SKKN một số DẠNG TOÁN về số PHỨC ôn THI THPTQG

Mô tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến tập trung phân dạng cùng phương giải các nhóm bài tập cơ bản trong chương IV Giải tích 12 về nội dung Số Phức nhằm giúp cho học sinh có những kiến

MỤC LỤC

1 Lời giới thiệu 1

2 Tên sáng kiến kinh nghiệm: 1

3 Tác giả sáng kiến: 1

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 1

5 Lĩnh vực áp dung 1

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 1

7 Mô tả bản chất của sáng kiến: 1

PHẦN I MỞ ĐẦU 2

PHẦN II NỘI DUNG 2

8 Những thông tin cần được bảo mật: 24

9 Mục đích nghiên cứu: 24

10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: 24

11 Danh sách những tổ chức / cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: 25

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Lời giới thiệu

Nền giáo dục nước ta trong giai đoạn hiện nay đang có nhiều đổi mới với mục tiêu quan trọng là dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người học Trong những thời gian vừa qua Bộ giáo dục đã có nhiều đổi mới, thay đổi như: thay đổi mục tiêu giáo dục, cách thức thi cử, kiểm tra đánh giá… Đứng trước những đổi mới đó đòi hỏi người dạy, người học cần phải đáp ứng kịp thời.

Trong quá trình toán THPT Số Phức là nội dung mới, giáo viên và học sinh cũng gặp một số khó khăn khi học nội dung này Mặt khác trong đề thi THPGQ hiện nay, Số Phức là nội dung có trong cấu trức của đề thi

Với mục đích giúp người dạy cũng như người học bớt khó khăn hơn, với thực tiễn giảng dạy một số năm tôi rút ra một số kinh nghiệm viết trong báo cáo này để đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo.

2 Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC ÔN THI THPTQG

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Hà Trọng Đạt.

- Địa chỉ: Như Thụy – Sông Lô – Vĩnh Phúc.

- Điện thoại: 0904209004; email: datngogiatu@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Hà Trọng Đạt

5 Lĩnh vực áp dung: Giáo dục.

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 11 năm 2018.

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Sáng kiến tập trung phân dạng cùng phương giải các nhóm bài tập cơ bản trong chương IV Giải tích 12 về nội dung Số Phức nhằm giúp cho học sinh có những kiến thức, kĩ năng cơ bản, dễ học, dễ theo theo dõi nội dung Số Phức.

PHẦN I MỞ ĐẦU

Kể từ năm học 2016 – 2017, môn Toán được áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Trong đó,

số phức chiếm một tỉ lệ tương đối ổn định qua các năm Cụ thể:

Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 12

Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 6 tiết

PHẦN II NỘI DUNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả

mãn i 2 = -1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo

a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z) = a

b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

*) Một số lưu ý:

- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.

- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

2 Hai số phức bằng nhau.

Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

2

z = z’ 

''

3 Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi

4 Phép cộng và phép trừ các số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:

' ( ') ( ')' ( ') ( ')

Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không

âm được xác định như sau:

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z =

1 2

9 Phương trình bậc hai với hệ số thực.

* Cho phương trình bậc hai : ax2bx c 0, có  b2 4ac

+ Nếu > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt 1,2 2

  

 b x

a

+ Nếu  = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = 2

b a

+ Nếu < 0, PT có 2 nghiệm phức 1,2

| |2

  

 b i x

a

+ Nếu  '= 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

'

b a

+ Nếu  '< 0, PT có 2 nghiệm phức 1,2

' | ' |

  

 b i x

DẠNG I TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC

I PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa, các phép toán để tính toán các yếu tố có liên

z z z C z z  D

' '.

DẠNG II PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

I PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các phương pháp giải phương trình mẫu mực như phương

P

C

2 3



P

143

i

z  

Khi đó 1 2

2 33

i i

3 3

z z

2

11

33

2

4 0

2

z z

z z

z i z



P

C

1 6



z

C

3 32



z

D

2 33

A 6 + 2i B 2 + 6i C –2 + 6i D –6 +

2i

Câu 8 Giải phương trình 2 3 i z z  1

DẠNG III TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

I PHƯƠNG PHÁP: Để giải bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta thực

hiện theo các bước sau:

Khi đĩ z là số ảo (thuần ảo) khi a0 , z là số thực khi b0.

Ví dụ 1 (Mã đề 101 - QG – 2017) Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 3i 5 và  4

.Với b 1324 a1613 z16 2413 13 i thỏa mãn 

y y

Đáp án: C

Ví dụ 4 (Mã đề 103 - QG – 2017) Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3i  13 và  2

z z

.Với b 35 x 15 z 1 35 5 i thỏa mãn 

Đáp án: D

Ví dụ 5 (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 5 và z   3 z 3 10i Tìm số phức w z  4 3 i

Câu 1 (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z a bi a b  ( ,  ) thoả mãn z  2 i z Tính S4a b 

Câu 11 (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn 3z i  2  i z   3 10i

Mô đun của z bằng

Câu 12 (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn 3z i   2 3 i z  7 16i Môđun của z bằng

 

DẠNG IV BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

I PHƯƠNG PHÁP: Giả sử z = x + yi (x, y  R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt

phẳng phức bởi điểm M(x;y)

Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M

Một số quỹ tích thường gặp:

Với z = x+yi (x, y là các số thực) khi đó nếu:

* x= a : Quỹ tích z là đường thẳng x = a (song song với Oy)

* y= b: Quỹ tích z là đường thẳng y = b (song song với Ox)

* (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z là đường tròn tâm I(a.b) bán kính R

14

* (x-a)2 +(y-b)2 R2 Quỹ tích z là hình tròn tâm I(a.b) bán kính R ( kể cả biên).

* (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z là các điểm nằm ngoài đường tròn tâm I(a.b) bán kính R

Ví dụ 2 (Mã đề 102 - QG – 2017) Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng

tọa độ là điểm M như hình bên ?

 22  12 8 

 x  y  C

Mặt khác, z 12  x 1yi2 x 12 y2 2x 1 yi

.Theo giả thiết ( 1) z  2 là số thuần ảo nên

Ta có d I d ,   2R, suy ra  cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức chính là các giao điểm của (C) với hai đường thẳng

d và  Số giao điểm là 3

Đáp án: C

Ví dụ 4 (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z1  1 2 , i z2   3 i Tìm điểm biểu diễn

z z z

Ví dụ 6 (Mã đề 104 - QG – 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để

tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z z 1 và z 3 i m Tìm số phần tử của S.

Ví dụ 7 (QG – 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z i z   2

là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

là số thuần ảo Trên mặt

phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính

iz z





 là một đường tròn có bán kính bằng

A 34. B 26. C 34. D 26.

Câu 6 (QG-2019)Xét các số phức zthỏa mãn z  2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp

điểm biểu diễn các số phức

3 1

iz w

iz w

Câu 12 Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tập hợp những

điểm M(z) thỏa mãn điều 2   z i z là

Câu 15 Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

A Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung

B Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung

C Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành

D Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành

Câu 18 Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

C Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm I1; 1 

, bán kính 1

D Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại I1; 1 

và các bán kính lớn và nhỏ lầnlượt là 2; 1

Câu 19 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho

Câu 20 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z x yi  thỏa mãn điều kiện x  y 1 là

A Ba cạnh của tam giác

B Bốn cạnh của hình vuông

C Bốn cạnh của hình chữ nhật

D Bốn cạnh của hình thoi

DẠNG V CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

I PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng các kiến thức cơ bản như: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung

bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học và một

số bài toán công cụ sau:

BÀI TOÁN CÔNG CỤ 1:

Cho đường tròn ( )T cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định Điểm M di

động trên đường tròn ( )T Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ

nhất

Hướng dẫn giải:

TH1: A thuộc đường tròn (T)

Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A

AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I

TH2: A không thuộc đường tròn (T)

Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T);

+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:

Cho hai đường tròn ( ) T1 có tâm I, bán kính R

1; đường tròn ( ) T2 có tâm J, bán kính

R2 Tìm vị trí của điểm M trên ( ) T1 , điểm N trên ( ) T2 sao cho MN đạt giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua I, J;

d cắt đường tròn ( ) T1 tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt ( ) T2 tại hai điểm

phân biệt C, D ( giả sử ID > IC)

Với điểm M bất khì trên ( ) T1 và điểm N bất kì trên ( ) T2 .

Ta có: MN IM IN IM IJ JN R R IJ AD       1 2  .

20

Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D

Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N

BÀI TOÁN CÔNG CỤ 3:

Cho hai đường tròn ( )T có tâm I, bán kính R; đường thẳng  không có điểm chung

với ( )T Tìm vị trí của điểm M trên ( )T , điểm N trên  sao cho MN đạt giá trị nhỏ

nhất

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d

Đoạn IH cắt đường tròn ( )T tại J

Với M thuộc đường thẳng , N thuộc đường tròn ( )T , ta có:

(Bài toán qui về Bài toán công cụ 1- Trường hợp 2)

Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt

 Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể Hướng dẫn giải bằng phương pháp sử dụng

bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá

Ví dụ 2 Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z z(  2 4 )i là một số ảo, tìm số

phức z sao cho  z 1 i có môđun lớn nhất

IA A T (Bài toán được qui về Bài toán công cụ 1 - trường hợp 1)

Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất

 AM là đường kính của (T)

 M đối xứng với A qua I

 I là trung diểm của AM

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2 13 khi z 2 2i

Ví dụ 4 Trong các số phức z có môđun bằng 2 Tìm số phức z sao cho biểu thức

Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm

(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên :x y  6 0  H(3;3)

Đoạn OH cắt đường tròn ( )T tại

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18 3 2  khi 1 2

Câu 2 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 i 2 Số phức nào có mô đun nhỏnhất?

P

B Pmin 3. C Pmin  13. D Pmin 4

Câu 7 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 2, tìm số phức z có

Do đây là phần nội dung kiến thức mới nhiều học sinh còn lúng túng,

nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm phân dạng bài tập cùng phương pháp

giải giúp học sinh dễ học, dễ nhớ để ôn thi THPTQG đạt kết quả tốt hơn.

10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:

10.1 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:

Đối với giáo viên, việc áp dụng sáng kiến này khiến cho người giáo viên say mê tìmtòi và sáng tạo hơn, hiệu quả dạy học cũng cao hơn

Đối với học sinh, được sự hướng dẫn của giáo viên, các em sẽ biết tìm hiểu các kiến thứctrong chuyên đề để có cách nhìn tổng quát để giải quyết các bài toán về tính đơn điệu củahàm số

Trong những năm học vừa qua, trường THPT Ngô Gia Tự liên tục giữ vững chất lượng dạy

và học, đứng trong tốp 6 trường có điểm thi THPTQG cao nhất tỉnh và tốp 200 trường cóđiểm trung bình thi đại học cao nhất cả nước Kết quả ấy đã góp một phần không nhỏ làm

nên những vụ mùa bội thu cho giáo dục tỉnh nhà Có được thành công đó là do mỗi người

giáo viên khi đứng lớp luôn luôn tâm niệm: Người dạy học phải tin vào sức mạnh tiềm tàng

26

của học trò, và phải nỗ lực hết sức để giúp học trò mình trải nghiệm được sức mạnh này.Nếu người kỹ sư vui mừng nhìn thấy cây cầu mà mình vừa mới xây xong, người nông dânmỉm cười nhìn đồng lúa mình vừa mới trồng, thì người giáo viên vui sướng khi nhìn thấyhọc sinh đang trưởng thành, lớn lên Uy tín và vị trí của người giáo viên trong nhà trườngchính là kết quả học tập và rèn luyện đạo đức của học sinh.

Đóng góp vào thành công lớn của nhà trường phải kể đến sự lao động bền bỉ của mỗi giáoviên thuộc các tổ chuyên môn trong đó có tổ Toán - Tin Việc các tổ chuyên môn đầu tưcông phu, thống nhất ý chí và quyết tâm cao thực hiện giảng dạy các chuyên đề ôn thiTHPTQG đã cho thấy vai trò quan trọng của người thầy trong hoạt động dạy học theo địnhhướng phát triển năng lực học sinh

10.2 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức / cá nhân

áp dụng sáng kiến:

Các cá nhân / tổ chức khi áp dụng sáng kiến đều đánh giá: so với phương pháp dạy họctruyền thống, việc áp dụng sáng kiến đã nâng cao chất lượng dạy học, đem lại những hiệuquả thiết thực trong giáo dục

11 Danh sách những tổ chức / cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: