Về tính ổn định của một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến với chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  NGUYỄN THU HỒNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VỚI CHẬM CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ : 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2014 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG TP HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc Cán nhận xét 1: Cán nhận xét 2: Luận văn Thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 31 tháng 07 năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn Thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Thư kí: TS Nguyễn Quốc Lân Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Văn Kính Ủy viên: PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập – Tự – Hạnh phúc Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 01 năm 2014 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : Nguyễn Thu Hồng Phái Ngày sinh Nơi sinh : Tp Hồ Chí Minh : 16/01/1986 Chuyên ngành : Toán ứng dụng : Nữ MSHV : 12240571 I – TÊN ĐỀ TÀI: VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VỚI CHẬM II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:  Nghiên cứu vài điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định mũ lớp hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến có chậm phụ thuộc vào thời gian  Áp dụng kết thu đƣợc vào việc nghiên cứu tính ổn định mũ điểm cân mơ hình mạng nơron nhân tạo III – NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/2014 IV – NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 06/2014 V – CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc PGS.TS Nguyễn Đình Huy TRƯỞNG KHOA TS Huỳnh Quang Linh MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương I Kiến thức bổ trợ Chương II Tiêu chuẩn ổn định mũ cho số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm 11 Chương III Ổn định mũ điểm cân mơ hình mạng nơron nhân tạo 25 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc, Thầy hướng dẫn nhiệt tình, tạo điều kiện cung cấp cho thêm kiến thức, nguồn tài liệu tham khảo suốt q trình tơi thực hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy Bộ mơn Tốn ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa NCS Cao Thanh Tình, NCS Lê Trung Hiếu truyền đạt kiến thức kinh nghiệm để tơi hồn thành luận văn tốt Tơi xin cảm ơn bạn lớp cao học Toán ứng dụng khóa 2012 có đóng góp, trao đổi trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, trình thực luận văn khó tránh thiếu sót, mong nhận đóng góp q Thầy Cơ bạn đọc để bổ sung hoàn thiện luận văn tốt Xin chân thành cảm ơn Tp.HCM, ngày 20 tháng 06 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thu Hồng LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân có lịch sử 100 năm, bắt đầu với cơng trình nhà Tốn học tiếng người Nga Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918): - On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in 1884, Russian); - General problem of the stability of motion (1892, in Russian) Hơn 100 năm qua, thúc đẩy nhiều ứng dụng ngành khoa học khác nhau, toán ổn định ổn định vững hệ động lực vấn đề trung tâm lý thuyết điều khiển hệ động lực nhà Toán học, Cơ học, Kỹ thuật, , quan tâm nghiên cứu Các hệ phương trình vi phân có chậm lớp hệ có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật Chúng sử dụng mơ hình cho loạt tượng Vật lý, Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, (xem tài liệu tham khảo [8], [15]) Nói riêng, lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng có chậm (linear time-invariant differential systems with delay) phát triển cách gần hoàn chỉnh Khác với toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng, tốn ổn định hệ phương trình vi phân có chậm (tuyến tính, phi tuyến) phụ thuộc thời gian (time-varying differential systems with delay) thường khó phức tạp Cách tiếp cận truyền thống toán xây dựng hàm LyapunovKrasovskii cho hệ xét, nhiên cơng việc khó khăn thông thường kết cho dạng bất đẳng thức ma trận phức tạp khó sử dụng Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định hệ phương trình vi phân có chậm phụ thuộc thời gian khơng có nhiều để tìm tiêu chuẩn ổn định địi hỏi phải có ý tưởng đột phá mặt kỹ thuật, xem [11]-[13] Mục đích luận văn trình bày vài điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định mũ lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm áp dụng kết thu vào việc nghiên cứu tính ổn định mũ điểm cân hệ nơron nhân tạo Các kết luận văn trích từ tài liệu tham khảo [11] Đóng góp tác giả luận văn việc giả thiết tính dương Định lý 2.2 [11] thừa, bỏ tìm ví dụ minh họa Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương danh mục tài liệu tham khảo Cấu trúc luận văn trình bày sau: Lời nói đầu Chương 1: Kiến thức bổ trợ Chương 2: Tiêu chuẩn ổn định mũ cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm Chương 3: Ổn định mũ điểm cân mơ hình mạng nơron nhân tạo Kết luận Tài liệu tham khảo Một cách cụ thể hơn, Chương dành để trình bày số kiến thức bổ trợ dùng chương sau Chương trình bày kết luận văn Cụ thể chúng tơi trình bày vài tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm (xem Định lý 2.2, 2.4, 2.5) Trong Chương 3, áp dụng kết thu Chương để nghiên cứu tính ổn định mũ điểm cân mơ hình mạng nơron nhân tạo Các vấn đề trình bày luận văn mới, có ý nghĩa khoa học thời Các kết đóng góp có ý nghĩa lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân có chậm CHƯƠNG I KIẾN THỨC BỔ TRỢ Cho N tập hợp số tự nhiên Với m ∈ N cho trước, ta kí hiệu m := {1, 2, , m} Với số nguyên cho trước l, q ≥ 1, Rl không gian vectơ l chiều R Rl×q tập hợp tất ma trận thực l hàng, q cột Các bất đẳng thức ma trận thực (hoặc vectơ thực) hiểu theo thành phần Điều có nghĩa là: Với A = (aij ) B = (bij ) Rl×q , A ≥ B aij ≥ bij với i = 1, 2, , l , j = 1, 2, , q Đặc biệt aij > bij với i = 1, 2, , l B thay cho A ≥ B Kí hiệu Rl×q + tập j = 1, 2, , q ta viết A hợp tất ma trận khơng âm Với x ∈ Rn ; P ∈ Rl×q cho trước, ta định nghĩa: |x| = (|xi |)và |P | = (|pij |) Một chuẩn · Rn gọi đơn điệu x ≤ y với x, y ∈ Rn , |x| ≤ |y| Rõ ràng rằng, p-chuẩn Rn : x p = (|x1 |p + |x2 |p + + |xn |p ) p , ≤ p < ∞ x ∞ = maxi=1,2, ,n |xi | chuẩn đơn điệu Với ma trận M ∈ Rn×n hồnh độ phổ M định nghĩa µ(M ) := max{Re λ : λ ∈ σ(M )}, với σ(M ) := {z ∈ C : det(zIn − M ) = 0} tập tất giá trị riêng ma trận M (phổ ma trận M ) Một ma trận M ∈ Rn×n gọi ma trận Metzler phần tử nằm đường chéo ma trận M khơng âm Định lý sau tổng kết vài tính chất quan trọng ma trận Metzler chúng dùng chương sau Định lý 1.1 [16] Giả sử M ∈ Rn×n ma trận Metzler Khi đó: (i) (Định lý Perron-Frobenius) µ(M ) giá trị riêng M tồn vector riêng x ≥ 0, x = cho M x = µ(M )x (ii) Cho trước α ∈ R Khi đó, tồn vectơ khác không x ∈ Rn+ cho M x ≥ αx µ(M ) ≥ α (iii) (tIn − M )−1 tồn khơng âm t > µ(M ) n×n (iv) Giả sử B ∈ R+ , D ∈ Cnìn cho trc Nu |D| B thỡ à(M + D) ≤ µ(M + B) Định lý sau đóng vai trị quan trọng chứng minh kết Chương Định lý 1.2 Cho M ∈ Rn×n ma trận Metzler Các khẳng định sau tương đương: (i) µ(M ) < 0; (ii) ∃p ∈ Rn+ : M p 0; (iii) M khả nghịch M −1 ≤ 0; (iv) Với b ∈ Rn , b tồn x ∈ Rn+ cho M x + b = 0; (v) Với x ∈ Rn+ \{0}, vectơ hàng xT M có phần tử âm (ii) A(·) , Ak (·) : R → Rn×n , k ∈ m B(·) : [−h, 0] → Rn×n hàm liên tục cho trước; (iii) G(· ; ·) : R × Rn → Rn hàm liên tục thỏa G(t; 0) = , ∀t ∈ R liên tục Lipschitz đối số thứ hai tập compact R × Rn Định lý sau hệ trực tiếp Định lý 2.2 )∈ Định lý 2.5 Cho A(t) := (aij (t)), t ∈ R Giả sử tồn A0 := (a(0) ij n×n Rn×n Ak ∈ R+ , k ∈ m + cho (0) (0) aii (t) ≤ aii , ∀t ∈ R ; |aij (t)| ≤ aij , ∀t ∈ R, ∀i = j, i, j ∈ n |Ak (t)| ≤ Ak , ∀t ∈ R, k ∈ m ; |G(t; u)| ≤ Am+1 |u| , ∀u ∈ Rn , ∀t ∈ R Nếu ma trận m M := A0 + Am+1 |B(s)| ds Ak + −h k=1 thỏa điều kiện tương đương (i)-(v) Định lý 1.2 (2.14) ổn định mũ toàn cục Chú ý 2.6 Trong Định lý 2.5, giả thiết |Ak (t)| ≤ Ak , ∀t ∈ R; k ∈ m thay điều kiện chặt : m |Ak (t)| ≤ M0 , ∀t ∈ R k=1 20 Trong trường hợp ma trận M Định lý 2.5 xác định M := A0 + M0 + −h Am+1 |B(s)| ds Định lý sau hệ trực tiếp Định lý 2.5 Chú ý 2.6 Định lý 2.7 Giả sử Ai (.) : R → Rn×n , i ∈ {0, 1, 2, , m} hi (.) : R → R+ , i ∈ {0, 1, 2, , m}; < hi (t) ≤ h, t ∈ R hàm số liên tục cho trước Khi hệ tuyến tính: m y (t) = A0 (t)y(t) + Ai (t)y(t − hi (t)) , t ∈ R, i=1 ) ∈ Rn×n B0 ∈ ổn định mũ tồn ma trận A0 := (a(0) ij Rn×n cho + (0) (0) a0 ii (t) ≤ aii , ∀t ∈ R ; a0 ij (t) ≤ aij , ∀t ∈ R, ∀i = j, i, j ∈ n; (A0 (t) := (a0 ij (t)), t ∈ R) m |Ai (t)| ≤ B0 , ∀t ∈ R; µ(A0 + B0 ) < i=1 Chú ý 2.8 (i) Đặc biệt, A(·) ≡ A0 ∈ Rn×n ma trận Metzler, Ak (·) ≡ Ak ∈ Rn×n k ∈ m ma trận không âm, Định lý 2.7 thu kết + [9, Định lý 1] (ii) Trong sách kinh điển phương trình vi phân phiếm hàm J.Hale [7], tác giả phương trình vi phân có chậm m x (t) = −a(t)x(t) − bk (t)x(t − hk (t)), k=1 21 với (0 ≤ hk (t) ≤ h), ổn định mũ toàn cục nếu: a(t) ≥ δ > 0, ∀t ∈ R; m |bk (t)| < γδ, ∀t ∈ R, < γ < k=1 Chứng minh J.Hale [12] dựa phiếm hàm loại Razumikhin Tuy nhiên, kết suy từ Định lý 2.7 Bây giờ, xét ví dụ minh họa Ví dụ 2.9 Xét phương trình vi phân phụ thuộc vào thời gian có chậm x (t) = (−2 + sin t)x(t)+ ae −t2 2 2 es x(t + s)ds x(t) + b(cos t) x(t − h(t)) + c (2.15) −h(t) với a, b, c ≥ tham số h(·) : R → R+ hàm liên tục thỏa < h(t) ≤ h , ∀t ∈ R với h > Rõ ràng (2.15) phương trình vi phân có chậm dạng (2.1) với a(t) := −2 + sin t, t ∈ R, F (t; u1 , u2 , u3 ) := ae−t2 u21 + b(cos(t))2 u22 + cu23 , t ∈ R , u1 , u2 , u3 ∈ R Dễ dàng thấy a(t) := −2 + sin t ≤ −1 , t ∈ R F thỏa mãn bất đẳng thức: ae−t2 u21 + b(cos(t))2 u22 + cu23 √ √ √ ≤ a |u1 | + b |u2 | + c |u3 | F (t; u1 , u2 , u3 ) = 22 |F (t; u1 , u2 , u3 ) − F (t; v1 , v2 , v3 )| ≤ √ √ √ a |u1 − v1 |+ b |u2 − v2 |+ c |u3 − v3 | với ∀t ∈ R ∀ui , vi ∈ R , i ∈ {1, 2, 3} Do tất giả thiết Định lý 2.2 nghiệm Vì (2.15) ổn định mũ tồn cục nếu: −1 + √ √ a+ b+ √ es ds < 0, c −h −1 + √ √ a+ b+ √ c − e−h < Ví dụ 2.10 Xét hệ nơron tế bào (cellular neural network) mơ tả hệ phương trình vi phân: n aij gj (uj (t − τij )) + Ji , i ∈ n u i (t) = −bi ui (t) + (2.16) j=1 Giả sử rằng: (A1 ) Với j ∈ n, gj (.) liên tục Lipschitz toàn cục, nghĩa tồn Lj ≥ cho |gj (uj ) − gj (vj )| ≤ Lj |uj − vj | , ∀uj , vj ∈ R; (A2 ) Với j ∈ n, tồn Mj ≥ cho |gj (u)| ≤ Mj , ∀u ∈ R Khi hệ (2.16) có điểm cân Hơn nữa, điểm cân ổn định mũ toàn cục nếu: n |aij | < bj , ∀j ∈ n − Lj (2.17) i=1 Trước tiên rằng, tồn điểm cân u∗ hệ nơron 23 Xét ánh xạ G : Rn → Rn xác định bởi: u := (u1 , , un )T → G(u) := (y1 , , yn )T , với yi := bi n aij gj (uj ) + Ji , i ∈ n Dễ dàng thấy j=1 rằng: 1 |yi − Ji | ≤ bi bi n Mj |aij | := ri , i ∈ n j=1 Như G liên tục ánh xạ hình hộp: H := {(u1 , , un )T ∈ Rn : |ui − Ji | ≤ ri , i ∈ n} bi vào Theo định lý điểm bất động Brouwer, tồn điểm bất động u∗ := (u1 ∗ , , u2 ∗ )T ∈ Rn ánh xạ G Dễ thấy, điểm cân hệ xét Bây giờ, u∗ ổn định mũ tồn cục Điều có nghĩa là: Tồn số dương K, β cho ||u(t; σ, φ) − u∗ || ≤ Ke−β(t−σ) ||φ||, ∀t ≥ σ Đặt y(·) := u(·) − u∗ Khi hàm y thỏa mãn phương trình: n y i (t) = −bi yi (t) + aij sj (yj (t − τij ))) , i ∈ n (2.18) j=1 sj (uj ) := gj (uj + u∗j ) − gj (u∗j ), j ∈ n Rõ ràng u∗ ổn định mũ toàn cục nghiệm không (2.18) ổn định mũ Tuy nhiên dễ dàng kiểm tra (2.17) kéo theo hệ (2.18) thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2 Vì nghiệm không (2.18) ổn định mũ Trong chương sau, chúng tơi trình bày cách chi tiết mở rộng kết cho mạng nơron phụ thuộc thời gian 24 CHƯƠNG III ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG TRONG MƠ HÌNH CÁC MẠNG NƠRON NHÂN TẠO Trong chương sử dụng kết thu Chương để nghiên cứu tính ổn định mũ điểm cân mơ hình mạng nơron nhân tạo Cần ý toán ổn định mũ điểm cân mạng nơron nhân tạo có nhiều ứng dụng quan trọng kỹ thuật chẳng hạn q trình xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, tốn tối ưu tồn phương, tính tốn song song, lý thuyết nhận dạng, Chính tốn thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà nghiên cứu suốt nhiều thập kĩ qua, xem chẳng hạn [2], [3], [20], [21] Xét mạng nơron nhân tạo mô tả hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm n xi (t) = −ci (t)xi (t) + aij (t)gj (xj (t))+ j=1 n bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t) , i ∈ n j=1 Trong đó: - n số đơn vị mạng nơron này; - xi (t) vectơ trạng thái đơn vị thứ i thời điểm t; 25 (3.1) - ci (t) biểu diễn tốc độ mà đơn vị thứ i khơi phục lại tiềm từ trạng thái nghỉ ngơi bị ngắt khỏi hệ thống đầu vào bên ngoài; - gj (xj (t)) đầu đơn vị thứ j thời điểm t; - aij (t) tác động đơn vị thứ j lên đơn vị thứ i thời điểm t; - bij (t) kí hiệu tác động đơn vị thứ j lên đơn vị thứ i thời điểm t − τij (t), τij (t) ≥ tương ứng với việc chậm truyền tín hiệu đơn vị thứ i dọc theo sợi trục đơn vị thứ j thời điểm t; - Ii (t) kí hiệu tác động hổ trợ bên ngồi lên đơn vị thứ i thời điểm t Giả sử gi (·), ci (·), Ii (·), aij (·), bij (·), τij (·) : R → R (i, j ∈ n) hàm liên tục aij := sup |aij (t)| , bij := sup |bij (t)| , t∈R t∈R h := max {sup |τij (t)|} i, j ∈ n i,j∈n t∈R giá trị hữu hạn Xa nữa, giả sử: (A1 ) x∗ := (x∗1 , x∗2 , , x∗n )T ∈ Rn điểm cân (3.1); (A2 ) Với i ∈ n, tồn ci > cho ci (t) ≥ ci , ∀t ∈ R; (A3 ) Với j ∈ n, tồn pj ≥ cho |gj (uj ) − gj (vj )| ≤ pj |uj − vj | , ∀uj , vj ∈ R; 26 (A4 ) D − In ma trận ổn định với D := (dij ) ∈ Rn×n aij + bij pj , i, j ∈ n dij = c−1 i Chúng ta x∗ ổn định mũ tồn cục Điều có nghĩa là: Tồn số dương K, β cho ||x(t; σ, φ) − x∗ || ≤ Ke−β(t−σ) ||φ||, ∀t ≥ σ Đặt u(·) := x(·) − x∗ Khi hàm u thỏa mãn phương trình: n ui (t) = −ci (t)ui (t) + aij (t)sj (uj (t))+ j=1 n bij (t)sj (uj (t − τij (t))) , i ∈ n, j=1 sj (uj ) := gj (uj + x∗j ) − gj (x∗j ) , j ∈ n Chú ý (2.17) trường hợp riêng (2.1) với A(t) := −diag(c1 (t), c2 (t), , cn (t)) ∈ Rn×n F (t, u(t), u(t − τ11 (t)), u(t − τ12 (t)), , u(t − τnn (t))) n = n bij (t)sj (uj (t − τij (t)) aij (t)sj (uj (t)) + j=1 j=1 Từ giả thiết (A3 ) suy |sj (uj )| ≤ pj |uj | 27 (3.2) với uj ∈ R, j ∈ n Vì n |F (t, x(t), x(t − τ11 (t)), , x(t − τnn (t)))| ≤ A1 |x(t)|+ Aij |x(t − τij (t))| i,j=1 Trong đó: A1 := (ars ps ) ∈ Rn×n Aij := (εrs ) ∈ Rn×n , εrs = bij pj r = i, s = j, ngược lại εrs = Đặt A0 := −diag(c1 , , cn ) ∈ Rnxn Do (A4 ) , D − In ma trận Metzler ổn định theo Định lý 2.2 tồn u := (u1 , u2 , , un )T ∈ Rn+ , ui > , i ∈ n cho: (D − In )u Điều dẫn đến n c−1 aij + bij pj − δij uj < , ∀i ∈ n i j=1 với δij = i = j, ngược lại δij = Do n aij + bij pj − ci δij uj < , ∀i ∈ n j=1 28 Do Định lý 2.2, ma trận Metzler n A0 + A1 + Aij i,j=1 ổn định Và nghiệm không (3.2) ổn định mũ toàn cục, theo Định lý 2.2 Điều kéo theo điểm cân x∗ (3.1) ổn định mũ toàn cục Để kết thúc chương xét ví dụ cụ thể Ví dụ 3.1 Xét mạng nơron xác định bởi:    x1 (t) = −x1 (t) + sin( x1 (t − h1 )) + sin( x2 (t − h2 )) + J1   x2 (t) = −x2 (t) + sin( x1 (t − h1 )) − sin( x2 (t − h2 )) + J2 , với J1 , J2 số thực cho trước Chúng ta rằng, mạng nơron có điểm cân ổn định mũ tồn cục Chú ý rằng, x∗ := (x1 ∗ , x2 ∗ )T ∈ R2 , điểm cân hệ nói trên, nếu: 1 x∗1 = sin( x∗1 ) + sin( x∗2 ) + J1 1 x∗2 = sin( x∗1 ) − sin( x∗2 ) + J2 Xét ánh xạ F : R2 → R2 xác định bởi: x := (x1 , x2 )T → F (x) := (y1 , y2 )T , với 1 y1 := sin( x1 ) + sin( x2 ) + J1 ; 1 y2 := sin( x1 ) − sin( x2 ) + J2 Dễ dàng thấy rằng: |y1 − J1 | ≤ 2; |y2 − J2 | ≤ Như F liên tục 29 ánh xạ hình hộp P := {(x1 , x2 )T : |x1 − J1 | ≤ 2; |x2 − J2 | ≤ 2} vào Theo định lý điểm bất động Brouwer, tồn điểm bất động x∗ := (x1 ∗ , x2 ∗ )T ∈ R2 ánh xạ F Đây điểm cân hệ xét Xét ma trận: A0 := diag(−1, −1) ∈ R2×2 ; A11 := 0 ; A12 := 0 ; A21 := 0 0 ; A22 := Và ta có: A0 + A11 + A12 + A21 + A22 := −1 + 5 −1 + Ta suy ra: (A0 + A11 + A12 + A21 + A22 )p 0, với p := (1, 1)T ∈ R2 , p Suy ra, ma trận Metzler A0 + A11 + A12 + A21 + A22 , ổn định, theo Định lý 1.2 Và vậy, điểm cân hệ xét ổn định mũ tồn cục 30 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vài kết toán ổn định mũ lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm Các kết trích từ tài liệu tham khảo [11]: " P.H.A Ngoc, On exponential stability of nonlinear differential systems with time-varying delay, Applied Mathematics Letters 25 (2012) 12081213 " Đóng góp luận văn việc giả thiết tính dương Định lý 2.2 [11] thừa, bỏ tìm ví dụ minh họa Việc sử dụng kết thu vào việc nghiên cứu tính ổn định mũ điểm cân mơ hình mạng nơron nhân tạo công việc thú vị Hướng phát triển luận văn nghiên cứu toán ổn định mũ cho lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm tổng quát phụ thuộc thời gian số lớp phương trình vi phân khác như: phương trình vi tích phân, phương trình vi phân Volterra, Phương trình Lotka-Volterra, 31 TI LIU THAM KHO [1] A Goubet-Bartholomộă us, M Dambrine, J P Richard, Stability of perturbed systems with time-varying delays, Systems & Control Letters, Volume 31, Issue (1997) 155-163 [2] J Cao, L Wang, Exponential stability and periodic oscillatory solution in BAM networks with delays, IEEE Transactions on Neural Networks 13 (2002), 457-463 [3] P Driessche, X Zou, Global attractivity in delayed Hopfield neural network models, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol 56, No.6, 1998, 1878-1890 [4] J Dieudonne, Foundations of Modern analysis, Academic Press, 1988 [5] R.D Driver, Existence and stability of solutions of a delay differential system, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 10 (1962) 401-426 [6] L Idels, M Kipnis, Stability criteria for a nonlinear nonautonomous system with delays, Applied Mathematical Modelling 33 (2009) 2293-2297 [7] J Hale, S.M.V Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer, 1998 [8] Y Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, Mathematics in Science and Engineering Vol 191, Academic Press, 1993 32 [9] X Liu, W Yu and L Wang, Stability Analysis for continuous-time positive systems with time-varying delays, IEEE Transactions on Automatic Control 55 (2010) 1024-1028 [10] P.H.A Ngoc, On positivity and stability of linear Volterra systems with delay, SIAM Journal on Control and Optimization, 48 (2009) 1939-1960 [11] P.H.A Ngoc, On exponential stability of nonlinear differential systems with time-varying delay, Applied Mathematics Letters 25 (2012) 1208-1213 [12] P.H.A Ngoc, Stability of positive differential systems with delay, IEEE Transactions on Automatic Control 58 (2013), 203-209 [13] P H A Ngoc, Novel criteria for exponential stability of functional differential equations, Proceedings of the American Mathematical Society 141 (2013), 3083-3091 [14] P.H.A Ngoc, On positivity and stability of linear Volterra systems with delay, SIAM Journal on Control and Optimization, 48 (2009)1939-1960 [15] Hal Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with Sciences Applications to the Life, Texts in Applied Mathematics 57, Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg, London, 2011 [16] N.K Son, D.Hinrichsen, Robust stability of positive continuoustime systems, Numerical Functional Analysis and Optimization 17 (1996) 649-659 [17] J Hale and S M V Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New york, 1993 33 [18] V.B Kolmanovskii, V R Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Press 1986 [19] S Xueli, P Jigen, A novel approach to exponential stability of nonlinear systems with time-varying delays, Journal of Computational and Applied Mathematics 235 (2011) 1700-1705 [20] J Zhang, Globally exponential stability of neural networks with variable delays, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications 50 (2003), 288-290 [21] J Zhang, Global stability analysis in delayed cellular neural networks, Computers & Mathematics with Applications, Volume 45, Issues 10–11, May–June 2003, 1707–1720 [22] B Zhang, J Lam, S Xu, Z Shu, Absolute exponential stability criteria for a class of nonlinear time-delay systems, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11 (2010) 1963-1976 34 ... TÀI: VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VỚI CHẬM II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:  Nghiên cứu vài điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định mũ lớp hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến. .. toán ổn định mũ cho lớp hệ phương trình vi phân phi? ??m hàm tổng quát phụ thuộc thời gian số lớp phương trình vi phân khác như: phương trình vi tích phân, phương trình vi phân Volterra, Phương trình. .. s))ds −h 10 CHƯƠNG II TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH MŨ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CĨ CHẬM Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến phụ thuộc thời gian với chậm có dạng: x(t) ˙ = A(t)x(t)+