skkn một số DẠNG TOÁN về PHƯƠNG TRÌNH và bất PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

S GIO DC V O TO GIA LAI TRNG THPT PHAN BI CHU T TON & SNG KIN KINH NGHIM ti: MT S DNG TON V PHNG TRèNH V BT PHNG TRèNH Vễ T H v tờn ngi vit : Phm Vn Thnh Chửực vuù : Giỏo viờn Nm 2015 PHN I T VN Lý chn ti: Trong chng trỡnh THPT núi chung v lp 10 núi riờng, hc sinh thng gp nhiu khú khn vic gii cỏc phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t, mc dự phn lớ thuyt n gin nhng mt s bi toỏn phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t cỏc kỡ thi i hc thng khỏ phc Phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t rt a dng v khụng th cú phng phỏp chung no gii mi phng trỡnh nờn hc sinh thng lỳng tỳng v d mc sai lm vic phõn tớch, la chn cỏch gii phự hp, ngn gn giỳp hc sinh phn no vic nh hng v la chn phng phỏp gii phự hp, tụi ó nghiờn cu ti : Mt s dng toỏn v phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t Mc tiờu nghiờn cu: Vi ti: Mt s dng toỏn v phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t tụi mun giỳp hc sinh h thng c cỏc phng phỏp thng dựng gii phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t dng toỏn ny hc sinh thng gp lỳng tỳng kh du cn hoc iu kin ca cn thc a phng phỏp ti u vic gii quyt cỏc bi toỏn liờn quan phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t Nhim v nghiờn cu: Trc ht l thc hin i mi phng phỏp ging dy Toỏn, lm cho hc sinh sỏng to tỡm nhng li gii mi, li gii hay trờn mt bi toỏn khú, giỳp bn thõn nm vng hn na v phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t, ng thi trao i v hc kinh nghim quý thy cụ ging dy mụn Toỏn trung hc ph thụng Cỏc phng phỏp nghiờn cu: * Phng phỏp tng hp: thụng qua mt s bi toỏn, nhn xột rỳt nhng kinh nghim, m cỏc hng mi * Phng phỏp phõn tớch : phõn tớch giỳp hc sinh nm tht rừ bn cht , la chn c phng phỏp gii cho phự hp, ti u nht PHN II NI DUNG I CC DNG PHNG TRèNH CHA CN Lý thuyt: B A=B A = B a) B A=B n (n l s nguyờn dng) A = B b) 2n c) n +1 d) A = B A = B n +1 (n l s nguyờn dng) A A + B = C B A + B + AB = C Mt s phng phỏp gii : Dng : Phng phỏp nõng hai v lờn ly tha Bi : Gii cỏc phng trỡnh sau : a) 2x + = x ; b) x + = 2x + x Gii : a) Xột phng trỡnh 2x + = x x 2x = x 2 2x = ( x ) x x x = 2 2x = x 4x + x 6x + = ( ) Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l x = x + b) iu kin : 2x x 7 x Vi iu kin trờn phng trỡnh ó cho tng ng x + = 2x + x + ( 2x ) ( x ) ( 2x ) ( x ) =2 ( 2x ) ( x ) = x 11x + 30 = x = hoc x = (hai nghim u tha iu kin ca phng trỡnh) Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim l x = 5; x = Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau : a) 10 3x = x (HSGQG-2000); c) x + 2x = ; b) x 5x = 3x ; d) x + x = x + x + 8x + Gii: a) Xột phng trỡnh 10 3x = x x x 2 10 3x = 4x x 10 3x = ( x ) x x 2 x 8x + 16x + 27x 90 = ( 10 3x ) = ( 4x x ) x x = (Vỡ x 7x + 15 > 0, x ) ( x 3) ( x + ) ( x 7x + 15 ) = Vy phng trỡnh ó cho cú nghim l x = x b) iu kin : 5x x 3x Phng trỡnh ó cho c vit li : x = 3x + 5x , bỡnh phng hai v ca phng trỡnh ta c x = 5x + ( 5x 1) ( 3x ) + 3x 2 ( 5x 1) ( 3x ) = 7x 7x 2 ( 15x 13x + ) = ( 7x ) x x = x = 11 Suy khụng cú giỏ tr no ca x tha bi toỏn Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim * Nhn xột : Hc sinh thng mc sai lm nhng im sau: - Nu hc sinh khụng chỳ ý n iu kin x , nờn ly nghim x = Tuy nhiờn th li nghim ny thỡ x = 11 khụng phi l nghim ca phng 11 trỡnh - Nu hc sinh khụng t iu kin 7x , hc sinh ly nghim x = 2, th li nghim ny cng khụng l nghim ca phng trỡnh c) Phng trỡnh ó cho tng ng x + 2x + 3 ( x ) ( 2x 3) ( ) x + 2x = 3x + 3 ( x ) ( 2x 3) = ( x ) ( 2x 3) = x ( x ) ( 2x 3) = ( x ) ( x ) ( x 2x + 1) = x = x = Th li ta thy x = tha Vy phng trỡnh ó cho cú mt nghim x = * Nhn xột : Vỡ ta thay x + 2x = khụng ỳng vi mi x v phng trỡnh thng xut hin nghim ngoi lai Hc sinh thng mc sai lm, gii xong khụng th li nghim m kt lun phng trỡnh cú nghim x = 1, x = Tuy nhiờn gi tr x = khụng tha phng trỡnh d) iu kin : x Ta cú x + x = x + x + 8x + x + x x x ( ( ) x x x )( ( ( x ) ( x 1) =0 ) x = ) x x = x = x = x = x = x Vy phng ttrỡnh ó cho cú hai nghim x = 5, x = * Nhn xột: Phng trỡnh trờn cú th gii bng cỏch t n ph t = x x Dng 2: Phng Phỏp t n ph Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau : a) 2x + 6x 10 + x + 3x = ; b) 2x + x 3x + = (Trớch thi i hoc Khi D nm 2006) Gii: a) Xột phng trỡnh 2x + 6x 10 + x + 3x = Ta cú iu kin : x + 3x x hoc x (*) t t t = x + 3x 2x + 6x = 2t Khi ú phng trỡnh tr thnh : 2t 10 + t = t = hoc t = Nờn (loi) x + 3x = x + 3x=4 x=1 hoc x = (tha (*)) Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x = 1; x = b) iu kin 2x x (*) t t = 2x 1, t x = t2 +1 Phng trỡnh ó cho tr thnh t 4t + 4t = ( t 1) (t + 2t 1) = t = hoc t = (tha t ) Vi t = ta tỡm c x = (tha iu kin (*)) Vi t = ta tỡm c x = (tha iu kin (*)) Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim : x = 1; x = Cỏch khỏc : Phng trỡnh 2x + x 3x + = 2x = x + 3x 5 x + 3x-1 x 2 2x = ( x + 3x-1) x 6x + 11x 8x + = 5 x x = x = ( x 1) ( x 4x + ) = Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim : x = 1; x = Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau : a) ( x ) x + 2x = x 2x ; b) x + x + = c) x3 + = 3 3x ; d) x2 x2 x + + + 2 x x x x2 ữ+ = ữ Gii: a) iu kin: x + 2x x hoc x + (*) t t = x + 2x ( t ) thỡ t = x + 2x hay x 2x = t 4x Phng trỡnh ó cho tr thnh t ( x ) t 4x = (**) Ta cú ' = ( x ) + 4x = ( + x ) 2 Khi ú phng trỡnh (*) cú hai nghim t = hoc t = 2x + Vi t = thỡ x + 2x = x + 2x-5 = x = (tha (*)) x + Vi t = 2x thỡ x + 2x = 2x 2 x + 2x = 4x (vụ nghim) Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim l x = + 6; x = b) iu kin: x (*) t u = x u3 = x v = x + v2 = x + u + v = Ta c h phng trỡnh u + v = v = u v = u 3 u + ( u ) = u + u 2u = 0(*) Gii phng trỡnh (*) ta c u = hoc u = hoc u = + Vi u = ta c x = x = (tha (*)) + Vi u = ta c x = ( ) x = + 2 (tha (*)) + Vi u = ta c x = ( ) x = 2 (tha (*)) Vy phng trỡnh cú ba nghim l x = 2, x = 2, x = + 2 c) t y = 3x suy y = 3x x = y (1) Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh: Ly phng trỡnh (1) y = 3x (2) tr phng trỡnh (2) v theo v ta c x y = y 3x ( x y ) ( x + xy + y + 3) = 0(*) y 3y2 + > , ( x, y Ă ) Ta cú x + xy + y + = x + ữ + Do ú phng trỡnh (*) x = y Thay x = y vo phng trỡnh y = 3x ta c x 3x + = ( x 1) ( x ) = x = hoc x = Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim l x = 1; x = < x < x d) iu kin: t t = x2 x x2 + , t t2 = + +1 x x x2 x2 2 Phng trỡnh tr thnh t + t + = t = hoc t = (loi) Vi t = thỡ < x < x2 x < x < + = x x2 ( x 4x + ) = ( x ) = x= Vy phng trỡnh ó cho cú mt nghim l x = Dng 3: Mt s phng phỏp gii khỏc Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau : a) 2x + 3x x + = x + 2x + 9x ; b) 3x + x + 3x 14x = (Trớch thi i hc Khi B nm 2010) Gii: 2x + 3x x + x a) iu kin : x + 2x + 9x Vi iu kin trờn phng trỡnh ó cho tng ng ( x + ) ( 2x 1) 2x ( ( x +5 x + + ) ( x+5 + x+ x+5 + x+2 )( ( x + ) ( 2x 1) =0 ) x+5 + x+2 = ) 2x = 2x = (do x ) 2x = x = Vy phng trỡnh ó cho cú mt nghim l x = * Nhn xột: i vi phng trỡnh trờn ta cú th gii bng phng phỏp t n ph nhng di v phc b) iu kin: x Cỏch 1: Xột phng trỡnh 3x + x + 3x 14x = 3x + + x + 3x 14x = 3x 15 x + + ( x ) ( 3x + 1) = 3x + + + x ( x 5) + + 3x + 1ữ = x = 3x + + + x x 3x + x a) iu kin : x 4x + x x 5x + * Vi x = bt phng trỡnh ó cho luụn tha * Vi x bt phng trỡnh ó cho tng ng ( x 1) ( x ) + ( x 1) ( x 3) ( x 1) x ( 1) x2 + x3 x4 + x4 Ta thy vi mi x thỡ (1) luụn ỳng * Vi x < bt phng trỡnh ó cho tng ng ( x) ( x) + ( x) ( x) (1 x) ( x) x + x x + x (2) Ta thy vi mi x < thỡ (2) vụ nghim Vy nghim ca bt phng trỡnh ó cho l T = { 1} [ ; + ) b) iu kin: x Ta cú x x ( x x + 1) x x + ( x x + 1) ( x x + 1) Ta li cú ( x x + 1) < Tht vy : ( x x + 1) < ( x x + 1) > 2x 2x + > (hin nhiờn) Do ú, bt phng trỡnh ó cho tng ng vi : x x + ( x x + 1) ( x x + 1) x + x + x + x + ( x 1) + x ( x 1) + x x + x + x x = x 2 x + x x = ( x ) x x x = x 3x + = x = ( ) Vy nghim ca bt phng trỡnh ó cho l x = * Nhn xột : i vi bt phng trỡnh trờn l ỏnh giỏ 3 ( x x + 1) = x ữ + 2x + x Gii: a) iu kin x 2x x hoc x Ta cú x 2x < ( x ) ( x + ) x 2x + x 2x 14 < t t t = x 2x 2 t = x 2x Bt phng trỡnh tr thnh : t + t < < t < Kt hp iu kin t ta cú t < Vi t < ta c x 2x < x 2x < x 2x 12 < 13 < x < + 13 Kt hp iu kin ta cú nghim ca bt phng trỡnh ó cho l ( ) T = 13; 4;1 + 13 2x 4x + , x Ă x b) iu kin 2x Bt phng trỡnh ó cho vit li ( x ) + ( 2x 1) > x + 2x (*) u = 2x t v = x Khi ú (*) tr thnh 2v + 2u > v + u v + u v + u vu 2 ( v u ) > 2v + 2u > ( v + u ) Vi u = v ta cú 2x = x x 6x + = v x x = Vy nghim ca bt phng trỡnh ó cho l T = ; + ữ\ { 5} Bi 2: Gii cỏc bt phng trỡnh sau: a) + x + x x x2 ; 2x > b) + x2 Gii: a) iu kin x x2 > Bt phng trỡnh ó cho tng ng + x + x + x2 + x4 x4 x x x + (*) 16 16 t t = x x = t t ) Khi ú (*) tr thnh 2t ( 2 16 ( t ) ( t ) +2 2 16 + ( t 1) (ỳng) Vy nghim ca bt phng trỡnh ó cho l T = [ 1;1] b) iu kin x > x > Nu x < thỡ bt phng trỡnh ó cho vụ nghim (do v trỏi õm) Nu x > bt phng trỡnh ó cho tng ng x2 + x2 4x2 x4 4x2 + > 45 + > 45 x2 x2 x2 x2 t t = x2 x2 (*) , t >0 t < t > Bt phng trỡnh (*) tr thnh t + 4t 45 > Kt hp vi iu kin t > ta c t > x2 x > x 25x + 100 > x >5 x > 25 x < x < Kt hp vi iu kin x > ta c nghim ca bt phng trỡnh ó cho l T = ( 2; ) ( 5; + ) Dng 3: Gii bt phng trỡnh vụ t bng mt s phng phỏp khỏc Bi 1: Gii cỏc bt phng trỡnh sau: a) x 3x + 2x x + 7x 3x + ; b) 3x 14x + 23 ( x 1) x 6x + 13 Gii: a) Ta cú x 3x + 2x x + 7x 3x + (*) ( 2x x + 1) (x + 3) 3x x + 2x x + + x + = (1) 2 Vỡ 2x x + > 0, x + > nờn theo bt ng thc Cauchy, ta cú ( 2x x + 1) + ( x + 3) ( 2x x + 1) ( x + 3) (2) x = x = 2 2 T (*) suy 2x x + = x + x x = Vy x = 1, x = l nghim ca bt phng trỡnh ó cho * Nhn xột : Trong bt phng trỡnh trờn nu hc sinh t n ph s gp khú khn vi biu thc cn bc hai ý rng 2x x + > 0, x + > nờn ta ỏp dng bt ng thc Cauchy thỡ bi toỏn gii gn hn b) Bt phng trỡnh 3x 14x + 23 ( x 1) x 6x + 13 (*) ( x 6x + 13) ( x 1) x 6x + 13 + ( x 1) + ( x 3) 2 2 x 6x + 13 ( x 1) + ( x 3) x 6x + 13 ( x 1) = x 6x + 13 = x x = x = x = Vy x = l nghim ca bt phng trỡnh ó cho Bi 2: Gii cỏc bt phng trỡnh sau: a) x ( x 5x + ) x ; 3 2 b) + x ( + x ) ( x ) + x Gii : a) iu kin : x Bt phng trỡnh x ( x 5x + ) x (*) ( x 3) + x r ( x 3) + ( x 1) r t u = ( x 3; x ) , v = ( 1; 1) r r u v = ( x 3) rr rr + ( x 1) , u.v = ( x 3) + x + r r Ta cú (*) u.v u v r r (1) rr Mt khỏc ta cú u v u.v rr (2) r r r r T (1) v (2) suy u.v = u v u, v cựng hng x x = >0 1 x x x = ( x 3) = x x 7x + 10 = Vy x = l nghim ca bt phng trỡnh ó cho b) iu kin x x t x = cos u, u [ 0; ] Bt phng trỡnh ó cho tr thnh + cos 2u ( + cos u ) ( cos u ) + cos 2u 3 u u + sin u 2cos ữ 2sin ữ + sin u 2 u u + sin u 2cos 2 sin ữ + sin u, u [ 0; ] 2 u u u u u u sin + cos ữ2 cos sin ữ1 + cos sin ữ + sin u 2 2 2 u u u 2 cos sin ữ1 + sin ữ + sin u 2 2 2.cos u ( + sin u ) + sin u cos u 2 x 2 Vy x l nghim ca bt phng trỡnh ó cho Bi 3: Gii cỏc bt phng trỡnh sau: a) 2x + 3x + 6x + 16 x < (*) ; b) x + 2x + 3x + > x x Gii : 2x + 3x + 6x + 16 x (1) a) iu kin x Xột hm s f ( x ) = 2x + 3x + 6x + 16 x , x [ 2; 4] Ta cú f ' ( x ) = ( x + x + 1) 2x + 3x + 6x + 16 > 0, x ( 2; ) x Suy hm s f ( x ) ng bin trờn on [ 2; 4] v f ( 1) = Do ú (*) f ( x ) < f ( 1) x < Kt hp vi iu kin (1) ta c nghim ca bt phng trỡnh (*) l T = [ 2; 1) b) Vi mi x Ă , ta cú x + 2x + 3x + > x x x + 2x + + x + 2x + > 3x + + 3x + Xột hm s f ( t ) = t + t , t Ta cú f ' ( t ) = f ' ( t ) > 0, t > t +1 Do ú hm s f ( t ) tng trờn ( 0; + ) Vỡ th x + 2x + + x + 2x + > 3x + + 3x + f ( x + 2x + 1) > f ( 3x + 1) x + 2x + > 3x + x < x4 x > x > x > Vy nghim ca bt phng trỡnh ó cho l T = ( ; 1) ( 1; + ) * Nhn xột : i vi bt phng trỡnh trờn vic t n ph gp nhiu khú khn a bi toỏn theo n ph Tuy nhiờn i vi hc sinh lp 12 nờn dựng hm s gii, bi toỏn tr nờn n gin hn Bi 4: Gii cỏc bt phng trỡnh sau: a) x + + x 4x + x (Trớch thi i hc Khi B nm 2012) ; b) ( x + 1) x + + ( x + ) x + x + 7x + 12 (Trớch thi i hc Khi D nm 2014) Gii : a)iu kin x hoc x + (*) Nhn xột : x = l nghim bt phng trỡnh ó cho Vi x > bt phng trỡnh ó cho tng ng x+ t t = x + 1 + x+ x x (1) ( ) , bt phng trỡnh (1) tr thnh x t2 t t < t t t ( t ) T (2) ta cú x2 0< x x+ x1 x x Kt hp iu kin (*) v x = ta c nghim ca bt phng trỡnh l T = 0; [ 4; + ) b) iu kin x Bt phng trỡnh ó cho tng ng vi ( x + 1) ( ) x + + ( x + 6) ( ) x + ( x + 2x ) x+6 x +1 ( x 2) + x ữ (1) x+7 +2 x+2+2 Do x nờn x + 0, x + > x +1 x+6 + x4 x+2+2 x+7 +2 x+2 x+6 x+6 x+2 = + x + S : T = 6; + ) c) ( x 16 ) x3 76 17 + x+3 > S : T = ( 10 34; + ) x x d) x 8x + 15 + x + 2x 15 ( 2x 9x + ) S : T = { 3} 17 ; + ữ e) x + x + x x x +3 S : x = 1; x = f) x ( x + 1) + 3x x + + > S : T = [ 1; + ) Bi : Tỡm m cỏc bt phng trỡnh sau cú nghim : a) x + x m ; S : m < b) mx x m + ; S : m 1+ PHN III KT LUN Trờn õy l mt s dng toỏn v Phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t Thc t cho thy hc sinh rt hng thỳ c hc nhng dng toỏn trờn, c bit nhng bi toỏn cỏc kỡ thi tuyn sinh vo i hc Vn dng cỏc phng phỏp gii trờn, giỳp hc sinh vt v vic gii cỏc bi toỏn v phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t, tỡm giỏ tr tham s m phng trỡnh hoc bt phng trỡnh cú nghim, Qua thc t kinh nghim ging dy ca bn thõn trng THPT vi ni dung v phng phỏp nờu trờn ó giỳp c phn no cho hc sinh gii tt hn v phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t, ng thi cng kớch thớch c hc sinh tỡm tũi gii quyt bi toỏn theo nhiu chiu hng tt, ti u hn Mc dự ó cú nhiu c gng nghiờn cu ti Mt s dng toỏn v phng trỡnh v bt phng trỡnh vụ t song nhng iu vit cú th khụng trỏnh sai sút, hn ch, rt mong nhn c s gúp ý ca cỏc ng nghip cựng bn c nhm nõng cao hiu qu ging dy v hc TI LIU THAM KHO Bi dng hc sinh gii I S 10; Ths Nguyn Trng Tun , Ths.ng Phỳc Thanh, Nguyn Tn Siờng; Nh xut bn i hc Quc gia H Ni B v phng phỏp gii mụn Toỏn tuyn sinh vo i hc v Cao ng; ThS Nguyn Vn Nho; Nh xut bn i hc quc gia H Ni Cỏc dng toỏn nhng kỡ thi tuyn sinh vo i hc hiờn nay;ThS Nguyn Vn Nho; Nh xut bn i hc quc gia H Ni Cỏc chuyờn i s ; Phm Trng Th; Nh xut bn i hc s phm i s 10 Nõng cao; on Qunh(Tng ch biờn); Nh xut bn Giỏo dc Phng phỏp gii toỏn chuyờn Phng trỡnh , bt phng trỡnh, h phng trỡnh, bt ng thc ; Nguyn Phỳ Khỏnh, Nguyn Tt Thu; Nh xut bn i hc s phm Hc v thc hnh theo chun kin thc, k nng Gii tớch 12; Nguyn Ti Chung, ng Phỳc Thanh, Nguyn Tỳy; Nh xut bn Giỏo dc Vit Nam MC LC Trang Phn I t Phn II Ni dung I Cỏc dng phng trỡnh cha cn II Cỏc dng bt phng trỡnh vụ t 16 Phn III Kt lun 29 Ti liu tham kho 30 Mc lc 31 ... chọn phương pháp giải phù hợp, nghiên cứu đề tài : Một số dạng toán phương trình bất phương trình vô tỷ Mục tiêu nghiên cứu: Với đề tài: Một số dạng toán phương trình bất phương trình vô tỷ ... chương trình THPT nói chung lớp 10 nói riêng, học sinh thường gặp nhiều khó khăn việc giải phương trình bất phương trình vô tỷ, phần lí thuyết đơn giản số toán phương trình bất phương trình vô tỷ. .. với điều kiện x ≥ −2 ta tập nghiệm bất phương trình cho T = [ −2; 2] Dạng : Một số toán có chứa tham số bất phương trình vô tỷ Bài 1: Xác định m để bất phương trình m 2x + + 2x ≥ có tập xác định