MỘT số bài TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỔ BIẾN NHẤT TRONG THI đại học

CẨM NANG CHO MÙA THI MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHỔ BIẾN NHẤT TRONG THI ĐẠI HỌC (ƠN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Bài 1: Giải phương trình 1 − x− ( ) log x − x + − 3− x +x  7 log  x − +  = 4  Hướng dẫn + Khi gặp phương trình mũ log, trước hết ta biến đổi theo số nhỏ (ở số 3), biến đổi phương trình cho, ta có: 1 − x− ⇔ 34 − 2x −1 ⇔ ⇔3 ( ) log x − x + − 3− x 2x −1 ( ) log x − x + − ( ) log x − x + − x2 −x + ( ) +x  7 log  x − +  = 4  x2 −x x2 −x log x − x + − 7  log  2x − +  = 4  7  log  2x − +  = 4  2x −1 7  log  2x − +  = 4    7 7  2x −1 log  x − x +  +  = log  2x − +  (1)  4 4     1 x − x + =  x −  ≥  7 + Xét hàm số f (t) = 3t.log  t +  , ta thấy  ⇒t≥0  2  4  2x − ≥  ⇔3 x2 −x +  7 ⇒ f '(t) = 3t.ln 3.log  t +  + 3t > 0, ∀t ≥ ⇒ f (t) hàm đồng biến t.ln  4 1  + Từ (1) ⇒ f  x − x +  = f ( 2x − ) ⇒ x − x + = 2x − (2) 4  2 + Xét TH: 2x − ≥ 0; 2x − < để bỏ dấu GTTĐ (2), giải PT (2) ta có ĐS: x = ; Bài 2: Giải phương trình x + x − 19x − 16 = 3x x + Hướng dẫn + ĐK: x ≥ −1 + Nhận thấy biểu thức VP là: x + = ( x + 1) ( x − x + 1) nên sở ta phân tích VT phương trình, thật vậy: ( ) ( − 19x − 16 = ( x + 1) ( x ) − x + 1) + ( x x + x − 19x − 16 = x + + x − x + − 18 ( x + 1) ⇔ x3 + x2 2 ) − x + − 18 ( x + 1) + Phương trình cho trở thành: ( x + 1) ( x − x + 1) + ( x − x + 1) − 18 ( x + 1) = ( x + 1) − 1 ( x + 1) ( x − x + 1) (1)   a = x + ≥  + Đặt ẩn phụ  b = x − x + ≥  thay vào (1) ta được: a b + b − 18a = ( a − 1) ab (2) + Phương trình (2) muốn giải cịn cách phân tích đa thức thành nhân tử, cơng việc phân tích khơng phải dễ dàng, dùng mẹo sau để phân tích: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC - Trước hết ta biến đổi để đưa (2) phương trình bậc biến b: ( ) ( ) ( ) a b + b − 18a = a − ab ⇔ a + b − 3a − 3a b − 18a = (3) - Phương trình (3) tính ∆ = ( 3a − 3a ) + ( a + 1)(18a ) = = 9a ( a + 3)  3a − 3a + 3a a + b = = 3a  b − 3a = a2 +1  ⇒ phương trình (3) có nghiệm ⇔  3a − 3a − 3a a + a b + b + 12a = −12a b = =  a2 +1 a +1  2 2 2 + Vậy (2) : a b + b − 18a = ( a − 1) ab ⇔ ( b − 3a ) ( a b + b + 12a ) = ( ) ( ) x = x = + Do a b + b + 12a = ⇔ a = b = (do a, b ≥ ) ⇒ x + = x − x + ⇔  + Thử lại vào PT cho thấy x = 0; x = không nghiệm (loại) + Vậy khả b = 3a ⇒ x − x + = x + ⇔ x = ± 33 Bài 3: Giải phương trình ( 4x − 13x + 9x + 16 − 2x + 3x )( ) x + + x −1 = Hướng dẫn 4x − 12x + 9x + 16 ≥ + ĐK  x ≥   + Ta biến đổi PT ⇔  ( 2x − 3x ) + 16 − ( 2x − 3x )    a = 2x − 3x  + Đặt  thay vào phương trình ta có: b = x −  ( a + 16 − a )( ) a + 16 − a ⇔ b2 + + b = x −1 =  b2 + + b = ⇔ b2 + + b = ⇔ b2 + + b = ( x − 1) + + ( a + 16 + a ) 16 a + 16 + a ⇔ b + + 2b = a + 16 + a ⇔ ( 2b ) + 16 + 2b = a + 16 + a (1) t + Xét hàm số f (t) = t + 16 + t, t ∈ R ⇒ f '(t) = + > 0, ∀t ∈ R (*) ⇒ f (t) hàm t + 16 đồng biến  2x − 3x ≥  Vậy từ (1) ⇒ f (2b) = f (a) ⇒ 2b = a ⇒ x − = 2x − 3x ⇔  (I)  ( x − 1) = 2x − 3x  + Các bạn tự giải hệ (I) ⇒ x = 2 ( NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ) Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC (Chú ý: Ta giải thích cho f '(t) > phương pháp phản chứng sau: t ≤ Giả sử f '(t) < ⇔ t + t + 16 < ⇔ t + 16 < − t ⇔  2  t + 16 < t (vô lý) ⇒ f '(t) > ) Bài 4: Giải phương trình x + − x = x − + − x + x − + Hướng dẫn: Đk: ≤ x ≤ pt ⇔ x − − x − + − x − ( x − 1)(7 − x) = ⇔ x − 1( x − − 2) − − x ( x − − 2) = ⇔ ( x − − 2)( x − − − x ) =  x −1 = x = ⇔ ⇔ thỏa mãn đk x =  x −1 = − x  x + x + + x = x(1 − x ) Bài 5: Giải phương trình:  x ≤ −1 Hướng dẫn: ĐK:  0 ≤ x ≤ - TH1: Với x = khơng phải nghiệm phương trình - TH2: Với x ≠ * Với < x ≤ Khi pt ⇔ x Đặt t = 1 + x2 + + x = x −x ⇔ x x + x2 + + = x2 −x x 1 − x ⇒ t = + x − Khi ta phương trình : x x t ≥ t2 + +1 = t ⇔  ⇔ t = −1(loai ) t − t + 2t + = * Với x ≤ −1 Ta có − Đặt t = 1 + x2 + + = − −x x x 1 − x ⇒ t = + x − Khi ta x x ⇒ x2 + x − = ⇔ x = t4 + = t +1 ⇔ t = −1 ± So sánh đk ta nghiệm x = −1 − −1 − Vậy pt cho có nghiệm x = 2 ( ) Bài 6: Giải phương trình : 10 − x − x − 37 = 4x − 15 x − 33 ( ) ( ) Hướng dẫn: ĐK: x ≤ Pt ⇔ 4 + x − 37 + − 10 − x + x − 15 x − 81 = NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC ( 27 + x ) ⇔ 16 − x − 37 + ( x − 37 ) + 8(6 + x) + ( x + 3)(4 x − 27) = + 10 − x - TH1 x + = ⇔ x = −3 (TMPT) - TH x ≠ −3 36 ⇔ 16 − x − 37 + ( x − 37 36 ⇔ 12 + + Do x ≤ nên VT ≤ ( x − 37 − ) + ) + 16 + x − 27 = + 10 − x 16 + x − 27 = + 10 − x 36 16 + + 4.5 − 27 = Đẳng thức xảy ⇔ x = 12 Vậy phương trình có nghiệm −3 Bài 7: Giải phương trình log 4x − 2x + = x ( 2.8 x − 3.2 x + 1) (*) x x 2.16 − 2.4 + Hướng dẫn: ⇔ log (4 x − x + 1) − log (2.16 x − 2.4 x + 1) = 2.16 x − 3.4 x + x ⇔ log (4 x − x + 1) + x − x + = log (2.16 x − 2.4 x + 1) + 2.16 x − 2.4 x + 1 + > 0, ∀t > ⇒ f ®ång biÕn trªn ( 0; +∞ ) t ln (* ) ⇔ f (4 x − x + 1) = f (2.16 x − 2.4 x + 1) XÐt f (t ) = log t + t, ∀t > 0, ⇒ f ' (t ) = ⇔ x − x + = 2.16 x − 2.4 x + ⇔ 2 x − x = 2.2 x − 2.2 x ⇔ 2.2 x − 3.2 x + x = ⇔ 2.23 x − 3.2 x + = ⇔ (2 x − 1)(2 x − −1 + x + )(2 + )=0 2  2 x = x =   −1 +   −1 +  ⇔ 2 x = ⇔ x = log          1+  x 2 = − (lo¹i)  Bài 8: Giải phương trình: x + + x − = x − 12 + x − 16 Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x ≥ Với điều kiện đó, phương trình cho tương đương với: x + + x − = (x + 4) + (x − 4) − 12 + x − 16 ⇔ x + + x − = NGUYỄN HỮU BIỂN - ( https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien x+4 + x−4 ) − 12 Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC + Đặt t = t = −3 (loaïi) t = x + + x − , t > ta t − t − 12 = ⇔  4 ≤ x ≤ x + + x − = ⇔ x − 16 = − x ⇔  2  x − 16 = 64 − 16 x + x + Với t = , ta 4 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = x = Bài 9: Giải phương trình −2 x3 + 10 x − 17 x + = x x − x3 Hướng dẫn: Nhận xét: x = khơng thỏa phương trình cho 10 17 + Chia hai vế phương trình cho x3, ta được: −2 + x − x + x3 = x − + Đặt t = ( t ≠ ) , phương trình trở thành: −2 + 10t − 17t + 8t = 5t − x ⇔ ( 2t − 1) + ( 2t − 1) = ( ) 5t − + 5t − ⇔ f ( 2t − 1) = f ( 5t − ) + Với f ( t ) = t + 2t , t ∈ R Ta có: f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R nên f đồng biến R , vậy: f ( 2t − 1) = f ( ) 5t − ⇔ 2t − = 5t −  t = (loaïi)  17 + 97 ⇔ ( 2t − 1) = 5t − ⇔ 8t − 17t + 6t = ⇔ t = (nhaän)  16   17 − 97 (nhaän) t = 16  17 + 97 17 − 97 ⇒x= 16 12 17 + 97 17 + 97 +t= ⇒x= 16 12 +t= Vậy phương trình cho có nghiệm: x = 17 ± 97 12 Bài 10: Giải phương trình: + + 3x = 2x (x ∈ R) (1) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − (*) + Đặt y = 1 + 3x ⇔ + 3x = y (2), (1) trở thành NGUYỄN HỮU BIỂN - + y = x (3) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC  x ≥ 0, y ≥  + 3x = y   + Từ (2) (3) ta có hệ  ⇔ 1 + 3x = y (4)  + y = 2x 1 + y = 4x (5)   + Trừ vế với vế (4) (5) ta có 3( x − y ) = −4( x − y ) ⇔ ( x − y )(3 + x + y ) = ⇔ y = x (vì x =1 x ≥ 0, y ≥ ) Thế y = x vào (5) ta có 4x − 3x − = ⇔  x = −  + Kết hợp với x ≥ , suy phương trình (1) có nghiệm x = Bài 11: Giải phương trình x + x + + x − x + = x + Hướng dẫn: Ta thấy: (2 x + x + 9) − (2 x − x + 1) = 2( x + 4) + x = -4 nghiệm + Xét x ≠ −4 , trục thức ta có: 2x + 2 = x + ⇒ 2x + x + − 2x − x + = 2x + x + − 2x − x +  2x + x + − 2x − x + =  + Vậy ta có hệ  ⇒ 2x + x + = x + ⇔ 2  2x + x + + 2x − x + = x +  x =  x =  + Thử lại vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm: x = 0, x = Bài 12: Giải phương trình Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ x − 1(3 x + x + 1) + x + x − = ⇔ x − + 3x x − + x − + x x − + 3x + x = ⇔ x − 1( x − + x + 1) + x( x − + x + 1) = ( x − + x)( x − + x + 1) =  x −1 + x =   x − + 3x + =  Kết hợp với điều kiện ta thấy phương trình vơ nghiệm Bài 13: Giải phương trình x − + x = x − Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ + Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   ( x − 3)( x + x + 9) x+3 = x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 +  ( x − 1) + 23 x − +  x3 − +   x+3 x+3 x + 3x + + Ta chứng minh : + = 1+ ⇒ = x x +1 t  t= ⇔ − 2t = ⇔ 2t + 3t − = ⇔   t  t = −1 Hướng dẫn: Điều kiện: x < −1 ∪ x > , đặt t = ⇒ + Lấy t = x +1 = ⇔x=− x Bài 15: Giải phương trình x + 15 = 3x − + x + Hướng dẫn: ⇔ x + 15 − = x − + x + − x2 −1 ⇔ x + 15 + ⇔ x =1 = 3( x − 1) + x2 −1 x2 + + ⇔ ( x − 1)( x +1 x + 15 + − x +1 x2 + + − 3) = Bài 16: Giải phương trình : (4 x − 1) x + = x + x + Hướng dẫn: Đặt t = x + 1(t > 0) ⇒ x = t − Phương trình trở thành (4 x − 1)t = 2(t − 1) + x + ⇐ 2t − (4 x − 1)t + x − = Ta có: ∆ = (4 x − 3)  t= ⇒ ⇔  t = x −   x = − ( L) ⇔  2  x = (2 x − 1) −  x =  4⇔x= x = 3  Bài 17: x − + − x − x + 13x − 17 = 0( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: ≤ x ≤ x − + − x = x − 13 x + 17 ⇔ ( x − − 1) + ( − x − 1) − x + 13 x − 15 = ⇔ ( x − − 1)( x − + 1) + ( − x − 1)( − x + 1) − (2 x − 13 x + 15) = ( x − + 1) ( − x + 1) x −5 5−x ⇔ + − (x − 5)(2x − 3) = x − +1 − x +1 1 ⇔ (x − 5)( − − (2x − 3)) = x − +1 − x +1 x = ⇔ 1  − − (2x − 3) =  x − +1 − x +1  1 1 + Ta có: − − (2 x − 3) = ⇔ − = x − 3(1) x − +1 − x +1 x − +1 − x +1 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC ⇒ 1 − x − +1 < − x +1 x − +1 ≤ 2x - ≥ 5, ∀x ∈ [4;6] nên phương trình (1) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 18: Giải phương trình: x + = 33 3x − Hướng dẫn: x + = y  + Đặt y = 3x − ⇒ y = x − ⇒ y + = 3x Ta hệ phương trình:   y + = 3x  3 + Đây hệ phương trình đối xứng, trừ vế với vế ta được: ( x − y )( x + y + xy + 3) = ⇔ x = y ⇒ x = 1;−2 1 2   2  x + y + xy + = x + xy + y + y + = ( x + y ) + y + >  4   Bài 19: (4 x − 1) − x + (7 − x) x − = − x + x − + (với x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: ≤x≤ 2  a = − x ( a ≥ 0)  Đặt  ⇒ a + b = 2(1) b = x − 1(b ≥ 0)  + Vì x − = 2b ;7 − x = 2a + 1; − x + x − = x − − x = a.b + Từ phương trình cho ta có (2b + 1)a + (2a + 1)b = 2ab + 4(2) a + b =  (2b + 1)a + (2a + 1)b = 2ab +  + Kết hợp (1) (2) ta có hệ phương trình  + Đây hệ phương trình đối xứng loại I với ẩn a, b + Giải hệ phương trình ta nghiệm : a = b =1  − 2x =  + Với a = b = ta có:   2x − =  ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình cho x = Bài 20: Giải phương trình: 2( x − 3x + 2) = x + Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2 + Biến đổi phương trình dạng: 2(2 x 2 x + 4) − 2( x + 2) = ( x + 2)( x − x + 4) + Do x = −2 nghiệm phương trình nên chia hai vế cho (x+2) ta + Đặt 2( x − x + 4) x − 2x + −3 −2=0 x+2 x+2  x − 2x + t = − (loại) = t (t ≥ 0) ta có 2t − 3t − =  x+2 t = x − 2x + Với t = ⇒ = ⇔ x − x + = x + ⇔ x − x − = ⇔ x = ± 13 x+2 Bài 21: Giải phương trình NGUYỄN HỮU BIỂN - x + + − x − ( x + 3)(6 − x) = https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Hướng dẫn: Đặt t = x + + − x ⇒ ( x + 3)(6 − x) = t2 −9 t = −1 t2 −9 =3⇔  t = + Với t = -1 ⇔ x + + − x = −1 (vô nghiệm)  x = −3 + Với t = ⇒ x + + − x = ⇔  x = + Phương trình trở thành t − Cách khác: Bài tốn giải cách đưa hệ phương trình với u = x + v = − x Bài 22: Giải phương trình: x − x + 13x + + 6( x − 3) x − x + = 0(1) Hướng dẫn: Điều kiện: x − x + ≥ + Từ (1) ⇒ ( x − 3)( x − x − 2) + 6( x − 3) x − x + =  x = 3(loai ) ⇔ 2  x − x − + x − x + = 0( 2)  x − x + = t , điều kiện t ≥ t = (2) ⇔ t + 6t − = ⇔  , t = -7 (loại), t = (thỏa mãn) t = −7 x = + Với t =1 ⇒ x − x + = ⇔  (thỏa mãn điều kiện) x = + Giải (2): đặt Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = Bài 23: 2 x + + − x = x + 16 Hướng dẫn: Bình phương hai vế, lúc phương trình : ⇔ 4(2 x + 4) + 16 2(4 − x ) + 16(2 − x) = x + 16 ⇔ 8(4 − x ) + 16 2(4 − x ) = x + x + Đặt t = 2(4 − x ) (t ≥ 0) + Phương trình trở thành : 4t + 16t − x − x = x  t1 = + Giải phương trình với ẩn t ta tìm  t = − x − 2  + Do x ≤ nên t < không thỏa mãn điều kiện t ≥ x ≥ x ⇔ ⇔x= (thỏa mãn điều kiện x ≤ 2 2 8(4 − x ) = x Vậy nghiệm phương trình x = x + Với t = 2( − x ) = Bài 24: Giải phương trình ( x + 4) − x + 3x = 13 Hướng dẫn: Điều kiện: x + 3x ≥ ⇔ x ≥ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC + Khi phương trình cho trở thành x + x + − x + 3x = 0(1) 3 −6 x+ = x x t = + Đặt x + = t (t ≥ 12 ) , ta t − 6t + = ⇔  (thỏa mãn) x t = x = + Với t = ⇒  x = + Nhận thấy x = không thỏa mãn nên (1) ⇔ x + +  x = + 61 + Với t = ⇒   x = − 61  Bài 25: x + + x + = 3x + 2 x + x + − 16 Hướng dẫn: Biến đổi phương trình dạng: x + + x + = x + + x + + (2 x + 3)( x + 1) − 20 + Đặt t = x + + x + 1(t ≥ 0) + Khi t = x + + x + + (2 x + 3)( x + 1) + Ta phương trình: t − t − 20 = ⇔ t = −4; t = + Lấy t = thỏa mãn, thay t = x = Bài 26: Giải phương trình 2x + −1 = x 2x + Hướng dẫn: Điều kiện: x ≠ 2x + 2x + Phương trình cho tương đương + −3= x 2x + t = 1 + Đặt t = ≠ Phương trình trở thành + 2t − = ⇔  t = − t 2x +  x < + Với t = − ⇒ −2 x = x + ⇔  ⇔x=− 2 4 x = x + x + Với t = phương trình vơ nghiệm Bài 27: x + 3x + x + = (3x + 2) 3x + Hướng dẫn: ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = [(3 x + 1) + 1] x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) + x + x = x = Đáp số  x = x = + Xét hàm f (a) = a + a ta suy x + = 3x + ⇔ x − x = ⇔  Bài 28: x + x − ( x + 1) x + = Hướng dẫn: ( x ) + x = ( x + 1) + x + ⇔ x = x + ⇔ x − x − = ⇔ x = NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 1+ Trang 10 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Bài 29: Giải phương trình x + 12 + = x + x + Hướng dẫn: Để phương trình có nghiệm x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ + Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình, phương trình phân tích dạng (x-2)A(x) = 0, để thực điều ta phải nhóm, tách sau: x + 12 − = x − + x + − ⇔ ⇔ ( x − 2)( x+2 x + 12 + + Dễ dàng chứng minh được: − x2 − x + 12 + = 3( x − 2) + x2 − x2 + + x+2 − 3) = ⇔ x = x2 + + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > 2 x + 12 + x +5 +3 Bài 30: Giải phương trình x + − − x = − 2x Hướng dẫn: 1 − x ≥  1 − x ≥  − ≤ x ≤ ⇔ − x + − 2x = x + ⇔  ⇔ x + ≥ 2 x + = x − x +  ( − x + − x ) = x +  1   − ≤ x ≤ − ≤ x ≤   ⇔ 2 x + ≥ ⇔ x=0 ⇔  x =   2 (2 x + 1) = x − x +  x = −   Bài 31: Giải phương trình: x − 15 x + 78 x − 141 = 53 x − Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x ∈ R + Phương trình ⇔ ( x − 5) + 5( x − 5) = (2 x − 9) + 53 x − + Xét hàm số đặc trưng: f ( x) = t + 5t với t ∈ R + Ta có : f ' (t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R , suy hàm số đồng biến R + Mà phương trình (*) có dạng: f ( x − 5) = f (3 x − ) ⇔ ( x − 5) = x − ⇔ x − 15 x + 73 x − 116 = x = ( x − 4)( x − 11x + 29) = ⇔   x = 11 ±   Bài 32: Giải phương trình Hướng dẫn: Điều kiện: x ≤ 12 + Đặt u = x + 24 ; v = 12 − x với v ≥ x + 24 + 12 − x = u + v = u + v = u + v = u + v = ⇔ ⇔ ⇔ 2 u + v = 36 u + (6 − u ) = 36 u + u − 12u = u (u + u − 12) = + Ta có  NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 11 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC u =  v = u = −4 ⇔  ⇔ v = 10  u = v =   x = −24  x = −88 (thỏa mãn)  x =  Bài 33: Giải phương trình 23 x − = 27 x − 27 x + 13x − Hướng dẫn: ⇔ (2 x − 1) + 23 x − = (3 x − 1) + 2(3 x − 1) + Xét hàm f (a) = a + 23 a ta suy x − = (3x − 1) ⇔ 27 x − 27 x + x = ⇔ x = Đáp số: x = Bài 34: Giải phương trình x +1 + x2 = x + x2 + x Hướng dẫn: + Xét x = nghiệm phương trình + Với x ≠ , ta chia hai vế cho x:  x +1  x +1 + x = 1+ x +1 ⇔ 3 − 1( x − 1) = ⇔ x =   x x   (làm tập kết hợp với học ghi) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 12 ...MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Bài 1: Giải phương trình 1 − x− ( ) log x − x + − 3− x +x  7 log  x − +  = 4  Hướng dẫn + Khi gặp phương trình mũ log,... − + Vậy phương trình có nghiệm x = NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC Bài 14: Giải phương trình: ... Trang MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG XUẤT HIỆN TRONG THI ĐẠI HỌC ⇒ 1 − x − +1 < − x +1 x − +1 ≤ 2x - ≥ 5, ∀x ∈ [4;6] nên phương trình (1) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 18: Giải