Nền giáo dục nước ta trong giai đoạn hiện nay đang có nhiều đổi mới với mục tiêu quan trọng là dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người học. Trong những thời gian vừa qua Bộ giáo dục đã có nhiều đổi mới, thay đổi như: thay đổi mục tiêu giáo dục, cách thức thi cử, kiểm tra đánh giá…..Đứng trước những đổi mới đó đòi hỏi người dạy, người học cần phải đáp ứng kịp thời. Trong quá trình toán THPT Số Phức là nội dung mới, giáo viên và học sinh cũng gặp một số khó khăn khi học nội dung này. Mặt khác trong đề thi THPGQ hiện nay, Số Phức là nội dung có trong cấu trức của đề thi. Với mục đích giúp người dạy cũng như người học bớt khó khăn hơn, với thực tiễn giảng dạy một số năm tôi rút ra một số kinh nghiệm viết trong báo cáo này để đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo.
MỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lời giới thiệu Nền giáo dục nước ta giai đoạn có nhiều đổi với mục tiêu quan trọng dạy học theo hướng tiếp cận lực người học Trong thời gian vừa qua Bộ giáo dục có nhiều đổi mới, thay đổi như: thay đổi mục tiêu giáo dục, cách thức thi cử, kiểm tra đánh giá… Đứng trước đổi địi hỏi người dạy, người học cần phải đáp ứng kịp thời Trong q trình tốn THPT Số Phức nội dung mới, giáo viên học sinh gặp số khó khăn học nội dung Mặt khác đề thi THPGQ nay, Số Phức nội dung có cấu trức đề thi Với mục đích giúp người dạy người học bớt khó khăn hơn, với thực tiễn giảng dạy số năm rút số kinh nghiệm viết báo cáo để đồng nghiệp em học sinh tham khảo Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC ÔN THI THPTQG Tác giả sáng kiến: - Họ tên: ………… - Địa chỉ: ………… - Điện thoại: ………… Chủ đầu tư tạo sáng kiến: ………… Lĩnh vực áp dung: Giáo dục Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: tháng 11 năm 2018 Mô tả chất sáng kiến: Sáng kiến tập trung phân dạng phương giải nhóm tập chương IV Giải tích 12 nội dung Số Phức nhằm giúp cho học sinh có kiến thức, kĩ bản, dễ học, dễ theo theo dõi nội dung Số Phức PHẦN I MỞ ĐẦU Kể từ năm học 2016 – 2017, mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Trong đó, số phức chiếm tỉ lệ tương đối ổn định qua năm Cụ thể: SL câu Vận dụng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Tổng cao Năm 2017 2018 1 1 2019 1 2020 1 Chuyên đề giúp em rèn luyện kĩ Hướng dẫn giải toán liên quan tới số phức, lấy 01 điểm thuộc số phức thi, để em tiến gần đến ngưỡng ĐH – CĐ Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 12 Dự kiến số tiết bồi dưỡng: tiết PHẦN II NỘI DUNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re(z) = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i a = a ' z = z’ ⇔ b = b ' Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: z + z ' = ( a + a ') + (b + b ')i z − z ' = ( a − a ') + (b − b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a + bi = a - bi Chú ý: 10) z = z ⇒ z z gọi hai số phức liên hợp với 20) z z = a2 + b2 *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z = z (2): z + z ' = z + z ' (3): z.z ' = z.z ' (4): z z = a + b (z = a + bi ) Môđun số phức 2 Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu âm xác định sau: z môđun số phư z, số thực khơng - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z z = uuuuu v OM 2 = a +b - Nếu z = a + bi, = z.z = a + b Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số 2 1 z= z a +b z z-1= z' Thương z phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z' z '.z = z.z −1 = z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hốn, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thơng thường Phương trình bậc hai với hệ số thực 2 * Cho phương trình bậc hai : ax + bx + c = , có ∆ = b − 4ac + Nếu ∆ > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,2 = −b ± ∆ 2a −b + Nếu ∆ = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = 2a −b ± i | ∆ | x1,2 = 2a + Nếu ∆ < 0, PT có nghiệm phức * Cho phương trình bậc hai : ax + bx + c = Khi b chẵn có b’ = b/2 ; ∆ ' =b’2 – ac + Nếu ∆ ' > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,2 = −b '± ∆ ' a −b ' + Nếu ∆ ' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = a + Nếu ∆ ' < 0, PT có nghiệm phức 10 Một số kết cần nhớ 1) i0 = ⇒ i4n = x1,2 = −b '± i | ∆ ' | a 2) i1 = i ⇒ i4n + = i 3) i2 = - ⇒ i4n + = - 4) i3 = - i ⇒ i4n + = - i 5) (1 – i)2 = - 2i 6) (1 + i)2 = 2i B MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP DẠNG I TÍNH TỐN CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa, phép tốn để tính tốn yếu tố có liên quan II CÁC VÍ DỤ Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 = − 7i z2 = + 3i Tìm số phức z = z1 + z2 A z = − 4i B z = + 5i C z = −2 + 5i Hướng dẫn giải D z = − 10i z = z + z2 = ( − 7i ) + ( + 3i ) = − 4i Ta có Đáp án: A Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z = − i + i Tìm phần thực a phần ảo b z A a = 0, b = B a = −2, b = C a = 1, b = Hướng dẫn giải Ta có z = − i + i = − i − i = − 2i ⇒ a = 1, b = −2 Đáp án: D D a = 1, b = −2 Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Tìm số phức z thỏa mãn z + − 3i = − 2i A z = − 5i C z = − 5i Hướng dẫn giải z + − i = − i ⇔ z = − i − + 3i = + i Ta có Đáp án: B z Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z = + i Tính A z =3 B z = + i B z =5 z =2 C Hướng dẫn giải D z = − i D z = z = 22 + 12 = Ta có Đáp án: D Ví dụ (QG-2019) Số phức liên hợp số phức − 4i A −3 − 4i B −3 + 4i C + 4i Hướng dẫn giải D −4 + 3i Đáp án: C III BÀI TẬP Câu (Mã đề 101 - QG – 2017) Số phức số ảo? C z = −2 D z = + i Câu (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 = − 3i z2 = + 3i Tìm số phức z = z1 − z2 A z = 11 B z = + 6i C z = −1 − 10i D z = −3 − 6i Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 = − 3i z2 = −2 − 5i Tìm phần ảo b A z = −2 + 3i B z = 3i số phức z = z1 − z2 A b = −2 B b = C b = D b = −3 Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z = − 3i Tìm phần thực a z A a = B a = C a = −3 D a = −2 Câu (QG – 2018) Số phức −3 + 7i có phần ảo A B −7 C −3 D Câu (QG – 2018) Số phức có phần thực phần ảo A + 4i B − 3i C − 4i D + 3i Câu (QG – 2018) Số phức + 6i có phần thực A – B C – D Câu (QG – 2018) Số phức có phần thực phần ảo A −1 − 3i B − 3i C −1 + 3i D + 3i Câu (QG-2019) Số phức liên hợp số phức − 3i A −5 + 3i B −3 + 5i C −5 − 3i D + 3i Câu 10 (QG-2019) Số phức liên hợp số phức − 2i A −3 + 2i B + 2i C −3 − 2i D −2 + 3i Câu 11 (QG-2019) Số phức liên hợp số phức − 2i A −1 − 2i B + 2i C −2 + i D −1 + 2i Câu 12 Cho số phức z = −6 − 3i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực −6 phần ảo −3i B Phần thực −6 phần ảo C Phần thực phần ảo D Phần thực phần ảo 3i Câu 13 Cho số phức z z’ Các phát biểu sau sai ? z z = z z z z = D z ' z '.z A z + z ' = z + z ' B C z = z Câu 14 Cho số phức z = 3- 4i Phần thực phần ảo số phức z A Phần thực phần ảo - 4i; B Phần thực phần ảo 4; C Phần thực phần ảo 4i; D Phần thực phần ảo -4 Câu 15 Tìm phần thực phần ảo số phức z = i2020 A 2020 B C D 2020 z = ( − i ) + ( + 3i ) − ( + i ) Câu 16 Tìm phần thực, phần ảo A phần thực 1, phần ảo B phần thực 11, phần ảo C phần thực 1, phần ảo D phần thực 11, phần ảo z= 1+ i 1− i + − i + i Trong kết luận sau kết luận đúng? Câu 17 Cho số phức A z có phần thực phần ảo ≠ B z số ảo C Mô đun z D z có phần thực phần ảo Câu 18 Tính z + z z.z biết z = + 3i A 13 B C Câu 19 Cho số phức z = + 3i Tìm số phức w = 2iz - z A w = −8 + 7i B w = −8 + i C w = + 7i Câu 20 Cho số phức A 17 ; z1 = + 3i z2 = − 4i Môđun số phức z1 + z2 B 15 ; C 4; Câu 21 Số phức nghịch đảo số phức z = - 3i là: 3 + i + i −1 −1 −1 A z = 4 B z = 2 C z = + 3i D 13 D w = −8 − 7i D D z −1 = -1 + 3i ( ) Câu 22 Mô đun số phức A B C D Câu 23 Cho số phức z = a + bi (với a, b số thực) Xét phát biểu sau (1) z² – z ² số thực (2) z² + z ² số ảo (3) z z số thực (4) |z| – z Số câu phát biểu A B C D 20 Câu 24 Giá trị A = (1 + i) A 1024 B 220 C –1024 D 1024 – 1024i Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn: z (1 + 2i) = + 4i Tìm mơ đun số phức ω = z + 2i z = + 2i − i + B 17 A C 24 D i z = 2−i+ + i Phần ảo số phức z2 Câu 26 Cho số phức z biết 5 i i A B - C z= Câu 27 Cho số phức z thỏa mãn: A B ( 1− i ) 1− i D − Tìm mơđun z + iz C D + i ) ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z Câu 28 Phần thực số phức z thỏa mãn ( A −6 B −3 C D −1 DẠNG II PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng phương pháp giải phương trình mẫu mực phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai….với ẩn số phức z II CÁC VÍ DỤ Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Phương trình nhận hai số phức + 2i − 2i nghiệm ? A z + z + = 2 B z − z − = C z − z + = Hướng dẫn giải ) ( ) ; ( Cách 1: Ta có ( nghiệm phương trình z − z + = Đáp án: C Cách 2: Thử đáp án MTBT + 2i + − 2i = Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Kí hiệu 3z − z + = Tính P = z1 + z A P= 3 B P= 3 ) ( ) + 2i + − 2i = 2 D z + z − = Suy + 2i − 2i z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình P= C Hướng dẫn giải D P= 14 Phương trình z − z + = có hai nghiệm P = z1 + z2 = Khi Đáp án: B z1,2 = 1± i 11 Ví dụ Tìm số phức sau: a) (1 + z)(2 + 3i) = + i b) +i − + 3i z= 1−i +i Giải a) Ta có (1 + z)(2 + 3i) = + i 1+ i + 3i 5−i ⇔ 1+ z = 13 ⇔ z = − − i 13 13 ⇔ 1+ z = b) Ta có 2+i −1 + 3i ( −1 + 3i )(1 − i ) z= ⇔z= 1− i 2+i (2 + i ) 2 + 4i (2 + 4i )(3 − 4i ) ⇔z= ⇔z= + 4i 25 22 ⇔z= + i 25 25 Ví dụ Giải phương trình sau trường số phức: a) z4 + 2z2 -3 = b) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = (1) Giải z2 = z = ±1 ⇔ ⇔ z = −3 z = ±i a) Ta có z4 + 2z2 -3 = z = ±1 z = ±i Vậy phương trình có nghiệm b) Do tổng tất hệ số phương trình (1) nên (1) có nghiệm z = (1) ⇔ (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = ⇔ (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = z =1 z = z = ⇔ z = z = 2i z + = z = −2i ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm: III BÀI TẬP Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Kí hiệu 1 P= + z1 z2 z − z + = Tính A P= Câu (QG-2019)Gọi B z1 , z2 P= 12 z1 , z2 C hai nghiệm phức phương trình P=− D P = hai nghiệm phức phương trình z −6 z +10 = Giá trị z12 + z22 A 16 B 56 C 20 D 26 Câu (QG-2019)Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + 14 = Giá trị z12 + z22 A 36 B Câu (QG-2019)Gọi z1 , z2 C 28 hai nghiệm phức phương trình D 18 z − z +5 = Gái trị z + z 2 A B Câu (QG-2019)Gọi C 16 z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình D 26 z −4 z +7 = Giá trị z + z 2 A 10 B C 16 D Câu Tìm mơ đun số phức z thoả 3iz + (3 − i)(1 + i) = A z = 2 B z = 2 C z = 3 Câu Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – – 5i = Tìm số phức w = A + 2i B + 6i C –2 + 6i 2i ( + 3i ) z = z − Câu Giải phương trình D z+ z = 3 10 z D –6 + 10 z +2+i = z Câu (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) thoả mãn Tính S = 4a + b A S = B S = C S = −2 Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn B A z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z C Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn A D S = −4 B ? D z ( z − − i ) + 2i = (7 − i) z ? C D z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn ? A B C D z +3 =5 z − 2i = z − − 2i Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z Tìm số phức A z = 17 B z = 17 C z = 10 D z = 10 ( x − yi ) + ( − 3i ) = x + 6i với i Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn đơn vị ảo x =1; A x = −1 ; y = −3 B x = −1 ; y = −1 C x = ; y = −1 D y = −3 z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn ? A B C D ( 3x + yi ) + ( + i ) = x − 3i với i Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn đơn vị ảo A x = −2; y = −2 B x = −2; y = −1 C x = 2; y = −2 D x = 2; y = −1 Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn (3x + yi ) + (4 − 2i) = x + 2i với i đơn vị ảo A x = −2; y = B x = 2; y = Câu 10 (QG – 2018) Tìm hai số x y thỏa mãn vị ảo A x = −1 ; y = −1 B x = −1 ; y = Câu 11 (QG-2019)Cho số phức A z thỏa mãn B ( C x = −2; y = D x = 2; y = ( x − yi ) + ( − i ) = x − 4i C x = ; y = −1 ) z + i − ( − i ) z = + 10i C với i đơn D x = ; y = Mô đun D z 3 z − i ) − ( + 3i ) z = − 16i Câu 12 (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn ( Môđun z 14 A C B D Câu 13 (QG-2019)Cho số phức z thỏa (2 + i) z − 4( z − i ) = − + 19i Môđun z A 13 B C 13 D Câu 14 (QG-2019)Cho số phức z thỏa (2 − i ) z + + 16i = 2( z + i) Mơđun z A Câu 15 Tìm số phức z, biết A z= + 4i C 13 B 13 z + z = + 4i D z = − + 4i C B z = D z = −3 + 4i Câu 16 Số phức z thỏa mãn: (1 + i ) z + (2 − i ) z = 13 + 2i A + 2i ; B 3-2i; C -3 + 2i ; D -3 -2i Câu 17 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 – i) z = – 9i Tìm modun z A |z| = B |z| = C |z| = 13 D |z| = 13 Câu 18 Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn (1 – i)z – (2 – i) z = + 9i A –3 B –4 C D –4 –3 Câu 19 Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: A B z + ( ) ( C z + 1) + z − − 10i = z + Câu 20 Số số phức z thỏa mãn ( A B C ) 1 z − z = 1+ z+z i 2 D D − iz z + 2i − = 2z Câu 21 Tìm mơ đun số phức z thỏa mãn + i − 2i A C D 2 z2 + i z = z Câu 22 Biết số phức thỏa điều kiện Tìm số phức z có phần ảo âm 1 1 1 z = −1 − i z=− − i z= − i z = 1− i 2 2 2 A B C D DẠNG IV BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC B I PHƯƠNG PHÁP: Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Một số quỹ tích thường gặp: Với z = x+yi (x, y số thực) nếu: * x= a : Quỹ tích z đường thẳng x = a (song song với Oy) * y= b: Quỹ tích z đường thẳng y = b (song song với Ox) * (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z đường trịn tâm I(a.b) bán kính R 15 * (x-a)2 +(y-b)2 ≤ R2 Quỹ tích z hình trịn tâm I(a.b) bán kính R ( kể biên) * (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z điểm nằm ngồi đường trịn tâm I(a.b) bán kính R II CÁC VÍ DỤ Ví dụ (Mã đề 101- QG – 2017) Cho số phức z = − 2i Điểm điểm biểu diễn số phức w = iz mặt phẳng tọa độ ? A Q(1; 2) B N (2;1) C M (1; −2) Hướng dẫn giải D P(−2;1) w = iz = i ( − 2i ) = + i Ta có Suy điểm biểu diễn số phức w N (2;1) Đáp án: B Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Số phức sau có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M hình bên ? A C z4 = + i B z3 = −2 + i y z2 = + 2i −2 z = − 2i O x D Hướng dẫn giải Đáp án: C Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Có số phức z thỏa mãn | z + − i |= 2 ( z − 1)2 số ảo A Đặt C Hướng dẫn giải B z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Theo giả thiết, ta có ) | z + − i |= 2 ⇔ ( x + ) + ( y − 1) i = 2 ⇔ ( x + ) + ( y − 1) = ( C ) D 2 z − 1) = ( ( x − 1) + yi ) = ( x − 1) − y + ( x − 1) yi Mặt khác, ( 2 2 Theo giả thiết ( z − 1) số ảo nên ( x − 1) x − y −1 = ( d ) y = x −1 − y = ⇔ y = ( x − 1) ⇔ ⇔ y = − x + x + y − = ( ∆ ) Đường trịn (C) có tâm I ( −2;1) Ta có , suy d tiếp xúc (C) d ( I,d ) = 2 = R , bán kính R = 2 ) Ta có ( , suy ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức giao điểm (C) với hai đường thẳng d ∆ Số giao điểm Đáp án: C d I,d = < R Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức số phức z1 = − 2i, z2 = −3 + i Tìm điểm biểu diễn z = z1 + z2 mặt phẳng tọa độ 16 A N (4; −3) z = z + z = −2 − i B M (2; −5) C P(−2; −1) Hướng dẫn giải D Q(−1;7) Ta có Vậy điểm biểu diễn số phức z P (−2; −1) Đáp án: C Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + = Gọi M, N điểm biểu diễn T = OM + ON với O gốc tọa độ B T = A T = 2 z1 , z2 mặt phẳng tọa độ Tính D T = C T = Hướng dẫn giải z1 = 2i z2 + = ⇔ z2 = −2i Ta có M ( 0; ) , N ( 0; −2 ) ⇒ OM = ON = ⇒ T = OM + ON = Suy Đáp án: D Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để z − +i = m tồn số phức z thỏa mãn z.z = Tìm số phần tử S A B C Hướng dẫn giải D Điều kiện: m > Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z.z = ⇔ z = ⇔ x + y = 1( C1 ) Theo giả thiết ( C1 ) đường tròn tâm O ( 0;0 ) , bán kính R1 = ( ) ( z − + i = m ⇔ x − + ( y + 1) = m ⇔ x − ) + ( y + 1) = m ( C2 ) Mặt khác ( C2 ) đường tròn tâm I ( 3; −1) , bán kính R2 = m (C ) (C ) Để tồn số phức z tiếp xúc R + R = OI ⇔ + m = ⇔ m = 1( thỏa mãn ) (C ) (C ) TH1: tiếp xúc TH2 Vậy ( C1 ) S = { 1,3} ( C2 ) R1 + OI = R2 ⇔ + = m ⇔ m = ( thỏa mãn ) OI + R2 = R1 ⇔ m + = ⇔ m = −1( loaïi ) tiếp xúc Đáp án: A ( z + i ) ( z + ) số ảo Trên mặt Ví dụ (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính 17 C Hướng dẫn giải A Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Ta có D B ) ( z + i ) ( z + ) = ( x − yi + i ) ( x + yi + ) = ( x + x + y − y ) + ( x − y + ) i 1 x + x + y − y = ⇔ ( x + 1) + y − ÷ = z + i ) ( z + 2) ( 2 Vì số ảo nên 2 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức bán kính Đáp án: C z đường trịn có III BÀI TẬP ) Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn ( phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z + 3i A ( z − 3) z số ảo Trên mặt đường trịn có bán kính D C B ) Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn ( số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A B 2 C D z + 2i ( z − 2) ( z − 2i ) ( z + ) số ảo Trên mặt Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A 2 B C D Câu (QG-2019)Cho hai số phức biểu diễn số phức A 3z1 + z2 z1 = − i z2 = + 2i Trên mặt phẳng toạ độ ( 4;− 1) điểm biểu diễn số phức 34 điểm có toạ độ B ( − 1; ) Câu (QG-2019)Xét số phức z thỏa mãn A Oxy , w= + iz 1+ z B 26 C z = ( 4;1) D Trên mặt phẳng tọa độ ( 1; ) Oxy , tập hợp đường trịn có bán kính C 34 D 26 18 Câu (QG-2019)Xét số phức z thỏa mãn z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w= + iz + z đường trịn có bán kính A C 20 B 12 D Câu (QG-2019)Cho hai số phức z1 = −2 + i z2 = + i Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ 3; − 3) A ( 2; − 3) B ( Câu (QG-2019)Cho hai số phức diễn số phức z + z có tọa độ A z1 =1 +i B Câu (QG-2019)Cho số phức z2 = + i z ( 3;5) thỏa mãn điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn A 10 B Câu 10 (QG-2019)Cho hai số phức A Trên mặt phẳng −3; ) D ( Oxy , điểm biểu ( 2;5) biểu diễn số phức −3;3 ) C ( 2z1 + z2 C z = w= D Trên mặt phẳng tọa độ + iz 1+ z z1 = − i, z2 = + i ( 5;2 ) ( 5;3) Oxy , tập hợp đường trịn có bán kính C D 10 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm có tọa độ là: ( 5; − 1) Câu 11 (QG-2019)Cho số phức B ( − 1;5) z thỏa mãn điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn C z = w= ( 5;0 ) D Trên mặt phẳng tọa độ + iz 1+ z ( 0;5) Oxy , tập hợp đường trịn có bán kính A 52 B 13 C 11 D 44 Câu 12 Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều 2+ z = i−z A Đường thẳng x + y + = B Đường thẳng x − y + = A Đường thẳng x + y − = D Đường thẳng x + y − = Câu 13 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2i = z + − i A Đường thẳng x + y + = B Đường thẳng x − y + = A Đường thẳng x + y + = D Đường thẳng x − y − = Câu 15 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z −1 + i = 19 A Đuờng thẳng x − y − = x + 1) + ( y + 1) = B Đường tròn ( I ( 1; −1) C Đường thẳng x + y − = D Đường trịn tâm bán kính R = Câu 16 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − 4i + z + 4i = 10 2 x2 y2 x2 y + =1 + =1 A Đuờng elip 16 B Đuờng elip 16 x2 y2 x2 y + =1 + =1 C Đuờng elip D Đuờng elip Câu 17 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều 2+ z > z−2 kiện A Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên phải trục tung B Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên trái trục tung C Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hồnh D Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hoành Câu 18 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện ≤ z +1− i ≤ A Tập hợp điểm hình trịn có tâm I ( 1; −1) , bán kính A ( −1;1) B Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm bán kính lớn nhỏ 2; C Tập hợp điểm hình trịn có tâm I ( 1; −1) , bán kính I ( 1; −1) D Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm bán kính lớn nhỏ 2; Câu 19 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm C Đường tròn tâm D Đường tròn tâm I ( −1; −1) I ( −1; −1) I ( 1;1) I ( 1;1) u= z + + 3i z −i số ảo bán kính R = A ( 0;1) ; B ( −2; −3 ) bán kính R = trừ hai điểm bán kính R = A ( 0;1) ; B ( −2; −3) bán kính R = trừ hai điểm x + y =1 Câu 20 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện A Ba cạnh tam giác B Bốn cạnh hình vng C Bốn cạnh hình chữ nhật D Bốn cạnh hình thoi DẠNG V CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC 20 I PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng kiến thức như: Bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học số tốn cơng cụ sau: BÀI TỐN CƠNG CỤ 1: Cho đường trịn (T ) cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường tròn (T ) Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn giải: TH1: A thuộc đường trịn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Giả sử AB < AC +) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ AI − IM = AI − IB = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C +) Nếu A nằm đường tròn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ IM − IA = IB − IA = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C Vậy M trùng với B AM đạt gía trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt gía trị lớn BÀI TỐN CƠNG CỤ 2: (T1 ) có tâm I, bán kính R ; đường trịn (T2 ) có tâm J, bán kính (T ) (T ) R2 Tìm vị trí điểm M , điểm N cho MN đạt giá trị lớn Cho hai đường tròn nhất, nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi d đường thẳng qua I, J; (T ) d cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt phân biệt C, D ( giả sử ID > IC) (T2 ) hai điểm (T1 ) điểm N (T2 ) MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + JN = R1 + R2 + IJ = AD Với điểm M bất khì Ta có: Đẳng thức xảy M trùng MN ≥ IM − IN ≥ IJ − IM − JN = IJ − R1 + R2 = BC với A N trùng với D 21 Đẳng thức xảy M trùng với B N Vậy M trùng với A N trùng với D M trùng với B N trùng với C trùng với C MN đạt giá trị lớn MN đạt giá trị nhỏ BÀI TỐN CƠNG CỤ 3: Cho hai đường trịn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ khơng có điểm chung với (T ) Tìm vị trí điểm M (T ) , điểm N ∆ cho MN đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường tròn (T ) J Với M thuộc đường thẳng ∆ , N thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN ≥ IN − IM ≥ IH − IJ = JH = const Đẳng thức xảy M ≡ H ; N ≡ I Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ II CÁC VÍ DỤ Ví dụ Trong số phức z thoả mãn z z − + 4i = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Cách z = x + yi Gọi ( x; y ∈ R ) ⇒ M ( x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z − + 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y + 4) = ⇔ ( x − 3)2 + ( y + 4) = 16 2 Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I (3; −4) , bán kính R = z = x + y = OM OI = > R ; nên O nằm đường tròn (T) z lớn OM lớn nhất, nhỏ OM nhỏ (Bài toán qui Bài tốn cơng cụ 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) hai điểm 27 36 A ; − ÷; B ; − ÷ ⇒ OA = 1; OB = 5 5 5 ⇒1≤ z ≤ Với M di động (T), ta có: OA ≤ OM ≤ OB ⇔ ≤ OM ≤ ⇒ OM nhỏ M trùng với A; OM lớn M trùng với B z Vậy nhỏ Cách z= phân biệt 27 36 − i z z= − i 5 ; 5 lớn 22 Gọi z = x + yi ( x; y ∈ R ) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy ω = − 4i ⇒ A(3; −4) biểu diễn cho số phức ω z = OM ; ω = OA = ⇒ z − ω = AM ; z − + 4i = ⇔ z − ω = ⇔ AM = Theo giả thiết OM − OA ≤ AM ⇔ −4 ≤ OM − OA ≤ ⇔ −4 + OA ≤ OM ≤ + OA ⇔ ≤ OM ≤ Ta có: 27 36 z = − i z =9 z= − i ⇒1≤ z ≤ z =1 5 ; 5 ; khi z= z 27 36 − i z z= − i 5 ; 5 lớn Vậy nhỏ Nhận xét: Ngồi tốn Hướng dẫn giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki phương pháp lượng giác hố Ví dụ Trong số phức z thoả mãn điều kiện z ( z + − 4i) số ảo, tìm số phức z cho ω = z − − i có mơđun lớn Gọi z = x + yi ( x; y ∈ R ) Hướng dẫn giải ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z ( z + − 4i ) = ( x − yi ) [ ( x + 2) + ( y − 4)i ] = x( x + 2) + y ( y − 4) + [ x( y + 4) − y ( x + 2) ] i z ( z + − 4i ) số ảo ⇔ x( x + 2) + y ( y − 4) = ⇔ x + y + x − y = ⇔ ( x + 1)2 + ( y − 2) = ⇒ M biểu diễn cho z thuộc đường trịn (T) có tâm I (−1; 2) , bán kính ω = z − − i = ( x − 1) + ( y − 1)i = ( x − 1) + ( y − 1) = AM R= với A(1;1) IA = ⇒ A ∈ (T ) (Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ - trường hợp 1) Vì M điểm di động (T) nên AM lớn ⇔ AM đường kính (T) ⇔ M đối xứng với A qua I ⇔ I trung diểm AM ⇒ M (−3;3) ⇒ z = −3 + 3i ⇒ ω = −4 + 2i Vậy ω lớn z = −3 + 3i Ví dụ Trong số phức z có mơđun 2 Tìm số phức P = z +1 + z + i đạt giá trị lớn Gọi z = x + yi z =2 2⇔ ( x; y ∈ R ) z cho biểu thức Hướng dẫn giải x2 + y = 2 ⇔ x2 + y2 = 23 P = z + + z + i = ( x + 1) + y + x + ( y + 1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai số 2 2 1;1 ( x + 1) + y ; x + ( y + 1) , ta có: P ≤ ( x + 1) + y + x + ( y + 1) = 4(9 + x + y ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai số 1;1 x; y , ta có: x + y ≤ ( x2 + y ) = ⇒ P ≤ 52 ⇒ P ≤ 13 Đẳng thức xảy x = y = Vậy P đạt giá trị lớn 13 z = + 2i Ví dụ Trong số phức z có mơđun Tìm số phức P = z − + z − + 7i đạt giá trị lớn Gọi z = x + yi z =2⇔ z cho biểu thức Hướng dẫn giải ( x; y ∈ R ) x2 + y = ⇔ x + y = P = z − + z − + 7i = ( x − 1) + y + ( x − 1) + ( y + 7)2 Xét ur ur ur ur u ( x − 1; y ) , v ( − x; −7 − y ) ⇒ u + v = ( 0; −7 ) ur u r ur u r P = u + v ≥ u +v =7 u.rKhi ur đó: Đẳng thức xảy u , v hướng ⇒ ( x − 1)( −7 − y ) = y (1 − x) ⇔ x = x =1⇒ y = ± ur ur x = 1; y = u Với ur, vur ngược hướng (khơng thoả mãn) Với x = 1; y = − u , v hướng (thoả mãn) Vậy z = − i P đạt giá trị nhỏ z − − i =1 ; z2 − − 6i = Ví dụ Trong số phức z1, z2 thoả mãn: , tìm số phức z −z z1, z2 cho đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải Gọi z1 = a + b.i ; z2 = c + d i ; ( a, b, c, d số thực); z1 biểu diễn điểm M(a; b); z2 biểu diễn điểm N(c; d) mặt phẳng toạ độ Oxy z1 − − i = ⇔ z1 − − i = ⇔ (a − 1) + (b − 1) = suy M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = z2 − − 6i = ⇔ z2 − − 6i = 36 ⇔ (c − 6) + ( d − 6) = 36 suy M thuộc đường trịn tâm J(6; 6), bán kính R' = z1 − z2 = (c − a) + ( d − b)2 = MN (Bài toán qui Bài tốn cơng cụ 2) 24 Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I hai điểm 2− 2− 2+ 2+ M ; ; M ; ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2 Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J hai điểm ( ) ( N1 − 2; − ; N + 2; + M N1 ≤ MN ≤ M N ⇔ − ≤ z1 − z2 ≤ + max z1 − z2 = + M ≡ M , N ≡ N Vậy z1 = ) 2− 2− + i ; z2 = + + + i z −z 2 đạt giá trị lớn ( Ví dụ Cho số phức z1 ; z2 ) thoả mãn: z1 = ; z2 [ z2 − (1 − i ) ] − + 2i số thực z1 ; z2 cho P = z2 − ( z1 z2 + z1 z2 ) đạt giá trị nhỏ Tìm số phức Hướng dẫn giải Gọi z1 = a + bi ; z2 = c + di ; ( a, b, c, d ∈ R ) ⇒ M (a; b), N (c; d ) biểu diễn cho z1 ; z2 hệ toạ độ Oxy z1 = ⇔ a + b = ⇔ a + b = ⇒ M thuộc đường tròn (T ) có tâm O, bán kính R = z2 = c − di; ω = z z − ( − i ) − + 2i = ( c − di ) [ (c − 1) + (d + 1)i ] + − 6i = c(c − 1) + d (d + 1) + + [ c (d + 1) − d (c − 1) − 6] i ω số thực ⇔ c(d + 1) − d (c − 1) − = ⇔ c + d − = ⇒ N thuộc đường thẳng ∆: x+ y−6 =0 Ta có d (O; ∆) > nên ∆ (T ) khơng có điểm chung z1 z2 = ac + bd + (bc − ad )i; z1 z2 = ac + bd + (−bc + ad )i ⇒ z1 z2 + z1 z2 = 2(ac + bd ) P = c + d − 2(ac + bd ) = (c − a ) + (b − d )2 − = MN − (vì a + b2 = ) (Bài toán qui Bài tốn cơng cụ 3) Gọi H hình chiếu vng góc O ∆ : x + y − = ⇒ H (3;3) 2 I ; ÷ 2 ÷ ( T ) Đoạn OH cắt đường tròn Với N thuộc đường thẳng ∆ , M thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN ≥ ON − OM ≥ OH − OI = IH = − Đẳng thức xảy M ≡ I ; N ≡ H ( ) ⇒ P ≥ − − = 18 − Đẳng thức xảy z1 = 2 + i; z2 = + 3i 2 25 Vậy P đạt giá trị nhỏ 18 − Ví dụ Trong số phức môđun lớn Gọi z thoả mãn điều kiện 2 + i; z2 = + 3i 2 z − + z + = 10 Tìm số phức z có Hướng dẫn giải ( x; y ∈ R ) z = x + yi z1 = ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z − + z + = 10 ⇔ ( x − 3) + y + ( x + 3) + y = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 (với ; F1 (−3;0); F2 (3;0) ) x2 y ⇔ M ∈ (E) : + = ⇔ M ∈ ( E ) có tâm O, trục lớn 10; tiêu cự 25 z = OM ; OM Vậy z lớn ⇔ OM = a = ⇔ M (5; 0) ∨ M (−5; 0) lớn z = ∨ z = −5 III BÀI TẬP ( ) z.z + z − z = + 12i Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện đun lớn nhất? A.1+2i B.1-2i C.2+4i D.1/2-i Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhất? A.2+i B.4-i C 1+ ( ) −1 i z −2+i = D ( Số phức có mơ Số phức có mơ đun nhỏ ) + + 2i z + − i + z − − 7i = Câu Xét số phức z thỏa mãn Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z −1+ i A P = 13 + 73 C P = + 73 Tính P = m + M + 73 B + 73 P= D P= z + − 2i + z − + i = Câu Xét số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − − 3i A M = 17 + 5, m = B M = 26 + 5, m = C M = 26 + 5, m = D M = 17 + 5, m = z + − 3i + z − − i = 17 Câu Xét số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A M = 2, m = P = z + − 2i − z − + i B M = 2, m = 26 C M = 2, m = − D M = 2, m = − z − + 2i − z + − 3i = 34 Câu Xét số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biển thức P = z +1+ i A Pmin = 34 B Pmin = C Pmin = 13 z − − 2i = Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện môđun nhỏ z = 1 − ÷− − A z = 1 − ÷+ − 5 C ÷i 5 ÷i 5 D Pmin = , tìm số phức z có z = 1 + ÷+ + ÷i 5 B z = − 1 − ÷− − ÷i 5 5 D z +2−i = Câu Cho số phức z thỏa mãn z + − i Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn z A C z = 10 − 3; z max = 10 + z = − 10 + 3; z max = 10 − B z = − 10 − 3; z max = 10 + D z = − 10 + 3; z max = 10 + Những thông tin cần bảo mật: Khơng Mục đích nghiên cứu: Do phần nội dung kiến thức nhiều học sinh cịn lúng túng, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm phân dạng tập phương pháp giải giúp học sinh dễ học, dễ nhớ để ôn thi THPTQG đạt kết tốt 10 Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: 10.1 Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Đối với giáo viên, việc áp dụng sáng kiến khiến cho người giáo viên say mê tìm tịi sáng tạo hơn, hiệu dạy học cao Đối với học sinh, hướng dẫn giáo viên, em biết tìm hiểu kiến thức chun đề để có cách nhìn tổng qt để giải tốn tính đơn điệu hàm số Trong năm học vừa qua, trường THPT Ngô Gia Tự liên tục giữ vững chất lượng dạy học, đứng tốp trường có điểm thi THPTQG cao tỉnh tốp 200 trường có điểm trung bình thi đại học cao nước Kết góp phần khơng nhỏ làm nên vụ mùa bội thu cho giáo dục tỉnh nhà Có thành cơng người giáo viên đứng lớp luôn tâm niệm: Người dạy học phải tin vào sức mạnh tiềm tàng học trò, phải nỗ lực để giúp học trị trải nghiệm sức mạnh 27 Nếu người kỹ sư vui mừng nhìn thấy cầu mà vừa xây xong, người nơng dân mỉm cười nhìn đồng lúa vừa trồng, người giáo viên vui sướng nhìn thấy học sinh trưởng thành, lớn lên Uy tín vị trí người giáo viên nhà trường kết học tập rèn luyện đạo đức học sinh Đóng góp vào thành cơng lớn nhà trường phải kể đến lao động bền bỉ giáo viên thuộc tổ chun mơn có tổ Tốn - Tin Việc tổ chun mơn đầu tư cơng phu, thống ý chí tâm cao thực giảng dạy chuyên đề ôn thi THPTQG cho thấy vai trò quan trọng người thầy hoạt động dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh 10.2 Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức / cá nhân áp dụng sáng kiến: Các cá nhân / tổ chức áp dụng sáng kiến đánh giá: so với phương pháp dạy học truyền thống, việc áp dụng sáng kiến nâng cao chất lượng dạy học, đem lại hiệu thiết thực giáo dục 11 Danh sách tổ chức / cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực Tổ Tốn Trường THPT Ngơ Gia Tự áp dụng sáng kiến Lập Thạch, ngày 20 tháng 01 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu) Hướng dẫn học sinh ôn thi THPTQG ôn thi HSG cấp tỉnh Lập Thạch, ngày 20 tháng 01 năm 2020 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Hà Trọng Đạt 28 ... Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z = a... nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức. .. nghiệm viết báo cáo để đồng nghiệp em học sinh tham khảo Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC ÔN THI THPTQG Tác giả sáng kiến: - Họ tên: ………… - Địa chỉ: ………… - Điện thoại: ………… Chủ