Đang tải... (xem toàn văn)
Với mong muốn tập hợp, phân loại đồng thời vận dụng các kỹ năng khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức và một số kỹ năng khác để giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức, và đặc biệt là giúp học sinh sau này trở thành những người lao động sáng tạo, có trình độ tay nghề cao, biết qui lạ về quen, quyết đoán trước các vấn đề mới mẻ, tình huống bất ngờ thường gặp trong cuộc sống trước hết cần rèn luyện cho học sinh khả năng suy luận logic, tư duy thuật toán, kỹ năng quan sát, phân tích, tổng hợp, … Giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một dạng bài tập giúp cho học sinh rèn luyện và nâng cao khả năng tư duy, thói quen suy luận trong học tập và lao động, đáp ứng được các yêu cầu nêu trên.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG ……………… BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ……………… MỤC LỤC Nội dụng Trang A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4 Thực trạng vấn đề B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu hàm số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định lí 1.1.3 Điểm tới hạn hàm số 1.2 Cực trị hàm số 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lí 1.2.3 Định lí 1.2.4 Định lí 1.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức 1.3.1 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 1.3.2 Giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 1.4 Một số bất đẳng thức áp dụng đề tài 1.4.1 Bất đẳng thức Cô si 1.4.2 Bất đẳng thức Bunhia-Copxki 1.4.3 Bất đẳng thức suy từ bình phương biểu thức 1.5 Các bước lập Bảng biến thiên hàm số MỘT SỐ KĨ NĂNG VẬN DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 2.1 Sử dụng bất đẳng thức Cô si, Bunhia-Copxki 2.2 Sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên 11 2.3 Sử dụng tam thức bậc hai 13 2.4 Sử dụng hàm số trung gian 16 2.6 Bài tập cho học sinh rèn luyện 18 -2- A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức dạng toán phổ biến đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng trước đề thi học sinh giỏi cấp Đối với học sinh Trung học phổ thơng nói chung học sinh lớp 12A1 trường Trung học phổ thông Yên Lạc – n Lạc – Vĩnh Phúc nói riêng, tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức coi tốn khó, chí câu khó cấu trúc đề thi THPT Quốc gia Rèn kỹ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức giúp cho học sinh phát triển khả tư suy luận logic, tư thuật tốn, đặc biệt hóa, khái qt hóa,… Qua q trình giảng dạy học sinh ơn thi THPT Quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, đặc biệt năm học 2015 – 2016, giao nhiệm vụ giảng dạy chủ nhiệm lớp 12A1, lớp có nhiều học sinh giỏi, phải trực tiếp hướng dẫn học sinh toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức, thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo kĩ giải toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức, chứng minh bất đẳng thức để phát triển tư cho học sinh Trong thực tế, sách tham khảo, tài liệu Internet viết nhiều bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ số tài liệu viết Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức hai biến hay ba biến hạn chế Hơn tốn thuộc dạng có, tác giả chưa ý tới việc phân tích, dẫn dắt học sinh cách vận dụng, suy luận logic khiến học sinh có cảm giác bất ngờ, lúng túng trước dạng tập Mục đích nghiên cứu: Với mong muốn tập hợp, phân loại đồng thời vận dụng kỹ khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức số kỹ khác để giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức, đặc biệt giúp học sinh sau trở thành người lao động sáng tạo, có trình độ tay nghề cao, biết qui lạ quen, đoán trước vấn đề mẻ, tình bất ngờ thường gặp sống trước hết cần rèn luyện cho học sinh khả suy luận logic, tư thuật toán, kỹ quan sát, phân tích, tổng hợp, … Giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức dạng tập giúp cho học sinh rèn luyện nâng cao khả tư duy, thói quen suy luận học tập lao động, đáp ứng yêu cầu nêu Đối tượng phạm vi nghiên cứu: a) Phạm vi nghiên cứu Phạm vi đề tài nghiên cứu tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến phương pháp sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số chương trình Giải tích lớp 12, kết hợp với kỹ chứng minh bất đẳng thức b) Đối tượng áp dụng chuyên đề Tôi nghiên cứu hoàn thiện chuyên đề từ tháng năm 2015 đến tháng 10 năm 2015 áp dụng giảng dạy chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia ôn thi -3- HSG cho học sinh lớp 12A1 trường Trung học phổ thông Yên Lạc – Huyện Yên Lạc – Tỉnh Vĩnh Phúc Thực trạng vấn đề Trong thực tiễn giảng dạy học sinh giỏi, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa nhiều biến không xuất sách giáo khoa sách tập Chuẩn kiến thức, kĩ yêu cầu học sinh biết vận dụng qui tắc, định lí để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biến Và có học sinh khơng nâng cao khả tư duy, khơng rèn luyện tính sáng tạo, kỹ đánh giá, biến đổi biểu thức, khơng phát huy tính chủ động, tích cực, nhu cầu khám phá, khả sáng tạo học sinh Hơn nữa, dừng lại tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biến nhiều kỹ biến đổi, đánh giá, làm trội,… cần lao động, sản xuất chưa khai thác Các tập dạng đánh giá trí nhớ học sinh mà không đánh giá khả suy luận, tư sáng tạo học sinh Bởi hầu hết đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học, Cao đẳng trước đề thi THPT Quốc gia ngày nay, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ thường tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức nhiều biến Do đó, nhu cầu thực tiễn nảy sinh cần rèn luyện cho học sinh tiếp cận, làm quen, nâng cao kĩ đánh giá, đưa biểu thức nhiều biến hàm số biến quen thuộc -4- B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu hàm số 1.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định khoảng K Khi *) f ( x) gọi đồng biến K với x1 , x2 �K mà x1 x2 ta có f ( x1 ) f ( x2 ) *) f ( x) gọi nghịch biến K với x1 , x2 �K mà x1 x2 ta có f ( x1 ) f ( x2 ) Các hàm số đồng biến nghịch biến khoảng gọi chung hàm đơn điệu khoảng 1.1.2 Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm khoảng (a;b) Khi *) Nếu f ( x) �0x �(a; b) (và dấu = xảy số hữu hạn điểm) f ( x) đồng biến (a; b) *) Nếu f ( x) �0x �(a; b) (và dấu = xảy số hữu hạn điểm) f ( x) nghịch biến (a; b) 1.1.3 Điểm tới hạn hàm số Điểm x0 gọi điểm tới hạn hàm số f ( x) thuộc tập xác định f ( x) f '( x0 ) f '( x0 ) không xác định Chú ý: Trên khoảng phân chia hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm hàm số giữ nguyên dấu Một cách tổng quát, phương trình f ( x) vơ nghiệm khoảng (a;b) f(x) khơng đổi dấu khoảng 1.2 Cực trị hàm số 1.2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định tập D, x0 �D *) x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a;b) chứa điểm x0 cho (a;b) �D f(x)f(x0), với x�(a;b)\{x0} Lúc đó, f(x0) gọi giá trị cực tiểu f - Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số - Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị hàm số - Nếu x0 điểm cực trị hàm số f điểm M(x0; f(x0)) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f 1.2.2 Định lí (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Nếu hàm số f có đạo hàm đạt cực trị điểm x0 f’(x0) = 1.2.3 Định lí (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1) Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a;b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a;x0) (x0;b) Khi đó: i) Nếu f’(x) x �( x0 , b) f đạt cực tiểu điểm x0 ii) Nếu f’(x)>0, x �(a, x0 ) f’(x) < x �( x0 , b) f đạt cực đại điểm x0 Quy tắc -5- -Tìm tập xác định -Tính f’(x) Tìm điểm tới hạn -Lập Bảng biến thiên -Kết luận 1.2.4 Định lí (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai khoảng (a;b) chứa điểm x0 đồng thời f’(x0) = f’’(x0) �0 Khi i) Nếu f’’(x0) < hàm số f đạt cực đại điểm x0 ii) Nếu f’’(x0) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Quy tắc -Tìm tập xác định -Tính f’(x) Tìm nghiệm xi phương trình f’(x) = -Tính f’’(x) suy f’’(xi) o Nếu f’’(xi) < f đạt cực đại xi o Nếu f’’(xi) > f đạt cực tiểu xi Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta tìm điểm cực trị nghiệm phương trình f’(x)=0, f’’(x) phải khác Ngoài trường hợp trên, ta phải sử dụng qui tắc 1.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức 1.3.1 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định tập D Khi - Số M gọi giá trị lớn hàm số f(x) D thỏa mãn hai điều kiện �M �f ( x )x �D sau: �x �D | f ( x ) M � f ( x) f ( x0 ) Kí hiệu: M max D - Số m gọi giá trị nhỏ hàm số f(x) D thỏa mãn hai điều kiện m �f ( x)x �D � sau: �x �D | f ( x ) m � f ( x) f ( x0 ) Kí hiệu: m D Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số khoảng: - Tính đạo hàm - Lập Bảng biến thiên - Dựa vào Bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn [a;b]: - Tính đạo hàm - Tìm điểm tới hạn xi tính giá trị f ( a), f (b), f ( xi ) f ( x ) max f (a ); f (b ); f ( xi ) ; f ( x ) f (a ); f (b); f ( xi ) - Kết luận max [a ;b ] [a ;b ] 1.3.2 Giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Cho biểu thức n biến P f ( x1 ; x2 ; ; xn ) xác định D D1 �D2 � �Dn , tức xi �Di , i 1, n Khi -6- - Số M gọi giá trị lớn P D thỏa mãn hai điều kiện sau: � �M �P, xi �Di , i 1, n � xi �Di , i 1, n cho P f ( x10 ; x20 ; ; xn0 ) M � f ( x1 ; x2 ; ; xn ) f ( x10 ; x20 ; ; xn0 ) Kí hiệu: Pmax M max D - Số m gọi giá trị nhỏ P D thỏa mãn hai điều kiện sau: � m �P, xi �Di , i 1, n � � xi �Di , i 1, n cho P f ( x10 ; x20 ; ; xn0 ) m � 0 Kí hiệu: Pmin m f ( x1; x2 ; ; xn ) f ( x1 ; x2 ; ; xn ) D 1.4 Một số Bất đẳng thức áp dụng đề tài 1.4.1 Bất đẳng thức Cô si - Trường hợp số: Với x, y khơng âm, ta có: x y �2 xy Dấu xảy x = y - Trường hợp số: Với x, y, z khơng âm, ta có: x y z �3 xyz Bất đẳng thức Cơ si vận dụng nhiều tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tốn chứng minh bất đẳng thức Ta khai thác, sử dụng dạng thức khác bất đẳng thức này, chẳng hạn trường hợp ba số dương, ta có dạng khác như: 1 �x y z � x y z �3xyz ; � � ;� ��xyz; x y z xyz x y z � � 3 Dấu xảy x = y = z 1.4.2 Bất đẳng thức Bunhia-copxki Với số thực bất kì: a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta ln có a1b1 a1b1 a1b1 �a1b1 a1b1 a1b1 � a12 a22 a32 b12 b22 b32 Dấu xảy a1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3 1.4.3 Các bất đẳng thức suy từ bình phương biểu thức *) ( x y ) �0 � x y �2 xy Dấu xảy x = y *) ( x y ) ( y z ) ( z x)2 �0 � x y z �xy yz zx Dấu xảy x y z *) ( x y )2 ( y z )2 ( z x)2 �0 � ( x y z ) �3( xy yz zx) 1.5 Các bước lập Bảng biến thiên hàm số Việc lập Bảng biến thiên hàm số khâu quan trọng q trình giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biến khoảng hay nửa khoảng Kỹ học sinh rèn luyện nhiều trình học lý thuyết, thời gian khơng nhiều nên đề tài đề cập tới kĩ chuyển tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức nhiều biến thành tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số (một biến) đưa bảng biến thiên để suy kết luận cuối mà khơng trình bày chi tiết bước, đặc biệt bỏ qua việc tìm giới hạn Trong giảng dạy, yêu cầu học sinh phải lập bảng biến thiên với tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số khoảng hay nửa khoảng, với đoạn ta khơng cần lập bảng biến thiên Các bước để lập Bảng biến thiên bao -7- gồm: Tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, giới hạn cần thiết hoàn thiện Bảng biến thiên MỘT SỐ KĨ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Để ứng dụng đạo hàm, khâu ta phải biến đổi, đánh giá, đưa biểu thức cần tìm GTLN, NN có nhiều biến hàm biến thơng qua dãy bất đẳng thức chiều - Để tìm GTLN biểu thức P, ta phải đánh giá: P �P1 �P2 � �Pn - Để tìm GTNN biểu thức P, ta phải đánh giá: P �P1 �P2 � �Pn Trong qua trình đánh giá, ln ln điều kiện xảy đẳng thức phải thỏa mãn, thống xuyên suốt trình Cuối ta đưa biểu thức phức tạp (P) ban đầu biểu thức đối xứng hai biến ba biến ( Pn ) Tiếp theo ta đặt biến theo đa thức đối xứng đơn giản, chẳng hạn: - Với trường hợp hai biến x, y, ta thường đặt t x y, t xy , t xy , t x y , - Với trường hợp ba biến x, y, z, ta thường đặt t x yz � � t xy yz zx � � t xyz � t x y2 z2 � � t x yz � � � Lúc này, Pn trở thành hàm biến, Pn f (t ) Cơng việc tìm tập xác định hàm f (t ) dựa vào điều kiện phụ cho trước, kết hợp đánh giá thông qua bất đẳng thức Cô si, Bunhia-copxki, bất đẳng thức hiển nhiên,… 2.1 Sử dụng bất đẳng thức Cô si, Bunhia-Copxki Sử dụng bất đẳng thức Cô si để biến đổi qua lại tích, tổng, tích nghịch đảo hay tổng nghịch đảo hai ba biến kĩ sáng tạo, đòi hỏi học sinh phải có cách nhìn khái qt, đơi phải kết hợp với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ giả thiết tốn để đưa biểu thức hàm biến Bất đẳng thức Cơ si vận dụng để đánh giá, tìm điều kiện xác định cho hàm số Ta xét toán sau: Bài 2.1.1 Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P a b c 1 2 (a 1)(b 1)(c 1) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có 1 a b c � (a b)2 (c 1)2 � (a b c 1)2 ; 2 �a b c � (a 1)(b 1)(c 1) �� � � � 54 54 Suy P �a b c (a b c 3)3 Đặt t a b c , ta P �t (t 2)3 -8- 54 Xét hàm số f (t ) t (t 2)3 (1; �) , ta có f '(t ) t 1 � 162 , f '(t ) � � t4 t (t 2) � Bảng biến thiên Suy Pmax � a b c Ở tốn này, dựa vào tính đối xứng biểu thức P ta khéo léo áp dụng Bất đẳng thức Cô si để đưa hàm số biến Bài 2.1.2 Cho số thực dương x, y thỏa mãn: x y xy Tìm giá trị lớn 3x 3y 1 biểu thức: P y ( x 1) x ( y 1) x y Lời giải: Theo giả thiết ta có P 3xy 3xy 1 1 xy x y xy 2 y ( x 1) x ( y 1) x y y ( x 1) x( y 1) 4( xy ) 4( xy ) 2 xy Ta �� có x�� y xy Đặt t � f (t ) 3xy xy xy xy t Xét hàm số 5t 5t , f '(t ) 0t �1 Bảng biến thiên 4t 4t Suy MaxP f (1) Bài 2.1.3 Cho a, b, x, y số dương thỏa mãn a b5 2; x, y �4 Tìm giá trị nhỏ x y 24 biểu thức P xy (a b ) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có: a a �5 a10 5a b5 b5 �5 b10 5b -9- x y 24 x y 12 xy y x xy Suy 2a5 2b5 �5(a b2 ) � a b �2 Do P � x y 12 Xét hàm số P( x) y x xy , với x �(0; 4] y tham số Ta có x y 24 42 2.02 24 � 0, x �(0; 4] , P ( x ) nghịch biến 2 2x y 2x y 2x y y y (0;4], suy P( x) �P(4) y Xét hàm số g ( y ) y , (0;4], ta có 5 1 g '( y ) � suy g ( y ) nghịch biến (0;4] nên g ( y ) �g (4) y 16 16 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P , đạt a b 1, x y a , b , c Bài 2.1.4 Cho số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a ab abc abc P '( x) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có a 4b a 4b 16c a ab abc �a (a b c) Đẳng thức xảy 2 3 3 Đặt a 4b 16c Suy P �2(a b c) abc 3 3 t a b c, t P f (t ) Ta có f '(t ) , f '(t ) � t Bảng biến 2t 2t t 2t t thiên ; b 4c; a 16c 21 �a, b, c �1 Bài 2.1.5 Cho số thực a, b, c thỏa mãn � Tìm giá trị lớn �a b c abc Suy MinP � t � c biểu thức P a 1 b2 1 c a b c Lời giải: - 10 - x yz �x y z � ( x y z ) , t �1, bất đẳng � ** Đặt t Ta lại chứng minh: � � � � 3 thức (**) trở thành t t �0 Xét hàm số f (t ) t t , với t �[1; �) ta có 2 2 f '(t ) 5t 3t �0t �1 � f (t ) đồng biến trên, f (t ) �f (1) Dấu xảy x y z � a b c Từ kết ta suy Pmin � a b c Bài 2.1.7 Cho x, y, z ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 xy xz z x y z Lời giải: Ta có : xy x.9y �x 9y ; xz 8x.2z �8x 2z � xy xz z �9 x y z P 1 9(x y z) x y z Đặt: x y z t , t 9P f '(t) 2 1 t , f '(t) � t t3 t2 t3 BBT Từ BBT suy Pmin t2 t f(t) Ta có � 18 �x 23 �x y � 1 � � 8x 2z � �y f (t ) Dấu xảy � (0;�) 36 �x y z � 23 � � 72 �z 23 � 2.2 Sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên Nhiều bất đẳng thức đơn giản, hiển nhiên số trường hợp cụ thể, biết vận dụng sáng tạo lại cơng cụ hữu hiệu kĩ thuật đánh giá Chẳng hạn tốn sau Bài 2.2.1 Cho số thực khơng âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z Tìm GTLN biểu thức x2 yz yz P x yz x x y z Lời giải Từ BĐT hiển nhiên �( x y z )2 x y z xy xz yz 2(1 xy xz yz ) , ta suy x yz x x( x y z 1) (1 xy xz yz ) �x( x y z 1) - 12 - Suy x2 x � x yz x x y z Mặt khác ( x y z ) x y z x( y z ) yz yz x( y z ) �2 yz [x ( y z ) ] 4(1 yz ) x y z x yz Do P � x y z 1 36 Đặt t x y z t t x y z xy yz zx �2 x y y z z x , suy t �� 0; � � � t t2 (t 2)(t 4t 9) � , t �� 0; f '( t ) � f '(t ) � t Xét hàm số f (t ) � � t 36 18(t 1) Ta có: f (0) 0; f (2) ; f 1 � max f (t ) f (2) Vậy GTLN P � 0; � � � , đạt x y 1, z Bài 2.2.2 Cho số thực không âm x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P (4 x y )(4 y 3x) 25 xy Lời giải: Từ giả thiết, ta có P 16 x y 12( x3 y ) xy 25 xy = 16 x y 12( x xy y ) 34 xy =16 x y 12 � ( x y ) xy � � � 34 xy =16 x y xy 12 � 1� �x y � 0; , ta có xy t xy � Xét hàm số f (t ) 16t 2t 12, t �� Đặt t � � � 4� � �2 � f '(t ) 32t 2, f '(t ) � t Từ suy 16 25 Pmax � x y 2 � 2 2 x ;y � 191 4 Pmin �� 16 � 2 2 x ;y � � 4 Bài 2.2.3 Cho số thực không âm x, y, z thoả mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P xy yz zx x y z Lời giải: t2 Đặt t x y z � t 2( xy yz zx ) � xy yz zx t � 9 Ta có �xy yz zx �x y z nên �� Khi P 2 t 3 t - 13 - t với t t2 , �t �3 t t3 Ta có f '(t ) t với t � t t Xét hàm số f (t ) Suy f (t ) đồng biến [ 3, 3] Do f (t ) �f (3) Đẳng thức xảy t � x y z 14 14 , xảy x y z �x �y �z Bài 2.2.4 Cho số thực x, y, z thỏa mãn �2 2 �x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ( x 2)( y 2)( z 2) Vậy giá trị lớn P Lời giải: Từ giả thiết x y z � x, y, z �[ 3; 3] � x 2, y 2, z Do P đạt giá trị nhỏ x, y , z �0 Xét x, y, z khơng dương, ta có x y z 3, z �y �x �0 � x �[ 1;0] 1 P ( x 2)( y 2)( z 2) ( x 2) � ( y z 2) x 1� � ( x 2)( x 1) � � 2 x 1 � 2 � Xét hàm số f ( x) ( x 2)( x 1), x �[ 1;0]; f '( x) x x f '( x) � � x 2 � � � � � 25 � � � Suy Pmin f ( x ) �f (1); f (0); f � � � f � Dấu xảy � 23 � � � 27 � khi: x y ; z 3 Bài 2.2.5 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a +b +c =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a 2b b 2c c a ab bc ca a b c Lời giải: 2 Ta có a 2b b2 c c a � ab bc ca theo giả thiết a b c , suy a b c ab bc ca Do P � ab bc ca ab bc ca 2(ab bc ca ) a b c � 1� 0; Xét hàm số f (t ) t 3t 2t , t �� � 3� � 3 2 � 1� f '( t ) t ; f ''( t ) � 0, t � 0; � Suy f’(t) nghịch biến � Ta có 3 2t � � 2t Đặt t ab � bc ca t 1 11 � � �� 0; �và f ' t �f ' � � Vậy f(t) hàm đồng biến trên � � 3� �3 � Từ P �f � Pmin a 1; b c � � 2� � b 1; a c � c 1; a b � - 14 - � 1� 0; � � 3� � 2.3 Sử dụng tam thức bậc hai Bài 2.3.1 Cho hai số thực x, y � 1; 2 Tìm GTNN biểu thức P x 2y y 2x x y y 3x 4( x y 1) Lời giải Biểu thức P đối xứng hai biến, ta tìm cách đánh giá P đưa biểu thức chứa x y xy Nếu qui đồng trực tiếp biểu thức thu phức tạp Để nghiệm tam thức bậc hai, ta có �x �2 � ( x 1)( x 2) �0 � x �3x , tương tự y �3 y Suy x 2y y 2x x y P� 3x y 3x y 4( x y 1) x y 4( x y 1) t Đặt t x y , theo giả thiết t �[2; 4] Xét hàm số f (t ) t 4(t 1) , t �[2; 4] Ta có 1 f '(t ) f '(t ) � t (t 1) 4(t 1) 11 53 7 , f (3) , f (4) P f (t ) f (3) Vậy Pmin , chẳng hạn Lại có f (2) � 12 60 8 x 1, y Bài 2.3.2 Cho số thực x, y thỏa mãn x y x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S ( x y ) x y x y Lời giải: Điều kiện: x �2; y �1;0 x y �9; Trước hết, từ giả thiết theo Bunhia-Copxki, ta có �x y x y � 3( x y 1) � ( x y 1) �3( x y 1) Suy �x y x y� (Nghiệm bất phương trình bậc hai) � Đặt t x y, t �[1; 4] , ta có S t t S '(t ) 2t t 1 0, t �[1; 4] Vậy S đồng biến [1;4] t 2t t Suy S max S (4) 33 � x 4; y 0; S S (1) 2 � x 2; y 1 �x y �3 Bài 2.3.3 Cho hai số thực x, y thỏa mãn �2 �x y xy thức P x y y x xy Lời giải: - 15 - Tìm giá trị lớn biểu �x y t �x y t � Đặt t x y t Khi ta có hệ � �� t 6t ( x y ) xy � �xy � t 6t (*) Suy x, y nghiệm phương trình: X (t 3) X Điều kiện để (*) có nghiệm là: t �0 � t �0 � � � �2 � t �[ 7;0] � 4(t 6t 5) t t � ( t 3) � � � � (t 6t 5)(t 1) (t 7t 11t 5) Khi P xy ( x y 2) 3 t � 1 11 Ta có P '(t ) (3t 14t 11), P '(t ) � � � t � � 11 � 256 � 11 � 256 P(7) 24; P(0) ; P(1) 0; P � � � MaxP(t ) P � � t�[ 7;0] � � 81 � � 81 11 Dấu xảy t � x, y nghiệm phương trình 32 X2 X � 27X 18 X 32 27 � 9 945 � 9 945 �x �x � � 27 27 Suy � � �y 9 945 �y 9 945 � � 27 27 � � Bài 2.3.4 Cho số thực x, y khác không thỏa mãn ( x y ) xy x y xy Tìm giá 1 trị lớn biểu thức P x3 y Lời giải: Đặt s x y; p x y p Theo giả thiết s p s p � p s2 (dễ thấy s3 s �3 ) Khi x, y nghiệm phương trình X sX p , nên để x, y tồn s �1 � 4s s 1 2 4p s ta phải có s �۳۳� � s 3 s3 s3 � 2 t 3 x3 y ( x y )( x y xy ) �x y � �s � � Mặt khác: P 3 � � � Xét hàm số f (t ) t , 3 x y x y � xy � � s � với t �(�; 3) �[1; �) Ta có f '(t ) Bảng biến thiên t - 16 - 2 Suy f (t ) �(0;1) �(1; 4] Từ P f (t ) �16 � Pmax 16 � x y �y �0 Bài 2.3.5 Cho số thực x, y thỏa mãn �2 �x x y 12 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P xy x y 17 Lời giải: Theo giả thiết, ta có y x x 12 �0 � x �[ 4;3] Khi đó, P x 3x x , suy x 3 � P '( x ) x x 9.P '( x) � � x 1 � � x 3; y 6 � �Pmax 20 � � x 3; y Từ suy � � �P 12 � x 1; y 10 �min �x y z Bài 2.3.6 Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện �2 2 �x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x5 y z Lời giải: Theo giả thiết, ta có x y z xy yz zx xy z ( x y ) xy z 2 Từ suy xy z ( x y )2 ( x y)2 2 2 �x y � � x y � � �x y � Ta lại có xy �� �� ( x y )2 � 3 �2 � Vậy 5� � P x y z x y ( x y )5 5 xy ( x y ) 10 x y ( x y ) - � ( x y )3 ( x y ) � 2� � � 2� 5 15 ; Đặt t = x + y, ta t �� �, P t t � P '(t ) t 4 � 3� Ta có P '(t ) � t � , áp dụng cách tìm giá trị lớn nhỏ hàm - 17 - � t � �� số đoạn, ta Pmax � 6 t � � Bài 2.3.7 Cho số thực x, y thỏa mãn x y xy �32 Tìm GTNN biểu thức P x y xy 1 ( x y 2) Lời giải: Theo giả thiết ta có x y xy �32 � x y x y �0 � x y �[0;8] 3 2 3 P x y xy 1 x y x y xy x y Lại có xy � x y � 6 xy � x y Do � x y 3 x y 3 x y Đặt t x y � t �[0;8] Xét hàm số f (t ) t t 3t , ta có 1 , t thuộc đoạn [0;8] Ta có � � 17 5 f 6; f 398; f � Suy � � � � � 17 5 1 1 Pmin f (t ) �t �x y [0;8] 4 f '(t ) 3t 3t f '(t ) � t 2.4 Sử dụng hàm số trung gian (Khảo sát theo biến) Bài 2.4.1 Cho số thực a, b, c thỏa mãn abc 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Lời giải: a6 b6 b6 c c6 a6 a b a 2b b c b c c a c a (a b )(a b a 2b ) P Ta có Từ gả thiết suy a, b, c khác không nên a , b , c2 � 4 2 a b a b syc số thực dương Xét biểu thức �a � �a � 1 � � � � 4 2 a b a b t2 t 1 �b � �b � �a � Q , t Hàm số trung gian , đặt t � �� Q a b a 2b �a � t t 1 �a � �b � � � � � �b � �b � 2t Q(t ) có Q '(t ) , Q '(t ) � t (vì t > 0) Bảng biến thiên (t t 1) - 18 - Suy Qmin � t � a �b Áp dụng tương tự, ta 1 P � (a b ) (b c ) (c a ) ( a b c ) �2 a 2b c Suy Pmin , chẳng 3 3 hạn a b c Bài 2.4.2 Cho số thực x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức 1 � �1 1 � �1 P � x y 1 z � � x y 1 z � 16 � �8 27 64 � �4 Lời giải: Xét hàm số f (t ) 3t 2t , với t Ta có f '(t ) 6t (1 t ), f '(t ) � t Bảng biến thiên Suy f (t ) �1, t Lần lượt thay t 1 ; t y 1 ; t z ; ta x 3 x �1; y 1 y 1 �1; z z 2 �1 Cộng bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta x 27 16 64 MaxP � x x, y 1, z P �3 Suy Cũng có toán phải xét nhiều hàm số, chẳng hạn đây: Bài 2.4.3 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x �1, y �1;3( x y ) xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức �1 � P x3 y � � y � �x Lời giải: - 19 - 3x Đặt t xy Ta có 3( x y ) xy � x 3xy x y � xy ( x �1) Lại có 4x 3( x y ) xy � x 3y 3y , y �1 ; ta có y �1) Xét hàm số f ( y ) , (vì 4y 3 4y 3 f '( y ) � � 0, y y 3 f ( y) f (1) 3, y Vậy x �[1;3] x0 � 12 x 18 x 3x , g '( x ) � � , x �[1;3] Ta có g '( x ) Xét hàm số g ( x) � (4 x 3) x 4x � Suy �t g ( x ) �3, x �[1;3] Khi � � � � P ( x3 y ) � 3 � � ( x y)3 xy( x y) � � 1 3� � � � x y � � ( xy ) � � xy �� � 64 12 64 �4 xy � =� xy 1 t 4t �� � � 3� �� t �3 � � � xy � � 27 64 12 64 � � Xét hàm số P h(t ) t 4t , t �� ;3� 27 t � � � �8t � 12 � Ta có h '(t ) 8t � 1� 0, t �� ;3� Suy � �9 �t � x 3; y � 280 MaxP h(3) �� x 1; y � �9 � 307 � MinP h � � �� x y �4 � 36 � Bài 2.4.4 Cho ba số thực x, y, z � 1; 4 x �y , x �z Tìm giá trị nhỏ biểu x y z thức P x y y z z x Lời giải: Coi P hàm số biến số z x, y tham số, ta có y x y ( x xz z ) x( y yz z ) ( x y )( z xy ) ( y z )2 ( z x)2 ( y z ) ( z x) ( y z ) ( z x) x x z Nếu x y � x y � P '( z ) � z xy Nếu x y � P 5x x z x z (do x, y, z � 1; 4 ) BBT P '( z ) z P '( z ) P( z ) xy - P( - 20 - xy ) + x x y Từ bảng biến thiên ta suy ra: P �P( xy ) x y x y x 1 x y y y x t2 x � y , x � z x , y , z � 1; � t � f ( t ) , nên Xét hàm Ta y 2t t 2 � 4t (t 1) 3(2t t 3) � � � 0, t �1; Suy f (t ) giảm 1; 2 , có f '(t ) (2t 3) (1 t ) �z xy � 34 34 � x 4, y 1, z P �P( xy ) f (t ) �f (2) Vậy P � x 33 33 t 2 � y � Đặt t � � a b c P ab bc ca � � , a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: Bài 2.4.5 Cho ba số thực a, b, c γ� � ;3� Lời giải: a b c Xem hàm số theo biến a , b, c số Ta ab bc ca � b c (b c)(a bc) � a �b �c a, b, c �� ;3� ta suy có P '(a ) 2 2 Do � ( a b) ( a c ) ( a b) ( a c ) � � � b c �0; a bc �0 nên P '(a ) �0 Do P(a) tăng � ;3� Vậy � � b c P (a ) P (3) f (c ) (xem hàm số theo biến c) Ta lại có 3b b c c 3 � b (b 3)(3b c ) � f '(c) �0 Do g (c ) giảm � ;3� Suy ra: 2 2 � (b c ) (c 3) (b c) (c 3) � 3 24(1 b)(1 b) 3b f (c) �f ( ) g (b) Lại có g '(b) 2 (3b 1) (b 3) (3b 1) (b 3) 3 b 3b 10 Đặt P(a) Ta có bảng biến thiên Suy g (b) �g (1) 3 Vậy P(a, b, c) �P(3, b, c) �P(3, b, ) �P(3,1, ) 2.5 Sử dụng tính đẳng cấp - 21 - a 3; b 1; c Bài 2.5.1 Cho hai số x, y khác thỏa mãn: ( x y ) xy x y xy Tìm giá trị lớn 1 biểu thức P x3 y Lời giải: x3 y ( x y )( x xy y ) ( x y ) �1 � P 2 � � (*) Ta có x3 y x3 y3 x y �x y � t Theo giả thiết, ta có ( x y ) xy x y xy , suy Đặt x ty , x, y � �t 2t � t2 t 1 t2 t 1 (t 1)ty (t t 1) y � y �x Vậy P P(t ) � � t t t 1 �t t � Xét f (t ) t 1 � 3t (t 1) f '( t ) � f '(t ) � � , ta có Bảng biến thiên 2 t 1 (t t 1) t t 1 � Suy Maxf (t ) f (1) � MaxP(t ) 16 Dấu xảy x y Bài 2.5.2 Cho số thực x, y không đồng thời Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ x xy y biều thức: P 2x2 y2 Lời giải Vì tử số mẫu số biểu thức P đa thức đẳng cấp bậc hai x, y nên ta xét hai trường hợp sau: -Nếu y = � x �0 � P x2 2x x2 x 1 y2 y -Nếu y �0 Chia tử số mẫu số P cho y ta : P x2 2 1 y Đặt t x 2t 2t t2 t 1 P ' , ta P Ta có ; y (2t 1) 2t P ' � 2t 2t � t 1 � Bảng biến thiên - 22 - Kết hợp trường hợp trên, ta có: Vậy MinP = 3 �P � 32 32 x 1 3 x 1 ; MaxP = y y 2 32 32 Bài 2.5.3 Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a c)(b c) 4c Tìm GTNN biểu thức P 32a 32b3 a b2 (b 3c)3 (a 3c) c Lời giải Biểu thức P giả thiết toán ba biến, có tính đối xứng với hai biến a b Hơn nữa, quan sát biểu thức P ta thấy tử mẫu phân thức a c �x, y �xy x y b c đẳng cấp, ta làm giảm số biến cách đặt x , y , ta � Khi P 32 x 32 y x y Biểu thức lại đối xứng hai biến ( y 3)3 ( x 3)3 Với hai số dương m, n cho trước, ta có 3(m n) �0 � 3m 4mn 3n �2mn � 4m2 4mn 4n �(m n) � 4(m3 n3 ) �( m n)3 (*) Áp dụng (*), ta có 3 � �2 x 2y � ( x y ) xy 3( x y ) � 2 P �� x y � � xy 3( x y ) � ( x y ) xy y x � � � � Thay xy x y , ta được: � ( x y ) 5( x y ) � P �8 � � ( x y ) 2( x y ) 12 2( x y ) � � � ( x y 1)( x y 6) � 8� � ( x y ) 2( x y ) 2( x y 6) � � ( x y 1)3 ( x y ) 2( x y ) Đặt t x y � t Lúc P �(t 1)3 t 2t - 23 - ( x y )2 Theo giả thiết � xy�� xy� x y � t t2 t2 4t 12 (t 2)(t 6) Xét hàm số f (t ) (t 1)3 t 2t khoảng [2; �) , ta có f '(t ) 3(t 1) t 1 t t 1 t 2t 2(**) Thật vậy, t 2t (**) � t 2t 4t 8t 24 � 3t 6t 25 (đúng với t �2) Do f '(t ) �0, t �2 Với t �2 3(t 1)2 �3 , Vậy P �f (t ) �f (2) � P � a b c - 24 - 2.6 Bài tập cho học sinh rèn luyện Bài 2.6.1 Cho số dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z xyz P x y z xy yz zx xy yz zx Bài 2.6.2 Cho số dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P x4 y z x y z Bài 2.6.3 Cho số dương x, y, z thỏa mãn x y z 32 xyz Tìm giá trị lớn x y z biểu thức P 4 4 x y z Bài 2.6.4 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 21xy yz zx �12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y z Bài 2.6.5 Cho số dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức � � �2 � P �x � �y � x � � � y � Bài 2.6.6 Cho số dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 x y xy Bài 2.6.7 Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện �x �0; y �0 � 2 �xy ( x y ) x y x y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y Bài 2.6.8 Cho số dương x, y thỏa mãn y x x y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x6 y x3 y y x 2 Bài 2.6.9 Cho số dương a, b thỏa mãn 2(a b ) ab ab a b Tìm giá trị �a b3 � �a b � P nhỏ biểu thức � � � � a � �b a � �b Bài 2.6.10 Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện x y xy Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y xy x y Bài 2.6.11 Cho số dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm GTLN biểu thức P 6( y z x) 27 xyz Bài 2.6.12 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá 2 trị lớn biểu thức P a b c 4abc - 25 - Bài 2.6.13 Cho số dương x, y, z thỏa mãn x y z �1 Tìm GTNN biểu thức P x y z 1 x y z Bài 2.6.14 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c =3 Tìm giá trị 2 2 2 lớn biểu thức P a ab b b bc c c ca a - 26 - ... hạn hàm số 1.2 Cực trị hàm số 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lí 1.2.3 Định lí 1.2.4 Định lí 1.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức 1.3.1 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 1.3.2 Giá trị lớn nhất, nhỏ. .. thực tế, sách tham khảo, tài liệu Internet viết nhiều bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ số tài liệu viết Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức hai biến hay... Tính đạo hàm - Lập Bảng biến thiên - Dựa vào Bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn [a;b]: - Tính đạo hàm - Tìm điểm tới hạn xi tính giá trị