Về một số phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương trình Elliptic

Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ HẰNG VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH HÀ NỘI, 2017 Footer Page of 126 Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ HẰNG VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa học: TS DƯ ĐỨC THẮNG HÀ NỘI, 2017 Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục lục Mở đầu 1 Cơ sở toán học 1.1 Khái niệm, tính chất, chuẩn nửa chuẩn số không gian 1.1.1 Không gian Sobolev Hilbert (H H 1/2 ) 1.1.2 Chuẩn không gian Sobolev 1.2 Tìm hiểu toán đặt không chỉnh 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson Hiệu chỉnh toán hoàn thiện liệu phương pháp lặp Richardson 12 2.1 Đặt toán 12 2.2 Công thức biến phân 13 2.3 Phương pháp Richardson tiền điều kiện 19 2.4 2.3.1 Một số kết kỹ thuật 19 2.3.2 Liên hệ với phương pháp KMF 22 Sự hội tụ 25 2.4.1 Quy tắc dừng tiên nghiệm 26 Kết luận phương hướng nghiên cứu 31 Tài liệu tham khảo 32 Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Luận văn nhằm trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp toán Cauchy phương trình elliptic Đây vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm phương diện lý thuyết thực hành, có ứng dụng nhiều thực tế Trong chương 1, trình bày số sở toán học cần thiết cho việc nghiên cứu toán Cauchy số phương pháp hiệu chỉnh phương trình elliptic phương pháp biến phân Chúng nhắc lại vắn tắt không gian định chuẩn không gian hàm Các khái niệm toán Cauchy biểu thức biến phân nêu lại Một số phương pháp hiệu chỉnh cho lớp toán nêu Ở chương 2, giới thiệu toán Cauchy phương trình elliptic ứng dụng toán hoàn thiện liệu Chúng đưa mô hình hiệu chỉnh lặp toán ước lượng tiên nghiệm hậu nghiệm Phần kết thúc luận văn Kết luận Tài liệu tham khảo Qua tác giả chân thành bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn TS Dư Đức Thắng, người giúp đỡ, bảo tận tình tác giả suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng sau đại học, thầy cô giáo toàn thể cán bộ, công nhân viên Khoa Toán- Cơ- Tin học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập trường Bên cạnh đó, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình thầy cô bạn cho luận văn Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Cơ sở toán học 1.1 Khái niệm, tính chất, chuẩn nửa chuẩn số không gian Phần này, giới thiệu số không gian tuyến tính định chuẩn thường dùng phần sau Nhắc lại không gian Banach không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức đảm bảo cho dãy Cauchy hội tụ Không gian tiền Hilbert không gian tuyến tính có tích vô hướng Không gian Hilbert không gian Banach có tích vô hướng Đương nhiên không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn sinh tích vô hướng Ví dụ số không gian tuyến tính định chuẩn thường gặp: • Không gian hàm Lp [a, b] với phần tử hàm khả tích x(s) có chuẩn xác định sau 1/p b p |x(s)| ds x = a • Không gian C[a, b], a, b ∈ R gồm hàm x(s) liên tục [a, b] x = max |x(s)| s∈[a,b] Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1.1 Không gian Sobolev Hilbert (H H 1/2 ) Nội dung phần tham khảo từ [7, trang 12] Cho k ∈ N, p ∈ [1, ∞] Cho Ω miền bị chặn (giới nội) Rn Chúng ta gọi C k (Ω) không gian hàm khả vi liên tục Ω đến cấp ¯ compact, với k = 0, 1, 2, , ta có C k (Ω) ⊆ Lp (Ω) k Vì Ω Do đó, ta xác định 1/p p Lp (Ω) α x(s) = D x |α|≤k , với x(s) ∈ C k (Ω), p ≥ Không gian Sobolev Wpk (Ω) không gian C k (Ω) làm đầy đủ chuẩn Chúng ta thấy rằng: với x(s) ∈ C k (Ω), x(s) Lp (Ω) ≤ x(s) Wpk (Ω) Các không gian không gian Banach Nếu p = chúng không gian Hilbert, trừ trường hợp không gian hàm liên tục Kí hiệu H (Ω) không gian Sobolev gồm tất hàm L2 (Ω) cho đạo hàm cấp thuộc L2 (Ω) Với phần Υ ⊂ ∂Ω, không gian H01 (Ω, Υ) gồm tất hàm H (Ω) mà triệt tiêu Υ Không gian H 1/2 (Υ) tập vết Υ tất hàm H (Ω) Chúng ta kí hiệu H −1/2 (Υ) không gian topo đối ngẫu H 1/2 (Υ) 1.1.2 Chuẩn không gian Sobolev Xét Ω miền bị chặn R2 với độ đo Lebesgue µ Kí hiệu L2 (Ω) không gian Lebesgue gồm hàm khả tổng bình phương, tức 1/2 2 f ∈ L (Ω) f dµ < ∞ Ω Cùng với tích vô hướng L2 (Ω) xác định 1/2 f, g = f (x)g(x)dµ(x) Ω Footer Page of 126 , f, g ∈ L2 (Ω) Header Page of 126 Ta định nghĩa chuẩn L2 (Ω) xác định 1/2 f = f dµ , f ∈ L2 (Ω) Ω 1.2 Tìm hiểu toán đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử cặp không gian Hilbert (X, Y ) có dạng T x = b, (1.1) T toán tử tuyến tính T ∈ L(X, Y ), vectơ b ∈ Y cho trước vectơ x ∈ X vectơ cần tìm Ta nói toán (1.1) Bài toán đặt chỉnh theo Hadamard • Với b ∈ Y tồn nghiêm x ∈ X • Nghiệm x xác định • Bài toán ổn định cặp không gian (X, Y ) Một thời gian dài người ta nghĩ toán đặt thoả mãn ba điều kiện Nhưng thực tế ý niệm sai lầm Nhất máy tính điện tử đời, tính toán toán thực tế máy tính xảy trình làm tròn số Chính làm tròn dẫn đến kết sai lệch đáng kể Nếu ba điều kiện không thoả mãn, toán tìm nghiệm gọi toán đặt không chỉnh Đôi người ta gọi toán đặt không quy toán thiết lập không đắn Cũng cần lưu ý toán thiết lập không đắn cặp không gian metric này, lại thiết lập đắn cặp không gian metric khác Khái niệm toán đặt chỉnh J Hadamard đưa nghiên cứu ảnh hưởng điều kiện biên lên nghiệm phương trình elliptic parabolic Footer Page of 126 Header Page of 126 Ví dụ 1.2.1 Ví dụ đưa J Hadamard nằm toán hoàn thiện liệu dọc theo phần truy nhập biên từ điều kiện biên đặc biệt phần truy nhập Chúng ta có −∆u = R × R+ ; u(x, 0) = g(x) ∂y u(x, 0) = ϕ(x) Giả sử cho trước liệu Neumann Dirichlet g(x) = 0, ϕ(x) = sin(ax), ta tìm nghiệm toán có dạng u(x, y) = sin(ax) sinh(ay) a Nhận thấy liệu Cauchy (g, ϕ) bị chặn theo tham số a nghiệm u tăng trưởng mũ theo a a → ∞ Do đó, nghiệm không phụ thuộc liên tục theo liệu Cauchy L∞ Thực có tính bị chặn theo chuẩn chẳng hạn chuẩn Sobolev H¨older Ví dụ 1.2.2 Một ví dụ khác đến từ toán truyền nhiệt Chúng ta xét toán truyền nhiệt Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) với τ > 0, ut − ∆u = QT = Ω × (0, τ ), u(x, t) = Γ × (0, τ ), u(x, 0) = ϕ(x) Ω Ta biểu diễn nghiệm u dạng chuỗi Fourier Trước tiên, xét sở Hilbert (un (x))n L2 (Ω), (un )n vector riêng toán tử Laplace xác định H01 (Ω) Điều nghĩa un ∈ H01 (Ω) −∆un = λn un Dãy giá trị riêng (λn )n dương dần tới vô cực n → ∞ Chúng ta viết ∞ ϕ= ϕn un (x), n=0 rút nghiệm ∞ ϕn e−λn t un (x), u(x, t) = n=1 Footer Page of 126 t ∈ (0, τ ) Header Page of 126 Dễ dàng kiểm tra u ∈ C((0, +∞); L2 (Ω)) Bây giờ, cho trước quan sát cuối uτ ∈ L2 (Ω) Bài toán truy ngược để tìm ϕ(x) tức nhiệt độ thời điểm ban đầu t = đó, biết u(x, τ ) = uτ (x) Ω đặt không chỉnh Quả vậy, toán dẫn tới biểu diễn ∞ ∞ −λn τ ϕn e un (x) = n=0 uτ,n un (x) n=0 ta viết toán ban đầu dạng sau: T ϕ = uτ , L2 (Ω) Do đó, T toán tử chéo với giá trị riêng µn = e−λn τ Kết là, toán đặt không chỉnh (nghiêm ngặt) theo nghĩa G Wahba Để cho thuận tiện, ta xét trường hợp không gian Hilbert X Y trùng nhau, kí hiệu chung H Khi có tiêu chuẩn đặc trưng cho tồn nghiệm phương trình toán tử (1.1) áp lên vế phải b, gọi tiêu chuẩn Picard Giả thiết toán tử T toán tử compact, toán tử ngược T −1 không bị chặn Giả sử giá trị riêng vectơ riêng T hệ (mun , ) điều kiện Picard phát biểu phương trình (1.1) giải ∞ k=0 b, vk µ2k < ∞ Trong trường hợp vế phải không đo xác mà ta biết giá trị bị nhiễu b = b + δb, với = δb 0, tồn y ∈ R(T ) cho x − y < Ta có: (I−T )n x ≤ (I−T )n (x−y) + (I−T )n y ≤ x−y mà ((I − T )n y)n hội tụ n tiến vô Vậy: hay (I − T )n x ≤ Ta có điều phải chứng minh Footer Page 11 of 126 + (I−T )n y (I − T )n y ≤ , Header Page 12 of 126 Nếu gọi (µk , φk ) giá trị riêng vectơ riêng tương ứng toán tử T T compact ta có µk → ∞ k → ∞ Điểm x ∈ H biểu diễn qua hệ sở {φk } sau: ∞ ∞ xk φk , (x, φk )φk = x= k=1 k=1 ∞ (1 − µk )n xk φk n (I − T ) x = k=1 Theo định lí Hội tụ trội Lebesgue, dãy {(I − T )n x} hội tụ n → ∞ Bổ đề 1.3.2 (Trường hợp kiện xác) Cho b ∈ R(T ) Thuật toán Richardson hội tụ, tức lim xn − x = n→∞ Ngược lại, b ∈ R(T ), lim xn = ∞ n→∞ Để trình bày tốc độ hội tụ thuật toán Richardson, cần hiệu chỉnh bổ sung cho nghiệm xác Chúng ta gọi Điều kiện Nguồn Tổng quát (GCS) Mục đích bổ đề cung cấp tốc độ hội tụ hữu ích cho lập luận sau Bổ đề 1.3.3 Cho p ∈ (0, 1] x, x0 ∈ R(T p ) Khi có xn − x ≤ En−p , đây, số E phụ thuộc vào (x, x0 ) Tốc độ hội tụ dãy (xn )n tới x chậm tùy ý Sự lựa chọn hợp lí tham số p cho bậc hội tụ tối ưu Tiếp theo đây, xét phân kì nghiệm x kiện vế phải bị nhiễu Từ ta đưa điều kiện số dãy xấp xỉ để có nghiệm chấp nhận phương trình Xét x ,n dãy nghiệm tương ứng với kiện b = b + δb, xấp xỉ tới nghiệm xác x Như trên, nhìn chung khoảng Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 10 cách từ x ,n tới x dần vô n tăng vô hạn Tuy nhiên, với cách chọn lựa n phù hợp, ta nhận nghiệm xấp xỉ mong muốn Bổ đề 1.3.4 (Trường hợp kiện bị nhiễu) Ta có x ,n − xn ≤ n , ∀n ≥ Từ đây, chọn n hàm phụ thuộc lim n = ∞, →0 cho lim n = 0, →0 thuật toán Richardson cho ta mô hình hiệu chỉnh phù hợp, tức lim x ,n − x = →0 Hiển nhiên nghiệm xấp xỉ x ,n hội tụ x, ta xác định số n thích hợp (phụ thuộc vào độ lệch tương đối ), gọi tham số dừng, mà với tham số đó, nghiệm xấp xỉ hội tụ nghiệm xác Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ, ta bổ sung điều kiện tính trơn nghiệm, gọi điều kiện nguồn tổng quát (GSC) dạng H¨older, biểu diễn sau: x ∈ H gọi thoả mãn điều kiện nguồn tổng quát (GSC) với giá trị p ∈ (0, 1] đó, x ∈ R(T p ), tức tồn χ ∈ H cho x = T p χ Với điều kiện này, ta xây dựng ước lượng tiên nghiệm, tức chọn điểm dừng tham số n phụ thuộc vào để thuật toán Richardson hội tụ có tốc độ hội tụ tương ứng sau Bổ đề 1.3.5 Giả sử x ∈ H thoả mãn điều kiện nguồn tổng quát (GSC) trên, với p ∈ (0, 1] Khi phép lặp Richardson, số n chọn cho n = n( ) = p p+1 pE , ta có ước lượng x ,n − x ≤ CE với C số phụ thuộc vào p Footer Page 13 of 126 p p+1 E , Header Page 14 of 126 11 Chứng minh Chứng minh dựa vào đánh giá bổ đề Ta có x ,n − x ≤ n + En−p Xét cực đại hàm số f (t) = t−1 + Etp , ta thấy max f (t) = C(p)E đạt n= Ta có điều phải chứng minh Footer Page 14 of 126 pE p p+1 E p p+1 , Header Page 15 of 126 32 Tài liệu tham khảo [1] M Aza¨ıez, F Ben Belgacem, and H El Fekih On Cauchy’s problem: II Completion, regularization and approximation Inverse Problems, 22:1307–1336, 2006 [2] Ben Belgacem F and El Fekih H On Cauchy’s problem: I A variational Steklov-Poincare theory Inverse Problems 21 (2007), 1915–36 [3] Du Duc Thang, A Lavrentiev-Finite Element Model for the Cauchy Problem of Data Completion: Analysis and Numerical Assessment, 2011 [4] Faker Ben Belgacem, Duc Thang Du and Faten Jelassi Extendeddomain-Lavrentiev’s regularization for the Cauchy problem Inverse Problems 27 (2011) 045005 (27p) [5] Heinz W Engl, Martin Hanke and Andreas Neubauer Regulation of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers, The Nertherlands (2000) [6] V.A Kozlov, V.G Maz’ya, and A.V Fomin An iterative method for solving the Cauchy problem for elliptic equations Comp Math Phys., 31(1):45–52, 1991 [7] Phạm Kỳ Anh Bài toán đặt không chỉnh NXB Đại học quốc gia Hà Nội (2007) Footer Page 15 of 126  ... toán xét Từ thời Tikhonov (1952) tới nay, nhà toán học xây dựng nhiều phương pháp hiệu chỉnh toán đặt không chỉnh Trong chương chương tiếp theo, trình bày phương pháp hiệu chỉnh toán Cauchy phương. .. HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ HẰNG VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa... phương trình elliptic thông qua ví dụ toán hoàn thiện liệu 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson Để chuẩn bị cho nghiên cứu trình hiệu chỉnh toán phương pháp Richardson, giới thiệu số kết