z) = z −κ e Γ − (z) và Γ(z) = 1 2πi  Γ ln[τ −κ G(τ)] τ − t dτ, Ψ(z) = 1 2πi  Γ g(τ) X + (τ) dτ τ − z Khi đó, điều kiện biên có thể viết dưới dạng Φ + (t) X + (t) − Ψ + (t) = Φ − (t) X − (t) − Ψ − (t). Tương tự như bài toán thuần nhất, ta thu được kết quả sau: 1. Khi κ  0, thì ta thu được nghiệm Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + P κ (z)], (1.33) trong đó, X(z), Ψ(z) đã nói ở trên và P κ là đa thức bậc κ với hệ số tùy ý. 2. Khi κ < 0, thì ta thu được nghiệm Φ(z) = X(z)Ψ(z). (1.34) Định lý 1.2 ([1]-[2]). Trong trường hợp κ  0 thì bài toán bờ Riemann không thuần nhất giải được ứng với mọi thành phần tự do và nghiệm tổng quát của nó được cho bởi công thức Φ(z) = X(z) 2πi  Γ g(τ) X + (τ) dτ τ − z + X(z)P κ (z). (1.35) Nếu κ = −1 thì bài toán không thuần nhất là giải được và có nghiệm duy nhất. Nếu κ < −1 thì bài toán không thuần nhất nói chung là không giải được. Để nó có nghiệm, điều kiện cần và đủ là thành phần tự do của bài toán thỏa mãn thêm −κ − 1 điều kiện  Γ g(τ) X + (τ) τ k−1 dτ = 0, (k = 1, 2, . . . ,−κ − 1). (1.36) Nếu các điều kiện này thỏa mãn thì nghiệm duy nhất của bài toán được cho bởi công thức (1.35), trong đó ta coi P (z) ≡ 0. Trong trường hợp, khi ta đòi hỏi thêm điều kiện là nghiệm phải triệt tiêu tại vô cùng, thì đa thức bậc κ được thay bởi đa thức κ − 1. 8 1.3.5 Ví dụ 1.4 Biến đổi Fourier 1.4.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược F (x) là biến đổi Fourier của f(x), ta có F (x) = 1 √ 2π +∞  −∞ f(ξ)e ixξ dξ, f(t) = 1 √ 2π +∞  −∞ F (x)e −ixt dx. 1.4.2 Mối quan hệ giữa biến đổi Fourier và tích phân Cauchy 1.4.3 Biến đổi Fourier một phía