MỘT số bài TOÁN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN tt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN =======o0o======= VÕ VĂN ÂU MỘT SỐ BÀI TỐN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN Ngành: Tốn Giải tích Mã số ngành: 62 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh - Năm 2019 Cơng trình hoàn thành tại: Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh ********** Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN HUY TUẤN Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: PGS.TS Mai Đức Thành Phản biện 3: TS Nguyễn Anh Triết Phản biện độc lập 1: PGS.TS Lê Thị Phương Ngọc Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Anh Triết Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc ngày 09 tháng 11 năm 2019 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên-HCM LỜI NĨI ĐẦU Bài tốn ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất nhiều lĩnh vực khác cơng nghệ, vật lý, sinh học, Đó toán kiện trình vật lý khơng đo đạc trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ kiện đo đạc gián tiếp Chúng tơi đề cập tới phương trình parabolic ngược thời gian Đó tốn tìm nghiệm (hàm phân bố nhiệt độ, mật độ dân số, ) điều kiện thời điểm ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện thời điểm cuối (đó lý toán gọi ngược thời gian) Theo chúng tơi biết, số lượng cơng trình tốn ngược cho phương trình parabolic lớn cơng bố tạp chí uy tín nhà xuất lớn như: Springer, Elsevier, IOP science, Taylor Francis Tuy nhiên kết thường tập trung nghiên cứu toán với hàm nguồn tuyến tính Các kết hàm nguồn phi tuyến chưa nghiên cứu tỉ mỉ Trong luận án này, tập trung trình bày ba chủ đề toán parabolic ngược thời gian phi tuyến Chủ đề 1, xét toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số Chủ đề 2, xét toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phi địa phương Chủ đề 3, xét toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phi tuyến Bài tốn parabolic thuận có nhiều dạng nghiên cứu khác (dáng điệu nghiệm, tính nổ, tính tắt dần, ), với Chủ đề 1, Chủ đề Chủ đề 3, tập trung nghiên cứu khơng chỉnh loại tốn Bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa ba trường hợp sau xảy ra: i) Bài tốn khơng có nghiệm; ii) Bài tốn có nghiệm nghiệm khơng nhất; iii) Bài tốn có nghiệm nghiệm không ổn định Việc nghiên cứu tốn ngược khơng chỉnh bắt nguồn từ thực tế Thật vậy, vụ hỏa hoạn, đo nhiệt độ thời điểm bắt đầu cháy nhiệt độ lúc cháy (t > 0) mà ta xác định nhiệt độ thời điểm sau (t > t ) Cũng tương tự, sinh học, việc xác định mật độ cá thể loài sinh vật thời điểm khứ vấn đề quan tâm nhà sinh vật học Tuy nhiên, việc khảo sát khó khăn, biết mật độ cá thể thời điểm lúc quan sát Trong thực tế, đo đạc liệu cách xác, nghĩa đo đạc phải có sai số (do yếu tố ngoại cảnh hay dụng cụ đo đạc) Khi có sai số dù nhỏ liệu thời điểm cuối, xảy chênh lệch lớn nghiệm thời điểm ban đầu Thông thường đo đạc liệu, thường nhận liệu xác, mà nhận liệu tương đối gần với liệu xác mà thơi Điều gây nhiều khó khăn việc tính tốn số liệu Vì thế, nhiệm vụ để khảo sát toán đưa toán chỉnh hóa, tức tốn xấp xỉ toán Dưới đây, giới thiệu số nét tổng quan nội dung luận án Nội dung thứ nhất, trình bày Chương 2, liên quan đến toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số không gian Hilbert   u t + Au = F (t ; u(t )), t ∈ (0, T ),  u(T ) = ϕ, (0.1) với A toán tử dương, tự liên hợp, không bị chặn H ϕ ∈ H cho trước Năm 1967, Lattes Lions, đưa phương pháp tựa đảo (Quasi-reversibility method (QR)) để chỉnh hóa toán toán (0.1) Các tác giả xấp xỉ A toán tử A ε = A − εA , dẫn đến toán chỉnh sau   u t + (A − εA )u = 0, t ∈ (0, T ), (0.3)  u(T ) = ϕ c Bậc ổn định phương pháp e ε Do đó, bậc ổn định lớn Năm 1975, R.E Showalter dùng phương pháp (QR) với A ε = A(I +εA)−1 , ε > 0, để đưa toán xấp xỉ sau   u t + Au + εAu t = 0, t ∈ (0, T ),  u(T ) = ϕ (0.4) Ưu điểm phương pháp chỗ A(I + εA)−1 tốn tử tuyến tính bị chặn Điều dẫn đến tính đặt chỉnh toán, Hơn nữa, phương pháp cho nghiệm xấp xỉ tốt phương pháp Lattes Lions Năm 1973, K Miller phát triển ý tưởng Lattes Lions, đưa phương pháp ổn định tựa đảo (Stabilized quasi-reversibility (SQR)) Các tác giả xét toán xấp xỉ sau   u t + R(A)u = 0,  u(T ) = ϕ, t ∈ (0, T ), (0.5) R(A) xấp xỉ A A số dương bé R(A) bị chặn A số dương lớn Có thể thấy R(A) = A − εA R(A) = tương ứng A tổng quát toán tử A ε (0.3) (0.4) + εA Năm 1983, Showalter đưa phương pháp gọi phương pháp tựa giá trị biên (Quasi boundary value (QBV )) để chỉnh hóa tốn Ý tưởng phương pháp (QBV ) thay đổi giá trị biên thời gian u(T ) + εu(0) = ϕ Phương pháp (QBV ) tỏ hiệu việc chỉnh hóa tốn ngược Năm 2013, PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn, dùng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để chỉnh hóa tốn (0.1), tác giả đưa sai số hội tụ dng bc Hăolder v cn iu kin tiờn nghim (a priori) có dạng sau ∞ sup e 2t λn u(t ), φn (0.6) < ∞, t ∈[0,T ] n=1 điều kiện xuất cơng trình nhóm nghiên cứu GS.TS Đặng Đức Trọng Như phân tích, có nhiều kết nghiên cứu tốn (0.1) đăng tạp chí khoa học có uy tín Tuy nhiên, số kết trước cần điều kiện tiên nghiệm mạnh (điển (0.6)) Các điều kiện làm giới hạn lớp hàm thỏa mãn toán Như tiếp nối mở rộng kết nêu trên, chúng tơi xét tốn (0.1) đưa hai phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để xấp xỉ nghiệm toán Kết đạt điều kiện tiên nghiệm thuộc không gian hàm đơn giản so với kết trước Kết công bố [A1] Nội dung thứ hai, trình bày Chương 3, liên quan đến toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phi địa phương    ut = a f (x) u (x, t ) d x ∆u + F (x, t ; u(x, t )) ,    Ω  ∂u = 0,   ∂ν    u(x, T ) = ϕ(x), (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ), (0.7) x ∈ Ω, đó, Ω ⊂ Rn tập mở, bị chặn với biên trơn ∂Ω ν vectơ đơn vị ∂Ω, hàm ϕ ∈ L (Ω) liệu cho trước thời điểm cuối t = T Bài tốn (0.7) xuất mơ hình ứng dụng tượng vật lý, hóa học mơ hình truyền nhiệt chất rắn với hệ số dẫn nhiệt biến thiên theo thời gian hay khuếch tán phản ứng hóa học q trình ăn mòn vật liệu Đặc biệt, sinh học toán biểu thị mật độ cá thể loài sinh vật tự nhiên thời điểm t vị trí x nơi lồi sinh vật sinh sống Năm 2009, GS.TS Đặng Đức Trọng đồng tác giả nghiên cứu toán (0.7) với hệ số a = phương pháp phương trình tích phân (method of integral equation) Gần nhất, năm 2016, PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn đồng tác giả nghiên cứu toán (0.7) với hệ số a = a(t ) ∈ C ([0, T ]) Dùng tính chất nửa nhóm tốn tử, tác giả đưa nghiệm xấp xỉ bậc ổn định theo bc Hăolder 2t /T Tip ni cỏc kt nêu trên, chúng tơi thấy tốn (0.7) với hệ số a phụ thuộc theo biến thời gian t nghiệm u , tức a ≡ a(t , u) chưa nghiên cứu nhiều Vì vậy, chúng tơi quan tâm khảo sát tốn dạng (0.7) Kết công bố [A2] Nội dung cuối cùng, trình bày Chương 4, liên quan đến toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phi tuyến    u t − ∇ · a(x, t ; u(x, t ))∇u = F (x, t ; u(x, t )),    u(x, t ) = 0,     u(x, T ) = ϕ(x), (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ), (0.8) x ∈ Ω, ϕ ∈ L (Ω) cho trước Có thể thấy toán (0.1) (0.7) với hệ số a = a(t ; u) theo thứ tự, trường hợp đơn giản toán (0.8) Đối với tốn (0.8), khó chuyển tốn phương trình tích phân để áp dụng phương pháp chỉnh hóa trực tiếp dạng nghiệm Do đó, cần phương pháp chỉnh hoá thật hiệu để áp dụng cho toán Kết cơng bố [A3] Mở rộng tốn (0.8), chúng tơi xét hệ m -phương trình parabolic phi tuyến với a := a(x, t ) công bố [A4] Kết mở rộng toán (0.8) với a := a(x, t ; u; ∇u) công bố [A5] Luận án chia làm 04 chương Chương 1: Nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, giải tích thực, khái niệm tốn khơng chỉnh, vấn đề chỉnh hóa số kết cần biết Chương 2: Trình bày toán parabolic ngược thời gian với hệ số không gian Hilbert Áp dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để chỉnh hóa tốn (0.1) Mục đích chúng tơi giảm điều kiện nghiệm xác hệ số Lipschitz so với kết trước Chương 3: Bài tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến với hệ số phi địa phương Dùng phương pháp (QR) để chỉnh hóa tốn (0.7) Chương xét hàm nguồn F thỏa điều kiện Lipschitz toàn cục Lipschitz địa phương Chương 4: Bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phi tuyến Nội dung chương trình bày phương pháp chỉnh hóa (QR) có điều chỉnh để thiết lập sai số hội tụ Chúng xét hàm nguồn F thỏa hai điều kiện Lipschitz toàn cục Lipschitz địa phương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, giải tích thực, khái niệm tốn khơng chỉnh, vấn đề chỉnh hóa số kết cần biết Chương BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ HẰNG Cho H khơng gian Hilbert với chuẩn · tích vơ hướng 〈·〉, xét toán sau   u t + Au = F (t ; u(t )), t ∈ (0, T ),  u(T ) = ϕ, (2.1) với ϕ ∈ H , A toán tử tự liên hợp dương, không bị chặn xác định không gian không gian Hilbert H cho A −1 tốn tử compact Giả sử A có sở gồm vectơ riêng trực chuẩn {φn }n≥1 H tương ứng với giá trị riêng {λn }n≥1 Hàm nguồn F : [0, T ] × H → H thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục, nghĩa F (t ; u) − F (t ; v) ≤ K u − v , (2.2) với K > không phụ thuộc vào t , u, v Trong chương này, đưa phương pháp chỉnh hóa chặt cụt chuỗi Fourier để nhận sai số hội tụ với điều kiện nghiệm xác u thỏa mãn u(0) Hr ≤ E, với r, E > 0, (2.3) với E > (2.4) u(t ) H ≤ E, Chương tổng hợp kết chúng tơi cơng bố tạp chí Acta Applicandae Mathematicae (SCI, Q2) [A1] 2.1 Kết chỉnh hóa thứ Trong phần này, ta giả sử K T < 1, phát triển phương pháp chặt cụt (new truncation method) với nghiệm chỉnh hóa cho sau u ε (t ) = λn ≤M ε e (T −t )λn ϕεn − t + λn >M ε T t e (s−t )λn F n (u ε )(s)d s φn e (s−t )λn F n (u ε )(s)d s φn , (2.5) đó, Mε > thỏa mãn lim+ Mε = +∞ liệu nhiễu ϕε ∈ H thỏa mãn ε→0 ϕε − ϕ ≤ ε (2.6) Định lí 2.1.1 Giả sử hàm nguồn F thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục (2.2) với K < T1 Khi đó, tốn (2.5) có nghiệm u ε ∈ C ([0, T ]; H ) Giả sử toán (2.1) có nghiệm u ∈ C ([0, T ]; H ) ∩C ([0, T ]; Hr ) thỏa mãn điều kiện u(0) Hr với r, E > ≤ E, (2.7) ta có đánh giá sai số sau u ε (t ) − u(t ) ≤ P P (ε) e −t Mε , (2.8) ∀t ∈ [0, T ], P1 = + q1 − (1 + q)K T 0 chọn thỏa mãn: lim+ Mε−1 = lim+ e T Mε ε = Hệ 2.1.2 Ta chọn Mε = ε→0 log 1ε T +α ε u (t ) − u(t ) ≤ P ε α T +α ε→0 với α > 1 + log T +α ε −r t E ε T +α , ∀t ∈ [0, T ] (2.9) Chú ý 2.1.3 Điều kiện K T < làm hạn chế lớp hàm nguồn F thỏa mãn Trong phần sau, đưa phương pháp khác mà không cần điều kiện K T < 2.2 Kết chỉnh hóa thứ hai Trong phần này, chúng tơi đưa phương pháp chỉnh hóa với K > Ta đưa nghiệm chỉnh hóa sau: VTα(ε) ,T p (θ)(t ) = h e (Tp −t )λn 〈θ, φn 〉 − λn ≤α(ε) t + λn >α(ε) Th Tp t e (s−t )λn F n Vα(ε) T ,T p (θ) (s)d s φn h e (s−t )λn F n Vα(ε) T ,T p (θ) (s)d s φn , h với ≤ Th ≤ t ≤ T p ≤ T θ ∈ C ([Th , T p ]; H ) Ở đây, α(ε) > thỏa lim+ α(ε) = +∞ ε→0 Kết phần thể định lí sau (2.10) Định lí 2.2.1 Cho dãy số {Ti }, i = 0, 1, , 2m thỏa mãn T0 = < T1 = hT < T2 = 2hT < < T2m = 2mhT = T, (2.11) Ta kí hiệu h = 2m m , ε m  α1 (ε) = ln , 2m−1 T2 ε   αk (ε) = ln T 22m−k với ≤ k ≤ 2m (2.12) Nghiệm chỉnh hóa Uε (t ) định nghĩa sau (i = 0, 2m − 2)   Uε (t ) = Vα2m−i (ε) T2m−i −2 ,T2m−i (Uε (T2m−i )) (t ), T2m−i −1 ≤ t ≤ T2m−i ,  Uε (t ) = Vα1 (ε) (Uε (T1 )) (t ), (2.13) ≤ t ≤ T1 T0 ,T1 Nếu chọn m ∈ N∗ cho K (T p − Th ) < ⇒ 2K hT < ⇒ K T < m, (2.14) tốn (2.10) có nghiệm Vα(ε) Th ,T p (θ) ∈ C ([Th , T p ]; H ) Giả sử tốn (2.1) có nghiệm yếu u ∈ C ([0, T ]; H ) thỏa mãn u(t ) H ≤ E, (2.15) ≤ t ≤ T, E > Khi đó, ta có đánh giá sai số    Uε (t ) − u(t ) ≤ (2m − k)Φ2m−k (m, K , q)(1 + E )ε 22m−k , t ∈ [Tk , Tk+1 ], mt   Uε (t ) − u(t ) ≤ mΦ2m (m, K , q)(1 + E )ε 22m−1 , t ∈ [0, T1 ], (2.16) k = 1, 2m − m Φ(m, K , q) = + q1 m −TK 1+q , (2.17) với q số thực thỏa mãn < q < Tm2 K − 2.3 Kết luận Chương Trong chương 2, dùng phương pháp chỉnh hóa chặt cụt chuỗi Fourier cho phương trình (2.1) để đưa hai dạng nghiệm chỉnh hóa (cơng thức (2.5) (2.10)) - Sử dụng nghiệm chỉnh hóa cho (2.5) để đạt kết là: + Nghiệm u thuộc không gian Hilbert scale thỏa điều kiện (2.7) + Đánh giá sai số (Định lí 2.1.1) - Sử dụng nghiệm chỉnh hóa cho (2.10) ta thu kết là: + Giảm điều kiện Lipschitz thỏa với K > + Nghiệm u cần thuộc không gian Hilbert thỏa điều kiện (2.15) + Đánh giá sai số (Định lí 2.2.1) 10 Chương BÀI TOÁN PARABOLIC PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHI ĐỊA PHƯƠNG Trong chương này, xét toán sau    ut = a f (x) u (x, t ) d x ∆u + F (x, t ; u(x, t )) ,    Ω  ∂u = 0,   ∂σ    u(x, T ) = ϕ(x), (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ), (3.1) x ∈ Ω, đó, Ω ⊂ Rd tập mở, bị chặn với biên trơn ∂Ω σ vectơ pháp tuyến đơn vị biên ∂Ω, hàm ϕ ∈ L (Ω) liệu cho trước thời điểm cuối t = T Chương tổng hợp kết chúng tơi cơng bố tạp chí Inverse Problems (SCI,Q1) [A2] 3.1 Một số giả thiết kết cần có Trong tồn chương này, ta kí hiệu · 〈·, ·〉 chuẩn tích vô hướng không gian L (Ω) Ta thành lập giả thiết sau: (H1 ) Hàm số a : z → a (z) hàm số dương liên tục với biến z ∈ R; (H2 ) Tồn số dương M M cho M ≤ a (z) ≤ M , với z ∈ R; (H3 ) Tồn số dương L thỏa mãn: |a (z ) − a (z )| ≤ L |z − z | , với z , z ∈ R; (H4 ) Hàm số f ∈ L (Ω); (H5 ) Dữ liệu cho trước ϕ ∈ L (Ω) bị nhiễu ϕε ∈ L (Ω) thỏa mãn: ϕε − ϕ ≤ ε, ε > Để thuận tiện, ta kí hiệu I f ,w (t ) = Ω f (x) w (x, t ) d x, với f ∈ L (Ω), w ∈ C ([0, T ]; L (Ω)) 11 3.2 Kết chỉnh hóa tốn Ta xét toán toán (3.1) sau:     u t = a I f ,u (t ) ∆u,    ∂u = 0,  ∂σ     u(x, T ) = ϕ, (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ) , (3.2) x ∈ Ω Nghiệm toán (3.2) cho phương trình tích phân sau ∞ T exp λn u(x, t ) = t n=1 a I f ,u (s) d s ϕn φn (x) (3.3) Như biết, tốn (3.2) tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Vì ta cần phương pháp phù hợp để chỉnh hóa tốn Phương pháp chỉnh hóa Quasi-reversibility (QR) Với β := β (ε) > 0, dùng phương pháp Quasi-reversibility (QR) ta đưa tốn chỉnh hóa tốn (3.2) sau:    u tε = a I f ,u ε (t ) ∆u ε + βa I f ,u ε (t ) ∆u tε ,    ε ∂u (x, t ) = 0,  ∂ν     u ε (x, T ) = ϕε (x) , (x, t ) ∈ Ω × (0, T ) , (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ) , (3.4) x ∈ Ω Nghiệm toán (3.4) cho phương trình sau u ε (x, t ) = a I f ,u ε (s) λn T ∞ exp + βa I f ,u ε (s) λn t n=1 d s ϕεn φn (x) , (3.5) ϕεn = ϕε (x) , φn (x) Định lí 3.2.1 Nếu (H1 ) − (H5 ) thỏa tốn (3.4) có nghiệm u ε ∈ C [0, T ]; L (Ω) Giả sử ϕ ∈ GM2 T ;2 chọn β := β (ε) > cho T lim+ e β ε = lim+ β = (3.6) ε→0 ε→0 Giả sử nghiệm u toán (3.2) thỏa u ∈ C [0, T ] ; L (Ω) ∩L ∞ 0, T ; H (Ω) Khi đó, ta có đánh giá sai số sau u ε (·, t ) − u (·, t ) ≤ với P = T L f ϕ T e β ε + M 22 T β u L ∞ (0,T ;H (Ω)) e P3 , t ∈ [0, T ], (3.7) GM2 T ;2 Nếu chọn β := β(ε) > thỏa T β= log , ε1−ω 12 với ω ∈ (0, 1) , (3.8) (3.7) trở thành  εω + u ε (·, t ) − u (·, t ) ≤ M 22 T log 3.3  u L ∞ (0,T ;H (Ω))  e P3 , t ∈ [0, T ] (3.9) ε1−ω Kết chỉnh hóa toán phi tuyến Với β := β (ε) > 0, sử dụng phương pháp Quasi-reversibility (QR), ta xét tốn chỉnh hóa tốn (3.1) có dạng sau     u tε + a I f ,u ε (t ) ∆ε u ε = F (x, t ; u ε (x, t )) ,    ε ∂u (x, t ) = 0,  ∂ν     u ε (x, T ) = ϕε (x) , (x, t ) ∈ Ω × (0, T ) , (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ) , (3.10) x ∈ Ω, với toán tử ∆ε định nghĩa sau: ∆ε w(x, t ) = ∞ λεn w n (t ) φn (x) , với w n (t ) = 〈w(x, t ), φn (x)〉 , (3.11) n=1 λεn = − log β + e −M2 T λn , M2 T β := β(ε) > (3.12) Nghiệm toán (3.10) biểu diễn phương trình tích phân sau: u ε (x, t ) = ∞ exp λεn n=1 ∞ − n=1 T t T t exp λεn a I f ,u ε (s) d s ϕεn φn (x) s t a I f ,u ε (r ) d r F n u ε (s) d s φn (x) , (3.13) với ϕεn = 〈ϕε , φn (x)〉 , Fn (u ε ) (s) = 〈F (x, s; u ε (x, s)) , φn (x)〉 Trong mục này, xét hai trường hợp hàm nguồn F thỏa điều kiện Lipschitz toàn cục điều kiện Lipschitz địa phương 3.3.1 Trường hợp hàm nguồn thỏa điều kiện Lipschitz tồn cục Hàm nguồn F : Ω × [0, T ] × R → R thỏa điều kiện Lipschitz toàn cục, nghĩa tồn K > độc lập với u, v ∈ R, t ∈ [0, T ] cho |F (x, t ; u) − F (x, t ; v)| ≤ K |u − v| Với β := β(ε) ∈ (0, 1) w ∈ C [0, T ] ; L (Ω) , ta định nghĩa w Nhận xét w (·, t ) ≤ w t β,∞ := sup β− T w(·, t ) 0≤t ≤T β,∞ 13 (3.14) Các kết Định lí 3.3.1 Cho ϕε ∈ L (Ω), giả sử (H1 ) − (H5 ) thỏa hàm F thỏa điều kiện Lipschitz toàn cục (3.14) Khi đó, tốn (3.10) có nghiệm u ε ∈ C [0, T ]; L (Ω) Định lí 3.3.2 Giả sử (H1 ) − (H5 ) hàm F thỏa điều kiện (3.14) Khi đó, tốn (3.10) có nhiều nghiệm thuộc vào C [0, T ]; L (Ω) Định lí 3.3.3 Giả sử (H1 )−(H5 ) thỏa hàm F thỏa điều kiện (3.14), giả sử nghiệm u toán (3.1) thuộc vào C [0, T ]; L (Ω) ∩ C [0, T ] ; GM2 T ;2 Chọn β := β (ε) ∈ (0, 1) thỏa mãn     lim+ β = 0, ε→0 (3.15) ε    lim+ = ε→0 β Khi ta có đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa u ε tốn (3.10) nghiệm xác u tốn (3.1) sau t u ε (·, t ) − u (·, t ) ≤ P e P (T −t ) β T , (3.16) t ∈ (0, T ) Hơn nữa, tồn t ε ∈ (0, T ) cho limε→0+ t ε = 0, ta có u ε (·, t ε ) − u(·, 0) ≤ P e P (T −t ) + u t với P := K + 12 + λ1 ML T f 3.3.2 u C [0,T ];GM2 T ;2 > 0, T C ([0,T ];L (Ω)) P := βε + u log C [0,T ];GM T ;2 λ1 T β , (3.17) > Trường hợp hàm nguồn thỏa điều kiện Lipschitz địa phương Trong mục này, ta xét hàm nguồn F : Ω × [0, T ] × R → R thỏa điều kiện Lipschitz địa phương, nghĩa là, với B > 0, tồn số K (B ) > cho |F (x, t ; u) − F (x, t ; v) ≤ K (B )|u − v|, (3.18) với u, v ∈ R cho |u| ≤ B, |u| ≤ B Cho B > 0, ta xét hàm FB định nghĩa    F (x, t ; B ),    FB (x, t ; u) := F (x, t ; u),     F (x, t ; −B ), 14 u > B, −B ≤ u ≤ B, u < −B (3.19) Ta chỉnh hóa tốn (3.1) tốn sau:     u tε + a I f ,u ε (t ) ∆ε u ε = FB ε (x, t ; u ε (x, t )) ,    ε ∂u (x, t ) = 0,  ∂ν     u ε (x, T ) = ϕε (x) , (x, t ) ∈ Ω × (0, T ) , (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ) , (3.20) x ∈ Ω, với B ε > thỏa limε→0+ B ε = +∞ Định lí 3.3.4 Giả sử (H1 ) − (H5 ) (3.18) thỏa Với β := β (ε) ∈ (0, 1) thỏa mãn (3.15), chọn B ε > cho limε→0+ B ε = +∞ K (B ε ) ≤ log log T β , ∈ 0, , (3.21) tốn (3.20) có nghiệm u ε ∈ C [0, T ]; L (Ω) Giả sử nghiệm u toán (3.1) thỏa u ∈ C [0, T ] ; GM2 T ;2 ∩C [0, T ]; L (Ω) ∩ L ∞ 0, T ; L (Ω) Khi đó, ta có đánh giá sai số sau , β t u ε (·, t ) − u (·, t ) ≤ P 10 e P β T log (3.22) ∀t ∈ (0, T ] Hơn nữa, với ε > đủ nhỏ, tồn t ε ∈ (0, T ), cho lim+ t ε = 0, ta có đánh giá sau ε→0 u ε (·, t ε ) − u(·, 0) ≤ P 10 e P log + ut β T C ([0,T ];L (Ω)) log β , (3.23) với L + f u C λ1 M T u C [0,T ];GM T ;2 ε P 10 := + β λ1 T P := 3.4 [0,T ];GM2 T ;2 T, Kết luận Chương Chương giải vấn đề sau: - Dùng phương pháp Quasi-reversibility để chỉnh hóa toán (3.1) hai trường hợp phi tuyến - Đưa đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa trường hợp (Định lí 3.2.1), hàm nguồn thỏa điều kiện Lippschitz tồn cục (Định lí 3.3.3) hàm nguồn Lipschitz địa phương (Định lí 3.3.4) 15 Chương BÀI TOÁN PARABOLIC VỚI HÀM NGUỒN VÀ HỆ SỐ PHI TUYẾN Nội dung chương khảo sát toán parabolic phi tuyến với hệ số phi tuyến dạng    u t − ∇ · a (x, t ; u(x, t )) ∇u = F (x, t ; u(x, t )) ,    u(x, t ) = 0,     u(x, T ) = ϕ(x), (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ), (4.1) x ∈ Ω, ϕ ∈ L (Ω) cho trước, hàm nguồn F (x, t ; u) a(x, t ; u) hệ số phụ thuộc theo biến không gian x , thời gian t nghiệm u Bài toán toán khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, cần phương pháp để chỉnh hóa Mục tiêu chúng tơi xây dựng phương pháp tựa đảo có điều chỉnh (Modified quasi-reversibility method) để chỉnh hóa tốn (4.1) Chương tổng hợp kết công bố tạp chí: Journal of Mathematical Analysis and Applications (SCI,Q1) [A3] hai kết mở rộng đăng Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A (SCI,Q1) [A4] SIAM Journal on Mathematical Analysis (SCI,Q1) [A5] 4.1 Các giả thiết Trong tồn chương này, ta kí hiệu · 〈·, ·〉 chuẩn tích vơ hướng khơng gian L (Ω) Ta thiết lập giả thiết sau: ( H ) Tồn α1 , α2 > cho α1 ≤ |a(w)| ≤ α2 , ∀w ∈ R; ( H ) Tồn L > cho |a(x, t ; w ) − a(x, t ; w )| ≤ L|w − w |, 16 (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), w , w ∈ R; ( H ) Dữ liệu ϕ bị nhiễu ϕε ∈ L (Ω) thỏa mãn ϕε − ϕ ≤ ε, 4.2 với ε > (4.2) Các kết Chúng tơi xét toán (4.1) với trường hợp hàm nguồn F thỏa: điều kiện Lipschitz toàn cục (3.14) điều kiện Lipschitz địa phương (3.18) 4.2.1 Trường hợp hàm nguồn thỏa điều kiện Lipschitz toàn cục Sử dụng phương pháp Quasi-reversibility có điều chỉnh, chúng tơi đưa tốn chỉnh hóa sau:   ε  ∂t u βε − ∇ · a(x, t ; u βε )∇u βε − Aβ,α − L (u βε ) = F x, t ; u βε (x, t ) ,    u βε = 0,     u ε (x, T ) = ϕε (x), β (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ), (4.3) x ∈ Ω, đó, ε ε Aβ,α = L + C β,α , 2 với L (w) = α2 ∆w = −α2 ∞ λn w(x, t ), φn (x) φn (x), (4.4) n=1 ε C β,α (w)(x, t ) = T ∞ log + β exp (α2 T λn ) w(x, t ), φn (x) φn (x), (4.5) n=1 với hàm w ∈ C [0, T ]; L (Ω) β := β(ε) > tham số chỉnh hóa Định lí 4.2.1 Với β := β(ε) ∈ 0, − e −α2 T λ1 thỏa mãn     lim+ β = 0, ε→0 ε    lim+ = ε→0 β (4.6) Nếu giả thiết (H )-(H ) điều kiện Lipschitz toàn cục (3.14) thỏa tốn (4.3) có nghiệm u βε ∈ C [0, T ] ; L (Ω) Giả sử tốn (4.1) có nghiệm u thỏa u ∈ C [0, T ]; Gα2 T ;0 ∩ L ∞ 0, T ; H01 (Ω) ∩C [0, T ]; L (Ω) 17 Khi đó, ta có đánh giá sai số sau t u βε (·, t ) − u(·, t ) ≤ P 11 e P 12 (T −t ) β T , (4.7) t ∈ (0, T ], đó, P 11 := u ε + β L2 u P 12 := C [0,T ];Gα2 T ;0 T L ∞ 0,T ;H01 (Ω) , +K + 4α1 Với ε > đủ nhỏ, tồn t ε > cho limε→0+ t ε = 0, ta có đánh giá sau u βε (·, t ε ) − u(·, 0) ≤ P 11 e P 12 T + u t T L ∞ (0,T ;L (Ω)) log β (4.8) Chú ý 4.2.2 Nếu chọn β = εµ với µ ∈ (0, 1] (4.7) (4.8), ta u βε (·, t ) − u(·, t ) ≤ e P 12 (T −t ) ε1−µ + u C [0,T ];Gα2 T ;0 T µt εT , t ∈ (0, T ], (4.9) T log (1/εµ ) (4.10) u βε (·, t ε ) − u(·, 0) ≤ e P 12 (T −t ) ε1−µ + 4.2.2 u C [0,T ];Gα2 T ;0 T + ut L ∞ (0,T ;L (Ω)) Trường hợp hàm nguồn thỏa điều kiện Lipschitz địa phương Khi hàm nguồn F thỏa điều kiện Lipschitz địa phương (3.18) với cách xấp xỉ hàm F (3.19) Khi đó, với B ε > thỏa mãn limε→0+ B ε = +∞, ta xét toán sau   ε  ∂t u βε − ∇ · a(x, t ; u βε )∇u βε − Aβ,α − L (u βε ) = FB ε x, t ; u βε (x, t ) , (x, t ) ∈ Ω × (0, T ),    u βε (x, t ) = 0, (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ),     u ε (x, T ) = ϕε (x), x ∈ Ω β (4.11) Định lí 4.2.3 Cho β := β (ε) ∈ 0, − exp (−α2 T λ1 ) thỏa (4.6) giả sử (H ) − (H ) (3.18) thỏa Khi tốn (4.11) có nghiệm u βε ∈ C ([0, T ]; L (Ω)) Chọn B ε > cho limε→0+ B ε = +∞ K (B ε ) ≤ 1 log logζ(t ) T β 18 , ∀t ∈ [0, T ], (4.12) ζ(t ) = t T,2 , ta có đánh giá sai số sau 2t u βε (·, t ) − u (·, t ) ≤ P 11 e P 13 (T −t ) β T logζ(t ) , ∀t ∈ (0, T ] β (4.13) Với ε > đủ nhỏ, tồn t ε > cho lim+ t ε = 0, ta có ε→0 u βε (·, t ε ) − u(·, 0) ≤ P 11 e P 13 T logζ(t ) L2 u P 13 := L ∞ 0,T ;H (Ω) 4α1 ( ) + ut β T L ∞ (0,T ;L (Ω)) log β , (4.14) + 12 số P 11 định nghĩa Định lí 4.2.1 Chú ý 4.2.4 1) Nếu β := β(ε) ∈ (0, − exp (−α2 T λ1 )) thỏa mãn (4.6) u βε (·, t ) − u(·, t ) tiến dần ε → 0+ , với t ∈ (0, T ) 2) Nếu chọn < ζ(t ε ) < 1/2 vế phải (4.14) tiến dần ε → 0+ 4.3 Các kết mở rộng Các kết sau trường hợp mở rộng tốn (4.1), chúng tơi khơng trình bày chi tiết chứng minh luận án 4.3.1 Trường hợp hệ số a := a(x, t ) Trong toán (4.1), lấy a(x, t ; u) = a(x, t ), xét hệ gồm m phương trình sau:    ∂t u − ∇ · a (x, t )∇u = F (x, t ; u ; ; u m ),           ∂t u m − ∇ · a m (x, t )∇u m = F m (x, t ; u ; ; u m ),       u k (x, t ) = 0,       u k (x, T ) = ϕk (x), (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), (4.15) (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ), x ∈ Ω, với k = 1, m Dùng phương pháp Quasi-reversibility để chỉnh hóa tốn (4.15), ta có kết sau: Định lí 4.3.1 Với m ∈ N∗ , m ≥ 2, ta có U ε,β (·, t ) − U (·, t ) t [L (Ω)] m ≤ C e (mK +1/2)(T −t ) β T , ∀t ∈ (0, T ] (4.16) Hơn nữa, với ε > 0, tồn t ε ∈ (0, T ) cho limε→0+ t ε = 0, ta có U ε,β (·, t ε ) − U (·, 0) [ m L (Ω) ] 19 ≤ C e mK T +T /2 T log β (4.17) ε,β ε,β ε,β đó, U ε,β := u , u , , u m ∈ C [0, T ]; L (Ω) U := (u , u , , u m ) ∈ C [0, T ]; L (Ω) m m nghiệm chỉnh hóa nghiệm tốn (4.15) Kết công bố tạp chí Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A (SCI, Q1) [A4] 4.3.2 Trường hợp hệ số a := a(x, t ; u; ∇u) Trong toán (4.1), mở rộng hệ số a(x, t ; u) đến trường hợp a(x, t ; u; ∇u), ta xét toán sau:    u t − ∇ · a (x, t ; u; ∇u) ∇u = F (x, t ; u(x, t )) ,    u(x, t ) = 0,     u(x, T ) = ϕ(x), (x, t ) ∈ Ω × (0, T ), (x, t ) ∈ ∂Ω × (0, T ), (4.18) x ∈ Ω Dùng phương pháp Quasi-reversibility để chỉnh hóa tốn (4.18), ta có kết sau: Định lí 4.3.2 Với t ∈ (0, T ], ta có đánh giá sau u βε (·, t ) − u(·, t ) L (Ω) ≤ C γ−t (T, β) (4.19) Hơn nữa, tồn t ε ∈ (0, T ) cho limε→0+ t ε = 0, ta có u βε (·, t ε ) − u(·, 0) L (Ω) ≤C log γ(T, β) (4.20) đó, hàm γ : [0, T ] × (0, 1) cho với β := β(ε) ∈ (0, 1), thỏa mãn γ(T, β) ≥ 1, lim γ(t , β) = ∞, β→0+ ∀t ∈ [0, T ] Kết chúng tơi cơng bố tạp chí SIAM Journal on Mathematical Analysis (SCI, Q1) [A5] 4.4 Kết luận Chương Chương giải vấn đề sau: - Dùng phương pháp Quasi-reversibility có điều chỉnh để chỉnh hóa tốn (4.1) - Đưa đánh giá sai số nghiệm xác nghiêm chỉnh hóa hai trường hợp hàm nguồn thỏa điều kiện Lipschitz toàn cục Lipschitz địa phương (Định lí 4.2.1 Định lí 4.2.3) 20 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận chung Trong luận án này, đưa kết sau: Một là, dùng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để chỉnh hóa tốn parabolic phi tuyến có hệ số Hai là, dùng phương pháp Quasi-reversibility để chỉnh hóa tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic với hệ số phi địa phương Ba là, dùng phương pháp Quasi-reversibility có điều chỉnh để chỉnh hóa tốn phi tuyến với hệ số phi tuyến Kết luận án công bố năm báo quốc tế (SCI) II Kiến nghị Trong thời gian tới nghiên cứu vấn đề sau: Tiếp tục nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian có yếu tố ngẫu nhiên Nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian khơng gian Banach tổng quát Nghiên cứu toán Cauchy cho hệ phương trình parabolic phi tuyến Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng có đạo hàm cấp khơng ngun theo thời gian 21 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [A1] Nguyen Huy Tuan, Mokhtar Kirane, Bessem Samet, Vo Van Au (2016), “A new Fourier truncated regularization method for semilinear backward parabolic problems”, Acta Applicandae Mathematicae, 148(1), pp 143–155, (SCI, Q2) [A2] Nguyen Huy Tuan, Vo Van Au, Vo Anh Khoa and Daniel Lesnic (2017), “Identification of the population density of a species model with nonlocal diffusion and nonlinear reaction”, Inverse Problems, Vol 33, 055019, (SCI, Q1) [A3] Vo Van Au, Nguyen Huy Tuan (2017), “Identification of the initial condition in backward problem with nonlinear diffusion and reaction”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 452, pp 176–187, (SCI, Q1) [A4] Vo Van Au, Mokhtar Kirane, Nguyen Huy Tuan (2019), “Determination of initial data for a reaction - diffusion system with variable coefficients”, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A, 39(2), pp 771–801, (SCI, Q1) [A5] Nguyen Huy Tuan, Vo Anh Khoa, Vo Van Au (2019), “Analysis of a quasi-reversibility method for a terminal value quasi-linear parabolic problem with measurements”, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 51(1), pp 60–85, (SCI, Q1) Một phần kết báo cáo tại: • Hội nghị khoa học lần X, Trường ĐH KHTN TP HCM 11/11/2016, • Hội Nghị Tốn học Miền Trung Tây Nguyên lần II, Đà Lạt 09-11/12/2017, • Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang 14-18/08/2018 • Seminar Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin học, Trường ĐH KHTN TP HCM (9/11/2018) 22 ... gian phi tuyến với hệ số Chủ đề 2, xét toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phi địa phương Chủ đề 3, xét toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phi tuyến Bài tốn parabolic. .. nguồn Lipschitz địa phương (Định lí 3.3.4) 15 Chương BÀI TOÁN PARABOLIC VỚI HÀM NGUỒN VÀ HỆ SỐ PHI TUYẾN Nội dung chương khảo sát toán parabolic phi tuyến với hệ số phi tuyến dạng    u t... hóa tốn parabolic phi tuyến có hệ số Hai là, dùng phương pháp Quasi-reversibility để chỉnh hóa tốn ngược thời gian cho phương trình parabolic với hệ số phi địa phương Ba là, dùng phương pháp Quasi-reversibility