Bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phi tuyến

Việc tìm lời giải cho các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêngđã thúc đẩy sự phát triển nhiều kết quả lý thuyết trong giải tích hàm như: lý thuyếtkhông gian Sobolev, lý thuyết đi

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Trần Minh Thuyết và TS Nguyễn Thành Long Nội dung trong luận án này được viết trên cơ sở nội dung các bài báo đã công bố của tôi Các kết quả và số liệu trong luận án

là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác Các bài báo đồng tác giả, đã được các đồng tác giả cho phép sử dụng để viết luận án này.

Tác giả luận án Nguyễn Hữu Nhân

i

Lời đầu tiên, tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy TS Trần Minh Thuyết và

TS Nguyễn Thành Long về sự tận tình hướng dẫn, chỉ bảo của các Thầy đối với tôitrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Kính gửi đến Cô PGS TS Lê Thị Phương Ngọc lòng biết ơn chân thành, Cô đã đọcbản luận án và cho những ý kiến đóng góp xác đáng và quý báu giúp tôi hiểu sâu hơn.Cho phép tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến các Nhà Khoa học, Quý Thầy

Cô trong các Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Đơn vị chuyên môn, cấp cơ sở Đào tạo,các chuyên gia phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xétrất bổ ích giúp tôi hoàn thiện tốt luận án

Tôi vô cùng biết ơn Quý Thầy Cô trong và ngoài Khoa Toán-Tin học Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm họcthuật cho tôi trong suốt quá trình học tại trường

Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Quý Thầy Cô phòng Quản lý Sau Đại học trườngĐại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôihoàn thành chương trình học

Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trường, Ban Chủ nhiệmKhoa Sư Phạm Khoa học Tự nhiên, các Phòng Ban của trường Đại học Đồng Nai và cácAnh Chị đồng nghiệp tại trường lời cảm ơn sâu sắc vì sự hỗ trợ về nhiều mặt để tôi cóthể hoàn thành chương trình Nghiên cứu sinh

Tôi chân thành cảm ơn các Anh Chị, các Bạn thuộc nhóm Seminar đã đóng gópnhững ý kiến và kinh nghiệm quý báu trong các buổi sinh hoạt học thuật

Cuối cùng, tôi xin dành những lời thân thương nhất gửi đến các thành viên của giađình tôi, những người đã luôn bên tôi những lúc khó khăn, luôn động viên, hỗ trợ vàtạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi học tập

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018

NGUYỄN HỮU NHÂN

ii

Danh sách ký hiệu 1

Mở đầu 2

Chương 1 Khảo sát bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian 13

1.1 Xấp xỉ tuyến tính 13

1.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu 27

1.3 Thuật giải lặp cấp N cho bài toán Robin-Dirichlet với nguồn chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian 41

1.3.1 Sự tồn tại một dãy lặp phi tuyến 41

1.3.2 Sự hội tụ của dãy lặp 53

Kết luận chương 1 57

Chương 2 Khảo sát phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier với nguồn chứa tích phân phi tuyến theo biến không gian 58

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu 58

2.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu 76

Kết luận chương 2 92

Chương 3 Khảo sát phương trình sóng phi tuyến với nguồn chứa các giá trị chưa biết 94

3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu 94

3.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu 101

Kết luận chương 3 109

Kết luận 111

Phụ lục 113

A Cơ sở sinh bởi các dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert 113

A.1 Bổ đề về các dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert 113

A.2 Hàm riêng của các dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert 114 B Bổ đề về khai triển đa thức nhiều biến 115

Danh mục công trình của tác giả 116

Tài liệu tham khảo 117

iii

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ XVIIItrong các công trình của những nhà toán học như Leonhard Paul Euler (1707-1783),Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) và Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hìnhcủa vật lý và cơ học Từ đó đến nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã pháttriển không ngừng và đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũngnhư trong lĩnh vực toán ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trongnhiều lĩnh vực Việc tìm lời giải cho các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng

đã thúc đẩy sự phát triển nhiều kết quả lý thuyết trong giải tích hàm như: lý thuyếtkhông gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, , đồng thời cũngphát triển các phương pháp của giải tích số như: phương pháp sai phân, phương phápphần tử hữu hạn, phương pháp Fourier, phương pháp Galerkin, Hiện nay, các công

cụ trong giải tích hàm phi tuyến phối hợp với một số công cụ khác đã giải quyết đượcmột số bài toán biên phi tuyến cụ thể Tuy vậy, thực tế cho thấy rằng, không tồn tại mộtphương pháp chung nào để giải được mọi bài toán biên phi tuyến, còn rất nhiều bàitoán biên chưa giải được hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với từng số hạng phituyến cụ thể Nói cách khác, còn nhiều dạng bài toán biên phi tuyến vẫn là "bài toánmở" Khi có số hạng phi tuyến xuất hiện, bài toán không phải lúc nào cũng dễ dàng đểgiải mà nhiều khi còn khá phức tạp, đòi hỏi phải lựa chọn các công cụ toán học thíchhợp kèm theo nhiều kỹ thuật tính toán, để tìm kiếm nhiều thông tin về nghiệm, như

sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính ổn định của nghiệm đối với các dữ kiệntrong mô hình bài toán, hoặc thiết lập khai triển tiệm cận của nghiệm theo các tham sốnhiễu,

Bởi vậy, chúng tôi cho rằng đề tài nghiên cứu của luận án là cần thiết, có ý nghĩa lýluận và thực tiễn Luận án sẽ chứng minh tính giải được của một số bài toán mở, dạngbài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến liên kết với phương trình tích phân phituyến, có nguồn gốc từ các mô hình toán học của các bài toán trong khoa học kỹ thuật.Hơn nữa, về mặt toán học thuần tuý, luận án sẽ cung cấp thêm một số công cụ mangtính chất kỹ thuật đã được vận dụng khi chứng minh các kết quả Sau đây là sự giớithiệu tổng quan về các nội dung có trong luận án

2

Các nội dung trong luận án có liên quan đến các kết quả rất cổ điển sau đây Năm

1747, xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé của một sợi dây đàn hồi với haiđầu cố định, D’Alembert đề nghị mô hình toán học cho bài toán này có dạng

trong đó u là độ lệch của sợi dây so với vị trí cân bằng, L là chiều dài sợi dây, h diện

tích thiết diện, E là module Young của vật liệu cấu tạo sợi dây, ρ là khối lượng riêng,

và P0là lực căng ban đầu Phương trình này là nới rộng của phương trình sóng cổ điểnD’Alembert mà có xem xét đến ảnh hưởng của sự biến đổi chiều dài của sợi dây trongquá trình dao động

Từ đó cho đến nay các bài toán giá trị biên và ban đầu cho các phương trình sóngphi tuyến với các loại điều kiện biên khác nhau hoặc phương trình sóng phi tuyến liênkết với phương trình tích phân phi tuyến vẫn được quan tâm nghiên cứu rộng rãi bởinhiều nhà toán học Các bài toán biên này xuất hiện trong các bài toán mô tả các hiệntượng trong cơ học, vật lý như: mô tả dao động của một vật đàn hồi với các ràng buộcphi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanhđàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt, hoặc mô tả sự lan truyền của sóng điện từ caotần số trong môi trường điện môi phi tuyến Một số kết quả có thể liệt kê ra ở đây như[[2], [3], [6], [8], [10], [20], [29], [37], [41], [82], ] Các bài toán trên dẫn đến sự cần thiếtphải xem xét dạng tổng quát của chúng mà theo hiểu biết của chúng tôi thì chưa cómột công trình nghiên cứu hoàn chỉnh nào, đó là bài toán biên cho phương trình sóngphi tuyến

P(x, t) = P˜0(x, t) +Z t

0 G(x, t, s, u(x, s), P(x, s))ds, 0<x<1, 0<t <T, (6)trong đó G, ˜P0là các hàm số cho trước Trong (3), chúng ta sử dụng các kí hiệu:

G1[u](x, t, s) = G1(x, t, s, u(x, s), ut(x, s), ux(x, s)),

G2[u](x, y, t) = G2(x, y, t, u(x, t), ut(x, t), ux(x, t)),

σ[u](x, y, t) = σ(x, y, t, u(y, t), ux(y, t)).Luận án sẽ khảo sát một số bài toán biên cụ thể cho phương trình sóng phi tuyếnliên kết với phương trình tích phân phi tuyến thuộc dạng (3) – (6), trên cơ sở lựa chọncác phương pháp của giải tích hàm phi tuyến một cách thích hợp

Trong chương 1, chúng tôi khảo sát hai bài toán biên là các trường hợp riêng của bàitoán dạng (3) - (6)

Bài toán 1.Chúng tôi xét bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyếnmột chiều chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian như sau

Bài toán (7) - (9) được xem xét như là trường hợp riêng của bài toán (3) - (6) với

Phương trình (7) là một dạng phương trình sóng phi tuyến khá tổng quát mà một

số trường hợp riêng của nó với các điều kiện biên khác nhau đã được nghiên cứu bởinhiều tác giả, chẳng hạn như Ficken [19], Messaoudi [50], Park [67], Rabinowitz [71],Long [44], [46], Ngọc [57], [61] Trong các công trình này các tác giả đã khảo sát một

số khía cạnh của bài toán tương ứng như sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương,

sự tồn tại nghiệm toàn cục; tính tuần hoàn, ổn định, compact, liên thông, hoặc tắt dầncủa nghiệm,

Số hạng nguồn ở vế phải của phương trình (7) chứa một số hạng phi địa phương(nonlocal) có dạng một tích phân phi tuyến theo biến thời gian Bài toán biên chứa sốhạng nonlocal gần đây được nhiều nhà toán toán học quan tâm nghiên cứu, chẳng hạnnhư Beilin [4], Cavalcanti [12], Il’in [21], [22], [23], Li [30], Messaoudi [51], Ngọc [57],[63], [61], và đạt nhiều kết quả phong phú về thể loại này Trong [51], các tác giả đãchứng minh sự tồn tại toàn cục cũng như tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm củabài toán

trong đó a 0, L>0 là các hằng số và u0, u1là các hàm cho trước.

Tiếp nối và mở rộng về mặt mô hình toán các công trình trước đây [6], [33], [34],[35], [37], [44], [46], [57], [61], luận án thu được một kết quả về sự tồn tại và duy nhấtnghiệm yếu địa phương của bài toán (7) - (9) được xây dựng bằng thuật giải xấp xỉtuyến tính Ngoài ra một đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 theo tham số bé ε cũng được

thiết lập nhưng sự khác biệt của khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (7) - (9)

so với các kết quả trước kia là việc thực hiện khai triển Taylor không chỉ số hạng nguồn

f mà còn khai triển cho cả tích phân phi tuyến

Z t

0 g(x, t, s, u(x, s), ut(x, s), ux(x, s))dschứa trong nó Theo hiểu biết của chúng tôi thì kỹ thuật này chưa được sử dụng trướckia Các kết quả này đã được công bố trong [N3]

Một trường hợp riêng của bài toán (7) - (9) khi

f x, t, u, ut, ux,

Z t

0 g(x, t, s, u(x, s), ut(x, s), ux(x, s))ds = f(x, t, u)+

Z t

0 g(x, t, s, u(x, s))ds λut, ta được bài toán sau

Bài toán 2. Chúng tôi khảo sát phương trình sóng với nguồn phi tuyến chứa sốhạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian

với các điều kiện biên và ban đầu (8), (9), trong đó λ 6= 0 là một hằng số và ˜u0, ˜u1, f ,

g, µ là các hàm cho trước Trước hết, chúng tôi xây dựng một dãy lặp phi tuyến fumgđược xác định bởi

N 1

∑

i = 0

1 i!

Z t

0 Di4g(x, t, s, um 1(x, s)) (um(x, s) um 1(x, s))ids,

(14)

và um thỏa mãn (8), (9) Bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin chúng tôi chứng minh được

sự tồn tại của dãy lặp được xác định như trên, ngoài ra dãyfumghội tụ về nghiệm yếu

duy nhất u của bài toán tương ứng với tốc độ hội tụ bậc N theo nghĩa sau

kum ukL ∞(0,T;V)+ ku0m u0kL ∞(0,T;L2 )

C kum 1 ukL ∞(0,T;V)+ u0m 1 u0 L∞(0,T;L2 )

N

,(15)

trong đó C là một hằng số độc lập với m

Thuật giải lặp cấp cao đã được một số các giả sử dụng thành công cho một số bàitoán [63], [64], [79], [80], tuy nhiên số lượng bài báo công bố sử dụng phương pháp nàychưa nhiều Trong [79], các tác giả đã sử dụng thuật giải lặp cấp cao cho bài toán kiểuKirchhoff - Carrier

Kết quả thu được ở đây của luận án xem như là sự mở rộng một số kết quả trướckia [2], [41], [55], [61], [64] và đã được công bố trong [N2]

Trong chương 2, chúng ta sẽ khảo sát bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyếnmột chiều kiểu Kirchhoff-Carrier chứa các số hạng phi địa phương dạng tích phân theobiến không gian như sau

Phương trình (17) là phương trình sóng kiểu Kirchhoff - Carrier Thật vậy, khi

σ(x, y, t, u, ux) = u2x, f = 0, phương trình (17) trở thành phương trình sóng

Kirch-hoff có dạng (2) Trong một trường hợp khác, với σ(x, y, t, u, ux) = u2, f = 0, khi đóphương trình (17) trở thành phương trình Carrier [8] mô tả dao động của một sợi dâyđàn hồi

trong đó µ, g là các hàm cho trước và µ là hàm không tăng thỏa mãn điều kiện

µ(t) > µ0 > 0 Trong [60], bằng việc liên kết phương pháp xấp xỉ tuyến tính các

số hạng phi tuyến, phương pháp Faedo - Galerkin và phương pháp compact yếu, cáctác giả đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán giá trị biên

và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến utt ∂

∂x µ(x, t, u,kuk2,kuxk2)ux =

F(x, t, u, ux, ut) với các điều kiện biên không thuần nhất Zhang [83] đã chứng minhđược sự tồn tại duy nhất, tính chính qui và tắt dần theo đa thức của nghiệm toàn cục

của bài toán kiểu Kirchhoff như sau

trong đó ∂Ω = Γ0[Γ1, ¯Γ0\Γ¯1 = ?; ν là véctơ đơn vị hướng ra ngoài trên biên và M

là một hàm liên tục nhận giá trị không âm

Lee và đồng sự [29] đã cho một kết quả về tính tắt dần tổng quát của nghiệm củaphương trình nửa tuyến tính kiểu Kirchhoff chứa tắt dần Bakrishnan-Taylor có trễ vàvới điều kiện biên cộng hưởng

hợp riêng sau đây của bài toán (17) - (19):

Trường hợp f x, t, u, ux, ut,

Z 1

0 g(x, t, y, u(y, t), ux(y, t), ut(y, t))dy = f(x, t)và với

trong đó µ, f , g, ˜u0, ˜u1là các hàm cho trước và h0 0 là một hằng số cho trước.

Trường hợp µ =1 và với các điều kiện biên Robin, ta có bài toán

Các kết quả tương tự của bài toán (17) - (19) về hai bài toán (26), (27) đã được công

bố trong [N5] và gửi đăng trong [N6] Có thể nói các kết quả thu được của bài toán (17)

- (19) như là sự mở rộng tương đối các kết quả trong các bài báo kể trên

Trong chương 3, chúng tôi xét bài toán Robin cho phương trình sóng phi tuyến vớinguồn chứa các số hạng phi địa phương như sau

utt uxx = f x, t, u(x, t), u(η1, t), , u(ηq, t), ut(x, t) , 0< x<1, 0<t< T, (28)

ux(0, t) h0u(0, t) =ux(1, t) +h1u(1, t) =0, (29)

u(x, 0) = u˜0(x), ut(x, 0) = u˜1(x), (30)trong đó f , ˜u0, ˜u1 là các hàm cho trước và h0, h1 0, η1, η2, , ηq là các hằng số chotrước thỏa h0+h1 >0, 0 η1 <η2< <ηq 1

Trong [22], các tác giả đã thiết lập các định lý duy nhất nghiệm suy rộng cho một

lớp bốn bài toán với điều kiện biên nonlocal nhiều điểm; một trong số đó là bài toán:

trong đó ξi là các số thực thỏa mãn điều kiện 0 ξ1 < ξ2 < ξk < L và αi(t),

i=1, 2, k là các hàm tùy ý xác định trên đoạn[0, T]

Số hạng nonlocal không chỉ xuất hiện trên biên mà đôi khi còn xuất hiện trênphương trình [12], [30], [50], [63] [68], Trong [68], các tác giả đã xét bài toán biên vớiđiều kiện biên động lực cho phương trình sóng nonlocal phi tuyến tắt dần mạnh8

Phần kết luận Trình bày tóm tắt nội dung chính của luận án, các kết quả đã đạt được

và hướng phát triển của luận án

Phần phụ lục

Danh mục công trình của tác giả

Tài liệu tham khảo

Toàn bộ các kết quả trình bày trong luận án đã được công bố trong [N1] - [N5] và

đã gửi công bố [N6] Ngoài ra một phần kết quả đã được báo cáo tại các hội nghị:Đại hội toán học Việt Nam lần 8, Nha Trang 10-14/08/2013

Hội nghị toán học miền Trung - Tây Nguyên lần 1, Qui Nhơn 12-14/08/2015.Hội nghị Ứng dụng toán học toàn quốc lần 4, Hà Nội 23-25/12/2015

Hội nghị khoa học lần 10, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM 11/11/2016.Hội nghị toán học miền Trung - Tây Nguyên lần 2, Đà Lạt 9-11/12/2017

Các không gian hàm thông dụng

Định nghĩa các không gian hàm thông dụng được nêu trong nhiều tài liệu giảitích Luận án sử dụng các không gian hàm sau Wm,p(0, T), Lp(0, T) = W0,p(0, T),

Hm(0, T); Wm,p(QT), Lp(QT), Hm(QT), , QT = Ω (0, 1), và có viết lại ký hiệucho gọn hơn trong trường hợpΩ = (0, 1) :

Wm,p=Wm,p(0, 1), Lp = Lp(0, 1), Hm =Wm,2(0, 1), 1 p ∞, m=0, 1,

Có thể xem định nghĩa các không gian hàm này trong hai tài liệu Brézis [7], Lions [31].Xét riêng không gian L2, chuẩn được ký hiệu bởi k k Ký hiệu h , i để chỉ tích vôhướng trong L2hoặc tích đối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần tử củakhông gian hàm

Không gian Lp ( 0, T; X ) , 1 p ∞

Cho không gian Banach X với chuẩnk kX Ta ký hiệu Lp(0, T; X), 1 p ∞, đểchỉ không gian Banach của các hàm u :(0, T)! Xđo được, sao chokukLp( 0,T;X ) < +∞,trong đó

Khảo sát bài toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân theo biến thời gian

Chương này khảo sát hai bài toán biên cho phương trình sóng một chiều Mục 1.1chúng tôi xét bài toán biên Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến với nguồnchứa số hạng phi địa phương Nghiệm yếu duy nhất của bài toán được thiết lập bằngthuật giải xấp xỉ tuyến tính Ngoài ra, một khai triển tiệm cận cho nghiệm yếu của bàitoán cũng được thành lập ở mục 1.2 Trong mục 1.3 chúng tôi xét một trường hợp riêngcủa bài toán đã được xét ở mục 1.1, các kết quả về sự tồn tại và duy nhất được chứngminh nhờ vào một phương pháp hội tụ bậc cao về nghiệm yếu của bài toán Các kếtquả được trình bày ở đây đã được công bố trong [N2], [N3]

Trước hết, chúng tôi định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) như sau:Nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) là một hàm u 2 L∞(0, T; V\ H2), với

ut 2 L∞(0, T; V), utt 2 L∞(0, T; L2)và u thỏa mãn phương trình biến phân

hutt(t), wi +A(t; u(t), w) = hf[u](t), wi, (1.1.4)với mọi w2 V, hầu hết t2 (0, T), cùng với các điều kiện đầu

u(0) = u˜0, ut(0) = u˜1, (1.1.5)

trong đó V = fv 2 H1 : v(1) = 0g, fA(t; , )gt 0là họ các dạng song tuyến tính đốixứng trên V Vđược xác định bởi

A(t; u, v) = hµ(t)ux, vxi +h0µ(0, t)u(0)v(0),8u, v2 V, t 0, (1.1.6)và

Định lý 1.1.1 Giả sử các giả thiết(H1) (H4)được thỏa Khi đó tồn tại các hằng số M,

T > 0 sao cho, với u0 u˜0, tồn tại một dãy qui nạp fumg W1(M, T)được xác định bởi (1.1.9) - (1.1.10).

Chứng minh Phần chứng minh gồm một số bước như sau

Bước 1 Xấp xỉ Faedo-Galerkin(xem Lions [31]) Xét wjlà một cơ sở của V (Bổ đề A5

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm.

Sm(k)(t) = p(mk)(t) +q(mk)(t) +

Z t

0 u¨(mk)(s) 2ds, (1.1.16)trong đó

Z t

0 hFm(s), ˙u(mk)(s)ids 2hFm(t),4u(mk)(t)i+2

với mọi β>0 Mặt khác, do (1.1.22) ta suy ra rằng

(1.1.29)

trong đó để thu gọn các biểu thức ta đã sử dụng các kí hiệu

Ta viết lại phương trình (1.1.11)1như sau

S(mk)(t) D0(k)+D1(M, T) +D2

Z t

0 S(mk)(s)ds, (1.1.37)

Do sự hội tụ được cho bởi (1.1.12), ta suy ra rằng tồn tại một hằng số M>0 độc lậpvới k và m để mà

D0(k)(f , µ, ˜u0k, ˜u1k) 12M2 (1.1.39)Chú ý rằng, từ (1.1.38)2và các giả thiết(H3) (H4)ta có được

kT =2 1+ 1

p

µ0

!p

TKM(f) (1+T ¯KM(g))exp 1

2T 1+

1

µ0K˜(µ) <1. (1.1.42)Cuối cùng, từ (1.1.37), (1.1.39) và (1.1.41) ta suy ra rằng

um 2W1(M, T) Định lý 1.1.1 được chứng minh xong.

Sử dụng kết quả của Định lý 1.1.1 và các định lý nhúng compact chúng tôi chứngminh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1.1)-(1.1.3) Kết quả này đượcxác nhận bởi định lý sau đây

Định lý 1.1.3 Giả sử các giả thiết(H1) (H4)được thỏa Khi đó

(i)Bài toán (1.1.1)-(1.1.3) có duy nhất một nghiệm yếu u2 W1(M, T), trong đó các hằng

số M>0 và T >0 được chọn như trong Định lý 1.1.1.

(a) Sự tồn tại nghiệm.

Trước hết, ta chú ý rằng W1(T) là một không gian Banach với chuẩn tương ứng(xem Lions [31])

kvkW1( T ) = kvkL ∞(0,T;V)+ v0 L∞(0,T;L2 )

Ta sẽ chứng minh rằngfumglà dãy Cauchy trong W1(T)

Đặt wm =um+ 1 um Khi đó wmthỏa mãn bài toán biến phân

(1.1.54)

Do đó

jJ2j 2

Z t

0 hFm+ 1(s) Fm(s), w0m(s)ids4TK2M(f) (1+T ¯KM(g))2kwm 1k2W1( T )+

um um + p W1( T ) ku0 u1kW1( T )(1 kT) 1kmT, 8m, p 2 N (1.1.58)Đánh giá (1.1.58) chứng tỏ rằngfumglà một dãy Cauchy trong W1(T) Do đó, tồntại u2W1(T)sao cho

um !umạnh trong W1(T) (1.1.59)Chú ý rằng um 2W1(M, T), khi đó tồn tại một dãy confumjgcủafumgsao cho

(1.1.60)1,3và (1.1.62) ta có được sự tồn tại hàm u 2W(M, T)thỏa mãn phương trình

hu00(t), wi +A(t; u(t), w) = hf[u](t), wi, (1.1.63)với mọi w2 Vvà các với điều kiện đầu

(b) Tính duy nhất nghiệm.

Giả sử u1, u2 2 W1(M, T) là hai nghiệm yếu của bài toán (1.1.1)-(1.1.3) Khi đó

u=u1 u2thỏa mãn bài toán biến phân

Z(t) = ku0(t)k2+A(t; u(t), u(t)) ku0(t)k2+µ0ku(t)k2a (1.1.69)Bây giờ, ta đánh giá các tích phân bên vế phải của (1.1.68) như sau

Do các giả thiết(H2)và(H3), ta dễ dàng có được

p

µ0 +1

!Z

t 0

Sử dụng Bổ đề Gronwall, kéo theo rằng Z(t) 0, nghĩa là, u1 u2

Do vậy,(i)được chứng minh xong và kéo theo ta có (ii) Định lý 1.1.3 được chứngminh hoàn tất

1.2 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu

Trong mục này, chúng ta sẽ xét một dạng xấp xỉ nghiệm yếu bởi một đa thức theo

tham số bé ε, được gọi là khai triển tiệm cận của nghiệm.

Xét bài toán nhiễu theo tham số bé ε, vớijεj 1 như sau:

(H20) g1 2 C1([0, 1] ∆ R3), ∆= f(t, s) 2 R2+ : s tg;(H30) f12 C1([0, 1] R+ R4).

Trước hết, ta cần chú ý rằng nếu các hàm f , f1, g, g1 thỏa mãn (H2), (H20), (H3),(H30)thì các đánh giá tiên nghiệm của dãy xấp xỉfu(mk)gtrong chứng minh của Định lý1.1.1 cho bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với f =Fε[u],jεj 1, thỏa mãn

u(mk) 2 W1(M, T), (1.2.1)

trong đó M, T là các hằng số độc lập với ε.

Ta cũng chú ý rằng với các hằng số dương M và T được chọn như trong (1.1.38),(1.1.39), (1.1.41), (1.1.42) mà trong đó kf ( , 0, ˜u0, ˜u1, ˜u0x, 0)k, KM(f), ¯KM(g), được lầnlượt thay bởi

kf ( , 0, ˜u0, ˜u1, ˜u0x, 0)k + kf1( , 0, ˜u0, ˜u1, ˜u0x, 0)k,

KM(f) +KM(f1),maxfK¯M(g), ¯KM(g1)g,

(1.2.2)

khi đó, dãyfu(mk)g hội tụ yếu trong các không gian hàm thích hợp (khi k ! +∞, sau

đó m! +∞) về nghiệm yếu duy nhất uε của bài toán(Pε)thỏa mãn

Khi đó, ta có thể chứng minh tương tự như trong Định lý 1.1.3 rằng giới hạn u0

trong không gian hàm thích hợp của họ nghiệmfuεg khi ε ! 0 là nghiệm yếu duynhất của bài toán(P0)(tương ứng với ε =0) thỏa mãn

Tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm của bài toán(P) theo

tham số bé ε Điều này cần các giả thiết tăng cường sau đây

Định lý 1.2.1 Giả sử(H1),(H2(N)),(H3(N))và(H4)được thỏa Khi đó, tồn tại các hằng số

M>0 và T >0 để mà với mọi ε2 [ 1, 1], bài toán(Pε)có duy nhất nghiệm u ε 2 W1(M, T)

thỏa mãn một khai triển tiệm cận đến cấp N+1 được cho như sau

Để chứng minh Định lý 1.2.1 ta cần các bổ đề sau đây

Bổ đề 1.2.2 Cho ¯Φk[N, f , g, u0, ¯u], 1 k N, là các hàm được xác định bởi các công thức(1.2.8)-(1.2.11)

jεjN+1R(N5)[ε , γ, g, u0, ¯u] = jεjN+1hγ1

1 (h10)γ2(rh1)γ3R(N4)[ε , γ4, g, u0, h1, ¯u] (1.2.32)

T, f , g, uγ, 1 k N.

Bổ đề 1.2.2 được chứng minh xong

Tiếp theo, để đạt được kết quả chứng minh Định lý 1.2.1 chúng ta cần Bổ đề 1.2.3sau đây

Cho u = uε 2 W1(M, T) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (Pε) Khi đó v =

trong đó

jεjN+1R˜N[f , g, f1, g1, u0, ¯u, ε]

= jεjN+1RˆN[f , g, u0, ¯u, ε] +εjεjN RˆN 1[f1, g1, u0, ¯u, ε]

(1.2.43)Liên kết (1.2.7), (1.2.38) và (1.2.42) dẫn tới