Về một số phương pháp hiệu chỉnh bài toán cauchy của phương trình elliptic

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN TH HNG V MT S PHNG PHP HIU CHNH BI TON CAUCHY CA PHNG TRèNH ELLIPTIC LUN VN THC S: NGNH TON GII TCH H NI, 2017 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN TH HNG V MT S PHNG PHP HIU CHNH BI TON CAUCHY CA PHNG TRèNH ELIPTIC LUN VN THC S Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60460102 Ngi hng dn khoa hc: TS D C THNG H NI, 2017 Mc lc M u 1 C s toỏn hc 1.1 Khỏi nim, tớnh cht, chun v na chun ca mt s khụng gian 1.1.1 Khụng gian Sobolev v Hilbert (H v H 1/2 ) 1.1.2 Chun khụng gian Sobolev 1.2 Tỡm hiu v bi toỏn t khụng chnh 1.3 Phng phỏp hiu chnh lp Richardson Hiu chnh bi toỏn hon thin d liu bng phng phỏp lp Richardson 12 2.1 t bi toỏn 12 2.2 Cụng thc bin phõn 13 2.3 Phng phỏp Richardson tin iu kin 19 2.4 2.3.1 Mt s kt qu k thut 19 2.3.2 Liờn h vi phng phỏp KMF 22 S hi t 25 2.4.1 Quy tc dng tiờn nghim 26 Kt lun v phng hng nghiờn cu 31 Ti liu tham kho 32 M U Lun ny nhm trỡnh by mt phng phỏp hiu chnh lp i vi bi toỏn Cauchy ca phng trỡnh elliptic õy l mt c nhiu nh toỏn hc quan tõm c phng din lý thuyt v thc hnh, cú ng dng nhiu thc t Trong chng 1, chỳng tụi trỡnh by mt s c s toỏn hc cn thit cho vic nghiờn cu bi toỏn Cauchy v mt s phng phỏp hiu chnh ca phng trỡnh elliptic bng phng phỏp bin phõn Chỳng tụi nhc li tt v cỏc khụng gian nh chun v khụng gian hm Cỏc khỏi nim v bi toỏn Cauchy v biu thc bin phõn ca nú c nờu li Mt s phng phỏp hiu chnh cho lp cỏc bi toỏn ny cng c nờu chng 2, chỳng tụi gii thiu bi toỏn Cauchy ca phng trỡnh elliptic v mt ng dng ca nú l bi toỏn hon thin d liu Chỳng tụi a mụ hỡnh hiu chnh lp bi toỏn v cỏc c lng tiờn nghim v hu nghim Phn kt thỳc ca lun l Kt lun v Ti liu tham kho Qua õy tỏc gi chõn thnh by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc ti Thy hng dn TS D c Thng, ngi ó giỳp , ch bo tn tỡnh tỏc gi sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun ny Tỏc gi cng xin chõn thnh cm n Ban lónh o Trng i hc Khoa hc T nhiờn, Phũng sau i hc, cỏc thy cụ giỏo cựng ton th cỏn b, cụng nhõn viờn Khoa Toỏn- C- Tin hc ó ging dy v to mi iu kin thun li cho tỏc gi sut thi gian hc ti trng Bờn cnh ú, tỏc gi cng rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp, phờ bỡnh ca thy cụ v cỏc bn cho bn lun ny Chng C s toỏn hc 1.1 Khỏi nim, tớnh cht, chun v na chun ca mt s khụng gian Phn ny, chỳng tụi gii thiu mt s khụng gian tuyn tớnh nh chun thng dựng cỏc phn sau Nhc li rng khụng gian Banach l khụng gian tuyn tớnh nh chun y , tc l nú m bo cho mi dóy Cauchy u hi t Khụng gian tin Hilbert l khụng gian tuyn tớnh cú tớch vụ hng Khụng gian Hilbert l khụng gian Banach cú tớch vụ hng ng nhiờn mi khụng gian tin Hilbert u l khụng gian nh chun vi chun sinh bi tớch vụ hng Vớ d v mt s khụng gian tuyn tớnh nh chun thng gp: Khụng gian cỏc hm Lp [a, b] vi phn t l cỏc hm kh tớch x(s) cú chun c xỏc nh nh sau 1/p b p |x(s)| ds x = a Khụng gian C[a, b], a, b R gm cỏc hm x(s) liờn tc trờn [a, b] v x = max |x(s)| s[a,b] 1.1.1 Khụng gian Sobolev v Hilbert (H v H 1/2 ) Ni dung ca phn ny c tham kho t [7, trang 12] Cho k N, p [1, ] Cho l mt b chn (gii ni) Rn Chỳng ta gi C k () l khụng gian cỏc hm kh vi liờn tc trờn n cp l compact, cho nờn vi mi k = 0, 1, 2, , ta cú C k () Lp () k Vỡ Do ú, ta cú th xỏc nh c 1/p p Lp () x(s) = D x ||k , vi mi x(s) C k (), p Khụng gian Sobolev Wpk () l khụng gian C k () c lm y bng chun trờn Chỳng ta thy rng: vi mi x(s) C k (), x(s) Lp () x(s) Wpk () Cỏc khụng gian trờn u l cỏc khụng gian Banach Nu p = thỡ chỳng l khụng gian Hilbert, tr trng hp khụng gian cỏc hm liờn tc Kớ hiu H () l khụng gian Sobolev gm tt c cỏc hm L2 () cho o hm cp mt ca nú cng thuc L2 () Vi mi phn , khụng gian H01 (, ) gm tt c cỏc hm ca H () m trit tiờu trờn Khụng gian H 1/2 () l cỏc vt trờn ca tt c cỏc hm ca H () Chỳng ta kớ hiu H 1/2 () l khụng gian topo i ngu ca H 1/2 () 1.1.2 Chun khụng gian Sobolev Xột l mt b chn R2 vi mt o Lebesgue Kớ hiu L2 () l khụng gian Lebesgue gm cỏc hm kh tng bỡnh phng, tc l 1/2 2 f L () v ch f dà < Cựng vi tớch vụ hng trờn L2 () c xỏc nh bi 1/2 f, g = f (x)g(x)dà(x) , f, g L2 () Ta nh ngha chun trờn L2 () c xỏc nh bi 1/2 f = f dà , f L2 () 1.2 Tỡm hiu v bi toỏn t khụng chnh Xột phng trỡnh toỏn t cp khụng gian Hilbert (X, Y ) no ú cú dng T x = b, (1.1) ú T l toỏn t tuyn tớnh trờn T L(X, Y ), vect b Y cho trc v vect x X l vect cn tỡm Ta núi bi toỏn (1.1) l Bi toỏn t chnh theo Hadamard Vi mi b Y tn ti nghiờm x X Nghim x xỏc nh nht Bi toỏn ny n nh trờn cp khụng gian (X, Y ) Mt thi gian di ngi ta ngh rng mi bi toỏn t u tho ba iu kin trờn Nhng thc t ch rng ý nim ú l sai lm Nht l mỏy tớnh in t i, tớnh toỏn cỏc bi toỏn thc t bng mỏy tớnh luụn xy quỏ trỡnh lm trũn s Chớnh s lm trũn ú dn n cỏc kt qu sai lch ỏng k Nu ớt nht mt ba iu kin trờn khụng tho món, bi toỏn tỡm nghim c gi l bi toỏn t khụng chnh ụi ngi ta gi l bi toỏn t khụng chớnh quy hoc bi toỏn thit lp khụng ỳng n Cng cn lu ý rng mt bi toỏn cú th thit lp khụng ỳng n trờn cp khụng gian metric ny, nhng li thit lp ỳng n trờn cp khụng gian metric khỏc Khỏi nim v bi toỏn t chnh c J Hadamard a nghiờn cu v nh hng ca cỏc iu kin biờn lờn nghim ca cỏc phng trỡnh elliptic cng nh parabolic Vớ d 1.2.1 Vớ d ny c a bi J Hadamard v nm bi toỏn hon thin d liu dc theo phn khụng th truy nhp c ca biờn t cỏc iu kin biờn c bit trờn phn truy nhp c Chỳng ta cú u = R ì R+ ; u(x, 0) = g(x) v y u(x, 0) = (x) Gi s cho trc cỏc d liu Neumann v Dirichlet g(x) = 0, (x) = sin(ax), ta tỡm c nghim ca bi toỏn cú dng u(x, y) = sin(ax) sinh(ay) a Nhn thy rng d liu Cauchy (g, ) l b chn u theo tham s a nghim u tng trng m theo a a Do ú, nghim khụng ph thuc liờn tc theo d liu Cauchy L Thc chỳng ta khụng th cú tớnh b chn theo bt kỡ chun kh d no chng hn cỏc chun Sobolev hoc Hăolder Vớ d 1.2.2 Mt vớ d khỏc n t bi toỏn truyn nhit Chỳng ta xột bi toỏn truyn nhit Rd (d = 2, 3) vi > 0, ut u = QT = ì (0, ), u(x, t) = trờn ì (0, ), u(x, 0) = (x) Ta biu din nghim u di dng chui Fourier Trc tiờn, chỳng ta xột c s Hilbert (un (x))n L2 (), õy (un )n l cỏc vector riờng ca toỏn t Laplace xỏc nh trờn H01 () iu ny ngha l un H01 () v un = n un Dóy cỏc giỏ tr riờng (n )n l dng v dn ti vụ cc n Chỳng ta vit = n un (x), n=0 v rỳt nghim n en t un (x), u(x, t) = n=1 t (0, ) D dng kim tra rng u C((0, +); L2 ()) Bõy gi, cho trc mt quan sỏt cui cựng u L2 () Bi toỏn truy ngc tỡm (x) tc l nhit thi im ban u t = no ú, bit rng u(x, ) = u (x) l t khụng chnh Qu vy, bi toỏn trờn dn ti biu din n n e un (x) = n=0 u,n un (x) n=0 ú ta vit bi toỏn ban u di dng sau: T = u , L2 () Do ú, T l toỏn t chộo vi cỏc giỏ tr riờng àn = en Kt qu l, bi toỏn trờn t khụng chnh (nghiờm ngt) theo ngha ca G Wahba cho thun tin, ta xột trng hp cỏc khụng gian Hilbert X v Y l trựng nhau, v c kớ hiu chung l H Khi ú cú mt tiờu chun c trng cho s tn ti nghim ca phng trỡnh toỏn t (1.1) c ỏp lờn v phi b, c gi l tiờu chun Picard Gi thit rng toỏn t T l toỏn t compact, ú toỏn t ngc ca nú T l khụng b chn Gi s giỏ tr riờng v vect riờng ca T l h (mun , ) thỡ iu kin Picard c phỏt biu l phng trỡnh (1.1) l gii c v ch k=0 b, vk à2k < Trong trng hp v phi khụng o c chớnh xỏc m ta ch bit c giỏ tr b nhiu ca nú b = b + b, vi = b > ã ã ã k ã ã ã , ú n ,n n 2sD = k=1 (1 kn ) n > n(1 1n ) = (1 1n ) n n iu ny cú ngha sai s phng sai khụng hi t v khụng Chỳ ý 2.4.3 Trong B 2.4.1, khụng cn thờm gi thit chớnh quy no ca nghim Bờn cnh ú, tớnh trn ca d liu f thụng qua B 2.3.2 sinh cn phng sai tt hn d on Chng Tham s lp tng ng c chn tiờn nghim nu bit trc mc chớnh quy ca nghim , sinh siờu hi t (a super-convergence) nh lý di õy Chỳng tụi nhc li gi thit chớnh quy ca nghim chớnh xỏc ca bi toỏn Steklov-Poincarộ c phỏt biu Chng nh sau: vector u H 1/2 (I ) c gi l tha iu kin ngun tng quỏt nu R(I T ) H 1/2 (I ) cho = (I T ) (2.35) 29 Nh Chng 1, ta t sD = E Rừ rng dóy (n )n tha gi thit mt cỏch t nhiờn Tht vy, ta cú n = T n (0 ), ú giỏ tr ban u no ú c chn thuc R(I T ) Do ú n = + T n (0 ) R(I T ) B 2.4.4 (c lng chnh) Gi s nghim H 1/2 (I ) tha gi thit (2.35) Khi ú cn sau ỳng E 2n Chng minh Chng minh c suy trc tip t B 1.3.3 n sD (2.36) T cỏc b trờn ta cú nh lý hi t sau nh lý 2.4.5 Gi s nghim ca (2.20) tha gi thit iu kin ngun tng quỏt (2.35) Khi ú bng cỏch chn n = n() = O(2/3 ), cn sau ỳng 2/3 (2.37) E E Chng minh Chỳng tụi nhc li phộp phõn tớch phng sai chch (2.32) ,n n sD Theo B 2.4.4 v B 2.4.1, ta cú E + n 2n Tin hnh nh chng minh ca B 1.3.5 ta thu c ,n n n() = sD E 2/3 Suy iu phi chng minh Chỳ ý 2.4.6 Phộp chn ch s n = O(2/3 ) m bo iu kin hi t ca thut toỏn lp Richardson iu ny kộo theo thut toỏn cú th c coi nh mt phng phỏp hiu chnh hi t Tuy nhiờn, tớnh chớnh quy ca nghim chớnh xỏc khụng cú trc thc hnh, v sai s ca quỏ trỡnh o c, m cú th dn ti nghim tớnh toỏn phõn k, chỳng ta nờn a mt k thut dng hu nghim cho nghim tỡm c xp x nghim chớnh xỏc 30 Chỳ ý 2.4.7 Ta cú th xột mt gi thit chớnh quy tng quỏt hn, ú l R(T p ), vi p ]0, 1/2] Theo cỏch phõn tớch tng t nh B 2.4.4, ta suy n sD Enp iu ny suy cn sau õy n sD Tc hi t bờn trờn l ti u CE E 2p 2p+1 31 Kt lun Lun ó trỡnh by mt s kin thc v gii tớch toỏn hc v mt phng phỏp hiu chnh bi toỏn Cauchy ca phng trỡnh elliptic l phng phỏp lp Richardson Chỳng tụi ó chng minh thut toỏn Richardson l hi t v cú ỏnh giỏ v tc hi t ca nghim (v nghim chớnh xỏc) Phng hng nghiờn cu tip theo So sỏnh vi mt s phng phỏp hiu chnh tng ng Xột tc hi t hu nghim ca phng phỏp Richardson Xột xỏc nh khụng ng nht (dng divergence) Xột cỏc phng phỏp hiu chnh khỏc 32 Ti liu tham kho [1] M Azaăez, F Ben Belgacem, and H El Fekih On Cauchys problem: II Completion, regularization and approximation Inverse Problems, 22:13071336, 2006 [2] Ben Belgacem F and El Fekih H On Cauchys problem: I A variational Steklov-Poincare theory Inverse Problems 21 (2007), 191536 [3] Du Duc Thang, A Lavrentiev-Finite Element Model for the Cauchy Problem of Data Completion: Analysis and Numerical Assessment, 2011 [4] Faker Ben Belgacem, Duc Thang Du and Faten Jelassi Extendeddomain-Lavrentievs regularization for the Cauchy problem Inverse Problems 27 (2011) 045005 (27p) [5] Heinz W Engl, Martin Hanke and Andreas Neubauer Regulation of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers, The Nertherlands (2000) [6] V.A Kozlov, V.G Mazya, and A.V Fomin An iterative method for solving the Cauchy problem for elliptic equations Comp Math Phys., 31(1):4552, 1991 [7] Phm K Anh Bi toỏn t khụng chnh NXB i hc quc gia H Ni (2007) ... nghiờn cu bi toỏn Cauchy v mt s phng phỏp hiu chnh ca phng trỡnh elliptic bng phng phỏp bin phõn Chỳng tụi nhc li tt v cỏc khụng gian nh chun v khụng gian hm Cỏc khỏi nim v bi toỏn Cauchy v biu thc... gi l iu kin biờn Cauchy Trỏi li, phn I l khụng th tip cn v khụng th o c trờn ú Tỡm u m (u) L2 (), hay tng ng, u H () T v sau H () l khuụn kh phự hp cho bi toỏn Cauchy D liu Cauchy cú th chp... phng phỏp hiu chnh cho lp cỏc bi toỏn ny cng c nờu chng 2, chỳng tụi gii thiu bi toỏn Cauchy ca phng trỡnh elliptic v mt ng dng ca nú l bi toỏn hon thin d liu Chỳng tụi a mụ hỡnh hiu chnh lp bi