Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu

1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội 2 Phan thị minh hơng Phơng pháp hiệu chỉnh tikhonov Dựa trên toán tử đơn điệu Chuyên ngành: Toán giải thích Mã số: 604601 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học TS. Nguyễn văn hùng Hà Nội - 2009 2 MỤC LỤC Mở đầu …………………………………… … … 3 Chương 1. Các khái niệm cơ bản 1.1. Không gian metric… ………………………………………… 5 1.2. Không gian tôpô………………………………………………. 7 1.3. Không gian định chuẩn….………………………….………… 8 1.4. Không gian Banach …………………………………………… 11 1.5. Một số ví dụ về không gian định chuẩn……………………… 16 Chương 2. Toán tử đơn điệu và các tính chất 2.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu …………………… 18 2.2. Các tính chất của toán tử đơn điệu …………………… … 20 2.3. Khái niệm bài toán chỉnh và không chỉnh ……………… 24 2.4. Khái niệm thuật toán hiệu chỉnh 2.4.1. Toán tử điều chỉnh ……….…………………….… 26 2.4.2. Thuật toán điều chỉnh … ………….…… 27 2.4.3. Một số ví dụ ………………………………………… 28 Chương 3. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu 3.1. Thuật toán cơ bản hiệu chỉnh bài toán không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu 3.1.1. Thuật toán hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh khi vế phải biết xấp xỉ ………………………… 30 3.1.2. Thuật toán hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh khi toán tử A và vế phải đều biết xấp xỉ ………………………… 32 3.1.3. Cách chọn nghiệm xấp xỉ trong trường hợp toán tử A 3 phi tuyến …… … ……………………………… 39 3.2. Nguyên lí độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh ………………… 41 3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của bài toán 50 đặt không chỉnh. 3.3.1. Tốc độ của nghiệm hiệu chỉnh khi vế phải biết xấp xỉ 50 3.3.2. Tốc độ của nghiệm hiệu chỉnh khi cả hai vế đều biết xấp xỉ …………….…………………………… 52 Kết luận…………………………………………………………. 56 Tài liệu tham khảo …………………… …………… … 57 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong thực tế có rất nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái… dẫn đến việc giải quyết các bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ của dữ liệu có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán vô nghiệm hoặc vô định. Những bài toán đó gọi là những bài toán đặt không chỉnh. Mặt khác do các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan sát…) và sau đó lại được xử lý trên máy tính nên cũng không tránh khỏi sai số. Chính vì những lí do này mà cần phải có những phương pháp giải đặc biệt cho các bài toán sao cho khi sai số các dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớn thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh. Một trong những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là Tikhonov A.N. Ông cũng chính là người đưa ra phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu. Phương pháp này dùng để giải những phương trình với toán tử phi tuyến đơn điệu trong không gian Banach vô hạn chiều. Với mong muốn được tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu”. Đề tài này nhằm đi sâu tìm hiểu phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu trong không gian Banach vô hạn chiều. 5 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu thuật toán hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu, cách chọn tham số hiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán đặt không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu trong không gian Banach vô hạn chiều. 5. Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành mục đích và nhiệm vụ đặt ra, tôi đã phối hợp sử dụng một số phương pháp sau: + Nghiên cứu lý luận và tài liệu chuyên khảo + Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng. Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để luận văn hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! 6 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1 Không gian metric là một tập hợp X   cùng với một ánh xạ  từ tích Descartes X  X vào tập hợp số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây: 1)     ( , ) , 0, , 0 x y X x y x y x y         (tiên đề đồng nhất); 2)     ( , ) , ,x y X x y x y      (tiên đề đối xứng); 3)       ( , , ) , , ,x y z X x y x z z y        (tiên đề tam giác). Ánh xạ  được gọi là metric trên X; ( , )x y  gọi là khoảng cách giữa 2 phần tử x và y; các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric. Không gian metric được kí hiệu là M = (X,  ). Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric M = (X,  ), x 0  X và số r > 0. Ta gọi: - Tập hợp S(x 0 ;r) =   0 : ( , ) x X x x r    là hình cầu mở tâm x 0 , bán kính r; - Tập hợp S ’ [x 0 ;r] =   0 : ( , ) x X x x r    là hình cầu đóng tâm x 0 , bán kính r; - Mọi hình cầu mở S(x 0 ;r) nói trên gọi là lân cận của điểm x 0  X trong không gian M. Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X,  ) và A  X, điểm b  X - Điểm b gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm b bao hàm trong tập A; 7 - Điểm b gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại một lân cận của điểm b không chứa điểm nào của tập A. Định nghĩa 1.4 Cho không gian metric M = (X,  ) và A  X. Ta gọi: - Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A; - Tập A gọi là đóng trong M nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A; - Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A và kí hiệu là intA; - Giao của tất cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của A và kí hiệu là A . Định nghĩa 1.5 Cho không gian metric M = (X,  ). Dãy điểm (x n )  X được gọi là hội tụ tới x  X khi n   , nếu * 0 0 ( 0) ( ) ( ) ( , ) n n N n n x x           , và kí hiệu: lim n n x x   hay ( ) n x x n   . Định nghĩa 1.6 Cho không gian metric M = (X,  ). Dãy điểm (x n )  X được gọi là dãy cơ bản trong không gian M nếu * 0 0 ( 0) ( ) ( , ) ( , ) n m n N n m n x x           Không gian metric M = (X,  ) gọi là không gian metric đầy nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ. Định nghĩa 1.7 Cho không gian metric M = (X,  ). Tập K X gọi là tập hợp compact trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn phần tử của tập hợp K đều chứa dãy 8 con hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn phần tử của tập hợp K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc X. Định lý 1.1( Định lý Arsela-Ascoli) Tập   ;a b M C là compact khi và chỉ khi nó giới nội đều và liên tục đồng bậc. 1.2. Không gian tôpô Định nghĩa 1.8 Cho một tập X bất kì. Ta nói một họ S những tập hợp con của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên X, nếu: 1) Hai tập hợp  và X đều thuộc họ S; 2) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ S thì cũng thuộc họ đó; 3) Hợp của một số bất kì (hữu hạn hay vô hạn) tập thuộc họ S thì cũng thuộc họ đó. Một tập X, cùng với một tôpô S trên X gọi là không gian tôpô (X,S) (hay đơn giản là không gian tôpô X ). Các tập thuộc họ S là tập mở. Định nghĩa 1.9 V là một lân cận của điểm x trong một không gian tôpô X nếu có một tập hợp mở G sao cho x  G  V. Định nghĩa 1.10 Cho không gian tôpô X. Ta nói dãy điểm (x n )  X hội tụ tới điểm x  X và viết ( ) n x x n   nếu với mọi lân cận của V cho trước của x đều tồn tại n 0 sao cho với mọi 0 n n ta có n x V . Định nghĩa 1.11 Cho không gian tôpô X. Phần tử x được gọi là điểm giới hạn của tập M  X, nếu mỗi lân cận bất kì của x chứa ít nhất một phần tử của tập M khác x. Tập tất cả các điểm giới hạn của M được kí hiệu là M ’ . 9 Tập   ' M M M  được gọi là bao đóng của M. 1.3. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.12 Không gian định chuẩn là một không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số thực R hoặc phức C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu . (đọc là chuẩn), thoả mãn các tiên đề sau: 1) ( ) 0, x X x      xx 0 (  là kí hiệu phần tử không của X); 2) ( ) ( ) . ;x X P x x         3) ( , X) x y x y x y      ( bất đẳng thức tam giác). Số x được gọi là chuẩn của véc tơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định lí 1.2 Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai véc tơ bất kì x và y  X ta đặt d(x,y) = x y . Khi đó d là một metric trên X. Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric. Định nghĩa 1.13 Dãy điểm (x n ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x  X, nếu n lim xx n  = 0, và kí hiệu là n lim x n = x hay ( ) n x x n    . Định nghĩa 1.14 Dãy điểm (x n ) của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu mn, lim mn xx  = 0. Định nghĩa 1.15 10 Cho không gian định chuẩn X trên trường P (P là trường số thực R hoặc phức C). Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X được gọi là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu là X * . Không gian liên hợp của X * gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian X và kí hiệu là X ** . Không gian X gọi là không gian phản xạ nếu X = X ** . Định nghĩa 1.16 Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y gọi là toán tử hoàn toàn liên tục (hoặc toán tử compact), nếu toán tử A ánh xạ tập hợp bị chặn bất kì trong không gian X thành tập hợp compact tương đối trong không gian Y. Trong không gian vô hạn chiều nếu A là một toán tử hoàn toàn liên tục thì A -1 không liên tục. Thật vậy nếu A -1 liên tục thì I = A -1 A là toán tử hoàn toàn liên tục. Lúc đó hình cầu đơn vị phải là một tập compact tương đối. Điều này vô lí trong không gian vô hạn chiều. Bổ đề 1.1 (Bổ đề Tikhonov) Cho A: X  Y đưa tập X 0  X lên Y 0 = A(X 0 ). Nếu A là một song ánh, liên tục và X 0 là một tập compact của X, thì A -1 cũng là một ánh xạ liên tục từ Y 0 lên X 0 . Chứng minh: Kí hiệu f = A(X) và x = x(f) = A -1 (f) là các ánh xạ thuận và nghịch của ánh xạ A từ X 0 vào Y 0 . Lấy một phần tử f 0 bất kì thuộc Y 0 . Ta chứng minh ánh xạ x(f) liên tục tại f = f 0 . Thật vậy giả sử x(f) không liên tục tại f = f 0 . Khi đó, tồn tại một số 1 0   sao cho với mọi 0   tìm được một phần tử f  của Y 0 với [...]... dương, thì toán tử A được gọi là một toán tử đơn điệu mạnh Toán tử A được gọi là toán tử nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử hoàn toàn liên tục C sao cho A + C là một toán tử đơn điệu A được gọi là toán tử bức, nếu 20 lim x  A( x), x   x Nhận xét 2.1 Ánh xạ đối ngẫu là một toán tử đơn điệu Hơn thế nó còn là một toán tử đơn điệu chặt và bức Trong không gian Lp(  ), Us còn có tính chất đơn điệu đều... 2   31 Chương 3 PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV DỰA TRÊN TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 3.1 Thuật toán cơ bản hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu Xét phương trình toán tử A(x) = f0, f0  X*, (3.1) trong đó A là một toán tử đơn điệu và h- liên tục từ không gian Banach X vào X*, ở đây X* lồi chặt và X có tính chất ES, tức là X là phản xạ và mọi dãy {xn} các phần tử xn  X hội tụ yếu... Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X,Y) Nếu ít nhất một trong 3 điều kiện trên không thoả mãn, bài toán tìm nghiệm được gọi là bài toán không chỉnh Xét bài toán không chỉnh dạng phương trình toán tử A(x) = f, f  Y (2.4) trong đó A là một toán tử từ một không gian metric X vào không gian metric Y nào đó Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (2.4), dữ kiện ban đầu ở đây chính là toán. .. phần tử x Nếu không có tính đơn điệu đều, thì bài toán (3.1), nói chung, là một bài toán không chỉnh Giả sử (3.1) có nghiệm, tức là f0  R(A) Ta kí hiệu S0 là tập nghiệm của phương trình (3.1) Khi đó, S0 là một tập đóng, lồi trong X 3.1.1 Thuật toán hiệu chỉnh bài toán không chỉnh khi vế phải biết xấp xỉ Xét phương trình A(x) +  U s  x  x 0  = f , f  f 0   , (3.2) ở đây x0 là một phần tử bất... trong tập Q Nhưng các phần tử của tập Q lại cách nhau rất xa, nên không phải tất cả các phần tử của 27 Q có thể coi là nghiệm xấp xỉ của (2.4) được Vì vậy, bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Q làm nghiệm xấp xỉ cho (2.4) 2.4 Khái niệm về thuật toán điều chỉnh 2.4.1 Toán tử điều chỉnh Xét phương trình toán tử A(x) = f0, f 0 Y , (2.5) ở đây A là một toán tử từ không gian metric X vào... gọi là nghiệm điều chỉnh của phương trình (2.5), ở đây    ( f  ,  )   ( ) được gọi là tham số điều chỉnh Từ định nghĩa trên suy ra nghiệm điều chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu Trong trường hợp    , ta có thể định nghĩa toán tử điều chỉnh như sau: Định nghĩa 2.10 Toán tử R(f,  ) tác động từ không gian metric Y vào không gian metric X được gọi là một toán tử điều chỉnh cho phương trình (2.5),... hiệu chỉnh cho phương trình (3.1) 3.1.2 Thuật toán hiệu chỉnh bài toán không chỉnh khi toán tử A và vế phải đều biết xấp xỉ Xét bài toán (3.1) trong trường hợp tổng quát hơn, tức là thay cho A ta chỉ biết được xấp xỉ Ah thoả mãn Ah  x   A  x   hg  x  (3.5) và Ah có tính chất h-liên tục, ở đây g(t) là một hàm giới nội (đưa một tập giới nội vào tập giới nội) a) Trường hợp toán tử Ah đơn điệu. .. chỉnh R(f,  ); 2) Xác định giá trị của tham số điều chỉnh  dựa vào thông tin của bài toán về phần tử f và sai số  29 Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (2.5) theo thuật toán trên được gọi là phương pháp điều chỉnh 2.4.3 Một số ví dụ Ví dụ 2.1 Tính giá trị z  df  x  (trong metric C), khi f(x) chỉ biết gần đúng dx Để tính đạo hàm z, ta dựa vào tỉ sai phân R( f , )  f ( x   )  f (... phần tử x1  S0 thoả mãn (3.3) là duy nhất,  cho nên cả dãy { x } hội tụ mạnh đến x1 = x0 Định lý được chứng minh Nhờ kết quả này, ta có thể xác định được một toán tử hiệu chỉnh R(f,  ), dựa vào việc giải phương trình (3.2) và một sự phụ thuộc  =  (  ) để nghiệm của phương trình này hội tụ đến nghiệm của bài toán không chỉnh ban đầu Chính vì lẽ đó mà phương trình (3.2) được gọi là phương trình hiệu. .. các không gian nói trên cũng là các không gian Banach 19 Chương 2 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC TÍNH CHẤT 2.1 Các định nghĩa về toán tử đơn điệu Định nghĩa 2.1 Cho X là một không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu của nó là X* Cả hai có chuẩn đều kí hiệu là và giá trị của một phiếm hàm tuyến tính liên tục x*  X * tại điểm x  X được kí hiệu bởi x* , x Định nghĩa 2.2 Cho toán tử A với miền xác . tài: Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu . Đề tài này nhằm đi sâu tìm hiểu phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu. Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu thuật toán hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu, cách. chỉnh Tikhonov dựa trên toán tử đơn điệu 3.1. Thuật toán cơ bản hiệu chỉnh bài toán không chỉnh với toán tử phi tuyến đơn điệu 3.1.1. Thuật toán hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh khi vế phải