Đưa bài toán biên cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai về phương trình tích phân trên biên

28 3 Đưa bài toán biên về phương trình tích phân 30 3.1 Đưa bài toán Dirichlet về phương trình tích phân.. 30 3.2 Đưa bài toán Neumann về phương trình tích phân... Lời mở đầuTrong lý thu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 2010

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên, 2010

Mục lục

1.5 Nghiệm cơ bản và hàm số Green 13

2 Toán tử tích phân và phương trình tích phân 16 2.1 Toán tử tích phân miền 16

2.2 Toán tử tích phân lớp đơn 20

2.3 Toán tử tích phân lớp kép 25

2.4 Phương trình tích phân trên biên 28

3 Đưa bài toán biên về phương trình tích phân 30 3.1 Đưa bài toán Dirichlet về phương trình tích phân 30

3.2 Đưa bài toán Neumann về phương trình tích phân 33

Kết luận 38

Lời mở đầu

Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, một trong các phương phápnghiên cứu bài toán biên cho phương trình elliptic thường là được đưa vềphương trình tích phân trên biên Trong các giáo trình thông thường, vấn

đề này được trình bày cho các bài toán Dirichlet và Neumann cho phươngtrình Poisson

Vấn đề trên cần được tổng quan và trình bày cho các bài toán biên nóitrên đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên

Bản luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương Cụ thể là:

Chương 1: Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp haiTrong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về cácbài toán biên Dirichlet và Neumann cho phương trình elliptic tuyến tính cấphai, công thức Green, hàm số Levi, công thức biểu diễn tích phân Stokes,nghiệm cơ bản và hàm số Green

Chương 2: Toán tử tích phân và phương trình tích phân

Chương này giới thiệu một số toán tử tích phân, cụ thể là: toán tử tíchphân miền, toán tử tích phân lớp đơn, toán tử tích phân lớp kép và phương

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

trình tích phân trên biên.

Chương 3: Đưa bài toán biên về phương trình tích phân

Chương này trình bày việc đưa các bài toán Dirichlet, Neumann về phươngtrình tích phân

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáocủa PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Dưới sự hướng dẫn của thầy, tôi đã bước đầulàm quen và say mê hơn trong nghiên cứu toán Nhân đây, tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô trong Viện Toán họcViệt Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận tốt nghiệpnày

Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học - trường

ĐH Sư phạm, ĐH Thái Nguyên, các anh chị học viên lớp cao học toán khoá

16 và bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập tại trường Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình: bố, mẹ và emtrai đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này

Chương 1

Bài toán biên cho phương trình

elliptic tuyến tính cấp hai

1.1 Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic

tuyến tính cấp hai

phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng cho gọn) Nó có dạng

Phương trình được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm vàcác đạo hàm riêng của ẩn hàm.

trong miền Ω Kí hiệu M là toán tử tuyến tính bậc hai

mX

i,k=1aik(x)ξiξk

dương

(ξ1, ξ2, , ξm) :

a0

mX

i=1

ξi2 ≤

mX

i,k=1

aik(x)ξiξk ≤ a−10

mX

i=1

Định nghĩa 1.1.2 Nếu f (x) là một hàm xác định trong Ω, ta có phươngtrình đạo hàm riêng

mX

i=1

bi ∂u

Hàm u(x) gọi là một nghiệm thông thường của phương trình (1.2) trong Ωnếu u(x) khả vi liên tục hai lần trong Ω và thoả mãn (1.2) tại mọi điểm củaΩ.

cấp hai

Trong luận văn sẽ xét hai bài toán biên sau đây đối với phương trìnhelliptic (1.2):

A Bài toán Dirichlet

Nội dung của bài toán Dirichlet là tìm nghiệm u(x) trong T của phươngtrình (1.2) sao cho

trong đó ϕ(x) là hàm số cho trước trên ∂T

B Bài toán Neumann

Giả sử x ∈ ∂T Ta kí hiệu n là vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại điểm x với

phần toạ độ là Y1, Y2, , Ym

a

mX

mX

i=1

ei ∂u

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read