SKKN một số dạng toán về số chính phương

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Nguyễn Thị Thanh Huyền PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài Cơ sở lý luận Toán học mơn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logic đồng thời mơn tốn công cụ hỗ trợ cho môn học khác Với phân môn số học môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả suy luận logic, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Đặc biệt rèn luyện cho học sinh khá, giỏi nâng cao lực tư duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt cách tìm lời giải tập học sinh Việc bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em kiến thức thông qua việc làm tập làm nhiều tập khó mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo, phân môn số học phải biết rèn luyện lực tư phán đoán logic Cơ sở thực tiễn Qua công tác giảng dạy trường nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học tập giải tốn thân người thầy cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách giải Trước tập tơi cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý Phát cách giải tương tự khái quát phương pháp đường lối chung Từ đó, với tốn cụ thể em khái qt hóa thành tốn tổng qt xây dựng tốn tương tự Bài tập số phương thường gặp đề thi HSG cấp, thi vào THPT chun Vì tơi chọn chủ đề sáng kiến kinh nghiệm "Một số dạng toán số phương", với mục đính rèn luyện khả sáng tạo Toán học cho học sinh giỏi, tư liệu dạy học Toán học cho giáo viên II Mục đích nghiên cứu - Trang bị cho học sinh số phương pháp giải tập số phương -1- - Giúp giáo viên nâng cao trình độ, áp dụng vào công tác giảng dạy, bồi dưỡng HSG, học sinh thi vào THPT chuyên III Đối tượng nghiên cứu - Các dạng tốn số phương IV Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu, sách, báo, mạng Internet, - Thực tiễn trình giảng dạy -2- PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA Số phương số bình phương số nguyên II MỘT SỐ TÍNH CHẤT THƯỜNG VẬN DỤNG 1- Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; có chữ tận 2, 3, 7, 2- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phương có hai dạng 4n 4n+1 Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n  N) 4- Số phương có hai dạng 3n 3n +1 Khơng có số phương có dạng 3n + ( n  N ) 5- Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ 6- Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Mọi số phương chia cho 5, cho dư 1, 0, Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương Nếu hai số ngun liên tiếp có tích số phương hai số số 10 Số ước số phương số lẻ Ngược lại, số có số ước số lẻ số số phương 11 Nếu n2 < k < (n+1)2 ( n  Z) k khơng số phương 12 Nếu hai số tự nhiên a b nguyên tố có tích số phương số a, b số phương -3- III CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN Dạng 1: Tìm số phương Dạng 2: Chứng minh số số phương khơng số phương Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị số phương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG - Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa - Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ - Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết chia có dư - Phương pháp 4: Sử dụng tính chất -4- CHƯƠNG 2: BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Tìm số phương Bài 1: Tìm số phương abcd biết ab  cd 1 Lời giải Giả sử n  abcd  100ab  cd  100 1 cd  cd  101cd 100 , n  Z  101.cd  n  100   n  10n 10 Vì n 100 101 số nguyên tố nên n  10 101  n  91 Thử lại: abcd  912  8281 có 82  81 1 abcd  8281 Vậy Bài : Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B (Đề thi TS vào lớp 10 chuyên trường THPT Lê Hồng Phong - TP Hồ Chí Minh Năm học 2005- 2006) Lời giải Gọi A  abcd  k Theo đề ta có: Ta có:   A  abcd  k B  abcd 1111   m2 (với k , m  N * 31  k  m 100 , a, b, c, d 1, )  m2  k 1111 (m - k)(m + k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > nên m – k m + k số nguyên dương Và m – k < m + k < 200 nên (*) viết (m – k) (m + k) = 11.101 Do đó: m – k = 11 m + k = 101 m = 56 n = 45 A=2025 B = 3136 Vậy A=2025, B = 3136 Bài 3: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Lời giải -5- Gọi số phải tìm abcd với a; b; c; d số tự nhiên  a  9;  b, c, d   d 0,1, 4,5, 6,9 Ta có abcd phương Vì d số nguyên tố  d = Đặt abcd = k2 < 10000  32  k < 100, k  N Do k số có hai chữ số mà k2 có tận  k tận Tổng chữ số k số phương  k = 45 (vì k tận có chữ số)  abcd = 2025 Vậy số phải tìm là: 2025 Bài 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số số viết hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương Lời giải Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm ab (a, b  N,  a, b  9) Số viết theo thứ tự ngược lại ba Ta có ab - ba = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) 11  a2 – b2 11 Hay (a - b) (a + b) 11 Vì < a – b  8;  a + b  18 nên a + b 11  a + b = 11 Khi đó: ab - ba 2= 32 112 (a – b) Để ab - ba số phương a – b phải số phương a – b = a – b = Nếu a – b = kết hợp với a + b = 11  a = 6, b = , ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a – b = kết hợp với a + b = 11  a = 7,5 loại Vậy số phải tìm 65 Bài 5: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số Gọi số phải tìm ab với a, b  N,  a  9;  b  -6- Theo giả thiết ta có: ab2 = (a + b)3  ab   a  b 2 a  b Suy a+b số phương Khi ab lập phương a + b số phương Vì 10  ab  99  ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27  a + b = số phương Nếu ab = 64  a + b = 10 không số phương  loại Vậy số cần tìm 27 Dạng 2: Chứng minh số số phương khơng số phương Bài 1: Cho A  11 1 88 1 Chứng minh A số phương 2n n Lời giải A 11 100 11 188 1 n n n n Đặt a 11 9a  99 Do 99   10n  9a 1 n n n Ta có A  a.10n  a  8a   a 9a  1 a  8a 1  A  9a  6a    3a 12  A  33 322 n1 Vậy A số phương Nhận xét: Khi biến đổi số có nhiều chữ số giống thành số phương ta nên đặt 11  a 99   10n  9a 1 n n Bài 2: Cho a 11 , b 10 05 Chứng minh ab 1 2016 số tự nhiên 2015 Lời giải: Cách 1: Ta có: b  10 05  10    9   9a  2015   2016 2016 ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 ab 1  (3a 1)2  3a 1  N -7- Vậy ab 1 số tự nhiên Cách 2: Ta có:a  11  102016  , b  102016  2016  ab   10 2016 1.102016  5   102016  102016  2  4.102016     99  ab   10 2016    2 Mà 10 2016   Do đó, ab 1 số tự nhiên Vậy ab 1 số tự nhiên Bài 3: Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n  N n >1 số phương Lời giải Ta có : n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Mà nN, n > nên n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 => (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + số phương Vậy số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n  N n >1khơng phải số phương Bài 4: Cho số tự nhiên a gồm 60 chữ số 1, số tự nhiên b gồm 30 chữ số CHứng minh a - b số phương Lời giải Cách 1: Ta có: a  11  1060 1 , b  22  2.1030 1 30 9 60 30 60 30  a  b  10   2(10 1)  10 2.10 1 60 9 103012      2  33    30 Cách 2: b  22  2.11 , a  11  11 1.00 11  11 1.1030 11 30 30 60 30 30 -8- 30 30 30 Đặt c 11  9c   99  1030 A    22  23   233 Hỏi A có số phương khơng? Vì Lời giải Ta có A1222 23 24 25 230 231 232 233  3 22.1 2 22  23  230.1 2 22  23   2.30   229.30  32   229 .3.10 Ta thấy A có chữ số tận Mà số phương khơng có chữ số tận Do đó, A khơng số phương Vậy A khơng số phương 30 Khi đó:   a  c 9c  30  c  9c  2c b  2c -9-   a  b  9c  2c  2c   3c2   33 3  30 2  Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số số tự nhiên b gồm k chữ số Chứng minh a  b số phương Bài 5: Chứng minh A  20124 n  20134 n  2014 n  20154n khơng phải số phương với số nguyên dương n (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Lời giải Ta có: 20124 n 4; 20144n , n  N* 20134 n  20134 n     20134n  11 chia cho dư 20154 n  20154n   14n 1 chia cho dư Do đó, A  20124 n  20134 n  2014 n  20154n chia cho dư Ta có: A , A không chia hết cho 22 , mà số ngun tố Suy A khơng số phương Vậy A khơng số phương Bài 6: Cho Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị số phương Bài 1: Tìm số tự nhiên x để biểu thức x  x  20 có giá trị số phương Lời giải Giả sử x  2x  20  a      a  N , a   a  x  19    a  x  a  x  19 Vì a  x  1   a  x 1 a  x  1 Do x  19 = 1.19 nên  a  x  19 Thử lại với x = 8, ta có x  x  20   2.8  20 102 thỏa mãn 2 Vậy số tự nhiên cần tìm x =8 Bài 2: Tìm số nguyên x cho A= x(x-1)(x-7)(x-8) số phương Lời giải: A= (x2 – 8x)(x2 - 8x+7) Đặt x2 -8x = y A= y(y+7) = y2 +7y Giả sử y2 +7y =m2 (m thuộc N) => 4y2 +28y+49-4m2 =49 => (2y+7+2m)(2y+7-2m)= 49= 49.1=(-1).(-49)=7.7=(-7).(-7) Ta thấy 2y+7+2m 2y+7-2m nên ta có trường hợp:  2y Trường hợp 1:   2 y Suy x  1;9  2m   2m  2y Trường hợp 2:  2 y   2m Suy x  Trường   2y  2m hợp 3:  2 y Suy x 0;8 7  2m  2y Trường hợp 4:  7  2 y 2m Suy x 1;7 7  2m 7  2m 49  9  , y  49      , 1  , y y0 16 7 , y 7 7 -10- Vậy x  1;0;1;4;7;8;9 Bài 3: Tìm số tự nhiên n  cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương (Đề thi HSG lớp - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc) Lời giải Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 32 số phương Với n  ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề n = 1; n = Bài 4: Tìm số nguyên dương n cho A   n  4n  14n  7 số phương (Đề thi chọn HSG Tốn tỉnh Thái Bình) Lời giải Ta có: 4n  14n    n   4n   1 n số nguyên 4n  14n  nguyên tố Vì vậy, để A dương nên n  số phương 4n  14 n  n+3 phải số phương Do n  Z  nên ta có 2n  32  4n  14n    2n  42  4n  14n    2n  32  n 1 Khi n+3 = số phương Thử lại, với n 1 , ta có A 102 Vậy số nguyên dương cần tìm n 1 Bài 5: Tìm n  N để 28 + 211 + 2n số phương Lời giải  -Với n  0;1; 2; ;8 , cách thử khơng có giá trị n thỏa mãn đề - Với n  , đặt 28 + 211 + 2n = t , ta có t2  28  23  n 8  28(9  n8 )     2n8 số phương -11-  - Đặt   n Do đó: k k  N  ,k3 * k   2a n8 k3 k  3  (với a>b)  k   2b Khi đó: k    k  3  2b 2 a b 1  2.3  2 b a  2 b 1 a   2b   a b  1 3   b 1  Do n     n 12 Thử lại 28  211  212  802 Vậy số tự nhiên cần tìm n = 12 Bài 6: Tìm tất số tự nhiên x,y để 2x + 5y số phương Lời giải: Giả sử 2x +5y =k2 (k thuộc N) y 2 y Nếu x = + = k k chẵn => k chia hết cho 1+5 chia dư x y Vậy x khác 0, từ +5 = k => k lẻ k không chia hết cho Xét hai trường hợp 2x +1=k2=(2n+1)2 (vì k lẻ nên k  2n  1, n  N ) +) Với  x  4n( n  1)  n 1 Khi x=3; y=0 (thỏa mãn) +) Với y  k không chia hết cho  k 1(mod 5) Từ x  y  k  x 1(mod 5)  x chẵn Đặt x  2x1 x1  N  , ta có y  ( k  x1 )( k  x1 ) k  x1  y  k  x1    với y1  y2  y với y1  y2 , y1, y2 số tự nhiên y  2x 1  y (5 y y  y1  y Khi x Nếu y=2t t  N thì Vậy y lẻ, x  1)  y   y2  1  y 1 x1 1  52t   25t 1 , vô lý 1  y   4(5 y 1 5 y2 Nếu y 1 y 1  y2  1,lẻ (vô lý) Nếu y   x1 1 x  2; y 1 -12-   1) Thử lại x  y  22  51  số phương Vậy x  2; y 1 x = 3, y = * Bài tập luyện tập Bài 1: Chứng minh a; b số nguyên thỏa mãn hệ thức 2a  a  3b  b a  b 2a+2b+1 số phương Bài 2: Cho a; b; c số nguyên thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca 1 Chứng minh ( a  1)(b  1)(c2 1) số phương Bài 3: Tìm a  N để (23  a )( a 3) số phương Bài 4: Tìm số nguyên tố p cho số 2( p 1) 2( p2 1) số phương (Đề thi chọn HSG Tốn trường Quốc học Huế, Thừa Thiên - Huế) ( x  1)(2 x 1) Bài 5: Chứng minh tồn số nguyên dương x thỏa mãn số 2012 phương x hợp số Bài 6: Chứng minh số A  19n  5n5  1890n3  19n  5n 1993 n  N  số phương n 2n 1 Bài 7: Tìm số ngun dương n cho số phương 26 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa Năm học 2012-2013 ) Bài 8: Tồn hay không số nguyên x thỏa mãn 202 x  122 x  20122 x số phương Bài 9: Tìm tất số nguyên n cho A  n  n3  n2 có giá trị số phương (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An Năm học 2010-2011 ) Bài 10: Tìm số tự nhiên n cho A  n  18n  2020 có giá trị số phương (Đề thi chọn HSG Tốn 9, tỉnh Quảng Ngãi) Bài 11: Chứng minh số nguyên x, y biểu thức A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 có giá trị số phương Bài 12: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương -13- Bài 13: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) ( Chứng minh 4S + số phương *) Bài 14: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào chữ số đứng trước đứng sau Chứng minh tất số dãy số phương Bài 15: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số phương Bài 16: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n2 số phương Bài 17: Biết x N x > Tìm x cho x(x 1).x(x 1)  (x  2)xx(x 1) Bài 18: Chứng minh n số tự nhiên cho n + 2n + số phương n bội số 24 Bài 19: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Bài 20 : Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống Bài 21 : Người ta viết liên tiếp số ; ; ; ; ;1994 thành hàng ngang theo thứ tự tùy ý Hỏi số tạo thành theo cách viết số phương khơng ? Bài 22 : Tìm tất số nguyên dương n cho số T  2n 1 số phương Bài 23 : Tìm tất số nguyên n cho n  2n3  2n n7 số phương (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên KHTN Hà Nội ) Bài 24: Tìm tất số nguyên dương n cho số T  2n  3n  4n số phương (Đề thi chọn HSG Toán 9, huyện Vĩnh Tường Năm học 2014 - 2015) Bài 25: Cho a, b, c chữ số khác Gọi S tổng tất số có ba chữ số tạo thành chữ số a ; b ; c Chứng minh S khơng phải số phương Bài 26: Tìm số tự nhiên n để n + 18 n - 41 hai số phương (Đề thi giao lưu HSG lớp 8- năm học 2013-2014- Phòng GD Vĩnh Tường) -14- Bài 27: Cho A = 200.(92013 + 92012 + + 92 + + 1) Chứng minh A + 25 số phương (Đề thi giao lưu HSG lớp 7- năm học 2012-2013- Phòng GD Vĩnh Tường) Bài 28: Chứng minh số 2013  4! 5! 6! 7!  2020! khơng số phương (Đề thi giao lưu HSG lớp 8- năm học 2012-2013- Phòng GD Yên Lạc) Bài 29: Cho n tổng hai số phương CMR n2 tổng hai số phương (Đề thi giao lưu HSG lớp 8- năm học 2012-2013- Phòng GD Yên Lạc) CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM *Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THCS Hai Bà Trưng, Vĩnh Phúc Trước thực nghiệm sư phạm, tác giả báo cáo tổ KHTN nhà trường chuyên đề “ Một số dạng toán số phương” Kết 100% giáo viên trí đưa nội dung chuyên đề vào vận dụng thực tiễn * Hình thức thực nghiệm: Giáo viên dạy thực nghiệm chuyên đề “Một số dạng toán số phương” hai lớp 9A1 với 45 học sinh, lớp đối chứng 9A với 44 học sinh, sau giảng dạy tiến hành hội thảo tiêu chí trình độ chun mơn, nghiệp vụ sư phạm giáo vên kết học tập học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng tương đương Lớp 9A1 giáo viên đưa dạng tốn số phương phương pháp giải, lớp 9A2 giáo viên đưa tập, không chia theo dạng tập không nêu phương pháp giải Sau dạy thực nghiệm kết hợp hội thảo giáo viên đồng thời tiến hành kiểm tra dạng toán số phương Kết thu được: Điểm 10 9A1 Số lượng 0 0 20 15 9A2 % -15- Số lượng 0 10 15 0 % PHẦN III: KẾT LUẬN Giảng dạy áp dụng chuyên đề mang lại hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn Nhiều học sinh chủ động tìm tòi, định hướng cách giải tốt Xây dựng cho học sinh niềm tin học tập, hứng thú tìm tòi mới, hay q trình học tốn, góp phần quan trọng kỳ thi hoc sinh giỏi thi vào lớp 10 trường chuyên Mỗi giáo viên cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để đưa tập phương pháp giải phù hợp giúp em làm sáng tạo cách giải gây hứng thú cho em, từ nâng cao kiến thức từ dễ đến khó Để làm giáo viên cần tìm tòi tham khảo nhiều tài liệu để tìm toán hay, với nhiều cách giải khác cho học sinh Thông qua phương pháp giáo dục em lực tư độc lập, rèn tư sáng tạo tính tự giác học tập , phương pháp giải tốn nhanh, tạo cho em niềm u thích môn học Mặc dù cố gắng làm chuyên đề, song khơng thể tránh khỏi thiếu sót cấu trúc ngơn ngữ, chưa đủ dạng Vì vậy, tơi mong quan tâm đồng nghiệp góp ý kiến để chuyên đề hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Người viết Nguyễn Thị Thanh Huyền -16- ... CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN Dạng 1: Tìm số phương Dạng 2: Chứng minh số số phương khơng số phương Dạng 3: Tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị số phương MỘT... 10 Số ước số phương số lẻ Ngược lại, số có số ước số lẻ số số phương 11 Nếu n2 < k < (n+1)2 ( n  Z) k khơng số phương 12 Nếu hai số tự nhiên a b ngun tố có tích số phương số a, b số phương -3-... thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 3- Số phương có hai dạng 4n 4n+1 Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n  N) 4- Số phương có hai dạng 3n 3n +1 Khơng có số phương có dạng 3n + ( n  N ) 5- Số phương