Nghiệm mạnh của phương trình Elliptic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HOÀNG XA NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HOÀNG XA NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục MỞ ĐẦU 1 KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) 1.1.1 Không gian Wk,p (Ω): 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Không gian W0k,p (Ω) 1.2 Định lý nhúng 13 1.3 Đánh giá vị định lý nhúng 17 NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 2.2 24 Khái niệm nghiệm mạnh 24 2.1.1 Thế vị Newton 24 2.1.2 Khái niệm nghiệm mạnh 25 Độ trơn Lp nghiệm mạnh bên miền 27 2.2.1 Độ trơn L2 bên miền 27 2.2.2 Độ trơn Lp (Ω) bên miền 31 2.2.3 Độ trơn nghiệm phương trình elliptic phi tuyến 32 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp người ta đưa vào xét số loại nghiệm Nghiệm cổ điển hàm số khả vi hai lần liên tục thỏa mãn phương trình khắp nơi Nhưng nghiệm mạnh hàm số có đạo hàm đến cấp 2, bình phương khả tích thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi Dựa vào tài liệu [1], [2], [3] luận văn trình bày khái niệm nghiệm mạnh phương trình elliptic tuyến tính cấp nghiên cứu tính chất trơn nghiệm mạnh Luận văn chia làm chương: Chương trình bày không gian Sobolev Wk,p (Ω) , W0k,p (Ω) định lý nhúng dựa tài liệu [1], [2] Chương đưa vào khái niệm nghiệm mạnh nghiên cứu độ trơn nghiệm mạnh bên miền dựa tài liệu [3] Luận văn độ trơn hệ số vế phải tăng lên độ trơn nghiệm manh tăng lên theo trở thành nghiệm cổ điển phương trình Do thời gian kiến thức hạn chế nên trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS-TS Hà Tiến Ngoạn tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Cơ trường Cao đẳng Cộng đồng Hải Phòng tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Người thực Nguyễn Thị Hoàng Xa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV Một toán quan trọng phương trình đạo hàm riêng phương trình Poisson: ∆u = f (1.1) Nghiệm yếu u(x) phương trình (1.1) thỏa mãn đồng thức tích phân: DuDϕdx = − Ω f ϕdx, Ω đó: u (x) = u (x1 , ., xn ) ẩn hàm, f (x) = f (x1 , ., xn ) hàm n ∂ 2u số cho trước, ∆u = , ϕ (x) = ϕ (x1 , ., xn ) ∈ C01 (Ω) i=1 ∂xi không gian hàm số khả vi liên tục có giá compact, n ∂u ∂ϕ ∂u ∂u , ., , DuDϕ = Du = ∂x1 ∂xn i=1 ∂xi ∂xi Đặt: (u, ϕ) = DuDϕdx (1.2) Ω Để nghiên cứu nghiệm phương trình Poisson ta xem xét cách tiếp cận khác phương trình Dạng song tuyến tính (u, ϕ) = DuDϕdx tích không Ω gian C01 (Ω) bao đóng C01 (Ω) theo metric cảm sinh (1.2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn không gian Hilbert mà người ta kí hiệu W01,2 (Ω) Hơn nữa, phiếm hàm tuyến tính F định nghĩa bởi: F (ϕ) = − f ϕdx Ω mở rộng đến phiếm hàm tuyến tính bị chặn không gian W01,2 (Ω) Theo định lý Riesz tồn phần tử u ∈ W01,2 (Ω) thỏa mãn (u, ϕ) = F (ϕ) , ∀ϕ ∈ C01 (Ω) Định lý Riesz: Với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F không gian Hilbert H tồn phần tử xác định f ∈ H cho F (x) = (x, f ) với x ∈ H F = f Với (x, f ) = F F (x) f F (f ) = sup x=0 f = |(x, f )| x (f, f ) = F (f ) Do tồn nghiệm suy rộng toán Diriclet: ∆u = f u = ∂Ω thực thiết lập Vấn đề tồn nghiệm cổ điển chuyển đổi tương ứng thành vấn đề tính quy nghiệm suy rộng theo điều kiện biên trơn thích hợp Định lý Lax-Milgram áp dụng phương trình elliptic tuyến tính theo dạng Div Tương tự việc áp dụng định lý Riesz lí luận khác dựa đồng thức tích phân, kết quy thiết lập Tuy nhiên trước thực cách cụ thể, ta khảo sát lớp không gian Sobolev, Wk,p (Ω) vàW0k,p (Ω) mà W01,2 (Ω) trường Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hợp riêng 1.1 1.1.1 Không gian Wk,p (Ω) ; W0k,p (Ω) Không gian Wk,p (Ω): Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn x = (x1 , x2 , x3 , , xn ) ∈ Ω a Không gian Lp (Ω);(1 ≤ p < +∞) Lp (Ω) không gian Banach cổ điển gồm hàm đo Ω p-khả tích Tức |u (x)|p dx < +∞ Ω Chuẩn phần tử Lp (Ω) định nghĩa bởi: 1/p  u Lp (Ω) |u|p dx , = Ω đó: |u (x)| trị tuyệt đối u(x) Khi p = +∞; L∞ (Ω) không gian Banach hàm bị chặn Ω với chuẩn: u ∞,Ω = u L∞ (Ω) = sup |u| (1.3) Ω Khi nhập nhằng, dùng u p thay cho u Lp (Ω) : Bất đẳng thức Young: |a|p |b|q |ab| ≤ + , p q (1.4) 1 + = p q Khi p=q=2;(1.4) bất đẳng thức Cauchy Thay a ε1/p a, b p, q ∈ R; p > 0, q > thỏa mãn: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ε−1/p b, với ε > (1.4) trở thành bất đẳng thức nội suy: ε |a|p ε−q/p |b|q |ab| ≤ + ≤ ε |a|p + ε−q/p |b|q p q (1.5) Bất đẳng thức Holder: |uv| dx ≤ u p v (1.6) q Ω 1 + = 1, p q (1.6) hệ bất đẳng thức Young, p = q = 2, bất đẳng thức với u ∈ Lp (Ω) , v ∈ Lq (Ω) Holder trở thành bất đẳng thức Schwarz Bất đẳng thức Holder sử dụng trường hợp tổng quát m hàm u1 , u2 , , um nằm không gian Lp1 , Lp2 , , Lpm sau: |u1 u2 um | dx ≤ u1 p1 u2 p2 um pm (1.7) Ω 1 + + + = p1 p2 pm Bất đẳng thức Holder sử dụng để nghiên cứu chuẩn Lp với coi hàm p: 1/p  φp (u) =  |Ω| |up | dx (1.8) Ω Với p > 0, φp (u) hàm không giảm theo p, với u cố định Không gian Lp (Ω) khả li p < ∞, C Ω không gian trù mật Lp (Ω) Không gian đối ngẫu Lp (Ω) < p < ∞ đẳng cấu với Lq (Ω), 1 + = Vì Lq (Ω) < p < +∞ coi liên hợp p q p L (Ω) Do đó, Lp (Ω) phản xạ < p < ∞ Khi p = 2, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng: (u, v) = u (x) v (x)dx Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (u, u) = u |u (x)|2 dx = Ω Định lý 1.1: (định lý nhúng Lp (Ω)) Giả sử Ω miền bị chặn ≤ p1 < p2 Khi đó, Lp2 (Ω) ⊂ Lp1 (Ω) ánh xạ nhúng j : Lp2 (Ω) → Lp1 (Ω) liên tục Chứng minh: Giả sử u ∈ Lp2 (Ω) ta cần chứng minh u ∈ Lp1 (Ω) hay |u|p1 dx < +∞ Ω p2 p2 ,q = , ta có: p1 p2 − p1 Áp dụng bất đẳng thức Holder với p = 1/q 1/p p1 |u| dx = Ω p1 p p1 |u| |u| 1dx ≤ dx dx Ω Ω Ω q 1/p (1.9) |u|p2 dx = (mesΩ)1/q Ω Vì Ω bị chặn u ∈ Lp2 (Ω) nên  (mesΩ)1/q  1/p |u|p2 dx < +∞ Ω Vậy u ∈ Lp1 (Ω) Từ (1.9) ta suy ra: p 1/p1 |u| dx 1/qp1 ≤ (mesΩ) Ω p2 1/pp1 |u| dx Ω 1/qp1 p2 |u| dx = (mesΩ) ⇔ u 1/p2 (1.10) Ω 1/qp1 Lp1 (Ω) ≤ (mesΩ) u Lp2 (Ω) (1.10) chứng tỏ ánh xạ j : Lp2 (Ω) → Lp1 (Ω) liên tục (mesΩ)1/qp1 = (mesΩ)1/p1 −1/p2 b Không gian Wk,p (Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn j ≤ data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 17 NGHIỆM MẠNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 2.1 2.2 24 Khái niệm nghiệm mạnh 24 2.1.1 Thế vị Newton 24 2.1.2 Khái niệm nghiệm mạnh ... bình phương khả tích thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi Dựa vào tài liệu [1], [2], [3] luận văn trình bày khái niệm nghiệm mạnh phương trình elliptic tuyến tính cấp nghiên cứu tính chất trơn nghiệm. .. MỞ ĐẦU Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp người ta đưa vào xét số loại nghiệm Nghiệm cổ điển hàm số khả vi hai lần liên tục thỏa mãn phương trình khắp nơi Nhưng nghiệm mạnh hàm số có