Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và ứng dụng

Lý do chọn đề tài Rất nhiều bài toán vật lý thường được giải bằng phương pháp phươngtrình vi phân đều có thể giải một cách hiệu quả hơn bằng cách sử dụngphương trình tích phân.. Thật vậy

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2,dưới sự hướng dẫn của TS Khuất Văn Ninh Tác giả xin được bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới TS Khuất Văn Ninh, người thầy đã luôn tậntình chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong những ngày đầulàm quen với nghiên cứu khoa học và trong quá trình thực hiện bản luậnvăn Đồng thời, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới cácthầy cô giáo trong Khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy

cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡtác giả trong suốt thời gian học tập từ những năm còn là sinh viên chođến ngày hôm nay Thêm nữa, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn cácđồng nghiệp trong Khoa tự nhiên, Trường Cao đẳng sư phạm Vĩnh Phúc(nơi tác giả mới nhận công tác) đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong những khoảng thời gian cuối cùng hoàn thành bản luận vănnày

Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010

Tác giả

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của T.S Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng đượccông bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010

Tác giả

Lời mở đầu 1

1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm 4

1.1.1 Không gian metric 4

1.1.2 Không gian định chuẩn 6

1.1.3 Không gian Hilbert 8

1.2 Khái niệm về phương trình tích phân 10

1.2.1 Phương trình toán tử 10

1.2.2 Phương trình tích phân 10

1.2.3 Một số điểm chú ý 12

2 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân 14 2.1 Phương pháp nhân suy biến 14

2.1.1 Phương pháp 14

2.1.2 Các ví dụ 17

iii

2.2 Phương pháp Fredholm thay phiên 20

2.2.1 Phương pháp 20

2.2.2 Ví dụ 21

2.3 Phương pháp xấp xỉ nhân 23

2.3.1 Phương pháp 24

2.3.2 Các ví dụ 27

2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 31

2.4.1 Lược đồ lặp 31

2.4.2 Phương trình tích phân Volterra 36

2.4.3 Ví dụ 37

2.5 Phương pháp Galerkin 39

2.5.1 Phương pháp 39

2.5.2 Mối liên hệ giữa phương pháp Galerkin với phương pháp nhân suy biến 41

2.5.3 Ví dụ 44

2.6 Phương pháp cầu phương 56

2.6.1 Phương pháp 56

2.6.2 Ví dụ 57

3 Ứng dụng 58 3.1 Ứng dụng vào phương trình vi phân thường 58

3.1.1 Bài toán giá trị ban đầu 58

3.1.2 Bài toán giá trị biên 61

3.1.3 Ví dụ 63

3.2 Ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 12 64

3.2.1 Phương pháp nhân suy biến 65

3.2.2 Phương pháp xấp xỉ nhân 70

3.2.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 75

3.2.4 Phương pháp Galerkin 77

3.2.5 Phương pháp cầu phương 86

Rk Không gian thực k chiều

C[a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]

CL[a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục và khả tích trên [a, b]

Dk[a;b] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến

cấp k trên [a, b]

k.k Chuẩn

∅ Tập hợp rỗng

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Rất nhiều bài toán vật lý thường được giải bằng phương pháp phươngtrình vi phân đều có thể giải một cách hiệu quả hơn bằng cách sử dụngphương trình tích phân Thật vậy, phương pháp sử dụng phương trìnhtích phân được xuất hiện trong nhiều tài liệu với một tần suất tăng dần

và đã cung cấp những lời giải cho các bài toán mà sẽ gặp khó khăn nếugiải bằng những phương pháp cơ bản của phương trình vi phân Nhữngbài toán như vậy xuất hiện rất nhiều trong những lĩnh vực ứng dụng

và những phương pháp được khảo sát trong luận văn này sẽ rất hữu íchtrong toán học ứng dụng, vật lý toán và cơ lý thuyết

Phương trình tích phân đem đến một kĩ thuật hiệu quả cho việc giảiquyết rất nhiều những bài toán thực tế khác nhau Một trong những lí

do của ích lợi này là tất cả những điều kiện ban đầu và điều kiện biêncủa một bài toán phương trình vi phân đều có thể gói gọn lại trong mộtphương trình tích phân đơn

Sự thay thế một mô hình toán học phức tạp của một tình huống vật

lí thành một phương trình tích phân đơn đã là một bước tiến đáng kểnhưng còn rất nhiều những lợi ích của việc thay thế phép tính vi phânbởi phép tính tích phân Một trong những lợi thế này nảy sinh bởi phéptính tích phân là một quá trình “uyển chuyển” được thể hiện trong quátrình tìm nghiệm xấp xỉ Nếu ta cần tìm một lời giải chính xác hay gầnđúng của bài toán cho trước thì phương trình tích phân chính là mộtphương pháp hữu ích được trông đợi Cũng bởi lí do này mà phương

trình tích phân đã thu hút được sự chú ý của các nhà toán học trongphần lớn thời gian của thế kỉ trước và đầu thế kỉ này, và lí thuyết của

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm

và khái niệm về phương trình tích phân Cuối chương trình bày một sốđiểm chú ý

Chương 2 của luận văn tập trung trình bày một số phương pháp giảiphương trình tích phân tuyến tính

Chương 3 của luận văn trình bày ứng dụng của phương trình tíchphân vào giải phương trình vi phân và ứng dụng giải số bằng lập trìnhMaple 12

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng các phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân vàứng dụng của những phương pháp này trong thực tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ những nội dung cần thể hiện Qua đó, thấy được lợi ích vàtính hữu dụng của các phương pháp này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình tích phân ở phương diện giải xấp xỉ nghiệm

và ứng dụng của nó vào thực tế

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, suy luận logic, phân tích tổng hợp

6 Dự kiến đóng góp mới

Lập trình trên máy tính điện tử giải một số phương trình tích phân

Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2010

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hoài

Một số kiến thức liên quan

1.1.1 Không gian metric

Cho X là một tập tùy ý

Định nghĩa 1.1.1 Một metric trong X là một ánh xạ

d : X × X → Rcủa tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sauđây:

tập hợp ấy Các phần tử của một không gian metric được gọi điểm củakhông gian ấy; số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.Định nghĩa 1.1.2 Một dãy điểm (xn), n = 1, 2, trong không gianmetric X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu

Định nghĩa 1.1.5 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

f : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với 0 ≤ α < 1sao cho với mọi x, x0 ∈ X ta đều có

d(f (x), f (x0)) ≤ α d(x, x0)

Hiển nhiên một ánh xạ co là liên tục đều.

Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một không gianmetric đầy đủ, và f : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó.Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗

1.1.2 Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).Định nghĩa 1.1.6 Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi

từ X vào R thỏa mãn các điều kiện:

1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X ;

2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ P và mọi x ∈ X;

4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X

Số ||x|| được gọi là chuẩn ( hay độ dài) của vectơ x ∈ X Một khônggian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, đượcgọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P thực hayphức)

Định lý 1.1.2 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈

X, đặt

d(x, y) = ||x − y||

Khi đó, d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.7 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến x0 ∈ X nếu limn→∞||xn− x0|| = 0

Khi đó, ta kí hiệu

lim

n→∞xn = x0 hoặc xn → x0, khi n → ∞

Định nghĩa 1.1.8 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu

lim

m,n→∞||xm − xn|| = 0

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử không gian định chuẩn X là một không gianmetric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = ||x − y||) Khi đó X được gọi làmột không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.Định nghĩa 1.1.10 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

P Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tínhnếu A thỏa mãn:

1) A(x + y) = Ax + Ay, với mọi x, y ∈ X;

2) A(αx) = αAx, với mọi x ∈ X, α ∈ P

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1)thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A đượcgọi là toán tử thuần nhất Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi

Định nghĩa 1.1.12 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệuL(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Xvào không gian Y Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:

• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B, xácđịnh bởi biểu thức

Định lý 1.1.3 Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là khônggian Banach

1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.13 Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P =

R hoặc P = C) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ

từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiênđề:

1) (y, x) = (x, y) với mọi x, y ∈ X ;

2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) với mọi x, y, z ∈ X;

3) (αx, y) = α(x, y) với mọi số α ∈ P và mọi x, y ∈ X;

4) (x, x) > 0 , nếu x 6= θ (θ là kí hiệu phần tử không) , với mọi

x ∈ X;

5) (x, x) = 0, nếu x = θ, với mọi x ∈ X

Các phần tử x, y, z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng Số (x, y)gọi là các tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3),4), 5) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.1.14 Không gian tuyến tính X trên trường P cùng vớimột tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert

Định lý 1.1.4 Cho X là một không gian tiền Hilbert Với mỗi x ∈ X,

ta đặt ||x|| = p(x, x) Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳngthức Schwarz)

|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X

Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không giantiền Hilbert đều là không gian định chuẩn, với chuẩn ||x|| = p(x, x).Định nghĩa 1.1.15 Ta gọi không gian tuyến tính H 6= ∅ trên trường

P là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tiền Hilbert;

2) H là không gian Banach với chuẩn ||x|| = p(x, x) với x ∈ X

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

H là không gian Hilbert con của không gian H

1.2 Khái niệm về phương trình tích phân

K(t, s)g(s)ds = f (t), (1.3)với K(t, s) là hàm số 2 biến (t, s) ∈ [a; b] × [a; b] cho trước, g là hàm sốliên tục trên đoạn [a; b], được gọi là phương trình tích phân tuyến tínhloại I

Phương trình dạng

g(t) = λ

Z b a

K(t, s)g(s)ds + f (t), (1.4)

với K(t, s) là hàm số hai biến (t, s) ∈ [a; b] × [a; b]; g(s) là hàm số liêntục trên đoạn [a; b]; tham số λ ∈ P (P = R hoặc P = C ), được gọi làphương trình tích phân tuyến tính loại II.

Định lý 1.2.1 Cho K(t, s) là hàm số hai biến (t, s) ∈ [a; b] × [a; b], g

là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] hay g ∈ C[a;b] Đặt

(Ag)(t) =

Z b a

K(t, s)g(s)dsKhi đó A là toán tử tuyến tính từ C[a;b] vào C[a;b]

Chứng minh Do K liên tục trên [a; b] × [a; b], g là hàm liên tục trên [a; b]nên biểu thức dưới dấu tích phân K(t, s)g(s) là hàm liên tục theo haibiến (t, s) ∈ [a; b] × [a; b] Suy ra, RabK(t, s)g(s)ds ∈ C[a;b] hay A là toán

tử tác động từ C[a;b] vào C[a;b]

Với mọi α, β ∈ R, với mọi g1, g2 ∈ C[a;b], ta có

A(αg1 + βg2)(t)) =

Z b a

K(t, s)[αg1(s) + βg2(s)]ds

= α

Z b a

K(t, s)g1(s)ds + β

Z b a

K(t, s)g2(s)ds

= (αAg1)(t) + (βAg2)(t)Vậy A = (αg1 + βg2) = αAg1 + βAg2 Hay A tuyến tính

Định nghĩa 1.2.3 Cho toán tử tuyến tính liên tục A

• A được gọi là toán tử tích phân Fredholm nếu

(Ag)(t) =

Z b a

K(t, s)g(s)dstrong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân

• A là toán tử tích phân Volterra nếu

(Ag)(t) =

Z t a

K(t, s)g(s)dstrong đó, hàm K(t, s) gọi là nhân của các toán tử tích phân

Nếu A là toán tử tích phân Fredholm thì tương ứng với (1.1) và (1.2) ta

có phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II Nếu A là toán tửtích phân Volterra thì tương ứng với (1.1) và (1.2) ta có phương trìnhtích phân Volterra loại I và loại II

2) Nếu K(t, t), f khả vi liên tục theo biến t , K(t, t) 6= 0 với mọi

t ∈ [a; b] thì phương trình Volterra loại I đưa được về phương trìnhVolterra loại II Thật vậy đạo hàm hai vế đẳng thức

Z t a

K(t, s)ds = f (t)

ta được

K(t, t)g(t) +

Z t a

∂K

∂t

K(t, t)g(s)ds +

f0(t)K(t, t)

3) Phương trình tích phân Fredholm đặt không chỉnh theo nghĩa: chỉmột kích động nhỏ của vế trái dẫn đến sự thay đổi lớn của nghiệm, thậmchí làm cho phương trình vô nghiệm Bởi vậy, trong giới hạn của đề tài,giới hạn hiểu biết của riêng tác giả, và nhằm đạt được mục đích nghiêncứu, luận văn này chỉ xét tới phương trình tích phân Fredholm loại II.

Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân

trong đó, f là phần tử cho trước thuộc X

Định nghĩa 2.1.1 Nhân K(t, s) của phương trình tích phân được gọi

là nhân suy biến nếu nó được biểu diễn dưới dạng

14

Nhân suy biến gồm các đa thức và nhiều hàm siêu việt như: (t + s),

βi(s)f (s)ds = fi,

Z b a

(i = 1, 2, ) Đó là một hệ phương trình đại số n ẩn ci, (i = 1, 2, ).Định thức của hệ là

D(λ) =

1 − λa11 −λa12 · · · −λa1n

−λa21 1 − λa22 · · · −λa2n

−λan1 −λan2 · · · 1 − λann

... D(λ) 6= 0, hệ phương trình đại số (2.9),

và phương trình tích phân (2.1), có nghiệm Mặt khác,với giá trị λ cho D(λ) = 0, hệ phương trình đại số (2.9)

và phương trình tích phân (2.1)... data-page="26">

2.2 Phương pháp Fredholm thay phiên

Phương pháp cho thấy rằng, nhân K(t, s) suy biến thìbài tốn giải phương trình tích phân Fredholm loại II qui việc giảimột hệ phương trình đại số. .. phảidùng phương pháp sau để giải

2.2.1 Phương pháp

Trong (2.1) ta biết việc tìm nghiệm phương trình tích phânFredholm loại II với nhân suy biến dựa vào nghiên cứu định thức(2.10) hệ số