DSpace at VNU: Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tích phân tự chập tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận...
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN ĐẮC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TỰ CHẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN ĐẮC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TỰ CHẬP Chun ngành: TỐN HỌC TÍNH TOÁN Mã số : 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Nội - Năm 2016 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình, chu đáo nghiêm khắc GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến người thầy Ngồi dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy động lực để ln cố gắng q trình hồn thiện luận văn Qua đây, xin gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, cán Phòng Sau đại học, thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2010 - 2012 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện mặt q trình tơi học tập trường Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người cổ vũ, động viên tơi suốt q trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Văn Đắc i Bảng kí hiệu hội tụ yếu → hội tụ mạnh F đạo hàm Fréchet toán tử F JF (x1 , x2 , , xn ) ma trận Jacobian F Range(G) miền giá trị tốn tử G C[0, T ] khơng gian hàm liên tục [0, T ] C [0, T ] không gian hàm khả vi liên tục [0, T ] L2 [0, T ] không gian hàm bình phương khả tích Lebesgue [0, T ] H0 [0, T ] Không gian hàm thuộc W 1,2 [0, T ] có giá compact [0, T ] Lσ,R cặp không gian L2 [0, T ] với tích vơ hướng phụ thuộc R [0, T ] ·, · σ , · σ tích vơ hướng chuẩn có trọng số σ ·, · σ,R , · σ,R tích vơ hướng chuẩn có trọng số σ phụ thuộc R ·, · ∞ chuẩn không gian L∞ W k,p [0, T ] không gian Sobolev ·, · , · tích vơ hướng chuẩn khơng gian tương ứng B[yđ , δ] Hình cầu tâm yđ , bán kính δ ii Mục lục Bảng kí hiệu i Lời nói đầu v Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép tính vi phân khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Một số không gian định chuẩn 1.1.2 Một số khái niệm liên quan 1.1.3 Đạo hàm Fréchet 1.1.4 Một số kết phương trình Volterra 1.2 Khái niệm toán đặt chỉnh tốn đặt khơng chỉnh 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Lavrent’ev 1.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 1.3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev 12 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với toán tử gần đơn điệu 15 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh ước lượng sai số 16 2.2 Phương trình tự chập 19 2.3 Thử nghiệm số 25 Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược 3.1 26 Phương trình tự chập hiệu chỉnh 26 iii MỤC LỤC 3.2 Sự hội tụ tính đặt chỉnh 30 3.3 Phép rời rạc hóa 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 iv Lời nói đầu Thời gian gần đây, phương trình tích phân t x(t − s)x(s)ds = y(t) nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu xuất số lĩnh vực khoa học, công nghệ, quang phổ học, hay lý thuyết xác suất thống kê, cần khôi phục hàm mật độ biến ngẫu nhiên biết kì vọng hàm mật độ bình phương biến Phương trình gọi phương trình tích phân loại dạng tự chập toán ngược tự chập Như hầu hết phương trình tích phân Volterra loại 1, tốn ngược tự chập đặt khơng chỉnh, theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vô định Mặt khác, số liệu thường thu nhập thực nghiệm, qua đo đạc, quan trắc, vv sau lại xử lí máy tính nên chúng khơng tránh khỏi sai số Chính thế, người ta cần phải có phương pháp giải ổn định tốn đặt khơng chỉnh, cho sai số liệu nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất phát Viện sĩ Tikhonov người khởi xướng phương pháp giải ổn định toán ngược Cách tiếp cận ơng đưa tốn giải phương trình F (u) = y tốn tìm cực tiểu phiếm hàm làm trơn F (u) − y + α u − u0 thiết lập hội tụ dãy điểm cực tiểu tới nghiệm tốn ngược v Lời nói đầu ban đầu Vào năm 80 kỷ XX, lý thuyết hiệu chỉnh cho tốn khơng chỉnh tuyến tính hồn thiện Đến năm 1989, lý thuyết hiệu chỉnh cho tốn đặt khơng chỉnh phi tuyến phát triển mạnh Cũng vào thời gian này, phương pháp biến phân toàn phần hiệu chỉnh áp dụng khử nhiễu làm rõ ảnh Khác với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov kinh điển, phiếm hàm cần cực tiểu phương pháp biến phân toàn phần hiệu chỉnh nói chung khơng khả vi Bước phát triển lý thuyết hiệu chỉnh hiệu chỉnh không lồi, phiếm hàm cần cực tiểu hóa khơng lồi Mơ hình hiệu chỉnh khơng lồi khởi nguồn từ thống kê lý thuyết lấy mẫu Trong trường hợp toán tử F tuyến tính, tự liên hợp khơng âm, tốn tìm cực tiểu phiếm hàm làm trơn tương đương với việc giải phương trình F ∗ F u + αu = F ∗ yδ Tuy nhiên, trường hợp này, người ta xét phương trình đơn giản F u + αu = yδ Phương pháp tìm nghiệm hiệu chỉnh từ phương trình đơn giản gọi phương pháp Lavrent’ev (hoặc Lavrentiev) Một số tác giả gọi phương pháp Browder-Tikhonov, hay phương pháp nhiễu kì dị Phương pháp Lavrent’ev áp dụng cho phương trình với tốn tử đơn điệu gần đơn điệu Đây phương pháp thích hợp để nghiên cứu toán ngược tự chập Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tích phân tự chập phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev phương pháp hiệu chỉnh địa phương Ngồi phần lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết phép tính vi phân khơng gian tuyến tính định chuẩn, khái niệm tốn đặt chỉnh tốn đặt khơng chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Lavrent’ev vi Lời nói đầu Chương 2: Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với tốn tử gần đơn điệu Trong chương này, dựa vào báo [9] mục Tài liệu tham khảo, chúng tơi trình bày việc thiết lập ước lượng sai số phương pháp Lavrent’ev để giải tốn đặt khơng chỉnh khơng gian Hilbert với tốn tử phi tuyến gần đơn điệu theo nghĩa đạo hàm Fréchet nghiệm xác accretive Một quy tắc tiên nghiệm việc chọn tham số phép hiệu chỉnh trình bày tương ứng ước lượng sai số thiết lập Luận văn đề cập tới phép rời rạc hóa tốn Chương 3: Hiệu chỉnh địa phương Trong chương này, dựa vào báo [4] mục Tài liệu tham khảo, chúng tơi trình bày lí thuyết hiệu chỉnh địa phương cho toán ngược tự chập Đã chứng minh hội tụ tính đặt chỉnh tốn hiệu chỉnh, trình bày đánh giá sai số phương pháp Do thời gian kiến thức học viên có hạn, luận văn khơng tránh khỏi sai sót Rất mong thày bạn học viên góp ý để luận văn hoàn thiện vii Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép tính vi phân khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Một số khơng gian định chuẩn Không gian Rnp với x = (x1 , x2 , , xn ) chuẩn 1/p n x p |xi |p = i=1 p số thực bất kì: ≤ p < +∞ Không gian dãy số lp với phần tử x = (x1 , x2 , , xn , ) chuẩn 1/p ∞ x p |xi |p = < ∞ i=1 Không gian hàm Lp [a, b] phần tử hàm đo x(s) có xp (s) khả tích với chuẩn xác định sau b 1/p x Lp |x(s)|p = < ∞ a Không gian hàm x(s) liên tục [a, b] x C[a,b] = max |x(s)| s∈[a,b] Không gian Sobolev Cho Ω miền giới nội Rn x ∈ C l (Ω) hàm khả vi liên tục đến Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Bổ đề 3.2.3 Cho x ∈ C [0, + R] thỏa mãn x(0) > 0, giả sử f δ thỏa mãn giả thiết F -dữ liệu, giả sử độ đo η thỏa mãn (3.12)-(3.13), đặt σ > Cho x1 , x2 ∈ L(Lσ,R [0, 1]) Khi fRδ − fR fRδ − fR εR σ,R ≤ 2C σ,R δCωR1/2 R x1 − x2 ∞ ρ3/2 dη(ρ), σ,R (3.39) R x ∞ ρ dη(ρ) + √ x(0) ∞ (3.38) F = L2 [0, + R] R 2eσ,R ≤C √ x σ,R x F = C[0, + R] δCωR, ≤ ρ3 dη(ρ) , (3.40) R x1 − x2 C2 − αR (x1 ) − αR (x2 ) ≤ 2eσR R ρ1/2 dη(ρ) σ,R (3.41) Chứng minh Bất đẳng thức (3.38) trường hợp fδ ∈ C[0, + R] hiển nhiên R |fRδ (t) − fR (t)| (f δ (t + ρ) − f (t + ρ))ω(ρ; R)dρ = ≤ δωR Với trường hợp fδ ∈ L2 [0, + R] ta thấy fRδ − fR ∈ L∞ (0, 1) |fRδ (t) − fR (t)| = 1/2 R R |ω(ρ; R)|2 dρ |f δ (t + ρ) − f (t + ρ)|2 dρ 0 ≤ fδ − f L2 [0,1+R] ωR 1/2 với h.k t ∈ (0, + R) Khi đó, từ Bổ đề 3.1.1 ta có kết cần chứng minh Với (3.39) ta thấy với h.k t ∈ (0, 1), |ER (x, x1 − x2 )(t)| R ρ ≤2 |x(t + ρ − s) − x(t) x1 (s) − x2 (s)|dsdη(ρ) 0 R ≤2 x 1/2 ρ 2σs −2σs (ρ − s) ∞ 0 1/2 ρ e 36 e |x1 (s) − x2 (s)| ds dη(ρ) Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Với (3.40) ta thấy với ξ ∈ (0, R), R |εR (t)| ≤ x (x(0)ds + x (ξ)s) ds R ∞ R ≤2 x (ρ − s) ∞ ∞ 1/2 ρ ≤2 x 1/2 ρ dη(ρ) ρ3 x(0)2 ρ + x 3/2 ρ ρ ∞ 1/2 dη(ρ) x(0)ρ1/2 + x ∞ ρ3/2 √ dη(ρ) với h.k t ∈ (0, 1), từ ta có (3.40) Cuối cùng, sử dụng đánh giá ρ R (x1 (s) − x2 (s))ds dη(ρ) |αR (x1 ) − αR (x2 )| ≤ 0 1/2 R R e−2σt |x1 (t) − x2 (t)|2 dt ≤ 2eσR ρ1/2 dη(ρ), 0 ta có ước lượng (3.41) Bây ta chứng minh kết hội tụ sau Định lí 3.2.2 Giả sử f δ thỏa mãn điều kiện F -dữ liệu đặt τdata = 1/2 trường hợp F = C[0, + R], τdata = 2/5 trường hợp F = L2 [0, + R] Giả sử độ đo η(ρ) > thỏa mãn (3.12)-(3.13) tốn ngược tự chập (3.3) có nghiệm dương x ∈ W 2,∞ [0, + R] thỏa mãn x(0) > 9b2 e2σ x ∞ (3.42) với σ ≥ σ0 b ≥ 2ω/ω , ω, ω cho trước (3.12) Khi với ˆ C ∈ (1, 9/8], tồn số k1 > C(C) > độc lập với R cho δ = δ(R) > thỏa mãn δ ≤ k1 R1/τdata , (3.43) với R > đủ nhỏ phương trình hiệu chỉnh (3.36) có nghiệm xδR ∈ Lσ,R [0, 1] thỏa mãn xδR − x Ở · σ,R σ,R ≤ Cˆ R2 xác định từ (3.15) với giá trị C cho trước nói Hơn nữa, xδR ∈ Lσ,R [0, 1] phụ thuộc liên tục vào fδ ∈ F với R > đủ nhỏ 37 Chương Hiệu chỉnh địa phương cho toán tự chập ngược Chứng minh Ta áp dụng nguyên lí ánh xạ co cho phương trình hiệu chỉnh ˆ Từ Bổ đề 3.1.3, 3.2.2, 3.2.3, bất đẳng thức (3.12) hình cầu B[x, CR] (3.35) ta có HR x − x σ,R 1 fRδ − fR σ,R + RR (x, x − x) σ,R + εR α(x) α(x) α(x) |αR (x) − αR (x)| ER (x, x − x) σ,R + x − x σ,R + α(x) αR (x) δC 2ω p e2σ 2ω −1 ≤ R + R x − x 2σ,R x(0) ω x(0) ω ≤ σ,R 2ω x ∞ R+ √ K(3)R2 3ω 3x(0) 2C x ∞ eσR + √ K( )R1/2 x − x σ,R 3x(0) + 2C + x ∞ 2eσR K( )R−1/2 x − x x(0) σ,R C2 R , −1 với σ ≥ σ0 , p = −1 F = C[0, + R] p = −3/2 F = L2 [0, + R] Áp dụng giả thiết (3.43) x − x σ,R ˆ , ta có ≤ CR k1 C 2ω e2σ 2ω ˆ 2 2ω ≤ R+ C R + 2C x ∞ R x(0) ω x(0) ω 3ω √ σR 2C x ∞ e 2C x ∞ ˆ 2eσR K( 12 ) Cˆ R2 + √ K(3)R2 + + √ + K( )CR 3x(0) x(0) 3x(0) C2 − HR x − x σ,R Do ta có HR x − x σ,R ˆ với Cˆ > với R > đủ nhỏ Điều ≤ CR kiện đủ để hệ thức thỏa mãn bk1 C + x x(0) ∞ bC + e2σ b ˆ ˆ C < C x(0) (3.44) Nếu ta đặt k1 = x (3.45) ∞ x(0), phương trình (3.44) trở thành ˆ ≡ L(C) e2σ b ˆ ˆ C − C + 2bC x x(0) ∞ < (3.46) ˆ = có hai nghiệm dương phân biệt < Cˆ1 < Cˆ2 giả thiết Dễ thấy L(C) ˆ < 0, (3.42) C ∈ (1, 9/8] Khi với Cˆ thỏa mãn Cˆ1 < Cˆ < Cˆ2 , ta có L(C) HR x − x σ,R ˆ với R > đủ nhỏ ≤ CR 38 ... ngược tự chập Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tích phân tự chập phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev phương pháp hiệu chỉnh địa phương Ngồi... mật độ bình phương biến Phương trình gọi phương trình tích phân loại dạng tự chập toán ngược tự chập Như hầu hết phương trình tích phân Volterra loại 1, tốn ngược tự chập đặt khơng chỉnh, theo... 1.3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev 12 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrent’ev giải phương trình với tốn tử gần đơn điệu 15 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh ước lượng sai số