Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THÀ HOÀNG NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP DYKSTRA LAI GHÉP CHO HAI TOÁN TÛ ĐƠN ĐI›U LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC Thái Nguyên - 2015 Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THÀ HOÀNG NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP DYKSTRA LAI GHÉP CHO HAI TOÁN TÛ ĐƠN ĐI›U Chuyên ngành: Tốn ùng dưng Mã sè: 60 46 01 12 LUŠN VĂN TH„C SĨ TỐN HÅC NGƯÍI HƯỴNG DˆN KHOA HÅC GS.TS NGUY™N BƯÍNG Thái Ngun - 2015 i Mưc lưc Líi c£m ơn ii Danh sách ký hi»u iii Mð Ưu 1 Mởt số vĐn ã c bÊn 1.1 Khơng gian Hilbert v§n đ· liên quan 1.2 Mởt số vĐn ã vã giÊi tớch lỗi 11 1.3 Toán tû đơn đi»u, nghi»m cõa phương trình tốn tû đơn đi»u cõa bĐt ng thực bián phõn khụng gian Hilbert 19 Phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tû đơn đi»u 2.1 Bài tốn tìm giao điºm cõa hai khơng gian đóng thuªt tốn Neumann 2.2 27 27 Phương pháp Dykstra tìm khơng điºm cõa têng hai toán tû đơn đi»u 29 Kát luên 40 Ti liằu tham khÊo 41 ii Líi c£m ơn Đº hồn thành đưđc luªn văn mët cách hồn ch¿nh, tơi ln nhªn đưđc sü hợng dăn v ch bÊo tên tỡnh cừa GS.TS Nguyạn Bưíng (Vi»n Cơng ngh» Thơng tin - Vi»n Hàn lâm Khoa håc Công ngh» Vi»t Nam) Tôi xin chân thành bày tä lòng bi¸t ơn xin gûi líi tri õn sõu sc nhĐt án thƯy Tụi xin chõn thnh cÊm n Ban lónh Ôo khoa Toỏn - Tin, phũng o tÔo, quý thƯy cụ giÊng dÔy lợp cao hồc toỏn K7Y (01/201401/2016) trớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc Thỏi Nguyờn ó tên tỡnh truyãn Ôt nhỳng kián thực quý bỏu v tÔo iãu kiằn cho tụi q trình håc tªp nghiên cùu Tơi xin gỷi lới cÊm n chõn thnh nhĐt tợi gia ỡnh, bÔn bố, ỗng nghiằp nhỳng ngới ó luụn ởng viờn, hộ trủ v tÔo mồi iãu kiằn cho tụi st q trình håc tªp thüc hi»n luªn văn Trong q trình thüc hi»n, m°c dù r§t cè gng luên khụng trỏnh khọi nhỳng thiáu sút Tụi rĐt mong nhên ủc sỹ gúp ý cừa cỏc ThƯy, Cơ Đëc gi£ quan tâm đº luªn văn đưđc hồn thi»n Xin trân trång c£m ơn! Thái Ngun, 2015 Nguy¹n Thà Hồng Ngun Håc viên Cao håc Tốn Khóa 01/2014–01/2016, Trưíng ĐH Khoa håc - ĐH Thái Ngun iii Danh sách ký hi»u Trong tồn luªn văn, ta dùng nhúng ký hi»u vỵi ý nghĩa xác đành b£ng dưỵi đây: R khơng gian sè thüc H không gian Hilbert thüc X∗ không gian đèi ngău cừa X PC (x) phộp chiáu trỹc giao cừa im x trờn têp C hx, yi tớch vụ hợng cõa hai vectơ x y kxk chu©n cõa vectơ x xn x xn hởi tử mÔnh án x xn * x xn hëi tư y¸u x x := y x ủc gỏn bơng y spanC tờ hủp tuyán tớnh cừa C mồi tỗn tÔi têp rộng Id ỏnh xÔ n v M Ưu Tốn tû đơn đi»u mët nhúng cơng cư đưđc sû dưng nhi·u r§t có hi»u qu£ lnh vỹc toỏn ựng dửng chng hÔn nh bĐt ng thùc bi¸n phân Nó giúp ích cho vi»c nghiên cùu ỏnh xÔ dợi gradient v gradient, chựng minh sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cho rĐt nhiãu cỏc lợp bi toỏn cõn bơng, bi toỏn bĐt ng thực bián phân tốn tèi ưu Tø tốn tìm giao điºm cõa hai khơng gian đóng đưđc chùng minh bði nhà tốn håc Neumann thuªt tốn chiáu luõn hợng cờ in vo nm 1933 V sau nhà tốn håc Dykstra sû dưng phép chi¸u lên hai têp úng lỗi cừa khụng gian Hilbert xõy düng phép chi¸u l°p lên giao cõa chúng Đ· tài cừa luên l trỡnh by cỏch tiáp cên ối ngău m rởng thuêt toỏn cừa Dykstra nhơm xõy düng toán tû gi£i cho toán tû têng hai toán tỷ n iằu cỹc Ôi tứ cỏc toỏn tỷ giÊi đơn đi»u Nëi dung cõa luªn văn đưđc trình bày hai chng Chng giợi thiằu mởt số kián thùc b£n v· khơng gian Hilbert thüc, gi£i tích lỗi, phộp chiáu khụng gian Hilbert, toỏn tỷ n đi»u, nghi»m cõa phương trình tốn tû đơn đi»u nghiằm cừa bĐt ng thực bián phõn khụng gian Hilbert Chng gỗm hai mửc chớnh Mửc 2.1 nờu tốn tìm giao điºm cõa hai khơng gian đóng Mưc 2.2 trình bày v· phương pháp Dykstra lai ghộp cho hai toỏn tỷ n iằu cỹc Ôi Qua quỏ trỡnh hon thnh luên vn, tỏc giÊ nhên thĐy rơng luên ch th hiằn ủc mởt phƯn nhọ cỏc vĐn ã ủc ã cêp luên Tuy nhiên, thơng qua vi»c trình bày luªn văn tác giÊ ủc trau dỗi nhỳng kián thực Ưu nh hợng cho sỹ tiáp cên cỏc vĐn ã sau ny Thái Ngun, tháng 11 năm 2015 Nguy¹n Thà Hồng Ngun Håc viên cao håc tốn khóa 01/2014 – 01/2016 Chun ngnh Toỏn ựng dửng Trớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc Thỏi Nguyờn Chng Mởt số vĐn ã c bÊn Trong chng ny chỳng tụi nhc lÔi mët sè ki¸n tùc b£n cõa gi£i tích hàm, giÊi tớch lỗi, toỏn tỷ n iằu v bi toỏn bĐt ng thực bián phõn, cú liờn quan án nởi dung nghiên cùu cõa đ· tài Các ki¸n thùc chương đưñc tham kh£o tài li»u [1], [2], [3], [4], [6] 1.1 Khơng gian Hilbert v§n đ· liên quan Trong tồn bë đ· tài, chúng tơi ch ã cêp án khụng gian Hilbert thỹc, vợi tớch vụ hợng h., i v chuân ||.|| Phộp chiáu lờn têp U úng lỗi khỏc rộng cừa H kớ hi»u PU xn −→ x có nghĩa dóy xn hởi tử mÔnh án x 1.1.1 nh ngha ví dư Đành nghĩa 1.1 Cho khơng gian tuy¸n tính H trưíng sè thüc R, ta gåi tích vụ hợng trờn khụng gian H l mởt ỏnh xÔ tø tích Descartes H × H vào trưíng R ký hi»u h., i thäa mãn đi·u ki»n sau: a) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ H b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ H c) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R d) hx, xi > n¸u x = hx, xi = n¸u x = Nhªn xét 1.1 Tø đành nghĩa ta suy 1) hx, λyi = λhy, xi, ∀x, y ∈ H ; 2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi, ∀x, y, z ∈ H ; Đành nghĩa 1.2 Khụng gian tuyán tớnh H cựng vợi mởt tớch vơ hưỵng đưđc gåi mët khơng gian ti·n Hilbert Đành lí 1.1 (B§t đ¯ng thùc Schwarz) Trong khơng gian ti·n Hilbert H , vỵi måi x, y ∈ H ta ln có b§t đ¯ng thùc sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi Chùng minh Vỵi måi sè thüc α ta có ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi Nên ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi D§u đ¯ng thùc b§t đ¯ng thùc x£y ch¿ x y phư thc tuy¸n tính Đành lí 1.2 Cho H mët khơng gian ti·n Hilbert, H mët khơng gian tuy¸n tớnh nh chuân vợi chuân ủc xỏc nh bi p ||x|| = hx, xi vỵi måi x ∈ H (1.1) Chu©n đưđc gåi chu©n c£m sinh tø tích vụ hợng Ta dng chựng p minh ủc hm sè ||x|| = hx, xi vỵi måi x ∈ H, l mởt chuân trờn H Thêt vêy, tứ iãu ki»n d) ta có ||x|| > n¸u x = 0, ||x|| = n¸u x = Tø đi·u ki»n a), c) ta suy ||λx|| = |λ|.||x|| Tứ bĐt ng thực Schwarz v cỏch nh ngha chuân ta có |hx, yi| ≤ ||x||.||y|| (1.2) Tø hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi ≤ ||x||2 + 2||x||.||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2 Suy ||x + y|| ≤ ||x|| + || y|| Đành nghĩa 1.3 N¸u H mët khơng gian ti·n Hilbert thüc đ¦y đõ ối vợi chuân cÊm sinh tứ tớch vụ hợng xỏc đành bði (1.1) H đưđc gåi khơng gian Hilbert thüc Ví dư 1.1 Rn khơng gian Hilbert thüc vỵi tích vơ hưỵng hx, yi = yk n X xk k=1 x = (x1 , x1 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn chu©n c£m sinh n X p ||x|| = hx, xi = ( xk2 ) k=1 Ví dư 1.2 Khơng gian ∞ X l = {x = {xn }n ∈ R : |xn |2 < +∞} n=1 không gian Hilbert vỵi tích vơ hưỵng ∞ X hx, yi = xn y n n=1 x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ chu©n c£m sinh l v u t n n p uX |xk | ||x|| = hx, xi = + z = xn+1 (2.16) Ti¸p theo, tø (2.15) (2.14), dãy (un )n∈N (vn )n∈N thäa mãn phương trình (∀n ∈ N ) = −pn+1 = qn − z + yn = un + JB (2.17) (−un ), un+1 = qn+1 − z = −pn+1 − xn+1 = − JA (vn + z) Bây gií ta đành ngha hai toỏn tỷ cỹc Ôi nh sau C : H −→ 2H : v −→ A−1 (v + z) v D = B (2.18) Dạ thĐy C −1 = −z + A D∼ = B (2.19) Hơn núa,(2.2) cho ta k¸t qu£ (∀u ∈ H )(∀v ∈ H ) u =v − JA (u + v) ⇔ u + z =v + z − JA (v + z) = JA−1 (v + z) (2.20) ⇔ v − u ∈A−1 (u + z) = Cu ⇔ u =JC v, (∀u ∈ H )u + JB − u = −(−u − JB (−u)) (2.21) = −JB −1 (u) = JD u Do ú chỳng ta viát lÔi (2.17) sau (∀n ∈ N )vn = JD un un+1 = JC (2.22) Đây quỏ trỡnh lp (2.10) vợi im Ưu tiờn u0 = −z M°t khác, tø (2.19), vỵi méi x ∈ H , ta có: x = JA+B z ⇔ ∈ x + (−z + Ax + Bx) ⇔ x = J(−z+A)+B = JC −1 +D∼ (2.23) Vì vªy, z ∈ ran(I d + A + B) ⇔ z ∈ dom(I d + A + B)−1 ⇔ JA+B z exits ⇔ JC −1 +D∼ exits (2.24) Do đó, tø M»nh đ· 2.1 Đành lí 2.3 ta có k¸t qu£ sau i) N¸u z ∈ ran(I d + A + B), theo (2.16) ta có yn = − un −→ JC −1 +D∼ = JA+B z, xn+1 = − un+1 −→ JC −1 +D∼ = JA+B z ii) N¸u z ∈/ ran(I d + A + B), (2.15) tương đương vỵi ||pn+1 || = ||vn || −→ +∞ ||qn || = ||un +z|| ≥ ||un ||−||z|| −→ +∞ Chú ý 2.2 Gi£ sû Đành lí 2.4 ta bê sung gi£ thi¸t A + B tốn tû đơn đi»u cỹc Ôi, iãu ú ỳng sri(domA domB); (xem [5] v ti liằu trớch dăn) thỡ kát luªn (ii) khơng Đành lí 2.4 nên (∀z ∈ H ) xn −→ JA+B z yn −→ JA+B z Tø đây, ta có k¸t qu£ sau Đành lí 2.5 Cho ϕ ψ hàm Γ0 (H ) cho inf (ϕ + envψ)(H ) > −∞ (2.25) l§y u0 ∈ H (∀n ∈ N )vn = proxψ un un+1 = proxϕ (2.26) ta có i) Hàm ϕ∗ + ψ ∗ + ||.||2 /2 có điºm cüc tiºu nh§t w, − un −→ w − un+1 −→ w ii) N¸u arg ϕ + envψ = ∅ ||un || −→ +∞ ||vn || −→ +∞ Đành lí 2.6 sû z ∈ H , cho f g hàm Γ0 (H ) cho domf ∩ domg = ∅ (2.27) Đ°t x = z, 0 p0 = 0, q0 = 0, yn = proxg (xn + (∀n ∈ N ) pn ), pn+1 = xn + pn − yn , (2.28) xn+1 = proxf (yn + qn ), qn+1 = yn + qn − xn+1 Khi đó, i) xn −→ proxf +g z yn −→ proxf +g z ii) N¸u arg f ∗ ( + z) + envg ∗ v = ∅ ||pn || −→ +∞ ||qn || −→ +∞ Chùng minh Đ°t A = ∂f , B = ∂g Thì JA = proxf , JB = proxg , (2.28) trưíng hđp đ°c bi»t cõa (2.11) Chúng ta đ°t (2.15), u0 = −z (∀n ∈ N ) un = qn − z = pn+1 (2.29) Thỡ ta Ôt ủc nh (2.16), (∀n ∈ N ) − un = yn − un+1 = xn+1 (2.30) Và ð (2.17) (∀n ∈ N ) = un + proxg (−un ) (2.31) un+1 = − proxf (vn + z) Bây gií đành nghĩa hai hàm Γ0 (H ) sau: ϕ : H −→ [−∞; +∞] Thì v 7→ f z|| ∗ (v + u) − ϕ∗ = f − h., zi + ψ 2 (envψ)∗ = g v + ||2 ψ = g ∗v v ||z|| ∗ , = g , (2.32) (2.33) ||.||2 Do vỵi måi x ∈ H , ta có 1 ϕ∗ (x) + ψ ∗ (x) ||x||2 =f (x) − hx, zi + ||z||2 2 + + g(x) + ||x||2 =(f + g)(x) + ||z − x||2 (2.34) Bây gií, đ°t C = ∂ϕ D = ∂ψ, theo (2.32), ta có (∀v ∈ H ), C v =∂f ∗ (v + z) = A−1 (v + z) (2.35) Dv = − ∂g ∗ (−v) = B ∼ v Vì th¸, tø (2.20) (2.21) ta có (∀v ∈ H ) proxϕ v =v − proxf (v + z) (2.36) proxψ v =v + proxg (−v) Mà ta th§y a (2.31) vã s ỗ lp (2.26) vợi bt Ưu b¬ng khði đëng u0 = −z M°t khác, tø (2.32) cho ta kát luên: + env = f ∗ ( + z) − ||2 + ∗v envg z|| (2.37) Do đó, tø (2.33) tính đèi ngău Fenchel ta cú (2.27) f + g Γ0 (H ) ⇒ proxf +g z exists = ∅ ⇔ arg f + g + ||z − || 1 ⇔ arg f − h., zi + || + g + ||.||2 = ∅ 2 z|| ⇔ arg ϕ∗ + (envψ)∗v = ∅ ⇔ inf (ϕ + envψ)(H ) > −∞ (2.25) (2.38) Bõy giớ ta cú kát luên i) Theo (2.34), im Ôt cỹc tiu + v + ||.| |2 /2 w = proxf +g z Vì vªy, tø Đành lí 2.6(i) (2.30) ta có: yn = − un −→ proxf +g z xn+1 = − un+1 −→ proxf +g z ii) Tø (2.37), ta có arg f ∗ ( + z) + envg ∗v = ∅ ta suy đưđc arg ϕ + envψ = ∅ L¦n lưđt, Đành lý 2.5(ii) (2.29) ta có ||pn+1 || = ||vn || −→ +∞ ||qn+1 || = ||un + z|| > ||un || − ||z|| −→ +∞ Chú ý 2.3 Đành lý 2.6 xác Đành lý 2.4 áp döng cho A = ∂f B = ∂g Thüc vªy, tø: ∂f + ∂g ⊂ ∂(f + g), ta có vỵi måi p ∈ H , p = J∂f +∂g z ⇔ z − p ∈ ∂f (p) + ∂g(p) ⇒ z − p ∈ ∂(f + g) (p) ⇔ p = proxf +g z (2.39) Qua Đành lý 2.4 , ta có xn −→ proxf +g z yn −→ proxf +g z, (2.40) mi¹n z ∈ ran(I d + ∂f + ∂g) (2.41) Mởt iãu kiằn c bÊn cho kát luên ny cho z ∈ H có: ∈ sri(domf − domg) (2.42) (xem [5]), v ti liằu trớch dăn) Mt khỏc, nh lý 2.6(i), ta Ôt ủc (2.40) cho méi z ∈ H vỵi (2.27), nghĩa là, ∈ (domf domg) (2.43) Tứ ú (2.43) l ớt hÔn chá hn (2.41) Lu ý l vợi iãu kiằn (2.42), phương pháp ln hưỵng đº tính tốn p = proxf +g z cho tùy ý z ∈ H thuªt tốn Douglas–Rachford cho tính tốn khơng điºm cõa têng hai toỏn tỷ n iằu cỹc Ôi (xem [5], v ti liằu trớch dăn) Thêt vêy, tứ (2.42), p c trng bði bao hàm ∈ ∂(f + g)(p) = ∂f + ∂g + p − z = C p + Dp, C = −z + ∂f D = I d + g l n iằu cỹc Ôi Chỳ ý 2.4 Chof g hàm ch¿ cõa têp úng lỗi U v V cừa H Thì theo Đành lý 2.6(i) qui v· Đành lý 2.2 N¸u mð rëng cho U V cỏc khụng gian úng, thỡ ta Ôt ủc nh lý 2.1, tø trưíng hđp (2.5) cho ta k¸t qu£ (∀n ∈ N ) yn = PV (xn + pn ) = PV xn + PV pn = PV xn xn+1 = PU (yn + qn ) = PU yn + PU qn = PU yn Kát luên ã ti ó trỡnh by vã toỏn tû đơn đi»u khơng gian Hilbert giỵi thi»u tốn tìm giao điºm cõa hai khơng gian đóng Đ· tài trình bày thuªt tốn cõa Neumann phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tû đơn đi»u Đóng góp cõa tác gi£ luªn văn tìm hiºu, nghiên cùu tài li»u, têng hđp ki¸n thùc làm chi ti¸t mët sè chùng minh Ti liằu tham khÊo Tiáng Viằt [1] Nguyạn Vn Hiãn, Lờ Dng Mu (2003), Nhêp mụn GiÊi tớch lỗi ùng dưng, Vi»n Tốn håc, Hà Nëi [2] Đé Vn Lu, Phan Huy KhÊi (2000), GiÊi tớch lỗi, Nxb Khoa håc Kÿ thuªt, Hà Nëi [3] Hồng Tưy (2003), Hm thỹc v GiÊi tớch hm, Nxb Ôi hồc Qc gia, Hà Nëi [4] Nguy¹n Đơng n (2007), Giáo trình Gi£i tích đa trà, Nxb Khoa håc tü nhiên Cơng ngh» Ti¸ng Anh [5] Bauscheke H H and Combettes D L (2008), "A Dykstra-like algorithm for two monotone operators", Pacific Journal of Optimization, vol 4, pp 383-391 [6] Lions J L and Stampacchia G (1967), Variational Inequalities, Comm Pure Appl Math., 20, 493 - 519 ... Tốn tû đơn đi»u, nghi»m cõa phương trình toỏn tỷ n iằu v cừa bĐt ng thực bián phân không gian Hilbert 19 Phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tû đơn đi»u 2.1 Bài tốn tìm giao điºm cõa hai khơng... Đ„I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THÀ HOÀNG NGUYÊN PHƯƠNG PHÁP DYKSTRA LAI GHÉP CHO HAI TỐN TÛ ĐƠN ĐI›U Chun ngành: Tốn ùng dưng Mã sè: 60 46 01 12 LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC NGƯÍI HƯỴNG DˆN KHOA HÅC GS.TS... mưc Mưc 2.1 nêu tốn tìm giao điºm cõa hai khơng gian đóng Mưc 2.2 trình bày v· phương pháp Dykstra lai ghép cho hai toán tû n iằu cỹc Ôi Qua quỏ trỡnh hon thnh luên vn, tỏc giÊ nhên thĐy rơng luên