đưa bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai về phương trình tích phân trên biên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI THỊ THANH AN ĐƯA BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên, 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI THỊ THANH AN ĐƯA BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên, 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Lời mở đầu Bài tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 Các loại tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.2 Các loại tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Công thức Green 1.2.1 Công thức Green 1.2.2 1.2 Điều kiện cần cho tồn nghiệm toán Dirichlet 1.2.3 Điều kiện cần cho tồn nghiệm toán Neumann 10 1.3 Hàm số Levi 11 1.4 Cơng thức biểu diễn tích phân Stokes 12 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.5 Nghiệm hàm số Green 13 Tốn tử tích phân phương trình tích phân 16 2.1 Tốn tử tích phân miền 16 2.2 Tốn tử tích phân lớp đơn 20 2.3 Tốn tử tích phân lớp kép 25 2.4 Phương trình tích phân biên 28 Đưa toán biên phương trình tích phân 30 3.1 Đưa tốn Dirichlet phương trình tích phân 30 3.2 Đưa toán Neumann phương trình tích phân 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời mở đầu Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, phương pháp nghiên cứu tốn biên cho phương trình elliptic thường đưa phương trình tích phân biên Trong giáo trình thơng thường, vấn đề trình bày cho tốn Dirichlet Neumann cho phương trình Poisson Vấn đề cần tổng quan trình bày cho tốn biên nói phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên Bản luận văn gồm phần mở đầu chương Cụ thể là: Chương 1: Bài tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Trong chương này, giới thiệu số kiến thức toán biên Dirichlet Neumann cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, công thức Green, hàm số Levi, công thức biểu diễn tích phân Stokes, nghiệm hàm số Green Chương 2: Tốn tử tích phân phương trình tích phân Chương giới thiệu số tốn tử tích phân, cụ thể là: tốn tử tích phân miền, tốn tử tích phân lớp đơn, tốn tử tích phân lớp kép phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn trình tích phân biên Chương 3: Đưa toán biên phương trình tích phân Chương trình bày việc đưa tốn Dirichlet, Neumann phương trình tích phân Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Dưới hướng dẫn thầy, bước đầu làm quen say mê nghiên cứu toán Nhân đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, Viện Tốn học Việt Nam tận tình bảo, giúp đỡ tơi hồn thành khố luận tốt nghiệp Tơi xin cảm ơn tới thầy khoa Tốn, khoa Sau đại học - trường ĐH Sư phạm, ĐH Thái Nguyên, anh chị học viên lớp cao học toán khoá 16 bạn bè giúp đỡ nhiều q trình học tập trường Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình: bố, mẹ em trai tạo điều kiện tốt cho tơi học tập hồn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 Các loại tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Định nghĩa 1.1.1 Một phương trình liên hệ ẩn hàm u(x1 , , xn ), biến độc lập xi đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng cho gọn) Nó có dạng ∂u ∂u ∂ku F (x, u(x), , , , , k1 , ) = ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xkn n F hàm đối số nó, với kí hiệu x = (x1 , , xn ) ∈ Rn , u(x) = u(x1 , , xn ) Cấp cao đạo hàm riêng u có mặt phương trình gọi cấp phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình gọi tuyến tính tuyến tính ẩn hàm đạo hàm riêng ẩn hàm Xét m2 + m + hàm thực aik (x), bi (x), c(x)(i, k = 1, 2, , m) xác định miền Ω Kí hiệu M tốn tử tuyến tính bậc hai m M= i,k=1 ∂2 aik + ∂xi ∂xk m bi i=1 ∂ + c ∂xi Ta giả thiết aik (x) = aki (x), ta nói M thuộc loại elliptic dạng tồn phương tương ứng m aik (x)ξi ξk i,k=1 ¯ với x ∈ Ω, dạng xác định mà ta giả thiết xác định dương M gọi elliptic Ω aik đo Ω tồn số a0 > cho với x ∈ Ω tất m số thực (ξ1 , ξ2 , , ξm ) : m m ξi2 a0 i=1 ≤ m aik (x)ξi ξk ≤ a−1 ξi2 (1.1) i=1 i,k=1 ¯ Hiển nhiên Ω bị chặn aik liên tục Ω tính elliptic hệ tính elliptic Hằng số a0 gọi số elliptic toán tử M Định nghĩa 1.1.2 Nếu f (x) hàm xác định Ω, ta có phương trình đạo hàm riêng m i,k=1 ∂ 2u + aik ∂xi ∂xk m bi i=1 ∂u + cu = f ∂xi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.2) Hàm u(x) gọi nghiệm thông thường phương trình (1.2) Ω u(x) khả vi liên tục hai lần Ω thoả mãn (1.2) điểm Ω 1.1.2 Các loại toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Trong luận văn xét hai toán biên sau phương trình elliptic (1.2): A Bài tốn Dirichlet Nội dung tốn Dirichlet tìm nghiệm u(x) T phương trình (1.2) cho u(x) = ϕ(x), ∀x ∈ ∂T (1.3) ϕ(x) hàm số cho trước ∂T B Bài toán Neumann Giả sử x ∈ ∂T Ta kí hiệu n vectơ pháp tuyến đơn vị điểm x với thành phần toạ độ X1 , X2 , , Xm tức n = (X1 , X2 , , Xm ) (1.4) 2 X1 + X2 + Xm = Ta kí hiệu ν vectơ đối pháp tuyến (conormal) điểm x với thành Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phần toạ độ Y1 , Y2 , , Ym Yi = a m m aik Xk k=1 m aik Xk a= i=1 (1.5) k=1 Đạo hàm hàm u(x) theo hướng ν điểm x ∈ ∂T tính theo cơng thức du(x) = dν m j=1 ∂u(x) Yj ∂xj (1.6) Nội dung toán Neumann tìm nghiệm u(x) phương trình (1.2) cho a du(x) = ϕ(x), dν x ∈ ∂T (1.7) ϕ(x) hàm số cho trước ∂T 1.2 1.2.1 Công thức Green Công thức Green Trong mục giả sử hàm aik m ei = bi − k=1 ∂aik ∂xk (1.8) thuộc lớp C (1) miền Ω; giả thiết Mu cho công thức: m Mu = i,k=1 ∂ ∂u aik + ∂xk ∂xi m ei i=1 ∂u + cu ∂xi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.9) ta có, nhận xét với x ∈ l1 , A = O(xx0 · xy −m + xy λ+1−m ), áp dụng bổ đề 2.2.5 : A(x, y)[ζ(y) − ζ(x0 )]dy σ = lim x→x0 ∂T A(x0 , y)ζ(y)dy σ − ζ(x0 ) 2a(x0 ) ∂T Bởi (2.17) lim B(x, y)ζ(y)dy σ = x→x0 ∂T B(x0 , y)ζ(y)dy σ ∂T thoả mãn với hầu khắp nơi ∂T ζ ∈ L1 nơi ζ ∈ C (0) , từ đồng thức : dv θζ(x0 ) = + dν a(x0 ) A(x, y)[ζ(y) − ζ(x0 )]dy σ + ∂T B(x, y)ζ(y)dy σ ∂T (2.13) kéo theo lần Tính chất tính khả tích hay tính liên tục dv ± dν có sau thử lại trước với y, x0 ∈ ∂T , ta có dL(x0 ,y) dν ∈ N (λ+1,λ) 2.3 Tốn tử tích phân lớp kép Giả sử hàm aik thuộc lớp C (1,λ) Ω L(x, y) hàm số Levi với đạo hàm riêng ∂L ∂yi ∂2 ∂yi ∂yk chúng liên tục với x = y thoả mãn giới hạn: ∂ (L − H) ∂(L − H) = O(r2−m ), = O(r1−m ) ∂yi ∂xk ∂xi (2.18) Hơn ta giả sử (1.16) thoả mãn với λ = Hơn miền T giả sử thuộc lớp A(1,λ) với λ ≤ Cho β hàm 25 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn số liên tục ∂T l(x) vectơ qua điểm sinh x ∂T có cosin phương hàm liên tục x, cho cos(l, n) > 0, ta đặt : Định nghĩa 2.3.1 Tích phân sau gọi tốn tử tích phân lớp kép (tổng quát) mômen ζ : ω(x) = a dL(x, y) − bL(x, y) ζ(y)dy σ dνy (2.19) ∂T Định lý 2.3.2 Nếu ζ ∈ Lp với p ≥ ω ∈ Ls (T ) với s ≤ pm m−1 , đẳng thức xảy với p > Ta nghiên cứu ω x → x0 ∂T dọc theo vectơ l1 qua x0 cho cos(l1 , n) = Ta công nhận ω có hai giới hạn khác phù hợp x tiến đến x0 T \ ∂T Ω \ T giới hạn khơng phụ thuộc vào l1 ta kí hiệu ω − (x0 ) ω + (x0 ) Bắt đầu với trường hợp l ≡ ν, chứng minh : Định lý 2.3.3 Nếu l ≡ ν, ζ ∈ Lp với p ≥ 1, ta có với x0 hầu khắp nơi ∂T : ω ± (x0 ) = ± ζ(x0 ) + a dL(x0 , y) − bL(x0 , y) ζ(y)dy σ, dνy (2.20) ∂T Tích phân bên vế phải cơng thức có tính chất thơng thường với số (2.13) Đặc biệt, ζ ∈ C (0) , (2.20) nơi tích phân nêu trước thuộc lớp C (0,µ) với µ < 1; nữa, hàm số ω T − ∂T [trongΩ \ T ] ω − [ω + ] ∂T liên tục T [trongΩ \ (T \ ∂T )] 26 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong thực tế, (2.20) kéo theo từ (2.13) ta nhận xét thấy với x ∈ l1 : a dL(x, y) dL(x, y) − bL(x, y) = − + O(xy λ+1−m ) dνy dνx Tương tự, chứng minh tính chất nêu tích phân bên vế phải (2.20) Những khả thác triển liên tục ω T Ω \ (T \ ∂T ) kéo theo sau từ thực tế giới hạn thể (2.20) với biến x0 ∂T nếu, ví dụ, ta giả sử l1 ≡ n Nếu ta nhận xét ta viết : m ω=− i=1 với K(x, y) ∈ N ∂ ∂xi (2,λ) L(x, y) cos(ν, yi )ζ(y)dy σ + ∂T K(x, y)ζ(y)dy σ ∂T , ta suy : Định lý 2.3.4 Nếu ζ ∈ C (0,µ) với µ ≤ λ hàm số ω liên tục T Ω \ (T \ ∂T ) định lí nêu trước, ω ∈ C (0,µ) Định lí sau nói tính liên tục dω dν điểm biên ∂T Định lý 2.3.5 Nếu L thoả mãn dL(x, y) dy σ = dνy ∂T L(x, y)β(y)dy σ − L(x, y)c(y)dy − θ T ∂T l ≡ ν ζ ∈ C (0,µ) với µ > − λ, x x hai điểm vectơ đối pháp tuyến qua x0 đối xứng với điểm x0 , ta có : lim x→x0 dω(x) dω(x ) − = 0, dν dν (2.21) (2.21) giả thiết ζ ∈ C (0) , miễn T thuộc lớp A(2) ∂ (L−H) ∂xk ∂yi ∈ N (1,k) Dưới giả thiết cuối ζ ∈ L1 , (2.21) hầu khắp nơi ∂T 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4 Phương trình tích phân biên Cho T miền lớp A(1,λ) , x, y hai điểm thay đổi ∂T Xét phương trình ϕ(x) − K(x, y)ϕ(y)dy σ = g(x) (2.22) ∂T g(x) hàm liên tục cho trước ∂T , K(x, y) hàm thực liên tục x, y ∈ T liên tục x = y x → y ta có: K(x, y) = O r = xy, α < m rα Phương trình (2.22) gọi phương trình Fredholm loại hai, ϕ(x) hàm liên tục phải tìm gọi nghiệm phương trình (2.22) Nếu g(x) = phương trình gọi phương trình Song song với phương trình (2.22) ta xét phương trình sau: ψ(x) − K(y, x)ψ(y)dy σ = (2.23) ∂T mà K(y, x) nhận cách tráo đổi vị trí x y Phương trình (2.23) gọi phương trình liên hợp với phương trình (2.22) Đối với phương trình Fredholm loại hai (2.22) ta có định lí sau thường gọi định lí Fredholm Định lý 2.4.1 Phương trình ϕ(x) − K(x, y)ϕ(y)dy σ = ∂T 28 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.24) phương trình liên hợp với (2.24) có số hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính số nghiệm độc lập tuyến tính hai phương trình Ta gọi hệ đầy đủ nghiệm phương trình (2.24) là: ϕ1 (x), ϕ2 (x), , ϕp (x), (2.23) : ψ1 (x), ψ2 (x), , ψp (x) Nghiệm tổng quát (2.22) p ∗ ϕ(x) = ϕ (x) + ck ϕk (x), (2.25) k=1 ϕ∗ (x) nghiệm riêng (2.22), ck số tuỳ ý Định lý 2.4.2 Điều kiện cần đủ để (2.22) giải vế phải g(x) thoả mãn hệ thức g(x)ψk (x)dx σ = 0, k = 1, 2, , p (2.26) ∂T (điều kiện trực giao) ψk (x) hệ đầy đủ nghiệm độc lập tuyến tính phương trình liên hợp với (2.23) Từ định lí 2.4.2 dễ thấy Định lý 2.4.3 Điều kiện cần đủ để phương trình (2.22) giải với vế phải g(x) liên tục phương trình tương ứng (2.24) có nghiệm tầm thường ϕ(x) = Khi phương trình (2.22) có nghiệm 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đưa toán biên phương trình tích phân 3.1 Đưa tốn Dirichlet phương trình tích phân Xét tốn Dirichlet: Mu = f với x ∈ T \ ∂T, u = ϕ với x ∈ ∂T, (3.1) giả sử f liên tục T thuộc lớp C (0,λ) T \ ∂T , ϕ hàm số liên tục ∂T cuối T miền bị chặn thuộc lớp A(1,λ) Ta đặt lên toán tử M tất giả thiết hàm số aik , bi , c bị chặn Rm thuộc lớp C (0,λ) đó, với aik λ - Holder liên tục Rm ∂aik ∂xj tồn bị chặn Rm λ - Holder liên tục miền bị chặn Dưới giả thiết này, xét tốn tử tích phân lớp kép xây dựng giả sử hàm số Levi L(x, y) nghiệm phương trình Mu = Tương tự nhận xét toán tử tích phân miền xây dựng cách đặt L = G, thế, với hiệu 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lực định lí có điều kiện đủ để M thoả mãn giả thiết hàm số aik , bi , c bị chặn Rm thuộc lớp C (0,λ) đó, với aik λ - Holder liên tục Rm Với đề tài này, thấy nghiệm tốn (3.1) tồn cơng thức : G(x, y)f (y)dy − u(x) = − T a dG(x, η) − bG(x, η) ζ(η)dη σ, dνη (3.2) ∂T lý l ν trùng giả sử với β hàm số λ - Holder liên tục ∂T âm đó, β − b < Từ (2.7) (2.20) kéo theo hàm số u(x) cho (3.2) nghiệm thơng thường T \ ∂T phương trình Mu = f , thoả mãn điều kiện biên toán , với ξ ∈ ∂T : ζ(ξ) = a dG(ξ, η) − bG(ξ, η) ζ(η)dη σ + dνη G(ξ, y)f (y)dy + ϕ(ξ) (3.3) T ∂T (3.3) phương trình tích phân với hàm số chưa biết ζ(ξ), từ a dG(ξ,η) − bG(ξ, η) = O(ξη dvη λ+1−m ), định lí Fredholm áp dụng; tính giải tốn Dirichlet chứng minh chứng tỏ phương trình liên hợp với (3.3) có nghiệm khơng Ta giả sử ζ0 nghiệm phương trình liên hợp (3.3) u0 hàm số thu thay ζ0 vào chỗ ζ không vào chỗ f (3.2) Hàm số u0 T nghiệm toán liên kết với toán (3.1) đồng khơng tính nhất, c ≤ Từ điều du0 dν − = từ du0 dν Bây u0 nghiệm thơng thường phương trình Mu = 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn + = T , khơng vơ cùng; từ định lí tính suy u0 đồng khơng T liên tục tất khơng gian Bởi suy địi hỏi ζ0 = Ta có định lí: Định lý 3.1.1 Lấy M toán tử elliptic mà hệ số miền T thuộc lớp A(1,λ) thoả mãn aik ∈ C (1,λ) , bi , c ∈ C (0,λ) ; lấy f hàm số liên tục T thuộc lớp C (0,λ) T \ ∂T ϕ hàm số liên tục ∂T Nếu c ≤ tốn Dirichlet (3.1) có nghiệm cho (3.2) với ζ nghiệm (3.3) Định lý 3.1.2 Dưới giả thiết giống định lí 3.1.1 ngoại trừ với c ≤ độ đo miền T đủ nhỏ tốn Dirichlet chấp nhận nghiệm Đặt giả thiết hàm số aik , bi , c bị chặn Rm thuộc lớp C (0,λ) đó, với aik λ - Holder liên tục Rm ∂aik ∂xj tồn bị chặn Rm λ - Holder liên tục miền bị chặn ngoại trừ c ≤ 0, ta giả sử hàm số ei cho với đạo hàm cấp bị chặn Rm liên tục miền bị chặn cho với tốn (3.1) có hiệu lực với việc xét toán liên hợp: Nv = g với x ∈ T − ∂T, v=γ với x ∈ ∂T (3.4) Định lý 3.1.3 Dưới giả thiết giống định lí 3.1.1 ngoại trừ với c ≤ ei ∈ C (1,λ) tốn Dirichlet tốn liên hợp có số (dương khơng) nghiệm độc lập tuyến tính Do tốn (3.1) cho nghiệm với số hạng biết tuỳ 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ý, có kết giống với toán (3.4) Nếu toán cho p nghiệm độc lập tuyến tính, điều kiện cần đủ cho tính tương thích cho tốn khơng viết cơng thức : f (x)vi (x)dx + T ϕ(ξ)a(ξ) dvi dξ σ = 0, dν (3.5) ∂T vi nghiệm toán liên hợp Định lý 3.1.4 Nếu, giả thiết định lí 3.1.3 c + c∗ ≤ tốn Dirichlet tốn liên hợp chấp nhận nghiệm 3.2 Đưa tốn Neumann phương trình tích phân Xét toán Neumann : Mu = f với x ∈ T \ ∂T, a du = ϕ với x ∈ ∂T, dν (3.6) ta giả sử miền T thuộc lớp A(1,λ ), hệ số M thuộc lớp C (0,λ) T cuối f ϕ thoả mãn giả thiết giống mục 3.1 Để bắt đầu ta xét trường hợp với c < Khơng tính tổng qt ta cho hệ số M xác định tất Rm thoả mãn giả thiết hàm số aik , bi , c bị chặn Rm thuộc lớp C (0,λ) đó, với aik λ - Holder liên tục Rm Kí hiệu G(x, y) nghiệm phương trình Mu = tìm nghiệm tốn (3.6) cơng 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thức : u(x) = − G(x, y)f (y)dy + T G(x, η)ζ(η)dη σ, (3.7) ∂T ζ hàm số liên tục ∂T (3.7) nghiệm phương trình Mu = f để thoả mãn điều kiện biên, điều kiện cần đủ với ξ ∈ ∂T : ζ(ξ) = −2 dG(ξ, η) ζ(η)dη σ + dνξ dG(ξ, y) f (y)dy + ϕ(ξ) dνξ (3.8) T ∂T Và với tích phân định lí loại trừ có hiệu lực, nhân O(ξη λ−1+m ) Ta cần tráo đổi T T chứng minh nghiệm phương trình liên hợp với (3.8) triệt tiêu, từ điều suy phương trình chấp nhận nghiệm Nếu muốn bỏ giả thiết c ≤ 0, xét hai hàm số liên tục χ ψ, hàm thứ thuộc lớp C (0,λ) khơng bên ngồi miền bị chặn, hàm thứ hai liên tục ∂T , cho c − χ < Kí hiệu G∗ (x, y) nghiệm phương trình Mu − χu = 0, ta có nghiệm (3.6) tất yếu có công thức : G∗ (x, y)z(y)dy + u(x) = − T G∗ (x, η)ζ(η)dη σ, (3.9) ∂T với z = f − χu ζ xác định từ điều kiện du dν + ψu = ϕ + ψu Mặt khác, điều kiện cần đủ để (3.9) cho nghiệm (3.6) z ζ thoả mãn hệ phương trình tích phân : ∗ χ(y)G (x, y)z(y)dy − z(x) = T ∂T ζ(ξ) = T d ∗ dνξ G (ξ, y)z(y)dy   χ(x)G (x, η)ζ(η)dη σ,  ∗ −2 ∂T d ∗ dνξ G (ξ, η)(η)dη σ    34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.10) Hệ này, với (3.9), tương đương với toán (3.6) dễ dàng chứng minh nghiệm hệ liên hợp với (3.10) không, nghiệm tương ứng u(x) đồng không Từ tương đương thực tế, định lí loại trừ cho hệ (3.10), kéo theo định lí tương tự có hiệu lực với toán (3.6) Mặt khác, toán tương ứng với (3.6) chấp nhận p (hoặc không nhiều hơn) nghiệm độc lập tuyến tính, nhiều cặp (vi , ωi ) nghiệm hệ chuyển vị (3.10) : ∗ v(x) = χ(y)G (y, x)v(y)dy + T ∂T d ∗ dνη G (η, x)ω(η)dη σ, ∗ ω(ξ) = −2 χ(y)G (y, ξ)v(y)dy − T ∂T     (3.11)  d ∗  dνη G (η, ξ)ω(η)dη σ. điều kiện cần đủ cho tính tương thích hệ (3.10) tốn (3.6) viết : f (x)vi (x)dx − T ϕ(ξ)vi (ξ)dξ σ = (3.12) ∂T cho rằng, cơng nhận việc sử dụng (2.20), ta có ∂T ωi = −vi Định lý 3.2.1 Cho M toán tử elliptic mà hệ số tất thuộc lớp C (0,µ) miền T lớp A(1,λ) ; nữa, lấy f hàm liên tục T thuộc lớp C (0,λ) T \ ∂T ϕ hàm liên tục ∂T Khi tốn liên hợp chấp nhận nghiệm khơng, lúc tốn (3.6) chấp nhận với f ϕ tuỳ ý nghiệm cho (3.9) với nghiệm (z, ζ) hệ (3.10) Hoặc tốn liên hợp 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chấp nhận p nghiệm độc lập tuyến tính u1 , u2 , up lúc hệ (3.11) chấp nhận p nghiệm độc lập tuyến tính (vi , ωi ) toán (3.6) giải (3.12) thoả mãn Nếu điều kiện thoả mãn, tốn (3.6) chấp nhận vô số nghiệm, u ¯ số chúng, tất nghiệm khác có cơng thức u + ¯ ci ui Nếu c = ta có p = 1, u1 = Nếu c < tính tồn định lí Ta thấy cách kết làm xác khi, aik , ei ∈ C (1,λ) , có tác dụng xét toán liên hợp : Nv = g với x ∈ T − ∂T, dv =γ dν với x ∈ ∂T (3.13) Trong trường hợp giả sử toán liên hợp với (3.6) chấp nhận p nghiệm độc lập tuyến tính, với hàm vi tương ứng : Nvi − χvi = với x ∈ T, + vi = ∂T Từ điều suy vi đồng không ∂T , từ chỗ ta có ( dvi − bvi )+ = 0, dν đó, nhờ (2.21) ( dvi − bvi )− = dν Bởi T \ ∂T ta có Nvi = 0, suy luận từ điều vi nghiệm toán liên hợp Từ điều này, trường hợp định lí Dirichlet, định lí suy ra: Định lý 3.2.2 Với giả thiết giống định lí 3.2.1 aik , ei ∈ C (1,λ) , toán Neumann tốn liên hợp chấp nhận số (dương khơng) nghiệm độc lập tuyến tính Bởi vậy, toán (3.6) chấp nhận nghiệm với số hạng 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn biết tuỳ ý, điều giống xảy toán (3.13) Nếu toán chấp nhận p nghiệm độc lập tuyến tính điều kiện tương thích tốn khơng viết cơng thức (3.12), với vi nghiệm toàn liên hợp Định lý 3.2.3 Nếu, với giả thiết định lí 3.2.2, có c + c∗ ≤ 0, b ≤ 0, với c khác khơng, tốn Neumann tốn liên hợp chấp nhận nghiệm Nếu c ≤ 0, chí có: F (x, y) = G(x, y) + G(η, y)ω(x, η)dη σ, ∂T ω nghiệm phương trình : ω(x, ξ) = −2 d G(η, ξ)ω(x, η)dη σ + G(x, ξ), dνξ ∂T trong trường hợp tổng quát F (x, y) nghiệm phương trình tích phân: F (x, y) = F ∗ (x, y) + F (x, t)χ(t)F ∗ (t, y)dt − T F (x, y) = F ∗ (x, y) + F (x, t)ψ(t)F ∗ (t, y)dt σ, ∂T F ∗ (x, t)χ(t)F (t, y)dt − T F ∗ (x, t)ψ(t)F (t, y)dt σ, ∂T F ∗ hàm số Green toán Mu − χu = f, du + ψu = ϕ, χ dν ϕ chọn trước Cuối trường hợp định lí khơng đúng, nghiệm tốn, tồn tại, ln viết công thức (1.26) việc đưa vào hàm số Green tiện ích nghĩa rộng 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Các kết luận văn là: Phát biểu toán Dirichlet Neumann cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên; Trình bày khái niệm tốn tử tích phân miền, tốn tử tích phân lớp đơn, tốn tử tích phân lớp kép tính chất chúng; Đưa toán Dirichlet toán Neumann phương trình tích phân biên miền xét, đưa điều kiện cần đủ cho tồn tính nghiệm tốn Mặc dù cố gắng, thời gian khả hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình phương trình đạo hàm riêng (1991), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Carlo Miranda, Partial Differential Equations of elliptic type (1970), Springer - Verlag 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 Các loại tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Định nghĩa... Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1 Các loại tốn biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 1.1.1 Phương trình elliptic tuyến. .. BÙI THỊ THANH AN ĐƯA BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRÊN BIÊN Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG