Bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu khoa học hồn thành hướng dẫn TS Trần Minh Thuyết TS Nguyễn Thành Long Nội dung luận án viết sở nội dung báo công bố Các kết số liệu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Các báo đồng tác giả, đồng tác giả cho phép sử dụng để viết luận án Tác giả luận án Nguyễn Hữu Nhân i Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS Trần Minh Thuyết TS Nguyễn Thành Long tận tình hướng dẫn, bảo Thầy suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Kính gửi đến Cơ PGS TS Lê Thị Phương Ngọc lịng biết ơn chân thành, Cơ đọc luận án cho ý kiến đóng góp xác đáng quý báu giúp hiểu sâu Cho phép tơi bày tỏ lịng kính trọng biết ơn đến Nhà Khoa học, Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Đơn vị chuyên môn, cấp sở Đào tạo, chuyên gia phản biện độc lập thức luận án, cho tơi nhận xét bổ ích giúp tơi hồn thiện tốt luận án Tơi vơ biết ơn Q Thầy Cơ ngồi Khoa Tốn-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm học thuật cho tơi suốt q trình học trường Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Quý Thầy Cơ phịng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành chương trình học Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Cơng Đồn Trường, Ban Chủ nhiệm Khoa Sư Phạm Khoa học Tự nhiên, Phòng Ban trường Đại học Đồng Nai Anh Chị đồng nghiệp trường lời cảm ơn sâu sắc hỗ trợ nhiều mặt để tơi hồn thành chương trình Nghiên cứu sinh Tơi chân thành cảm ơn Anh Chị, Bạn thuộc nhóm Seminar đóng góp ý kiến kinh nghiệm quý báu buổi sinh hoạt học thuật Cuối cùng, xin dành lời thân thương gửi đến thành viên gia đình tơi, người ln bên tơi lúc khó khăn, ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để học tập Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 NGUYỄN HỮU NHÂN ii Mục lục Danh sách ký hiệu Khảo sát tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian 13 1.1 Xấp xỉ tuyến tính 13 1.2 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu 27 1.3 Thuật giải lặp cấp N cho toán Robin-Dirichlet với nguồn chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian 41 1.3.1 Sự tồn dãy lặp phi tuyến 41 1.3.2 Sự hội tụ dãy lặp 53 Kết luận chương 57 Mở đầu Chương Chương Khảo sát phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier với nguồn chứa tích phân phi tuyến theo biến không gian 58 2.1 Sự tồn nghiệm yếu 58 2.2 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu 76 Kết luận chương 92 Chương Khảo sát phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa giá trị chưa biết 94 3.1 Sự tồn nghiệm yếu 94 3.2 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu 101 Kết luận chương 109 Kết luận 111 Phụ lục 113 A B Cơ sở sinh dạng song tuyến tính không gian Hilbert 113 A.1 Bổ đề dạng song tuyến tính khơng gian Hilbert 113 A.2 Hàm riêng dạng song tuyến tính khơng gian Hilbert 114 Bổ đề khai triển đa thức nhiều biến 115 Danh mục cơng trình tác giả 116 Tài liệu tham khảo 117 iii Danh sách ký hiệu Ký hiệu tập hợp N Z R Z+ R+ = [0, ∞) Ω = (0, 1) QT = Ω (0, T ), với T > Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên không âm Tập hợp số thực không âm Ký hiệu đa số jαj = α1 + + α N N Bậc đa số α = (α1 , , α N ) Z+ α! = α1 ! α N ! x α = x1α1 x αNN Đơn thức bậc jαj theo N biến, với x = ( x1 , , x N ) Ký hiệu đạo hàm u (t) = u ( x, t) u ( x, t) t u uă (t) utt (t) = u00 (t) = ( x, t) ∂t ∂u u x (t) ru (t) = ( x, t) ∂x ∂2 u u xx (t) ∆u (t) = ( x, t) ∂x k ∂ f Dik f = k ∂xi u˙ (t) ut (t) = u0 (t) = Dα f = , ∂x1α1 ∂x αNN ∂jαj f N với α = (α1 , , α N ) Z+ Mở đầu Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần vào kỷ XVIII cơng trình nhà tốn học Leonhard Paul Euler (1707-1783), Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) PierreSimon de Laplace (1749-1827) cơng cụ quan trọng để mơ tả mơ hình vật lý học Từ đến nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phát triển khơng ngừng đóng vai trị quan trọng lĩnh vực toán học lý thuyết lĩnh vực toán ứng dụng, thúc đẩy phát triển ý tưởng tốn học nhiều lĩnh vực Việc tìm lời giải cho tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng thúc đẩy phát triển nhiều kết lý thuyết giải tích hàm như: lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, , đồng thời phát triển phương pháp giải tích số như: phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin, Hiện nay, cơng cụ giải tích hàm phi tuyến phối hợp với số công cụ khác giải số toán biên phi tuyến cụ thể Tuy vậy, thực tế cho thấy rằng, không tồn phương pháp chung để giải tốn biên phi tuyến, cịn nhiều toán biên chưa giải giải phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể Nói cách khác, cịn nhiều dạng toán biên phi tuyến "bài toán mở" Khi có số hạng phi tuyến xuất hiện, tốn khơng phải lúc dễ dàng để giải mà nhiều phức tạp, đòi hỏi phải lựa chọn cơng cụ tốn học thích hợp kèm theo nhiều kỹ thuật tính tốn, để tìm kiếm nhiều thơng tin nghiệm, tồn nghiệm, tính nghiệm, tính ổn định nghiệm kiện mơ hình tốn, thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số nhiễu, Bởi vậy, cho đề tài nghiên cứu luận án cần thiết, có ý nghĩa lý luận thực tiễn Luận án chứng minh tính giải số tốn mở, dạng tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến, có nguồn gốc từ mơ hình tốn học toán khoa học kỹ thuật Hơn nữa, mặt toán học tuý, luận án cung cấp thêm số cơng cụ mang tính chất kỹ thuật vận dụng chứng minh kết Sau giới thiệu tổng quan nội dung có luận án Mở đầu Các nội dung luận án có liên quan đến kết cổ điển sau Năm 1747, xuất phát từ việc nghiên cứu dao động bé sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định, D’Alembert đề nghị mơ hình tốn học cho tốn có dạng ∂2 u 2∂ u = c , ∂t2 ∂x2 (1) c2 số dương, u ( x, t) độ lệch sợi dây so với vị trí cân điểm x thời điểm t Một phương trình khác tổng quát (1) thiết lập Kirchhoff vào năm 1876 (xem [24]) ∂2 u ρh = ∂t Eh P0 + 2L Z L ∂u ∂x ( x, t) dx ! ∂2 u , ∂x2 (2) u độ lệch sợi dây so với vị trí cân bằng, L chiều dài sợi dây, h diện tích thiết diện, E module Young vật liệu cấu tạo sợi dây, ρ khối lượng riêng, P0 lực căng ban đầu Phương trình nới rộng phương trình sóng cổ điển D’Alembert mà có xem xét đến ảnh hưởng biến đổi chiều dài sợi dây q trình dao động Từ toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến với loại điều kiện biên khác phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến quan tâm nghiên cứu rộng rãi nhiều nhà toán học Các toán biên xuất tốn mơ tả tượng học, vật lý như: mô tả dao động vật đàn hồi với ràng buộc phi tuyến bề mặt biên, mô tả va chạm vật rắn đàn nhớt tựa đàn nhớt, mô tả lan truyền sóng điện từ cao tần số môi trường điện môi phi tuyến Một số kết liệt kê [[2], [3], [6], [8], [10], [20], [29], [37], [41], [82], ] Các toán dẫn đến cần thiết phải xem xét dạng tổng quát chúng mà theo hiểu biết chúng tơi chưa có cơng trình nghiên cứu hồn chỉnh nào, tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến utt ∂ ∂x µ x, t, Z σ [u]( x, y, t)dy u x + β( x ) Ptt ( x, t) = F x, t, u, u x , ut , P, Px , Pt , Z t G1 [u]( x, t, s)ds, Z (3) G2 [u]( x, y, t)dy , Mở đầu < x < 1, < t < T, liên kết với điều kiện biên B0 (t, u(0, t), u x (0, t), ut (0, t)) = g0 (t), (4) B1 (t, u(1, t), u x (1, t), ut (1, t)) = g1 (t), điều kiện đầu u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), (5) µ, σ, β, F, G1 , G2 , g0 , g1 , B0 , B1 , u˜ , u˜ hàm số cho trước thỏa mãn số điều kiện sau, hàm chưa biết u( x, t) P( x, t) liên hệ qua phương trình tích phân phi tuyến sau P( x, t) = P˜0 ( x, t) + Z t G ( x, t, s, u( x, s), P( x, s))ds, < x < 1, < t < T, (6) G, P˜0 hàm số cho trước Trong (3), sử dụng kí hiệu: G1 [u]( x, t, s) = G1 ( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s)), G2 [u]( x, y, t) = G2 ( x, y, t, u( x, t), ut ( x, t), u x ( x, t)), σ[u]( x, y, t) = σ ( x, y, t, u(y, t), u x (y, t)) Luận án khảo sát số tốn biên cụ thể cho phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến thuộc dạng (3) – (6), sở lựa chọn phương pháp giải tích hàm phi tuyến cách thích hợp Trong chương 1, chúng tơi khảo sát hai toán biên trường hợp riêng tốn dạng (3) - (6) Bài tốn Chúng tơi xét tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chiều chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian sau utt = f ∂ ∂x (µ( x, t)u x ) x, t, u, ut , u x , Z t g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds , (7) < x < 1, < t < T, h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, (8) u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), (9) u x (0, t) µ, f , g, u˜ , u˜ hàm cho trước h0 số Mở đầu Bài toán (7) - (9) xem xét trường hợp riêng toán (3) - (6) với Z > > > µ x, t, σ[u]( x, y, t)dy = µ( x, t), β( x ) = 0, > > > > > Z t Z > > > > F x, t, u, u x , ut , P, Px , Pt , G1 [u]( x, t, s)ds, G2 [u]( x, y, t)dy > > > 0 > > > Z t < = f x, t, u, ut , u x , g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds , > > > > > > g0 (t) = g1 (t) = 0, > > > > > > > B0 (t, u, u x , ut ) = u x h0 u, > > > > > : B (t, u, u , u ) = u x t (10) Phương trình (7) dạng phương trình sóng phi tuyến tổng quát mà số trường hợp riêng với điều kiện biên khác nghiên cứu nhiều tác giả, chẳng hạn Ficken [19], Messaoudi [50], Park [67], Rabinowitz [71], Long [44], [46], Ngọc [57], [61] Trong cơng trình tác giả khảo sát số khía cạnh tốn tương ứng tồn nghiệm địa phương, tồn nghiệm tồn cục; tính tuần hồn, ổn định, compact, liên thông, tắt dần nghiệm, Số hạng nguồn vế phải phương trình (7) chứa số hạng phi địa phương (nonlocal) có dạng tích phân phi tuyến theo biến thời gian Bài toán biên chứa số hạng nonlocal gần nhiều nhà toán toán học quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn Beilin [4], Cavalcanti [12], Il’in [21], [22], [23], Li [30], Messaoudi [51], Ngọc [57], [63], [61], đạt nhiều kết phong phú thể loại Trong [51], tác giả chứng minh tồn tồn cục tính tắt dần theo hàm mũ nghiệm toán Z t > > u u k α,β (t s)u xxt (s)ds = a juj p u, < x < 1, t > 0, tt xx > > < (11) u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u0 ( x ), ut ( x, 0) = u1 ( x ), nhân k α,β (t) = tΓ(1e α) , xác định dương mạnh (với Γ hàm Gamma) Bằng phương pháp nhiễu lượng, Li, Sun Liu [30], chứng minh tính tắt dần α βt Mở đầu tùy ý nghiệm toán đàn hồi nhớt kì dị > > utt > > < Z t 1 g(t s) ( xu x ( x, s)) x ds + aut = 0, < x < L, t > 0, ( xu x ) x x Z x L u( L, t) = xu( x, t)dx = 0, > > > > : u( x, 0) = u ( x ), u ( x, 0) = u ( x ), t (12) a 0, L > số u0 , u1 hàm cho trước Tiếp nối mở rộng mặt mơ hình tốn cơng trình trước [6], [33], [34], [35], [37], [44], [46], [57], [61], luận án thu kết tồn nghiệm yếu địa phương toán (7) - (9) xây dựng thuật giải xấp xỉ tuyến tính Ngồi đánh giá tiệm cận đến cấp N + theo tham số bé ε thiết lập khác biệt khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (7) - (9) so với kết trước việc thực khai triển Taylor khơng số hạng nguồn f mà cịn khai triển cho tích phân phi tuyến Z t g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds chứa Theo hiểu biết chúng tơi kỹ thuật chưa sử dụng trước Các kết công bố [N3] Một trường hợp riêng toán (7) - (9) f + x, t, u, ut , u x , Z t Z t g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds = f ( x, t, u) λut , ta toán sau g( x, t, s, u( x, s))ds Bài tốn Chúng tơi khảo sát phương trình sóng với nguồn phi tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian ∂ ∂x utt (µ( x, t)u x ) + λut = f ( x, t, u) + Z t (13) g( x, t, s, u( x, s))ds, < x < 1, < t < T, với điều kiện biên ban đầu (8), (9), λ 6= số u˜ , u˜ , f , g, µ hàm cho trước Trước hết, xây dựng dãy lặp phi tuyến fum g xác định u00m ∂ ∂x (µ( x, t)umx ) + λu0m = N ∑ i =0 N + ∑ i =0 i! Z t i i! D3 f ( x, t, um )( um D4i g( x, t, s, um um 1) i (14) ( x, s )) (um ( x, s) um ( x, s )) i ds, um thỏa mãn (8), (9) Bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin chứng minh tồn dãy lặp xác định trên, dãy fum g hội tụ nghiệm yếu Mở đầu u toán tương ứng với tốc độ hội tụ bậc N theo nghĩa sau uk L∞ (0,T;V ) + ku0m kum u0 k L∞ (0,T;L2 ) C kum uk L∞ (0,T;V ) + u0m u0 N L∞ (0,T;L2 ) (15) , C số độc lập với m Thuật giải lặp cấp cao số giả sử dụng thành cơng cho số tốn [63], [64], [79], [80], nhiên số lượng báo công bố sử dụng phương pháp chưa nhiều Trong [79], tác giả sử dụng thuật giải lặp cấp cao cho toán kiểu Kirchhoff - Carrier > utt > > < µ t, ku(t)k2 , ku x (t)k2 u xx = f (u), < x < 1, < t < T, (16) u x (0, t) hu(0, t) = g(t), u(1, t) = 0, > > > : u( x, 0) = u0 ( x ), ut ( x, 0) = u1 ( x ), đó, h số f , µ, g, u0 , u1 hàm cho trước Trong [64], tác giả xét toán (9), (13) trường hợp g = với điều kiện biên Dirichlet, phương pháp tương tự kết tồn nghiệm yếu địa phương toán tương ứng thiết lập Kết thu luận án xem mở rộng số kết trước [2], [41], [55], [61], [64] công bố [N2] Trong chương 2, khảo sát tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến chiều kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến khơng gian sau utt = f ∂ ∂x µ x, t, Z x, t, u, u x , ut , σ( x, y, t, u(y, t), u x (y, t))dy u x Z g( x, y, t, u(y, t), u x (y, t), ut (y, t))dy , (17) < x < 1, < t < T, h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, (18) u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), (19) u x (0, t) µ, σ, f , g, u˜ , u˜ hàm cho trước h0 số Chương Khảo sát phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa giá trị chưa biết 110 Chúng ta giả sử σ T < 1, với số T > thích hợp Áp dụng Bổ đề 1.2.4 với γm = kvm kW˜ (T ) , σ = σ T < 1, 1+ p b0 δ = δ T (ε) = C p Te3T jεj N +1 , ta suy từ (3.2.33) δ T (ε) = CT j ε j N + , σT kvm kW˜ (T ) (3.2.34) ! p 3T C 1+ p Te b ! CT = p q p 2( q +1) 1+ p K M ( f )+K2M ( f ) Te3T b0 Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính fvm g xác định (3.2.26) hội tụ mạnh ˜ ( T ) nghiệm v tốn (3.2.17) Do đó, cho m ! +∞ (3.2.34), không gian W (3.2.35) kvkW1 (T ) CT jεj N +1 Từ đánh giá ta có đánh giá (3.2.7) Như vậy, Định lý 3.2.1 chứng minh hoàn tất Kết luận chương Bài toán biên nonlocal dạng nhiều điểm số tác giả khảo sát Tuy nhiên, toán biên với biên nhiều điểm xuất số hạng nguồn phi tuyến có mặt phương trình theo hiểu biết chúng tơi chưa khảo sát nhiều Do đó, tốn khảo sát chương xem mở rộng nghiên cứu toán biên nhiều điểm Bài toán (3.1.1) - (3.1.3) xem trường hợp riêng tốn (3) - (6) lý sau Xét toán Robin cho phương trình sóng với nguồn chứa số hạng phi địa phương > > > utt > > < u xx = F x, t, u( x, t), Z g(u(y, t))dy , < x < 1, < t < T, u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), u ( x, 0) = u˜ ( x ), t (c1) Chương Khảo sát phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa giá trị chưa biết 111 F, g hàm số liên tục Nếu u( x, t) liên tục theo x, với t, tích phân Z g(u(y, t))dy xấp xỉ tổng Riemann Z 1 q g(u(y, t))dy t ∑i=1 g(u(η i , t)), q (c2) với q đủ lớn η i = i/q, i = 1, 2, , q Khi đó, ta có toán "xấp xỉ" toán (c1) sau > > utt > > < q u xx = F x, t, u( x, t), ∑i=1 g(u(η i , t)) , < x < 1, < t < T, q (c3) u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Bài toán (c3) xem trường hợp riêng toán (3.1.1) - (3.1.3) Giả sử uq nghiệm toán (c3), vấn đề đặt u = lim uq theo nghĩa q!+∞ có nghiệm tốn (c1) hay khơng tốn mở Kết luận Trong luận án, chúng tơi sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến phù hợp để nghiên cứu tính giải số tính chất nghiệm ba lớp tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng phi địa phương Các toán khảo sát luận án có dạng tổng quát chứa nhiều lớp toán biên dạng Các trường hợp riêng toán đề cập luận án có nhiều ý nghĩa học, vật lý số ngành khoa học ứng dụng Nội dung luận án tập trung khảo sát ba lớp toán biên: Lớp toán biên thứ tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân phi tuyến theo biến thời gian Lớp toán biên thứ hai tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier với nguồn chứa tích phân phi tuyến theo biến khơng gian Lớp toán biên thứ ba toán Robin cho phương trình sóng với nguồn chứa giá trị chưa biết Các kết thu luận án khảo sát ba lớp toán biên kể bao gồm: Sự tồn nghiệm yếu địa phương khai triển tiệm cận nghiệm cho tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến chiều chứa số hạng phi địa phương > utt > > > > > > > < = f ∂ ∂x (µ( x, t)u x ) x, t, u, ut , u x , Z t g( x, t, s, u( x, s), ut ( x, s), u x ( x, s))ds , < x < 1, < t < T, > > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), u ( x, 0) = u˜ ( x ) t Sự tồn hội bậc cao dãy lặp phi tuyến fum g nghiệm yếu tốn giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng với nguồn phi tuyến chứa số 112 113 Kết luận hạng phi địa phương > utt > > > > > > > < ∂ ∂x (µ( x, t)u x ) + λut = f ( x, t, u) + Z t g( x, t, s, u( x, s))ds, < x < 1, < t < T, > > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), u ( x, 0) = u˜ ( x ) t Sự tồn nghiệm yếu địa phương khai triển tiệm cận nghiệm cho tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến kiểu Kirchhoff - Carrier với nguồn chứa tích phân phi tuyến Z > ∂ > σ( x, y, t, u(y, t), u x (y, t))dy u x utt ∂x µ x, t, > > > > > Z > > < = f x, t, u, u x , ut , g( x, y, t, u(y, t), u x (y, t), ut (y, t))dy , < x < 1, < t < T, > > > > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Sự tồn nghiệm yếu địa phương khai triển tiệm cận nghiệm cho tốn Robin cho phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa giá trị chưa biết > utt u xx = f x, t, u( x, t), u(η , t), , u(η q , t), ut ( x, t) , < x < 1, < t < T, > > < u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Ngoài kết thu trình bày chi tiết luận án, nêu số hướng nghiên cứu mở rộng luận án sau a1 Khảo sát toán xét luận án trường hợp nhiều chiều a2 Trong trường hợp số hạng phi tuyến dạng đặc thù, tìm kiếm thêm tính chất khác nghiệm như: dáng điệu tiệm cận nghiệm, tính ổn nghiệm, tính tắt dần nghiệm, tính bùng nổ nghiệm, a3 Xây dựng thuật giải lặp cấp cao cho toán tương ứng a4 Nghiên cứu mối liên hệ hai toán (c1) (c3) Phụ lục A Cơ sở sinh dạng song tuyến tính không gian Hilbert A.1 Bổ đề dạng song tuyến tính khơng gian Hilbert Đặt Ω = (0, 1) Cho h0 , h1 0, với h0 + h1 > Ta xét không gian V = v H : v (1) = , dạng song tuyến tính a(u, v) = b(u, v) = Z Z u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0), u, v V; u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0) + h1 u(1)v(1), u, v H p p Các chuẩn tương ứng kvk a = a(v, v), kvkb = b(v, v) Khi đó, ta có Bổ đề A1 Cho h0 Khi đó, dạng song tuyến tính a( , ) liên tục V V V Bổ đề A2 Cho h0 , h1 0, với h0 + h1 > Khi đó, dạng song tuyến tính b( , ) liên tục H H H ; nghĩa là, (i) jb(u, v)j (ii) b(v, v) b1 kuk H1 kvk H1 , b0 kvk2H1 , với u, v H , b1 = + 2h0 + 2h1 b0 = Bổ đề A3 Phép nhúng H ,! C0 (Ω) compact k v kC0 (Ω) p minf1, maxfh0 , h1 gg kvk H1 , 8v H 114 115 Phụ lục Khi đó, phép nhúng V ,! C0 (Ω) compact Bổ đề A4 Cho h0 < k v kC0 (Ω) : với v V A.2 p1 kv x k kvk a , kv x k kvk a kvk H1 p + h0 k v k H , Hàm riêng dạng song tuyến tính khơng gian Hilbert Bổ đề A5 ([?], Định lý 7.7, trang 87) Cho h0 Khi đó, tồn sở trực chuẩn e j g L chứa hàm riêng w e j tương ứng với giá trị riêng λ j cho fw > < < λ1 λ2 λj ., lim λ j = +∞, j!+∞ > : a(w e j , v) = λ j hw e j , vi, 8v V, j = 1, 2, p e j / λ j g sở trực chuẩn V với tích vơ hướng tương Hơn nữa, dãy fw ứng a( , ) e j thỏa mãn toán giá trị biên sau Mặt khác, hàm w < ej = λj w e j , (0, 1), ∆w : w e jx (0) e j (0) = w e j (1) = 0, w e j V \ C ∞ ( Ω ) h0 w Bổ đề A6 ([?], Định lý 7.7, trang 87) Cho h0 , h1 0, với h0 + h1 > Khi đó, tồn e j g L chứa hàm riêng w e j tương ứng với giá trị riêng λ j sở trực chuẩn fw cho < < λ1 λ2 λ j , lim λ j = +∞, j!+∞ : e j , v) = λ j hw e j , vi, 8v H , j = 1, 2, b(w p e j / λ j g sở trực chuẩn H với tích vơ hướng tương Hơn nữa, dãy fw ứng b( , ) e j thỏa mãn toán giá trị biên sau Mặt khác, hàm w ( ej = λj w e j , (0, 1), ∆w e jx (0) w e j (0) = w e jx (1) + h1 w e j (1) = 0, w e j C ∞ ( Ω ) h0 w 116 Phụ lục B Bổ đề khai triển đa thức nhiều biến Bổ đề B1 Cho m, N N x = ( x1 , , x N ) R N , ε R Khi N ∑ xi εi i =1 (m) hệ số Pk công thức [ N, x ], m k !m mN = ∑ k=m (m) Pk [ N, x ]εk , mN phụ thuộc vào x = ( x1 , , x N ) xác định (1) > Pk [ N, x ] = xk , k N, > > > > > < (m) m! Pk [ N, x ] = ∑ α! xα , m k mN, m (m) > α2 Ak ( N ) > > > > > : (m) N : α = m, N iα = k g A k ( N ) = f α Z+ j j ∑ i =1 i 2, Danh mục cơng trình tác giả [N1] L T P Ngoc, N H Nhan, T M Thuyet, N T Long, A nonlinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 18(4) (2013) 545-578 (Scopus) [N2] N H Nhan, L T P Ngoc, T M Thuyet, N T Long, On a high order iterative scheme for a nonlinear wave equation with the source term containing a nonlinear integral, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 21(1) (2016) 65-84 (Scopus) [N3] N H Nhan, L T P Ngoc, T M Thuyet, N T Long, A Robin-Dirichlet problem for a nonlinear wave equation with the source term containing a nonlinear integral, Lithuanian Mathematical Journal, 57(1) (2017) 80-108 (SCI-E) [N4] N H Nhan, L T P Ngoc, N T Long, Existence and asymptotic expansion of the weak solution for a wave equation with nonlinear source containing nonlocal term, Boundary Value Problems, 2017(1) (2017) Article: 87 (SCI-E) [N5] N H Nhan, L T P Ngoc, N T Long, On a nonlinear wave equation of KirchhoffCarrier type : Linear approximation and asymptotic expansion of solution in a small parameter, Mathematical Problems in Engineering, 2018 Article: 3626543 (SCI-E) [N6] N H Nhan, L T P Ngoc, N T Long, The Robin problem for a nonlinear wave equation with source containing nonlocal term, (submitted) 117 Tài liệu tham khảo [1] R G C Almeida, M L Santos, Lack of exponential decay of a coupled system of wave equations with memory, Nonlinear Anal RWA 12(2) (2011) 1023-1032 [2] N T An, N D Trieu, Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J Mech NCSR Vietnam, 13(2) (1991) 1-7 [3] H T Banks, Gabriella A Pinter, Maxwell-systems with nonlinear polarization, Nonlinear Anal RWA., 4(3) (2003) 483-501 [4] S A Beilin, On a Mixed nonlocal problem for a wave equation, Electronic J Differential Equations, 2006 (103) 1-10 [5] A Benaissa, S A Messaoudi, "Exponential decay of solutions of a nonlinearly damped wave equation", Nonlinear Differ Equ Appl., 12 (2005) 391-399 [6] M Bergounioux, N T Long, A P N Dinh, Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal TMA., 43(5) (2001) 547-561 [7] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer New York Dordrecht Heidelberg London, 2010 [8] G F Carrier, On the nonlinear vibrations problem of elastic string, Quart J Appl Math., (1945) 157-165 [9] T Caughey, J Ellison, Existence, uniqueness and stability of solutions of a class of nonlinear differential equations, J Math Anal Appl., 51 (1975) 1-32 [10] M M Cavalcanti, V N Domingos Cavalcanti, J A Soriano, Global existence and uniform decay rates for the Kirchhoff - Carrier equation with nonlinear dissipation, Adv Differential Equations, 6(6) (2001) 701-730 [11] M M Cavalcanti, et al., Existence and uniform decay rates for viscoelastic problem with nonlinear boundary damping, Diff Integ Eq., 14 (2001) 85-116 118 Tài liệu tham khảo 119 [12] M M Cavalcanti, V N Domingos Cavalcanti, J A Soriano, Exponential decay for solution of semilinear viscoelastic wave equations with localized damping, Electron J Diff Eqns., 44 (2002) 1-14 [13] M M Cavalcanti, V N Domingos Cavalcanti, J A Soriano, Global existence and asymptotic stability for the nonlinear and generalized damped extensible plate equation, Commun Contemp Math., 6(5) (2004) 705-731 [14] E L A Coddington, N Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGrawHill, 1955 [15] C Corduneanu, Integral equations and applications, Cambridge University Press, New York, 1991 [16] K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, NewYork, 1985 [17] A P N Dinh, N T Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio Math., 19 (1986) 45-63 [18] Y Ebihara, L A Medeiros, M M Miranda, Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation, Nonlinear Anal., 10 (1986) 27-40 [19] F Ficken, B Fleishman, Initial value problems and time periodic solutions for a nonlinear wave equation, Comm Pure Appl Math., 10 (1957) 331-356 [20] Tae Gab Ha, Jong Yeoul Park, Existence of solutions for a Kirchhoff-type wave equation with memory term and acoustic boundary conditions, Numerical Functional Analysis and Optimization, 31(8) (2010) 921- 935 [21] V A Il’in, E I Moiseev, Uniqueness of the solution of a mixed problem for the wave equation with nonlocal boundary conditions, Differential Equations, 36(5) (2000) 728733 [22] V A Il’in, Uniqueness theorems for generalized solution to four mixed problems for the wave equation with nonlocal boundary conditions, Doklady Mathematics, 77(3) (2008) 361-364 [23] V A Il’in, E I Moiseev, Uniqueness of generalized solution of mixed problems for the wave equation with nonlocal boundary conditions, Differential Equations, 44(5) (2008) 692-700 [24] G R Kirchhoff, Vorlesungen uber Mathematische Physik: Mechanik, Teuber, Leipzig, ă 1876, Section 29.7 Ti liu tham kho 120 [25] A I Kozhanov, On the solvability of boundary value problems with a nonlocal of integral form for multidimensional hyperbolic equations, Differential Equations, 41(9) (2006) 1233-1246 [26] A I Kozhanov, On the solvability of spatially nonlocal problems with conditions of integral form for some classes of nonstationary equations, Differential Equations, 51(8) (2015) 1043-1050 [27] N A Larkin, Global regular solutions for the nonhomogeneous Carrier equation, Mathematical Problems in Engineering, (2002) 15-31 [28] Lakshmikantham V, Leela S, Differential and Integral Inequalities, Vol.1 Academic Press, NewYork, 1969 [29] M J Lee, D Kim, J K Park, General decay of solutions for Kirchhoff type containing Balakrishnan-Taylor damping with a delay and acoustic conditions, Boundary Value Problems, 2016(2) (2016) [30] Gang Li, Yun Sun, Wenjun Liu, Arbitrary decay of solutions for a singular nonlocal viscoelastic problem with a possible damping term, Applicable Analysis, 93(6) (2014) 1150-1163 [31] J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969 [32] J L Lions, On some questions in boundary value problems of mathematical physics, in: G de la Penha, L A Medeiros (Eds.), International Symposium on Continuum, Mechanics and Partial Differential Equations, Rio de Janeiro 1977, Mathematics Studies, vol 30, North-Holland, Amsterdam, 1978, pp 284-346 [33] N T Long, A P N Dinh, On the quasilinear wave equation: utt ∆u + f (u, ut ) = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal TMA., 19(7) (1992) 613-623 [34] N T Long, A P N Dinh, A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal., 24(8) (1995) 1261-1279 [35] N T Long, T N Diem, On the nonlinear wave equation utt u xx = f ( x, t, u, u x , ut ) associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal TMA., 29 (1997) 1217-1230 [36] N T Long, A P N Dinh, T N Diem, Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff - Carrier operator, J Math Anal Appl., 267(1) (2002) 116-134 Tài liệu tham khảo 121 [37] N T Long, A P N Dinh, T N Diem, On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Boundary Value Problems, 2005 (3) (2005) 337-358 [38] N T Long, Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal TMA., 45 (2001) 261-272 [39] N T Long, On the nonlinear wave equation utt B(t, ku x k2 )u xx = f ( x, t, u, u x , ut ) associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl., 274(1) (2002) 102-123 [40] N T Long, On the nonlinear wave equation utt B(t, kuk2 , ku x k2 )u xx = f ( x, t, u, u x , ut , kuk2 , ku x k2 ) associated with the mixed homogeneous conditions, J Math Anal Appl., 306 (1) (2005) 243-268 [41] N T Long, L V Ut, N T T Truc, On a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal TMA., 63(2) (2005) 198-224 [42] N T Long, L X Truong, Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed homogeneous condition, Nonlinear Anal TMA., 67(3) (2007) 842-864 [43] N T Long, L X Truong, Existence and asymptotic expansion of solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary, Electronic J Differential Equations, 2007 (2007), No 48, pp 1-19 [44] N T Long, L T P Ngoc, A wave equation associated with mixed nonhomogeneous conditions: The compactness and connectivity of weak solution set, Abstract and Applied Analysis 2007, ID 20295, 17p [45] N T Long, L T P Ngoc, On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math., 37(2 - 3) (2009) 141-178 [46] N T Long, L T P Ngoc, On a nonlinear wave equation with boundary conditions of two-point type, J Math Anal Appl., 385(2) (2012) 1070-1093 [47] L A Medeiros, On some nonlinear perturbation of Kirchhoff – Carrier operator, Comp Appl Math., 13 (1994) 225-233 [48] L A Medeiros, J Limaco, S B Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part one, J Comput Anal Appl., 4(2) (2002) 91-127 [49] L A Medeiros, J Limaco, S B Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part two, J Comput Anal Appl., 4(3) (2002) 211-263 [50] S A Messaoudi, Blow up in nonlinearly damped wave equation, Math Nachr., 231 (2001) 105-111 Tài liệu tham khảo 122 [51] S A Messaoudi et al., Global existence and asymptotic behavior for a fractional differential equation, App Math Comput., 188 (2007) 1955-1962 [52] S A Messaoudi and N -e Tatar, Uniform stabilization of solutions of a nonlinear system of viscoelastic equations, Applicable Anal., 87(3) (2008) 247-263 [53] S A Messaoudi, Genaral decay of the solution energy in a viscoelastic equation with a nonlinear source, Nonlinear Anal., 69(8) (2008) 2589-2598 [54] M Milla Miranda, L P San Gil Jutuca, Existence and boundary stabilization of solutions for the Kirchhoff equation, Comm Partial Differential Equations, 24(9-10) (1999) 1759-1800 [55] L T P Ngoc, L N K Hang, N T Long, On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Anal TMA., 70(11) (2009) 3943-3965 [56] L T P Ngoc, N T Long, Linear approximation and asymptotic expansion of solutions in many small parameters for a nonlinear Kirchhoff wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Acta Applicanda Mathematicae, 112(2) (2010) 137-169 [57] L T P Ngoc, N T Long, Existence and exponential decay for a nonlinear wave equation with a nonlocal boundary condition, Communications on Pure and Applied Analysis, 12(5) (2013) 2001-2029 [58] L T P Ngoc, L K Luan, T M Thuyet, N T Long, On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Anal TMA., 71(11) (2009) 5799-5819 [59] L T P Ngoc, L K Luan, T M Thuyet, N T Long, On a nonlinear wave equation with boundary conditions involved a Cauchy problem, Nonlinear Anal RWA., 12(1) (2011) 69-92 [60] L T P Ngoc, N A Triet, N T Long, On a nonlinear wave equation involving the term ∂ ∂x µ ( x, t, u, k u x k ) u x : Linear approximation and asymptotic expansion of solution in many small parameters, Nonlinear Anal RWA., 11(4) (2010) 2479-2510 [61] L T P Ngoc, N A Triet, N T Long, Existence and decay of solutions a mixed nonlocal problem, Vietnam Journal of Mathematics, 44(2) (2016) 273-293 [62] L T P Ngoc, N A Triet, N T Long, Existence and exponential decay estimates for a N-dimensional nonlinear wave equation with a nonlocal boundary condition, Boundary Value Problems, 2016 (2016): 20 Doi: 10.1186/s13661-016-0527-5 Tài liệu tham khảo 123 [63] L T P Ngoc, B M Tri, N T Long, An N-order iterative scheme for a nonlinear wave equation containing a nonlocal term, FILOMAT, 31(6) (2017), 1755-1767 [64] L T P Ngoc, N T T Truc, T T H Nga, N T Long, On a high order iterative schemes for a nonlinear wave equation, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 20(1) (2015) 121-138 [65] J Y Park, J J Bae, I H Jung, Uniform decay of solution for wave equation of Kirchhoff type with nonlinear boundary damping and memory term, Nonlinear Anal., 50 (2002) 871-884 [66] J Y Park, J J Bae, On coupled wave equation of Kirchhoff type with nonlinear boundary damping and memory term, Applied Math Comput 129 (2002) 87-105 [67] J Y Park, J A Kim, Some nonlinear wave equation with nonlinear memory source term and acoustic boundary conditions, Numer Funct Anal Optim., 27(7-8) 889-903 [68] M Pellicer, J Solà-Morales, Spectral analysis and limit behaviours in a spring-mass system, Comm Pure Appl Math., 7(3) (2008) 563-577 [69] S I Pohozaev, On a class of quasilinear hyperbolic equation, Math USSR Sb., 25 (1975) 145-158 [70] T N Rabello, M C C Vieira, C L Frota, L A Medeiros, Small vertical vibrations of strings with moving ends, Rev Mat Complutent, 16 (2003) 179-206 [71] P H Rabinowitz, Periodic solutions of nonlinear hyperbolic differential equations, Comm Pure Appl Math., 20 (1967) 145-205 [72] M Renardy, W J Hrusa, J A Nohel, Mathematical problems in viscoelasticity, Pitman, 1987 [73] J E Munoz-Rivera and D Andrade, Exponential decay of non-linear wave equation with a viscoelastic boundary condition, Math Methods Appl Sci., 23 (2000) 41-61 [74] M L Santos, Asymptotic behavior of solutions to wave equations with a memory condition at the boundary, Electronic J Diff Equat., 2001 (2001), No 73, pp.1-11 [75] M L Santos, J Ferreira, D C Pereira, C A Raposo, Global existence and stability for wave equation of Kirchhoff type with memory condition at the boundary, Nonlinear Anal., 54 (2003) 959-976 [76] R E Showalter, Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J Differential Equations, Monograph 01, 1994 Tài liệu tham khảo 124 [77] N A Triet, L T P Ngoc, N T Long, On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated with Robin conditions, Nonlinear Anal RWA., 11(5) (2010) 3363 -3388 [78] N A Triet, L T P Ngoc, N T Long, A mixed Dirichlet - Robin problem for a nonlinear Kirchhoff - Carrier wave equation, Nonlinear Anal RWA., 13(2) (2012) 817- 839 [79] L X Truong, L T P Ngoc, N T Long, High-order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal TMA., 71(1-2) (2009) 467-484 [80] L X Truong, L T P Ngoc, N T Long, The N - order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated with the mixed inhomogeneous conditions, Applied Mathematics and Computation, 215(5) (2009) 1908-1925 [81] Shun-Tang Wu, General decay for a wave equation of Kirchhoff type with a boundary control of memory type, Boundary Value Problems, 2011 (2011): 55 [82] Younis Zaidan, Mathematical analysis of high frequency pulse propagation in nonlinear dielectric materials, Nonlinear Anal RWA., 11(5) (2010) 3453-3462 [83] Qiong Zhang, Global existence and asymptotic behavior for a mildly degenerate Kirchhoff wave equation boundary damping, Quarterly of Applied Mathematics., 70(2) (2012) 253-267 ... sợi dây q trình dao động Từ toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến với loại điều kiện biên khác phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến quan... án khảo sát số tốn biên cụ thể cho phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến thuộc dạng (3) – (6), sở lựa chọn phương pháp giải tích hàm phi tuyến cách thích hợp... cho phương trình sóng chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian Chương khảo sát hai toán biên cho phương trình sóng chiều Mục 1.1 chúng tơi xét tốn biên Robin-Dirichlet cho