Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất. Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”.
A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài: Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách chủ động và đạt được mục đích học tâp Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng Nó giúp người thầy có được sự định hướng việc giảng dạy tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất Trong đề thi THPT QG năm qua, các bài toán chủ đề hàm số chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn học các nội dung chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán mức độ vận dụng và vận dụng cao Đặc biệt là từ Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn Toán, địi hỏi học sinh khơng phải có kiến thức sâu, rợng mà cịn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất Để giúp học sinh có cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất việc giải các bài toán cực trị của hàm số, chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số dạng toán trắc nghiệm chủ đề cực trị hàm số” II Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất việc giải các bài toán cực trị của hàm số; từ đó bước tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số III Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm chủ đề “Cực trị hàm số” IV Đối tượng khách thể nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm chủ đề “Cực trị hàm số” Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A1 và 12A9 Trang V Phạm vi nghiên cứu: các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số, tìm điều kiện của tham số m để hàm số có n điểm cực trị, tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x x0 VI Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp điều tra thực tiễn - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu VII Cấu trúc SKKN A Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu V Phạm vi nghiên cứu VI Phương pháp nghiên cứu VII Cấu trúc của SKKN B Nội dung I Cơ sở lý thuyết II Một số dạng toán III Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm C Kết luận và đề xuất I Kết luận II Đề xuất B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý thuyết: Khái niệm cực trị hàm số : D D �� Giả sử hàm số xác định tập hợp và x0 �D x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa � a; b �D � � x �f ( x) f ( x0 ), x � a; b \ x0 f điểm cho: Trang Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa � a; b �D � � f ( x) f ( x0 ) x � a; b \ x0 điểm x0 cho: � f x Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Như : Điểm cực trị phải là một điểm của tập hợp D y Điểm cực đại Điểm cực tiểu Điểm cực tiểu x O Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay cực trị ) của hàm số Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó , nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f ' x0 Chú ý : � Đạo hàm f ' triệt tiêu tại điểm x0 hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 � Hàm số đạt cực trị tại mợt điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm � Hàm số đạt cực trị tại mợt điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số , hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: a; b Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục khoảng chứa điểm x0 và có đạo hàm a; x0 x ;b các khoảng và Khi đó : � �f ' x0 0, x � a; x0 � f ' x 0, x � x0 ; b Nếu � thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 x x0 a b f '( x ) f (a ) f ( x) f (b ) Trang f ( x0 ) � �f ' x0 0, x � a; x0 � f ' x 0, x � x0 ; b Nếu � thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 x x0 a b f '( x ) f ( x0 ) f ( x) f (a ) f ( b) Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một khoảng f ' x0 và f có đạo hàm cấp hai khác tại điểm x0 f '' x0 Nếu thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 a; b chứa điểm x0 , f '' x0 Nếu thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 Chú ý : Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực trị đồ thị hàm số f �f '( x0 ) � �f ''( x0 ) Trong trường hợp f '( x0 ) không tồn tại hoặc thì định lý không dùng được Tịnh tiến đồ thị Cho hàm số y f x có đồ thị C Khi đó, với số a ta có: a x 1 y x b lên a đơn vị ta được đồ thị a) Nếu tịnh tiến C theo phương của hàm số y f x a y a 2 b) Nếu tịnh tiến C theo phương của xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x a c) Nếu tịnh tiến C theo phương của a, b, c qua trái a đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x a d) Nếu tịnh tiến C theo phương của a 2, b 1, c 1; qua phải a đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x a y f xa e) Đồ thị của hàm số có được cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy tịnh tiến theo phương của Ox qua trái a đơn vị y f xa f) Đồ thị của hàm số có được cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy tịnh tiến theo phương của Ox qua phải a đơn vị y f x a g) Đồ thị của hàm số có được cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị lấy đối xứng qua trục Oy Trang y f x a h) Đồ thị của hàm số có được cách tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị lấy đối xứng qua trục Oy Quan hệ cực trị hàm số phép biến đổi đồ thị a) Nếu đồ thị hàm số y f ( x) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị y f ( x ) 2n nằm bên phải Oy) thì đồ thị hàm số có điểm cực trị f x 0 b) Nếu đồ thị hàm số y f ( x) có n điểm cực trị và phương trình có m y f ( x) nghiệm bội lẻ thì đồ thị hàm số có m n điểm cực trị y f ax b c c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f ( x) d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi II Một số dạng toán: Dạng 1: Cho đồ thị hàm số f ( x) Hỏi số điểm cực trị đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối liên quan đến f ( x) Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5 Câu Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hỏi y f (x) hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải y f ( x ) Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số y f (x) có điểm cực trị Câu Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau: Hàm số y f (x) có điểm cực trị? Hàm số y f ( x) có điểm cực trị? Hàm số y f (x) có điểm cực trị? Lời gải Đồ thị hàm số y f ( x) có điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số y f (x) có điểm cực trị Đồ thị hàm số y f ( x) có điểm cực trị và phương trình f ( x) có nghiệm y f ( x) đơn nên hàm số có điểm cực trị Trang Đồ thị hàm số y f (x) đơn nên hàm số có điểm cực trị và phương trình f(x)0 có nghiệm y f(x) có điểm cực trị y f� x hình vẽ bên dưới Câu Cho hàm số y f ( x ) Đồ thị hàm số Tìm m để hàm số Tìm m để hàm số Tìm m để hàm số Ta có BBT của hàm số Đồ thị hàm số g x f x m g x f x m g x f x m f x : g x f x m có điểm cực trị có điểm cực trị có điểm cực trị Lời giải có được cách: y f x + Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f ( x ) qua Oy được đồ thị hàm số y f x m + Tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái g x f x m đơn vị được đồ thị hàm số � f x Ta thấy: Hàm số y f ( x ) có điểm cực trị đó có cực trị dương có điểm cực trị � f xm có điểm cực trị với mọi m g x f x m Đồ thị hàm số có được cách: m + Tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái y f x m đơn vị được đồ thị hàm số y f x m + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số nằm bên phải Oy qua Oy được g x f x m đồ thị hàm số g x f x m Từ đó ta thấy: để hàm số có điểm cực trị thì hàm số y f x m phải có cực trị dương � tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox sang phải lớn đơn vị và không quá đơn vị � 2 �m 1 Vậy 2 �m 1 Trang g x f x m y f x m có điểm cực trị thì hàm số phải có cực trị dương � tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox (sang phải hoặc trái) phải thỏa mãn: Tịnh tiến sang phải không quá đơn vị ۳�0 m m Tịnh tiến sang trái nhỏ đơn vị ۣ Để hàm số Vậy 1 �m y f� x hình vẽ bên dưới Câu Cho hàm số y f ( x ) Đồ thị hàm số Tìm m để hàm số Tìm m để hàm số Tìm m để hàm số Ta có BBT của hàm số Đồ thị hàm số g x f x m g x f x m g x f x m f x : g x f x m có điểm cực trị có điểm cực trị có điểm cực trị Lời giải có được cách: y f x + Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f ( x ) qua Oy được đồ thị hàm số y f x m + Tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương của Ox sang phải hoặc trái g x f x m đơn vị được đồ thị hàm số � f x Ta thấy: Hàm số y f ( x ) có điểm cực trị đó có cực trị dương có điểm cực trị � f xm có điểm cực trị với mọi m Vậy không có giá trị nào của m để hàm g x f x m số có điểm cực trị g x f x m Đồ thị hàm số có được cách: m + Tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái y f x m đơn vị được đồ thị hàm số y f x m + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số nằm bên phải qua Oy được đồ g x f x m thị hàm số Trang g x f x m Từ đó ta thấy: để hàm số có điểm cực trị thì hàm số y f x m phải có cực trị dương � tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox sang phải lớn đơn vị � m Vậy m g x f x m y f x m Để hàm số có điểm cực trị thì hàm số phải có cực trị dương � tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox trái nhỏ đơn vị m Vậy �m Dạng 2: Cho đồ thị Phương pháp: f ' x + Từ đồ thị hàm số hoành Hỏi số điểm cực trị hàm số f ' x f� u x � � � tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f ' x với trục g ( x) f � u x � � � + Tính đạo hàm của hàm số f' x g' x g' x + Dựa vào đồ thị của và biểu thức của để xét dấu Câu Đường cong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y f x của hàm số là A B f� x C Lời giải y f� x Số điểm cực trị D có điểm chung với trục hoành x1; 0; x2 ; x3 cắt thực sự tại hai điểm là và x3 Bảng biến thiên Ta thấy đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị Chọn A f' x Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của có điểm chung với trục hoành cắt và băng qua trục hoành có điểm nên có hai cực trị Cắt và băng qua trục hoành từ xuống thì đó là điểm cực đại Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu y f x y f� x Câu Cho hàm số Đồ thị hàm số g x f x 3 hình bên Tìm số điểm cực trị của hàm số A B C D Vậy hàm số Trang g� x xf � x 3 ; Lời giải Ta có x0 � g� 0���� � �� x = � x 3 �f � x0 � �2 x � � x nghiem kep � theo thi f ' x � x0 � x � � x �2 nghiem kep � Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B g �x 2; � Chú ý: Dấu của được xác định sau: Ví dụ xét khoảng x � 2; � � x 1 theo thi f ' x x � 2; � � x �� � x ����� �f� x 3 2 g� x xf � x 3 1 2 , 2; � g �x Từ và suy khoảng nên mang dấu g �x Nhận thấy các nghiệm x �1 và x là các nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi f �x dấu; các nghiệm x �2 là nghiệm bội chẵn (lí dựa vào đồ thị ta thấy tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ ) nên qua nghiệm không đổi dấu y f x y f� x Câu Cho hàm số có đạo hàm � và có bảng xét dấu của sau Hỏi hàm số A Ta có g x f x2 2x có điểm cực tiểu ? B C Lời giải g� x 2x 2 f � x 2x ; 2x � g� 0������ � x = � x 2x �f � theo BBT f ' x D x 1 � �2 x x 2 � � x x 1 nghiem kep � � x2 2x � Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A g �x 3;� Chú ý: Dấu của được xác định sau: Ví dụ xét khoảng x � 3; � � x 1 Trang x 1 � � x � nghiem kep � � x 1 � x3 � x � 3; � � x x ����� �f� x x theo BBT f ' x 1 2 , Từ và mang dấu suy g� x 2x 2 f � x2 2x 2 khoảng 3; � nên g� x g �x Nhận thấy các nghiệm x �1 và x là các nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu y f x f 0, f 1 0, Câu Cho hàm số có đạo hàm liên tục � và đồng y f� x hình vẽ bên dưới thời đồ thị hàm số Số điểm cực trị của hàm số A B g x f x là C Lời giải x 2 � f� x � � x nghiem kep � Dựa vào đồ thị, ta có y f x Bảng biến thiên của hàm số � g� == � f���� x x f x ; g� x Xét Bảng biến thiên của hàm số �f � x � �f x theo BBT f x D x 2 � � x nghiem kep � � x a a 2 � � x b b 0 � g x g x có điểm cực trị Chọn C g �x x � 1; b Chú ý: Dấu của được xác định sau: Ví dụ chọn theo thi f ' x x ����� �f� 1 f 2 Theo giả thiết , g �0 1; b Từ và suy khoảng Vậy hàm số Trang 10 A Đồ thị hàm số B g x f x D có được cách f x lên đơn vị ta được f x 4 Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số qua Ox, ta được f x Tịnh tiến đề thị hàm số f x C Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số 1;0 , 0; , 2;0 g x f x , suy tọa độ các điểm cực trị là �� � tổng tung độ các điểm cực trị Chọn C y f x Câu Cho hàm số có đạo hàm R và có đồ thị h x f x hàm số hình bên Đồ thị hàm số có điểm cực trị ? A B C D Xét Lời giải g x f x �� � g� x f � x ; x 1 � � x0 theo thi f x g� �� x � f � x ����� � x a a 2 � x2 � Ta tính được g x Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên suy g x Đồ thị hàm số có điểm cực trị g x Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm phân biệt Trang 20 �g 1 � �g 7 � �g a �g � Suy đồ thị hàm số h x f x Dạng 7: Cho bảng biến thiên hàm Câu Cho hàm số y f x có điểm cực trị Chọn C f x Hỏi số điểm cực trị hàm f� u x � � � xác định, liên tục � và có bảng biến thiên sau g x f x 1 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào sau ? A x 1 B x C x �1 D x Lời giải g �x f ' x Ta có g x f x Do đó điểm cực tiểu của hàm số trùng với điểm cực tiểu của hàm số g x Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x �1 Chọn C y f x Câu Cho hàm số có bảng biến thiên hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số A g x f x 1 Lời giải Ta có có điểm cực trị ? C g� x x f � x 1 ; B x0 � 0��� g� x = � � 2 � � �f x 1 theo BBT D x0 � � x nghiem don �2 x � � x nghiem kep � � x � x nghiem boi g �x g x Vậy có nhất nghiệm bội lẻ x nên hàm số có điểm cực trị Chọn B y f x Câu Cho hàm số có bảng biến thiên sau Tìm số điểm cực trị của hàm số A B g x f x C Lời giải Trang 21 D Ta có g� x f � x 3 x x3 � � theo BBT g� �� �� x � f � x ���� 3 x x 1 � � g �x không xác định � x � x Bảng biến thiên Vậy hàm số g x f x Câu Cho hàm số Hỏi đồ thị hàm số A y f x có điểm cực trị Chọn B có bảng biến thiên sau g x f x 2017 2018 có điểm cực trị ? C D Lời giải f x u x f x 2017 2018 Đồ thị hàm số có được từ đồ thị cách tịnh tiến đồ f x thị sang phải 2017 đơn vị và lên 2018 đơn vị u x Suy bảng biến thiên của B Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị hàm số Dạng 8: Cho biểu thức Câu Cho hàm số f x, m g x u x có điểm cực trị Chọn B f� u x � Tìm m để hàm số � �có n điểm cực trị f x x3 2m 1 x m x với m là tham số thực Tìm tất g x f x cả các giá trị của m để hàm số có điểm cực trị 5 5 2 m m m m �2 A B C D Lời giải Trang 22 Ta có f� x 3x 2m 1 x m g x f x f x Hàm số có điểm cực trị � hàm số có hai cực trị dương � f� x có hai nghiệm dương phân biệt � 2m 1 m � 0 � � � �2 m 1 � �S � � 0 � m �P � � �2 m 0 � �3 Chọn C f x mx 3mx 3m x m Câu Cho hàm số với m là tham số thực Có g x f x m � 10;10 giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị ? A B C 10 D 11 Lời giải g x f x � f x * Để có điểm cực trị có nghiệm phân biệt x 1 � f x � x 1 mx 2mx m � � mx mx m � Xét * � phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác Do đó �m �0 � 1� � � m2 m m �f 1 2 �0 � m�� � m ���� � m � 1; 2; 3; ; 10 m� 10;10 Chọn C f x ax bx cx d A 0;3 Câu Cho hàm số bậc ba có đồ thị nhận hai điểm và B 2; 1 làm hai điểm cực trị Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x ax x bx c x d B C Lời giải 2 g x ax x bx c x d f x A Ta có f x D 11 có hai điểm cực trị đó có một điểm cực trị và một điểm cực 1 � hàm số f x có điểm cực trị trị dương �� f x A 0;3 �Oy B 2; 1 Đồ thị hàm số có điểm cực trị và điểm cực trị thuộc góc f x phần tư thứ IV nên đồ thị cắt trục hoành tại điểm (1 điểm có hoành độ âm, � đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại điểm phân điểm có hoành độ dương) �� biệt g x f x Từ và suy đồ thị hàm số có điểm cực trị Chọn B Hàm số Trang 23 f x f x suy đồ thị , tiếp tục suy đồ thị y x 3x m Câu Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị A m hoặc m 1 B m �1 hoặc m �3 C �m �3 D m �3 hoặc m �1 Lời giải Xét hàm số f ( x) x 3x m Cách Vẽ phát họa đồ thị f x x0 � f '( x ) 3x x; f '( x) � � x � Ta có: y x 3x m Do số điểm cực trị của hàm số tổng số điểm cực trị của hàm số 3 f ( x ) x 3x m và số nghiệm của phương trình f ( x) x x m * (không kể nghiệm bội chẵn) Khi đó yêu cầu bài toán trở thành (*) có một nghiệm (không kể nghiệm và – là các nghiệm bội chẵn và là các điểm cực trị của hàm số f ( x) ) Dựa vào bảng biến thiên ta có: m �0 m �1 � � � � � m �0 m �3 � � Chọn D m � 9;9 Câu Có giá trị nguyên của tham số để hàm số y mx 3mx 3m x m có điểm cực trị? A 11 B 10 C D Lời giải f ( x) mx 3mx 3m x m Xét hàm số Do hàm số y f ( x) có tối đa điểm cực trị và phương trình f ( x) có tối đa y mx 3mx 3m x m nghiệm nên để hàm số có điểm cực trị thì phương f ( x ) f ( x ) trình có nghiệm phân biệt ( vì có nghiệm phân biệt thì hàm số y f ( x ) có điểm cực trị) Ta có: f ( x) � mx3 3mx 3m x m � x 1 mx 2mx m x 1 � �� g ( x) mx 2mx m * � Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (*) phải có nghiệm phân biệt khác Trang 24 m �0 � � � 2m�0 � ' ��� �g (1) 4m �0 � m0 � � � m� � � m �� m � 9;9 m 1;2;3;4;5;6;7;8;9 Chọn D Dạng 9: Tìm m để hàm số đạt cực trị x x0 Bổ đề: Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm cấp liên tục D x0 �D Giả sử n 1 f '( x ) x x0 h( x ) h x �0, n �N g ( x ) x x0 h ( x ) với Đặt Khi đó: g '( x ) 0 a) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x b) Nếu g '( x0 ) f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 Chứng minh a; b �D x � a; b a) Vì g '( x ) liên tục D và g '( x0 ) nên cho và g '( x) 0, x � a; b Vì h( x0 ) �0 nên g ( x) có nghiệm đơn x x0 � g ( x ) đổi dấu x qua x0 Ta có BBT: f '( x ) x x0 g ( x ) Suy g ( x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 Vì nên dấu của f '( x) cùng dấu với dấu của g ( x ) � dpcm 2n b) Chứng minh tương tự Áp dụng bổ đề vào tốn cực trị ta có: KQ1: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp liên tục D x0 �D Giả sử n 1 f '( x ) x x0 h( x ) h x �0, n �N g ( x ) x x0 h ( x ) với Đặt Khi đó: g '( x ) � a) hàm số đạt cực tiểu x b) g '( x0 ) � hàm số đạt cực đại x0 Chứng minh g '( x0 ) 0. a) Ta có: từ giả thiết Nếu g '( x0 ) thì theo bổ đề f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x � x x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) Nếu f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 thì ta cần chứng minh g '( x0 ) Thật vậy, giả sử g '( x0 ) đó, theo bổ đề thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x � x x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) � trái giả thiết Vậy g '( x0 ) Trang 25 b) Chứng minh tương tự f '( x ) x x0 h( x) KQ2: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm D x0 �D Nếu điều kiện cần để f(x) đạt cực trị x = x0 h(x0) = m � 2018; 2019 Câu Có số nguyên để hàm số y x 2mx m 1 x đạt cực tiểu tại x A 2018 B 2019 C 3016 D 3015 Lời giải 3 y ' x 10mx m 1 x x x 10mx 4m 2n Đặt h( x) x 10mx 4m g ( x) x x 10mx 4m � g '( x) 24 x 20mx 4m TH1: Xét h( x) có nghiệm x � m 1 � y ' x5 10 x x x 10 � x Với m = -1 không là cực tiểu h (0) � TH2: Khi đó f ( x ) đạt cực tiểu tại x � g '(0) � 4m � m 1 Chọn B y x4 m2 x3 m Câu Có giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x A B C D Lời giải 2 2 y ' x m x x x 3m 27 Đặt h( x) x 3m 27 Điều kiện cần để HS đạt cực tiểu tại x = là h(0) � m �3 Với m �3 � y ' x � x là cực tiểu Chọn A Câu (Đề thi thức năm 2018) Có tất cả giá trị nguyên của m để hàm y x8 m x m x số đạt cực tiểu tại x A B C D Vô số Lời giải 3 y ' x m x m x x x m x 4m 16 h( x) x m x 4m 16 Đặt: g ( x) x x m x 4m 16 x m x 4m 16 x � g '( x) 40 x 10 m x TH1: Xét h( x) có nghiệm x � m �2 + Với m = � y ' x � x là cực tiểu � y ' x x 20 � x + Với m = - TH2: h(0) �0 Khi đó không là cực tiểu f ( x ) đạt cực tiểu tại x � g '(0) � 4m 16 � 2 m Vì m �Z � m � 1;0;1 Trang 26 Vậy m � 1;0;1; 2 Chọn C m � 10;10 Câu Có số nguyên để hàm số y x m x m x m x 2m đạt cực đại tại x A B C Lời giải 2 2 y ' 4 x m x m x m x 1 4 x m Đặt: h( x ) 4 x m Điều kiện cần đề HS đạt cực đại tại x = là h(1) � m �2 � y ' 4 x 1 � x m � Với là cực đại Chọn B Trang 27 D III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để thực đề tài này tìm đọc rất nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với phương pháp đưa để giúp học sinh giải quyết bài toán tốt IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt các nội dung cực trị của hàm số thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp giải toán Nắm vững các yếu tố sẽ giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt Đề tài này được thực các buổi dạy chuyên đề tại lớp 12A1 và 12A9 Trong quá trình học đề tài này, bước đầu học sinh thấy khó khăn qua vài ví dụ học sinh nhận thấy một bài toán có thể áp dụng nhiều phương pháp khác Trong đó việc ứng dụng phương pháp trên, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Trước dạy đề tài tiến hành khảo sát hai lớp 12A1 và 12A9 năm học 2018 – 2019 thông qua bài kiểm tra 15 phút: Câu Cho hàm số y f ( x) Hàm số y f '( x) có đồ thị hình vẽ: Khẳng định nào sau là khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số y f ( x ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt B Đồ thị hàm số y f ( x ) có hai điểm cực trị C Đồ thị hàm số y f ( x ) có ba điểm cực trị D Đồ thị hàm số y f ( x ) có một điểm có một điểm cực trị Câu Cho hàm số y | x 3x | có đồ thị hình vẽ: Trang 28 Khẳng định nào sau là khẳng định đúng? A Đồ thị hàm số y f ( x ) có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại B Đồ thị hàm số y f ( x ) có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại C Đồ thị hàm số y f ( x ) có bốn điểm cực trị Câu D Đồ thị hàm số y f ( x ) có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x mx (2m 3) x đạt cực đại tại x A m B m C m �3 D m 2 Hàm số y x 2(m 2) x m 2m có đúng điểm cực trị thì giá trị của m là: A m �2 B m C m D m f x x3 ax bx c Câu Cho hàm số có đồ thị hàm g x f x 3x số hình bên Hàm số có điểm cực đại ? A B C D f x Câu Cho hàm số có đạo hàm R và có đồ thị hình vẽ bên dưới Số điểm g x f x 2018 cực trị của hàm số là Câu A Câu Cho hàm số Đồ thị hàm số A B y f x C D có bảng biến thiên hình vẽ bên dưới g x f x 2m m � 4;11 có điểm cực trị � 11 � � 11 � m �� 2; � m �� 2; � � 2� � 2� B C Trang 29 D m Câu Hàm số g x f x2 2x A y f x có đúng ba điểm cực trị là 2; 1 và Hàm số có điểm cực trị ? B C Câu Đường cong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y f x của hàm số là A B y f x C D y f� x Số điểm cực trị D y f� x có đạo hàm � Đồ thị hàm số hình vẽ g x f x x bên dưới Hỏi hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào dưới ? Câu 10 Cho hàm số A x C x B x D Không có điểm cực tiểu Kết quả thu được sau: Điểm Điểm Điểm Điểm 9-10 7-8,5 5-6,5 -