Phương trình tích phân Fredholm loại II

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MA VĨNH HUY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI II Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Phương trình tích phân với nhân suy biến 3 1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Khái niệm về phương trình Fredholm . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Phương trình tích phân với nhân suy biến . . . . . . . . . . 6 2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp và xấp xỉ đều 15 2.1 Phương pháp thay thế liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Phương pháp xấp xỉ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Các định lý Fredholm 33 3.1 Dẫn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Định lý Fredholm thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Định lý Fredholm thứ tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 Định lý Fredholm thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5 Định lý Fredholm thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 ii Lời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Thầy đã dành nhiều thời gian chỉ bảo rất tận tình, hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và kính chúc thầy luôn luôn mạnh khỏe. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học khóa 6 (2012 - 2014) đã quan tâm, giúp đỡ và mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị em học viên lớp cao học toán K6 và bạn bè đồng môn đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thiện luận văn cao học. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014 Tác giả Ma Vĩnh Huy 1 Mở đầu Toán học là một môn học gắn liền với thực tiễn, bởi toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các vấn đề có nguồn gốc từ thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và được chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Trong lĩnh vực toán học ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấu tích phân. Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Đây được xem như là một công cụ toán học hữu ích có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành như vật lí, cơ học và các ngành khoa học kĩ thuật khác ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân nhằm giải phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định hay giải quyết một số vấn đề vật lí như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền, . . . Vì vậy việc nghiên cứu các phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong toán học. Hai loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vào những năm đầu của thế kỷ 20 là phương trình tích phân Fredholm loại II và phương trình tích phân Volterra. Luận văn này trình bày môt số vấn đề lý thuyết của phương trình tích phân Fredholm loại II. Với đề tài "Phương trình tích phân Fredholm loại II", tác giả trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình Fredholm, các định lý Fredholm, sự tồn tại nghiệm của phương trình phương trình tích phân Fredholm loại II trong trường hợp nhân suy biến, sử dụng phương pháp thay thế liên tiếp, xấp xỉ liên tiếp, xấp xỉ đều cho phương trình này. Luận văn gồm có phần Mở đầu, Ba chương, Kết luận và Danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1: Phương trình tích phân với nhân suy biến . Chương này trình 2 bày các không gian hàm khả tổng cơ bản, các khái niệm cơ bản về phương trình Fredholm. Nội dung chính của chương này là trình bày cách giải phương trình Fredholm (loại II) với nhân suy biến (tách biến). Chương 2: Phương pháp xấp xỉ liên tiếp và xấp xỉ đều. Mục đích của chương này là trình bày một số phương pháp giải các phương trình tích phân Fredholm loại II, là phương pháp thế liên tiếp, phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp xấp xỉ đều và các ví dụ minh họa. Chương 3: Các định lý Fredholm. Chương này là cơ sở lý thuyết quan trọng của phương trình Fredholm loại II. Trong chương này đã trình bày bốn định lý Fredholm tính tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm của các phương trình Fredholm loại II với nhân tổng quát. Luận văn này chưa đề cập tới lớp phương trình tích phân Fredholm loại II đối với nhân Hermitian (nhân đối xứng). Nội dung của luận văn chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [3] và [4]. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Mặc dù, tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do thời gian có hạn và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014 Tác giả Ma Vĩnh Huy 3 Chương 1 Phương trình tích phân với nhân suy biến Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về không gian hàm, phương trình tích phân Fredholm. 1.1 Một số không gian hàm Ký hiệu C [a, b] là không gian các hàm liên tục trên khoảng hữu hạn [a, b] với chuẩn ||f|| C = max axb |f(x)|. Ký hiệu L p (a, b) (0 < p < +∞) là không gian các hàm khả tổng trên (a, b), sao cho f p =   b a |f (x)| p dx  1 / p < ∞. Các trường hợp riêng đặc biệt quan trọng là p = 1 và p = 2. L 2 (a, b) là một không gian Hilbert với tích vô hướng (f, g) =  b a f(x)g(x)dx. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng |(f, g)|  ||f|| 2 ||g|| 2 . 4 hay, một cách cụ thể hơn      b a f (x)g (x)dx     ≤   b a |f (x)| 2 dx  1 / 2   b a    g (x)    2 dx  1 / 2 . Một chuẩn khác được nhắc đến là chuẩn vô cùng được định nghĩa như sau f ∞ = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]}. Hoàn toàn tương tự, chuẩn có thể được định nghĩa theo tập hợp các hàm nhận giá trị phức liên tục được định nghĩa trên hình vuông Q(a, b). Ký hiệu L 2 (Q(a, b)) là không gian của các hàm hai biến K(x, y), (x, y) ∈ Q(a, b), sao cho K 2 =   b a  b a |K (x, t)| 2 dxdt  1 / 2 < ∞, và K ∞ = sup {|K (x, t)| : (x, t) ∈ Q (a, b)}, sẽ được quan tâm đặc biệt trong chương này. Hội tụ đều của dãy hàm vô tận: Dãy vô hạn {f n (x)} của hàm hội tụ đều trên [a, b] tới hàm f (x) nếu: Với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên N = N (ε) sao cho |f n (x) −f (x)| < ε với mọi x ∈ [a, b] và với mọi n ≥ N (ε). Chuỗi vô hạn  ∞ 1 f n (x) hội tụ đều trên [a, b] nếu tổng của các dãy con hội tụ đều trên [a, b]. Tiêu chuẩn Cauchy được dùng để thiết lập hội tụ đều. Chúng ta nói rằng dãy vô hạn {f n (x)} được định nghĩa hội tụ đều trên [a, b] khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên N (ε) sao cho |f n (x) −f m (x)| < ε với mọi x ∈ [a, b] và với mọi n, m ≥ N (ε). Hội tụ đều là điều kiện cần trong nhiều định lý. Ví dụ, nếu {f n (x)} là một dãy vô hạn của hàm liên tục trên [a, b] và nếu dãy {f n (x)} hội tụ đều đến hàm giới hạn f (x) thì f (x) liên tục trên [a, b]. 5 Hội tụ đều cũng cần để chứng minh phép lấy tích phân. Nếu {f n (x)} là một dãy các hàm khả tích hội tụ đều đến f (x) trên [a, b], thì f (x) khả tích và  b a f (x) dx = lim n→∞  b a f n (x) dx. Như một hệ quả tức thời, ta có thể nói rằng nếu f (x) = ∞  n=1 f n (x), và hội tụ đều trên [a, b] thì  b a f (x) dx = ∞  n=1  b a f n (x) dx. 1.2 Khái niệm về phương trình Fredholm Khái niệm 1.1. Kí hiệu (a, b) là khoảng hữu hạn hay vô hạn của trục thực. Giả sử f (x) (a < x < b), K (x, y) (a < x, y < b) là các hàm đã cho, u (x) (a < x < b) là hàm cần tìm. Các phương trình sau đây được gọi là các phương trình tích phân đối với ẩn hàm u(x) :  b a K (x, y) u (y) dy = f (x) , a < x < b, (1.1) u (x) −  b a K (x, y) u (y) dy = f (x) , a < x < b. (1.2) Phương trình (1.1) được gọi là phương trình tích phân loại 1, còn phương trình (1.2) được gọi là phương trình tích phân loại 2, hàm f (x) được gọi là vế phải, hay số hạng tự do, còn hàm K (x, y) được gọi là nhân hay hạch của phương trình. Nếu vế phải f (x) ≡ 0, thì phương trình được gọi là phương trình thuần nhất, còn nếu f (x) = 0, thì phương trình được gọi là phương trình không thuần nhất. Thông thường người ta không chỉ xét một phương trình mà xét cho một họ các phương trình dạng u (x) − λ  b a K (x, y) u (y) dy = f (x) , a < x < b, (1.3) 6 trong đó λ (là số thực hay phức) được gọi là tham số của phương trình (1.3). Phương trình Fredholm: Xét phương trình (1.2). Phương trình (1.2) được gọi là phương trình Fredholm nếu  b a |f (x)| 2 dx < ∞,  b a  b a |K (x, y)| 2 dxdy < ∞. (1.4) Nếu điều kiện thứ 2 trong (1.4) được thỏa mãn thì, theo định lí Fubini, tích phân  b a |K (x, y)| 2 dy, tồn tại hầu khắp nơi với x ∈ (a, b). Trong nhiều trường hợp chúng ta giả thiết thêm rằng: Tồn tại hằng số A sao cho  b a |K (x, y)| 2 dx ≤ A, a < x < b. (1.5) Nếu khoảng (a, b) hữu hạn, thì từ điều kiện (1.5) suy ra điều kiện thứ hai trong (1.4). Nghiệm u (x) của phương trình tích phân cũng được tìm trong lớp hàm bình phương khả tích  b a |u (x)| 2 dx < ∞. 1.3 Phương trình tích phân với nhân suy biến Nhân suy biến của một phương trình tích phân là nhân có dạng K (x, s) = n  i=1 a k (x) b k (s). (1.6) Chúng ta sẽ giả thiết rằng, các hàm a k (x) và b k (s) là bình phương khả tích trên khoảng (a, b). Đặt (1.6) vào phương trình u (x) − λ  b a K (x, s) u (s) ds = f (x) , a < x < b, (1.7) 7 ta được u (x) − λ n  k=1 a k (x)  b a b k (s) u (s) ds = f (x). (1.8) Giả sử phương trình (1.8) có nghiệm. Ký hiệu  b a b k (s) u (s) ds = C k . (1.9) Từ (1.8) và (1.9) suy ra u (x) = λ n  k=1 C k a k (x) + f (x) , a < x < b. (1.10) Nhân hai vế của (1.10) với b m (x), tích phân theo x trên (a, b), sử dụng ký hiệu (1.9), ta được hệ phương trình đại số tuyến tính C m − λ n  k=1 a mk C k = f m , m = 1, 2, , n, (1.11) trong đó a mk =  b a a k (x) b m (x) dx, f m =  b a f (x) b m (x) dx. Nếu hệ đại số tuyến tính (1.11) không có nghiệm thì rõ ràng phương trình (1.7) cũng không có nghiệm. Giả sử hệ (1.11) có nghiệm C 1 , C 2 , , C n . Khi đó hàm u (x), được xác định bởi công thức (1.10) sẽ là nghiệm của phương trình (1.8). Định thức của hệ (1.11) là D (λ) =         1 −λa 11 −λa 12 ··· −λa 1n −λa 21 1 −λa 22 ··· −λa 2n . . . −λa n1 . . . −λa n2 . . . ··· −λa nn         . Rõ ràng D (λ) là đa thức bậc n và D (0) = 1. Hệ (1.11) được viết dưới dạng (I −λA)c = f , (1.12) [...]... này được biết đến là chuỗi Neumann, và nó là nhân của phương trình tích phân Bán bán kính hội tụ của nó ít nhất là 1/ (M (b − a)) Nhắc lại rằng hàm φ (x) là nghiệm của phương trình tích phân nếu phương trình tích phân trở thành đồng nhất thức khi ta thay φ (x) vào phương trình đó 18 Ta sẽ chỉ ra rằng f (x) + λσ (x) là nghiệm của phương trình tích phân: b f (x) + λσ (x) = f (x) + λ K (x, t) (f (t) +... Các định lý Fredholm Chương này trình bày các định lý Fredholm đối với phương trình tích phân Fredholm loại hai Nội dung của chương này được hình thành từ tài liệu [4] 3.1 Dẫn luận Như đã biết, ta có định lý Fredholm cho phương trình tích phân b φ (x) = f (x) + λ K (x, t)φ (t) dt, (3.1) a với λ là một tham số phức bất kì và K (x, t) là một nhân rời rạc Trong phần 2.2 chương 2, ta chỉ ra phương pháp... giá trị của chúng gần bằng nhau trong đoạn [0, 1] 2.3 Phương pháp xấp xỉ đều Bản chất của định lý trong mục này là nếu hai nhóm tự do và hai nhân trong hai phương trình tích phân Fredholm gần, sau đó là nghiệm gần tốt Định lý này cực kỳ hữu ích nếu một trong các phương trình tích phân là khó tìm phương pháp giải, trong khi một trong những phương trình khác thì không Định lý 2.3 (Định lí xấp xỉ đều)... thức ∞ λm−1 Km (x, t) R (x, t; λ) = m=1 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp đệ quy khác để giải phương trình Fredholm loại 2 Những ưu điểm của phương pháp này: có được cái nhìn sâu hơn về quá trình đệ quy, sử dụng một cách chứng minh khác về sự hội tụ và thu được kết quả tốt hơn Xét phương trình tích phân Fredholm b φ (x) = f (x) + λ K (x, t) φ (t)... kiện cần và đủ để phương trình (1.7) có nghiệm Từ (1.19) suy ra b v(s)f (s)ds = 0, a (1.20) 11 trong đó v(x) là nghiệm không tầm thường của phương trình thuần nhất liên hợp (1.17), là điều kiện cần và đủ để phương trình (1.8) giải được trong trường hợp D(λk ) = 0 Từ đó ta có kết quả sau đây Định lý 1.1 ( Định lý Fredholm đối với trường hợp nhân suy biến) Xét phương trình Fredholm loại hai b u(x) =... (x) = φ1 (x) và nghiệm của phương trình đã tìm được Nếu tích phân triệt tiêu thì φ1 (x) = f (x) Tại điểm này, quá trình lặp lại tiếp diễn nếu ta chọn φ0 (x) = f (x) Nếu φ1 (x) = φ0 (x) thì ta tiếp tục thế φ1 (t) vào miền tích phân xấp xỉ bậc hai b φ2 (x) = f (x) + λ K (x, t)φ1 (t) dt a 20 Nếu φ2 (x) = φ1 (x) thì φ (x) = φ2 (x) và nghiệm của phương trình đã được tìm Nếu tích phân triệt tiêu thì φ2 (x)... tiếp có thế áp dụng để giải phương trình với K (x, t) là một nhân thông thường, với điều kiện |λ| < 1/ K 2 Trong phần này, ta kết hợp các phương pháp của hai phần trước để thành lập định lý Fredholm với K (x, t) là một nhân thông thường và λ bất kì Phương pháp này dựa trên ý tưởng của Schmidt Ông chỉ ra rằng nghiệm φ (x) của phương trình (3.1) thỏa mãn hai phương trình tích phân, một là với nhân nhỏ,... bỏ bớt chuỗi trên và xét phương trình tích phân Fredholm 1 φ (x) = x + 10 1 4 K (x, t) φ (t) dt, (2.7) 0 với nhân rời rạc x2 t2 x3 t3 x4 t4 K (x, t) = 1 + xt + + + , 2! 3! 4! xác định trên Q (0, 1) Tất cả 5 giá trị riêng biệt của nhân đều là các số 1 thực dương, giá trị nhỏ nhất là λ1 ≈ 0.739241 Với là một giá trị đều, 10 phương trình tích phân có nghiệm duy nhất theo định lý Fredholm thứ nhất Cách tính... C1 , C2 và khi đó nghiệm π duy nhất của phương trình đã cho là u (x) = f (x) + λ (C1 sinx + C2 cosx) Ví dụ 1.2 Tìm tất cả các số đặc trưng và các hàm riêng tương ứng của phương trình 2π u (x) = λ sin (x + y) + 0 1 u (y) dy 2 Ta có K (x, y) = sin (x + y) + 1 1 = sinx.cosy + cosx.siny + 1 2 2 13 Như vậy phương trình đã cho thuộc loại nhân suy biến và là phương trình thuần nhất Trong trường hợp này ta... chúng tôi trình bày các phương pháp thay thế liên tiếp, xấp xỉ liên tiếp và xấp xỉ đều Các kiến thức của chương này được tổng hợp từ các tài liệu trong [4] 2.1 Phương pháp thay thế liên tiếp Xét phương trình tích phân b K (x, t)φ (t) dt, φ (x) = f (x) + λ a trong đó, ta giả thiết hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm K (x, t) nhận giá trị phức và liên tục trên hình vuông Q [a, b] Nếu phương trình . phân Fredholm loại II và phương trình tích phân Volterra. Luận văn này trình bày môt số vấn đề lý thuyết của phương trình tích phân Fredholm loại II. Với đề tài " ;Phương trình tích phân Fredholm. Fredholm loại II& quot;, tác giả trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình Fredholm, các định lý Fredholm, sự tồn tại nghiệm của phương trình phương trình tích phân Fredholm loại II trong. dy = f (x) , a < x < b. (1.2) Phương trình (1.1) được gọi là phương trình tích phân loại 1, còn phương trình (1.2) được gọi là phương trình tích phân loại 2, hàm f (x) được gọi là vế phải,