Về phương pháp tikhonov giải một lớp phương trình tích phân fredholm loại 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ————oOo———— ĐỖ THỊ THUÝ VÂN VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI Chun ngành : TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2014 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG TP HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Kính Cán nhận xét 1: Cán nhận xét 2: Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày tháng năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Tp HCM, ngày tháng năm 2014 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : Đỗ Thị Thuý Vân Phái : Nữ Ngày sinh : 18/10/1982 Nơi sinh : TP Hồ Chí Minh Chun ngành : Tốn ứng dụng MSHV : 12240593 I TÊN ĐỀ TÀI: VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: • Nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh phương pháp điều chỉnh Tikhonov • Áp dụng phương pháp Tikhonov giải lớp phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại • Áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải toán cụ thể III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/2014 IV - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 06/2014 V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS Nguyễn Văn Kính CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NGHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO PGS TS NGUYỄN VĂN KÍNH TRƯỞNG KHOA: LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn bày tỏ lịng kính trọng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Kính, Trưởng khoa Khoa học bản, trường Đại học Công nghiệp thực phẩm TP Hồ Chí Minh Thầy ln quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện giúp hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tất Thầy Cơ mơn Tốn ứng dụng - Khoa Khoa học ứng dụng, phòng Đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu suốt khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn tới tập thể bạn khóa 2012 lớp cao học Toán ứng dụng, người thân gia đình đồng hành, chia sẻ, động viên lúc tơi gặp khó khăn ln giúp đỡ tơi suốt trình học tập làm luận văn Đỗ Thị Thuý Vân i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn thực Các đoạn trích dẫn số liệu sử dụng dẫn nguồn có độ xác cao trog phạm vi hiểu biết Đỗ Thị Thuý Vân ii Mục lục Lời cảm ơn i Mục lục iii Bảng kí hiệu v Lời nói đầu vi KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert 1.1.1 Điều kiện liên tục ánh xạ tuyến tính : 1.1.2 Phổ tốn tử tuyến tính liên tục : 1.1.3 Toán tử liên hợp 1.1.4 Toán tử tự liên hợp toán tử chiếu 1.1.5 Phổ toán tử tự liên hợp 1.2 Toán tử compact 1.3 Toán tử ngược Moore-Penrose 1.4 Bài toán đặt chỉnh, tốn đặt khơng chỉnh 1.5 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov 1 1 14 15 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI 20 2.1 Phương trình Fredholm loại - Bài tốn đặt khơng chỉnh 20 2.2 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải lớp phương trình tích phân Fredholm loại 23 2.2.1 Thuật toán điều chỉnh máy tính 32 2.2.2 Rời rạc hóa tốn để tìm nghiệm xấp xỉ 35 2.3 Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm 36 Ứng dụng 39 iii Kết luận 41 Phụ lục 42 Tài liệu tham khảo 44 iv Bảng kí hiệu C[a,b] Khơng gian hàm liên tục [a,b] L2 [a, b] Khơng gian hàm bình phương khả tích [a,b] sup Cận inf Cận lim Giới hạn lim Giới hạn E⊥ Không gian trực giao E ⊕ Tổng trực tiếp L(X,Y) Tập tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(X) Tập tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X v LỜI NĨI ĐẦU Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, sinh thái dẫn đến việc giải toán mà nghiệm chúng không ổn định theo liệu ban đầu, nghĩa thay đổi nhỏ liệu dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) Do tính khơng ổn tốn đặt khơng chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Vì nảy sinh vấn đề tìm phương pháp giải ổn định cho tốn đặt khơng chỉnh cho sai số liệu đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn ban đầu Những người có cơng đặt móng cho lí thuyết tốn đặt khơng chỉnh A.N Tikhonov, M.M Lavrent’ev, J.J Lions, V.K.Ivanov, Mục đích luận văn nhằm nghiên cứu phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải tốn đặt khơng chỉnh mà có ứng dụng rộng rãi tốn phát sinh từ kĩ thuật Đó phương trình tích phân Fredholm loại b k(s, t)x(t)dt = g(s), s ∈ [c, d] , (Kx) (s) := a −∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞, nghiệm hàm x(t), vế phải g(s) hàm số cho trước nhân (hạch) k(s,t) tích phân với ∂k ∂s giả thiết hàm liên tục cho trước Nội dung luận văn gồm hai chương, phần ứng dụng, phần kết luận cuối phần tài liệu tham khảo Chương I giới thiệu số kiến thức tốn tử tuyến tính, tốn tử compact tốn đặt khơng chỉnh; đồng thời trình bày khái niệm tốn tử điều chỉnh phương pháp điều chỉnh Tikhonov trường hợp tổng quát Chương II toán tìm nghiệm phương trình Fredholm loại tốn đặt khơng chỉnh; trình bày nghiệm điều chỉnh phương trình tích phân tuyến tính loại tốc độ hội tụ nghiệm điều chỉnh Phần ứng dụng đưa số kết số minh họa vi Do thời gian trình độ có hạn nên khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm, đóng góp ý kiến q thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện vii Định lý 2.2.3 [4] Với α > g ∈ L2 [c, d] tồn b hàm xα (t) có đạo hàm (xα (t)) (xα (t)) dt < +∞ cho a Jα (xα , g) = inf Jα (x, g) x∈X1 Chứng minh Với α > cố định, Jα (x, g) ≥ 0, ∀x ∈ X1 Do đó, tồn dãy cực tiểu {xnα (t)} ⊂ X1 : lim Jα (xnα , g) = inf Jα (x, g) n→∞ x∈X1 Kí hiệu Jαn = Jα (xnα , g) Ta chọn dãy cực tiểu {xnα (t)} cho Jαn ≤ Jαn−1 , ∀n Khi đó, Ω (xnα (t)) ≤ Jα α, ∀n Như vậy, theo bổ đề 2.2.1, {xnα (t)} tập compact Do đó, tồn dãy con, kí hiệu {xnα (t)} , hội tụ [a,b] đến xα (t) ∈ X1 Bây giờ, ta chứng minh dãy dãy chuẩn X1 Giả sử vậy, tồn số dương dãy số m+pm nguyên {m, pm } cho xm (t) ≥ ε0 α (t) − xα m+pm m+pm Xét dãy ξαm = (xm ) Rõ ràng ξαm = Đặt βαm = xm α − xα α + xα m m+pm xm + 12 βαm α − βα = xα Jα (ξαm , g) = Kξαm − g 2L2 [c,d] + αΩ (ξαm ) = Kξαm − g L2 [c,d] x¯m α +α m − x¯m α , βα + βαm ≥ Mα0 Do dãy {xnα } hội tụ đến xα , ξαm − xα C[a,b] → ξαm − xm α C[a,b] → 0, m → Mặt khác, K tốn tử liên tục, suy Kξαm − g L2 [c,d] ≤ Kxm α −g L2 [c,d] + m+pm K xm α − xα L2 [c,d] ∆m → 0, m → ∞ Do m α − xm α , βα 1+ m β α m ≥ Jα0 − Jαm − |∆m | := ∆2 , m ∆m > ∆2 → 0, m → ∞ m Tương tự, thay ξαm = xm+p + 21 βαm ta α α m xm α , βα 1+ m β α 30 ≥ ∆m , + ∆m m ∆m > ∆3 → 0, m → Cộng hai bất đẳng thức cuối ta có m m+pm m − xm , βαm + βα ≥ − (∆m α − xα + ∆3 ) hay m − βαm 21 ≥ − (∆m + ∆3 ) 2 m m+pm m Dẫn đến βαm = xm α − xα ≤ (∆2 + ∆3 ) → 0, m → ∞ Suy phải tồn m (ε0 ) : m > m (ε0 ) , ε0 m+pm xm < α − xα m+pm Điều mâu thuẫn với xm (t) ≥ ε0 Như vậy, {xnα } α (t) − xα dãy Cauchy không gian đầy đủ W21 Do xnαk hội tụ đến hàm xα thuộc X1 Do dãy {xnα } hội tụ δ [a,b] đến xα ∈ Q1 Cho nên xα = xα ✷ Như vậy, với g ∈ L2 [c, d] α > ta xác định toán tử R(g, α) theo qui tắc xα = R(g, α), xα phần tử cực tiểu phiếm hàm Jα (x, g) X1 Để chứng tỏ R(g, α) thuật toán hiệu chỉnh phải mối quan hệ α = α (δ) cho phần tử xα(δ) làm cực tiểu phiếm hàm Jα x, g δ hội tụ đến xo (t) X1 Điều khẳng định định lí sau Định lý 2.2.4 [4] Giả sử ∀δ > 0, g δ ∈ L2 [c, d] hàm β1 (δ) , β2 (δ) thỏa mãn điều kiện β2 (0) = 0, δ ≤ β1 (δ) β2 (δ) , δ ∈ (0, δ1 ] hàm số dương, liên tục giảm dần tới khơng Khi đó, với α = α (δ) : δ2 ≤ α (δ) ≤ β2 (δ) , β1 (δ) ta có max xα(δ) (t) − x0 (t) → t∈[a,b] Chứng minh Vì Jα x, g δ đạt giá trị cực tiểu x = xα(δ) , Jα xα , g δ ≤ Jα x0 , g δ Mặt khác, αΩ (xα ) ≤ Jα xα , g δ ≤ Jα x0 , g δ = Kx0 − g δ ≤ g − gδ 31 L2 [c,d] L2 [c,d] + αΩ (x0 ) + αΩ (x0 ) ≤ δ + αΩ (x0 ) = α α = α (δ) Do δ2 β1 (δ) δ2 α + Ω (x0 ) , ≤ α (δ) , δ2 ≤ β1 (δ) ≤ β1 (δ1 ) α δ2 + Ω (x0 ) ≤ β1 (δ) + Ω (x0 ) := d α Như vậy, Ω (xα ) ≤ d, Ω (x0 ) ≤ d Có nghĩa {xα } , x0 thuộc Φ Gọi g δn ⊂ L2 [c, d], g δn − g L2 [c,d] ≤ δn → n → ∞ Khi đó, tồn dãy {xαn } ⊂ X1 với αn = α (δn ) làm cực tiểu phiếm hàm Jαn x, g δn Ω (xαn ) ≤ d Theo bổ đề 2.2.1 tồn dãy {xαn } hội tụ [a,b] đến hàm x(t) Để cho đơn giản, giữ ngun kí hiệu cho dãy con, ta có ≤ Kxαn − g ≤ ≤ ≤ Kxαn − g δn L2 [c,d] + δn Jαn (xαn , g δn ) + δn Jαn (x0 , g δn ) + δn Kx0 − g ≤ ≤ L2 [c,d] L2 [a,b] + δn + αn Ω (x0 ) + δn δn2 + αn Ω (x0 ) + δn Vì αn ≤ β2 (δn ) , ≤ Kxαn − g L2 [c,d] ≤ δn2 + β2 (δn ) Ω (x0 ) + δn → Do {xαn } hội tụ [a,b] đến x (t) , Tức Kx − g = Điều nói lên x (2.2.1) Từ tính nghiệm (2.2.1) suy dàng nhận thấy dãy hội tụ xα(δ) Cho nên dãy xα(δ) hội tụ đến x0 ✷ 2.2.1 Kx − g L2 [c,d] = nghiệm x = x0 Qua đó, dễ hội tụ đến x0 Thuật toán điều chỉnh máy tính Lấy tích phân phần ta b b q (t) x2 (t) dt − Ω (x) = a x (t) (p (t) x (t)) dt a 32 +p (b) x (b) x (b) − p (a) x (a) x (a) = x, Lx + p (b) x (b) x (b) − p (a) x (a) x (a) , Lx (t) = q (t) x (t) − (p (t) x (t)) cịn tích vơ hướng b x (t) Lx (t) dt x, Lx = a d Jα x, g δ =  k (s, t) x (t) dt − g δ (t) ds + α x, Lx  c 2 b a +α [p (b) x (b) x (b) − p (a) x (a) x (a)] Nếu xα làm cực tiểu Jα x, g δ xα nghiệm phương trình d Jα x + Υυ, g δ dΥ = Υ=0 Từ suy d dΥ d b k (s, t) [x (t) + Υυ (t)] dt − g δ (s) c ds a d +α dΥ x + Υυ, L (x + Υυ) Υ=0 d +α dΥ (p (b) x (b) x (b) − p (a) x (a) x (a)) = Kí hiệu K ∗ v (t) = d k (s, t) v (s) ds, c K ∗ Kx (t) = b k (t, s)x (s) ds, a d k (t, s) = k (µ, t) k (µ, s) dµ c Điều kiện đạo hàm cho ta K ∗ Kx + αLx = K ∗ g δ 33 Υ=0 p(b) [x(b)v (b) + x (b)v(b)] − p(a) [x(a)v (a) + x (a)v(a)] = Như vậy, nghiệm xấp xỉ (điều chỉnh) xα(δ) nghiệm phương trình vi tích phân b α {q (t) x (t) − p (t) x (t)} + k(t, s)x (s) ds = f (t), a d k(s, t)g δ (s) ds f (t) = c thỏa mãn điều kiện sau i) x(a) = x(b) = 0, ii) x(a) = x (b) = 0, iii)x (a) = x(b) = 0, iv) x (a) = x (b) = Chú ý Điều kiện biên nghiệm tính chất tốn thực tế đặt Ta dùng phép biến đổi sau để nghiệm có điều kiện biên Nếu x (a) = x1 , x (b) = x2 , ta đặt x2 x1 x (t) = x (t) + (t − a) + (b − t) b−a b−a Khi đó, dễ dàng kiểm tra x (a) = 0, x (b) = Nếu x (a) = m1 , x (b) = m2 , ta đặt m1 m2 x (t) = x (t) − (b − t)2 + (t − a)2 (b − a) (b − a) Khi đó, dễ dàng kiểm tra x (a) = 0, x (b) = Nếu x (a) = x1 , x (b) = m2 đặt m2 x (t) = x (t) + x1 + (t − a)2 , (b − a) ta x (a) = 0, x (b) = Trường hợp lại làm tương tự 34 2.2.2 Rời rạc hóa tốn để tìm nghiệm xấp xỉ Ta xét trình rời rạc hóa để nghiệm xấp xỉ Để cho đơn giản lấy b x2 (t) + p(x (t)) Ω (x) = dt a p số dương Giả thiết nghiệm xác x(t) ∈ X1 thỏa mãn điều kiện x (a) = x (b) = Khi đó, nghiệm xấp xỉ xα (t) xác định từ phương trình b k (t, s)x (s) ds + α (x (t) − px (t)) = f (t), a x (a) = x (b) = 0, d k(t, s) = k(µ, t)k (µ, s) dµ, c d k(s, t)g δ (s)ds f (t) = c Chia [a,b] làm n khoảng với bước chia h = b−a n xét mốc chia ti = a + h + (i − 1)h, i = 1, 2, , n Thay tích phân cơng thức hình chữ nhật x tỉ sai phân biểu thức n j=1 −xi+1 = fi , k (ti , sj )hxj + αxi + α 2xi −xi−1 h2 d k (s, ti ) g δ (s) ds i = 1, 2, , n; fi = c Cũng cần lưu ý bước chia lưới theo biến s t khác Khi cho i = i = n, hai tham số x0 xn+1 khơng xác định Để cho điều kiện biên thỏa mãn ta lấy x0 = x1 , xn+1 = xn Kí hiệu B = [bi,j ] , i, j = 1, , n với bij = k (ti , sj )h, ta có hệ phương trình đại số tuyến tính Bα xn = Bxn + αCxn = f n , 35 vectơ xn f n vectơ cột n chiều, xn = (x1 , x2 , xn )T f n = (f1 , f2 , , fn )   α + h12 − hα2 0   α + h22 − hα2 0 − hα2     C=    α   − h2 0 α + h2 α 0 − h2 α + h2 Như vậy, ta có Bα ma trận đối xứng xác định dương 2.3 Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm Như biết, phương trình tích phân (Kx) (s) = k (s, t) x (t) dt = g (s) (2.3.1) tốn khơng chỉnh, R(K) khơng hữu hạn chiều Ta giả thiết có g (s) ∈ R(K), tức (2.3.1) có nghiệm theo nghĩa thơng thường Đặt K = K ∗ K Khi xét bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 [4] Nếu α > w(t) ∈ L2 [0, 1] 1 −1 −1 αI + K k (t, ) w (t) dt = αI + K k (t, ) w (t) dt 0 Chứng minh Thật vậy, kí hiệu vế trái phải đẳng thức tương ứng a b Do K toán tử tự liên hợp nên αI + K với α > toán tử liên hợp xác định dương, ta cần chứng minh αI + K b = αI + K a Ta bắt đầu với −1 αI + K b = α αI + K 36 k (t, ) w (t) dt −1 αI + K +K k (t, ) w (t) dt Số hạng thứ hai thuộc vế phải đẳng thức tích phân bội Ta thay đổi thứ tự tích phân nhận −1 αI + K b = αI + K αI + K k (t, ) w (t) dt = k (t, ) w (t) dt −1 = αI + K αI + K k (t, ) w (t) dt = αI + K a.✷ Định lý 2.3.1 [4] Nếu x0 (t) ∈ R K , α = O (δ) , tồn hàm hai biến Ut (.) ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1]) cho k (t, s) = KUt (.) (s) , x0 − xδα L2 = O (δ) , xδα nghiệm điều chỉnh phương trình (2.3.1) Chứng minh Do x0 − xδα L2 ≤ x0 − xβ L2 + xα − xδα L2 , số hạng thứ vế phải có bậc xấp xỉ O (α) = O (δ) (xem [4]) theo điều kiện định lí này, ta đánh giá bậc số hạng thứ hai vế phải bất đẳng thức Sử dụng bổ đề 2.3.1, ta xα − xδα −1 = αI + K = K g (t) − g δ (t) −1 αI + K = −1 αI + K k (t, ) g − g δ dt KUt (.) g (t) − g δ (t) dt, δ g xấp xỉ g thỏa mãn g − gδ L2 [0,1] 37 ≤ δ −1 Do αI + K K ≤ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có  2 −1 xα − xδα ≤ αI + K  1 ≤ ≤ −1 g (t) − g δ (t) dt ds 0 Ut (.) KUt (.) dt αI + K KUt (.) g (t) − g δ (t) dt ds L2 δ ds = O δ ✷ Để nghiên cứu trình xấp xỉ hữu hạn chiều, ta giả thiết có dãy khơng gian hữu hạn chiều Vm ⊆ L2 [0, 1] đặt γn = K (I − Pm ) = (I − Pm ) K ∗ L2 L2 , K ∗ liên hợp K Pm phép chiếu vng góc lên Vm kí hiệu xδm,α cịn Km = K|Vm Ta có kết sau Định lý 2.3.2 [4] Cho x0 ∈ R K , γm = O (α) , α = O (δ) tồn họ hàm giới nội Um,t (.) ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1]) cho Km (t, s) = Km Um,t (.) (s) Khi x0 − xδm,α L2 = O (δ) Ta nhận thấy tốc độ hội tụ nghiệm điều chỉnh tốt O δ 2/3 R(K) hữu hạn chiều 38 ỨNG DỤNG Ví dụ : Xét phương trình tích phân sau : k(t, s)x(s)ds = f (t) Trong không gian L2 [0, 1] với k (t, s) = t (1 − s) t ≤ s, s (1 − t) t > s Nếu chọn x(t) = sin(2t + 1) f (t) = (sin (2t + 1) + t (sin1 − sin3) − 2sin1) Ta chia [0,1] làm n khoảng với bước chia h = mốc chia si = a + h + (i − 1) h, i = 1, 2, , n Khi ta có hệ phương trình : (B + αC) xn = g n Giải hệ ta có kết số sau : Với α = 0.0001, số điểm chia n = 39 n xét Với α = 0.0001, số điểm chia n = 10 40 KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến vấn đề sau : 1/ Tìm hiểu trình bày khái niệm tốn đặt chỉnh đặt khơng chỉnh 2/ Tìm hiểu trình bày phần lí thuyết phương pháp điều chỉnh tổng quát, đặc biệt phương pháp điều chỉnh Tikhonov tìm nghiệm gần tốn tuyến tính khơng gian Hilbert 3/ Trình bày phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải lớp phương trình tích phân tuyến tính loại Trong phần tập trung đọc hiểu, trình bày làm rõ kết tài liệu [1] [4] 4/ Trình bày số ví dụ áp dụng Mặc dù có cố gắng nỗ lực, nhiên thời gian trình độ thân cịn hạn chế nên khó tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến đóng góp q Thầy Cơ bạn đọc để hồn thiện 41 PHỤ LỤC f unction test tikh n = 10; N = n; h = 1/n; h2 = h2 ; t = 2/3; A = zeros(N, N ); f ori = : N A(i, i) = h2 ∗ ((i2 − i + 0.25) ∗ h − (i − t)); f orj = : i − A(i, j) = h2 ∗ (j − 0.5) ∗ ((i − 0.5) ∗ h − 1); end end A = A + tril(A, −1) ; norm(A) bp = zeros(N, 1); f ori = : n st = i ∗ h; bp(i) = (1/4) ∗ (sin(2 ∗ st + 1) + st ∗ (sin(1) − sin(3)) − sin(1)); e = 1e − ∗ randn(size(bp)); end norm(e); b = bp + e; x0 = 0; [U,s,V] = csvd(A); lambda = 0.05; if (min(lambda) < 0) error( Illegalregularizationparameterlambda ) end m = size(U, 1); 42 n = size(V, 1); [p,ps] = size(s); beta = U (:, : p) ∗ b; zeta = s(:, 1) ∗ beta; xl ambda = 0.5 ∗ ones(N, 1); rho = zeros(1, 1); eta = zeros(1, 1); f ori = : xl ambda(:, i) = V (:, : p) ∗ (zeta./(s.2 + lambda(i)2 )); rho(i) = lambda(i)2 ∗ norm(beta./(s.2 + lambda(i)2 )); eta(i) = norm(xl ambda(:, i)); end g = inline( sin(2 ∗ q + 1) ); i = : n; q = i/n; plot(q, abs(xl ambda(i)), : ); holdon 43 Tài liệu tham khảo [1] C W Groetsch, The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equations of the first kind, The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equations of the first kind, 1984 [2] C W Groetsch, Elements of Applicable Functional Analysis, United States of America, 1982 [3] Heinz W Engl, Martin Hanke and Andreas Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer, 2002 [4] Phạm Kỳ Anh, Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXBĐHQGHN, 2007 [5] Phan Đức Chính, Giải tích hàm,NXBGD, 1978 [6] Nguyễn Hiếu Định, Tối ưu hoá việc chọn sau tham số điều chỉnh Tikhonov giải toán phi tuyến đặt không chỉnh,2013 44 ... chỉnh Tikhonov 1 1 14 15 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI 20 2 .1 Phương trình Fredholm loại -... g0 − g1 L2 [c,d] nhỏ cho kết x0 − x1 L2 [a,b] lớn Tóm lại, phương trình tích phân Fredholm loại tốn đặt không chỉnh 22 2.2 Phương pháp điều chỉnh Tikhonov giải lớp phương trình tích phân Fredholm. .. PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH TIKHONOV GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: • Nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh phương pháp điều chỉnh Tikhonov • Áp dụng phương pháp Tikhonov