Nghiên cứu một số bài toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——oo—— NGUYỄN VĂN Ý NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP Hồ Chí Minh - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——oo—— NGUYỄN VĂN Ý NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI TUYẾN Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 62 46 01 02 Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Hội Nghĩa Phản biện 3: TS Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 1: PGS TS Nguyễn Hội Nghĩa Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Thành Nhân NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN MINH THUYẾT TS NGUYỄN THÀNH LONG TP Hồ Chí Minh - 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận án cơng trình nghiên cứu hồn thành hướng dẫn TS Trần Minh Thuyết TS Nguyễn Thành Long Các kết luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Các báo có đồng tác giả đồng tác giả cho phép sử dụng để viết luận án Tác giả luận án Nguyễn Văn Ý i Lời cảm ơn Qua luận án này, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến hai thầy hướng dẫn khoa học tôi, TS Trần Minh Thuyết TS Nguyễn Thành Long Các Thầy tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tạo điều kiện cho mặt học tập nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Lê Thị Phương Ngọc ý kiến đóng góp q báu cho tơi q trình làm luận án Tơi xin cảm ơn nhà khoa học thành viên Hội đồng chấm luận án cấp Đơn vị chuyên môn cấp Cơ sở đào tạo chuyên gia phản biện đọc tỉ mỉ thảo luận án cho nhận xét, góp ý q báu giúp cho luận án hồn thiện Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Tin học, Bộ mơn Tốn Giải tích Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tơi học tập hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ biết ơn đến Ban giám hiệu Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Trường Đại học Cơng nghiệp Thực phẩm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi nhiều mặt để tơi hồn thành chương trình nghiên cứu sinh Tơi xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp ln bên tơi có động viên kịp thời giúp tơi có thêm động lực để hồn thành nhiệm vụ học tập Tơi muốn gửi lời cảm ơn đặc biệt đến cha mẹ tơi tình yêu hinh sinh cao họ dành cho tơi để tơi có ngày hơm Cuối cùng, lời tri ân sâu thẳm muốn gởi đến vợ tôi, họ người bạn đồng hành ln tin u, chia sẻ, gánh vác giúp tơi có thêm động lực vượt qua khó khăn để hồn thành nhiệm vụ Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017 NGUYỄN VĂN Ý ii Mục lục Danh sách ký hiệu Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt 10 Mở đầu Chương 1.1 Sự tồn nghiệm yếu 10 1.2 Tính bị chặn nghiệm 23 1.3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm t ! +∞ 25 Nhận xét chương Chương 30 Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biện Robin phụ thuộc 31 2.1 Sự tồn nghiệm yếu 32 2.2 Tính bùng nổ nghiệm 44 2.3 Tính tắt dần mũ nghiệm 48 Nhận xét chương 54 Chương Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên Robin độc lập 56 3.1 Sự tồn nghiệm yếu 57 3.2 Tính bùng nổ nghiệm 61 3.3 Tính tắt dần mũ nghiệm 65 Nhận xét chương 73 Kết luận 74 Phụ lục 76 A Không gian Sobolev chiều 76 A1 Đạo hàm suy rộng 76 A2 Không gian Sobolev 76 A3 Xấp xỉ hàm không gian Sobolev hàm trơn 77 A4 Vài bổ đề thông dụng 77 B Không gian L p (0, T; X ), ∞ 78 C Một số bất đẳng thức 78 p iii iv Mục lục C1 Bất đẳng thức Cauchy 78 C2 Bất đẳng thức Young 79 C3 Bất đẳng thức Holder 79 C4 Bất đẳng thức Gronwall (dạng tích phân) tuyến tính 79 C5 Bất đẳng thức Gronwall (dạng tích phân) phi tuyến 79 D Định lý Ascoli-Arzela 81 E Một số định lý điểm bất động 81 F Một số kết khác 81 Danh mục cơng trình tác giả 85 Tài liệu tham khảo 86 Danh sách ký hiệu Ký hiệu tập hợp N Z R Z+ R+ = [0, ∞) Ω = (0, 1) QT = Ω (0, T ), với T > Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên không âm Tập hợp số thực không âm Ký hiệu đa số jαj = α1 + + α N N Bậc đa số α = (α1 , , α N ) Z+ Ký hiệu đạo hàm u (t) ( x ) = u ( x, t) Với t, u(t) hàm theo biến x ∂u ∂t ∂2 u utt (t) = u00 (t) = ∂t ∂u u x (t) ru (t) = ∂x ∂2 u u xx (t) ∆u (t) = ∂x ut (t) = u0 (t) = f = f ( x1 , x2 , , xn ) Dik f = ∂k f ∂xik Đạo hàm riêng bậc k hàm f theo biến xi Dα f = ∂jαj f ∂x1α1 ∂x αNN N D1α1 D αNN f , với α = (α1 , , α N ) Z+ Danh sách ký hiệu Các không gian hàm thông dụng X, X Không gian Banach X đối ngẫu X k kX Chuẩn không gian X h, i Tích vơ hướng L2 (Ω) cặp tích đối ngẫu C0 (Ω) X X ( X L2 (Ω)) Không gian hàm số u : Ω ! R liên tục Ω C (Ω) C m (Ω) Không gian hàm u C0 (Ω) cho Di u C0 (Ω) với i = 1, 2, , m C m (Ω) Không gian hàm u C m (Ω) cho Di u bị chặn liên tục Ω C ∞ (Ω) T∞ m =0 C m (Ω) C0∞ (Ω) Không gian hàm u C ∞ (Ω) có giá compact L p = L p (Ω) Không gian lớp tương đương chứa hàm đo Lebesgue R u : Ω ! R thỏa Ω ju( x )j p dx < ∞, với p < ∞ L∞ = L∞ (Ω) W m,p = W m,p (Ω) m,p W0 m,p Không gian lớp tương đương chứa hàm đo Lebesgue u : Ω ! R, bị chặn cốt yếu fu L p : Di u L p , i mg = W0 (Ω) Bao đóng C0∞ (Ω) W m,p H m = H m (Ω) W m,2 C ([0, T ]; X ) Không gian Banach hàm liên tục u : [0, T ] ! X chuẩn kukC([0,T ];X ) = max0 t T ku(t)k X L p (0, T; X ) Không gian Banach gồm lớp tương đương chứa hàm đo u : [0, T ] ! X chuẩn 1/p p < RT < ∞, p < ∞, ku(t)k X dt kuk L p (0,T;X ) = : ess sup p = ∞ t T k u ( t )k X , Giới thiệu Lý thuyết toán biên cho phương trình đạo hàm riêng lĩnh vực quan trọng toán học lý thuyết áp dụng Các toán xuất nhiều khoa học kỹ thuật, vật lý, hóa học, sinh học, nghiên cứu rộng rãi nhiều nhà tốn học Q trình tìm kiếm nghiệm cho tốn biên góp phần lớn vào phát triển giải tích hàm phi tuyến mặt lý thuyết (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, ) phương pháp nghiên cứu (phương pháp xấp xỉ, phương pháp nghiệm trên-nghiệm dưới, ) Một tốn biên thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu sâu rộng nhiều nhà toán học tốn giá trị biên cho phương trình nhiệt, có tốn giá trị biên ban đầu cho phương trình nhiệt phi tuyến có khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với loại điều kiện biên khác Nhiều cơng trình nghiên cứu tốn biên cho phương trình nhiệt khoa học ứng dụng đăng tải nhiều tài liệu, chẳng hạn [14, 27, 34, 40, 44, 52, 84] tài liệu tham khảo đó, báo đăng tạp chí khoa học có uy tín tác Friedman [15, 35], Lacey [42, 43], Levine [45, 46, 47], Long [5, 6, 58], Messaoudi [63, 64, 65, 66, 12, 67], Payne [76, 77, 78, 79], Năm 1807, Fourier thiết lập phương trình truyền nhiệt K ∂u = ∆u, ∂t c (1) sau hồn thiện xuất tác phẩm "Analytic Theory of Heat" năm 1822 (xem [69]) Cho đến nay, lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng ngừng phát triển làm tảng cho nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng điện hóa, nhiệt điện, trình dẫn nhiệt, động học phát triển dân số, phản ứng hạt nhân, y học, hóa sinh, sinh thái học, (xem [69, 84]) Nhiều kết định tính định lượng công bố liên quan đến phương trình nhiệt phi tuyến chiều nhiều chiều kết hợp với điều kiện biên khác đề cập nhiều cơng trình nghiên cứu, chẳng hạn [2] – [8], [15], [18] – [26], [28] – [32], [35] – [39], [41] – Giới thiệu [43], [45] – [50], [52] – [68], [72], [74] – [79], [83], [85], [87] – [98], [Y1] – [Y3] tài liệu tham khảo Hiện nay, có nhiều phương pháp khác để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt tốn biên cho phương trình nhiệt phi tuyến với điều kiện biên khác phương pháp biến phân, phương pháp đơn điệu, phương pháp nghiệm - nghiệm dưới, Tuy nhiên, phương pháp chung để nghiên cứu khía cạnh khác toán biên phi tuyến phong phú đa dạng Vì xét đến tốn cụ thể cịn nhiều dạng toán "bài toán mở" - cần tiếp tục khảo sát Bằng cách lựa chọn công cụ tốn học thích hợp mang tính đặc thù, cố gắng tìm nhiều tốt tính chất nghiệm mà thơng thường ta xem xét tính giải tốn tính chất có nghiệm tốn tính nhất, tính trơn, tính ổn định, tính tuần hồn, tính bị chặn, tính bùng nổ, tính tắt dần, dáng điệu tiệm cận nghiệm, Chính thế, việc khảo sát toán giá trị biên ban đầu cho phương trình nhiệt phi tuyến cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Luận án trình bày kết nghiên cứu cho ba toán biên cụ thể cho ba dạng phương trình nhiệt phi tuyến chiều có khơng có số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên Robin, liên quan mật thiết đến toán biên nêu Dưới giới thiệu số nét tổng quan nội dung luận án Nội dung thứ nhất, trình bày Chương 1, liên quan đến tốn cho phương trình nhiệt phi tuyến ut ∂ [µ( x, t)u x ] + f (u) = f ( x, t), ( x, t) (0, 1) ∂x (0, T ), (2) g1 ( t ) , (3) liên kết với điều kiện biên Robin không u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = điều kiện đầu u ( x, 0) = u0 ( x ) , (4) h0 , h1 số với h0 + h1 > u0 , µ, f , f , g0 , g1 hàm số cho trước Bài tốn thuộc dạng có nhiều ý nghĩa vật lý, hóa học, sinh học, đề cập nhiều cơng trình nghiên cứu nhiều tác giả từ trước đến tài liệu tham khảo (xem [2] – [8], [15], [18] – [26], [28], [32], [35] – [38], [41] – [43], [45] – [50], [52], [54] – [64], [68], [72], [74] – [79], [83], [85], [87], [88] – [91], [95] - [98] [Y1]) Điều kiện (3) gọi điều kiện Robin Đơi lúc cịn gọi (3) điều kiện DirichletRobin, chúng kết nối điều kiện Dirichlet điều kiện Neumann Trong trường 79 Phụ lục C2 Bất đẳng thức Young Cho p, q (1, ∞) thỏa p +q = Khi εp p ε q q a + b , a, b p q ab C3 0, ε > Bất đẳng thức Holder Cho < p, q < ∞, p +q Z Ω = Khi f L p (Ω) g Lq (Ω) ta có j f gj dx k f k L p (Ω) k g k Lq (Ω) Hơn bất đẳng thức với p = 1, q = ∞ C4 Bất đẳng thức Gronwall (dạng tích phân) tuyến tính Cho ζ (t) hàm khả tích, khơng âm [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức ζ (t) C1 + C2 Z t ζ (s)ds, a.e t [0, T ] Khi ζ (t) C1 exp(C2 t), a.e t [0, T ] ζ (t) C2 Đặc biệt, Z t ζ (s)ds, a.e t [0, T ], ζ (t) = a.e t [0, T ] C5 Bất đẳng thức Gronwall (dạng tích phân) phi tuyến Bổ đề C.5 (Bổ đề 2.1.3) Giả sử x : [0, T ] ! R+ hàm liên tục thỏa mãn bất đẳng thức Z t x (t) M + k(s)ω ( x (s))ds, t [0, T ], M khơng giảm Đặt 0, k : [0, T ] ! R+ hàm liên tục ω : R+ ! (0, ∞) hàm liên tục Ψ(u) = Khi Z u dy ω (y) , u 80 Phụ lục (i) Nếu Z +∞ dy = +∞ ta có đánh giá ω (y) Ψ x (t) (ii) Nếu Z +∞ dy ω (y) Ψ( M) + Z t k (s)ds , 8t [0, T ]; < +∞ ta có đánh giá Ψ x (t) T xác định Ψ( M) + Z T Z t k (s)ds < k (s)ds , 8t [0, T ], Z +∞ dy ω (y) M Chứng minh bổ đề C.5 Đặt y(t) = M + Do ( Z y(t) dz ω (z) M Z t k (s)ω ( x (s))ds, t [0, T ], y0 (t) = k (t)ω ( x (t)) y(0) = M = Z y(t) dz y (0) ω (z) = Z t k (t)ω (y(t)), y0 (s) ds ω (y(s)) điều có nghĩa Ψ(y(t)) Do hàm z ! ω (z) Ψ( M) + Z t Z t k (s)ds, k (s)ds liên tục ω (z) > R+ , nên u ! Ψ(u) = Z u dy ω (y) không giảm R+ , điều dẫn đến hàm Ψ : Ψ(R+ ) ! R+ xác định không giảm Ψ(R+ ) Z +∞ dy Nếu Ψ(+∞) = = +∞, ta có Ψ(R+ ) = [0, +∞) = R+ , nên ω (y) x (t) Nếu Ψ(+∞) = y(t) Z +∞ dy ω (y) Ψ Ψ( M) + Z t k (s)ds , 8t [0, T ] h R +∞ < +∞, ta có Ψ(R+ ) = 0, dy ω (y) Chọn T (0, T ] 81 Phụ lục cho Ψ( M) + Z T Ψ( M) + Z t k(s)ds < k (s)ds Z +∞ dy , ta Ψ( M) + Z T ω (y) 0 k (s)ds < Z +∞ dy ω (y) , 8t [0, T ], điều có nghĩa Ψ( M) + Z t k (s)ds Ψ(R+ ), 8t [0, T ], x (t) D y(t) Ψ Ψ( M) + Z t k (s)ds , 8t [0, T ] Định lý Ascoli-Arzela Cho A tập C0 ([0, T ]; Rm ) Khi A tập compact C0 ([0, T ]; Rm ) A thỏa điều kiện sau: (i ) A bị chặn đều, tức là: M > : k f (t)kRm M, 8t [0, T ], f A (ii ) A đẳng liên tục, tức 8ε > 0, 9δ > : 8t, t0 [0, T ], t E t0 < δ ) f (t) f (t0 ) Rm < ε, f A Một số định lý điểm bất động Định lý E.1 (Schauder) Cho X tập lồi đóng khác rỗng bị chặn khơng gian Banach E U ánh xạ liên tục từ X vào X cho U ( X ) compact tương đối Khi U có điểm bất động X Định lý E.2 (Một hệ bổ đề Brouwer) Cho P : Rm ! Rm liên tục thỏa 9ρ > : h Px, x iRm 0, x Rm , k x kRm = ρ Khi tồn x, k x kRm ρ cho P( x ) = F Một số kết khác Định lý F.1 Cho Q tập mở, bị chặn R N Gm , G Lq ( Q), < q < ∞ cho k Gm k Lq (Q) C, C số độc lập m Gm ! G với hầu hết x Q Khi Gm ! G Lq ( Q) yếu 82 Phụ lục Bổ đề F.2 (Bổ đề 2.1.2) Với f C (R; R) ta đặt Φ (r ) = < sup j f (u)j , r > 0, : juj r j f (0)j , r = 0, Φ C (R+ ; R+ ) hàm số không giảm cho Φ (juj) , 8u R j f (u)j Chứng minh bổ đề F.2 Gồm hai bước Bước Với f C (R+ ; R+ ), hàm Φ xác định Φ (r ) = < sup f ( x ), r > 0, : x 0, limr!r+ Φ(r ) = Φ(r0 ) = limr!r Φ(r ) 0 Kiểm tra (iia): 8ε > 0, f C (R+ ; R+ ), nên suy 9δ > : =) x < δ =) j f ( x ) f (0)j < ε f ( x ) < f (0) + ε = Φ(0) + ε, Φ(δ) = sup f ( x ) Φ(0) + ε x 0, Φ(r0 ) = sup f ( x ) nên ta x : 8r, r0 Với r0 ε ε < f (r ) < f (r0 ) + 2 r < r0 + δ =) f (r0 ) r < r0 + δ, Φ(r ) = sup f (y), nên tồn y [0, r ) cho y 0, : j x j